a 11 a 12 a 1(m 1) a 1m a n1 a n2 a n(m 1) a nm Matrizen Betrachten wir das nachfolgende Rechteckschema:
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- Hennie Birgit Raske
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1 Matrizen Betrachten wir das nachfolgende Rechteckschema: a 12 a 1(m 1 a 1m a n1 a n2 a n(m 1 a nm Ein solches Schema nennt man (n m-matrix, da es aus n Zeilen und m Spalten besteht Jeder einzelne Eintrag a ij heißt Element, Eintrag oder Komponente der Matrix Im Sonderfall, dass m = 1 ist, spricht man von einem Spaltenvektor und im Sonderfall n = 1 von einem Zeilenvektor D Horstmann: November
2 Matrizen Mithilfe dieser neuen Begriffe lassen sich Gleichungssysteme auch wie folgt schreiben, wenn man die nachfolgende Multiplikation der Matrix mit einem Vektor noch nachträglich geeignet erklärt: oder kurz: Hierbei sind a 12 a 1(m 1 a 1m a n1 a n2 a n(m 1 a nm A := x := A x = b x 1 x m = a 12 a 1(m 1 a 1m a n1 a n2 a n(m 1 a nm x 1 b 1 und b := x m b n b 1 b n D Horstmann: November
3 Rechnen mit Matrizen Eine Matrix A, die gegeben ist als a 12 a 1(m 1 a 1m A := a n1 a n2 a n(m 1 a nm, kann man auch kurz mit der Schreibweise schreiben A = (a ij n m D Horstmann: November
4 Rechnen mit Matrizen 1 Die Addition und Subtraktion von Matrizen: Wenn wir zwei (n m-matrizen A = (a ij n m und B = (b ij n m gegeben haben, so können wir diese beiden miteinander addieren, indem wir die Summe aus dem Element in der i-zeile und der j-ten Spalte der Matrix A und dem Element der Matrix B bilden, das in der i-ten Zeile und j-ten Spalte von B steht Eine solche Addition impliziert natürlich, dass wir nur Matrizen miteinander addieren können, die die gleiche Zeilen- und Spaltenanzahl haben Wir halten also fest: A + B = (a ij n m + (b ij n m = (a ij + b ij n m Die Subtraktion zweier Matrizen ist somit analog als definiert A B = (a ij n m (b ij n m = (a ij b ij n m D Horstmann: November
5 2 Die Multiplikation mit reellen Zahlen: Durch die eben eingeführte Addition und Subtraktion von zwei Matrizen des gleichen Typs können wir für solche Matrizen natürlich auch die Multiplikation mit ganzen Zahlen erklären Offensichtlich reduziert sich die Addition von A und B im Fall A = B zu: 2 (a ij n m = 2 A = A + A = (a ij n m + (a ij n m = (2 a ij n m Allgemein können wir die Multiplikation mit einer reellen Zahl µ (sprich Müh wie folgt definieren: µ A = µ (a ij n m = (µ a ij n m D Horstmann: November
6 3 Multiplikation zweier Matrizen: Das Produkt zwischen einer (n m-matrix A und einer (m k-matrix B bildet man, indem man jeweils die Zeilen der Matrix A mit den Spalten der Matrix B so miteinander multipliziert, wie es bei der Multiplikation einer Matrix mit einem Spaltenvektor erklärt wurde Wenn wir das Produkt A B mit C bezeichnen, so steht an der j-ten Position der i-ten Zeile der Eintrag c ij, der gleich dem Produkt der i-ten Zeile der Matrix A und der j-ten Spalte der Matrix B ist, d h c ij = a i1 b 1j + a i2 b 2j + + a i(m 1 b (m 1j + a im b mj m = a ir b rj r=1 Wenn man also eine (n m-matrix A mit einer (k s-matrix B multiplizieren will, d h A B berechnen will, so muss m = k gelten Das Produkt ist dann eine (n s-matrix Wenn n s ist, kann man zwar das Produkt einer (n m-matrix A und einer (m s- Matrix B bilden, d h A B berechnen; das Produkt B A hingegen lässt sich jedoch nicht erklären bzw angeben D Horstmann: November
7 Rechnen mit Matrizen Beispiel 14 [zur Multiplikation von Matrizen] Es seien die Matrizen ( A := und B := gegeben Bildet man das Produkt A B, so müssen wir nach den oben gemachten Überlegungen eine (2 4-Matrix erhalten Führt man nun diese Rechnungen durch, so erhält man: c 11 = ( = ( = 5 2 c 12 = ( = ( = 3 1 c 13 = ( = ( = 16 5 D Horstmann: November
8 c 14 = ( c 21 = ( c 22 = ( c 23 = ( c 24 = ( = ( = 4 = ( = 19 = ( = 5 = ( = 36 = ( = 6 D Horstmann: November
9 Rechnen mit Matrizen Damit gilt also die nachfolgende Gleichung: ( = ( D Horstmann: November
10 Matrizen Definition 4 Es sei A eine gegebene (n m-matrix Als Null(spaltenvektor bezeichnet man den Spaltenvektor, dessen Einträge alle gleich null sind Er wird mit dem üblichen Nullsymbol oder mit 0 dargestellt Wenn das Gleichungssystem A x = 0 (10 nur den Spaltenvektor x = 0 als Lösung besitzt, dann sagt man, dass die Spalten(-vektoren der Matrix A linear unabhängig voneinander sind Existiert hingegen ein Spaltenvektor x, der zwar ungleich dem Nullvektor ist, aber das Gleichungssystem (10 löst, so nennt man die Spalten(-vektoren der Matrix A linear abhängig voneinander Anmerkung 7 Damit ein Gleichungssystem A x = b eine eindeutige Lösung besitzt, müssen die Spalten der Matrix A linear unabhängig voneinander sein D Horstmann: November
11 Matrizen Betrachten wir die (n m-matrix a 12 a 1(m 1 a 1m A = a n1 a n2 a n(m 1 a nm Durch Umdrehen der Matrix bzw durch Vertauschen der Spalten- und Zeilenrollen der Einträge erhält man die transponierte Matrix A T := a 21 a (n 11 a n1 a 1m a 2m a (n 1m a nm Die transponierte Matrix oder kurz die Transponierte ist somit eine (m n-matrix D Horstmann: November
12 Matrizen Gilt für eine (n n-matrix B, dass die Einträge b ij mit den Einträgen b ji für alle i und j aus der Indexmenge {1,, n} übereinstimmen, so nennt man die Matrix B symmetrisch Für symmetrische Matrizen gilt offensichtlich, dass A = A T gilt Die (n n-matrix (a ij n n, die auf der Hauptdiagonalen a ii den Eintrag 1 und an allen anderen Positionen a ij, i j, den Eintrag 0 hat, nennt man Einheitsmatrix Man bezeichnet sie mit I := Quadratische Matrizen, also (n n-matrizen, die nur Einträge auf der Diagonalen haben und deren Einträge auf allen anderen Positionen gleich null sind, nennt man Diagonalmatrizen Eine besondere Diagonalmatrix ist somit die Matrix, deren Einträge alle gleich null sind Diese Matrix nennt man die Nullmatrix D Horstmann: November
13 Matrizen Schließlich bemerken wir, dass für Matrizen die nachfolgenden Rechenregeln gelten: 1 A (B + C = A B + A C, für eine (m n-matrix A und zwei (n k-matrizen B und C, 2 (A + B C = A C + B C, für zwei (m n-matrizen A und B sowie eine (n k-matrix C, 3 (A B C = A (B C, für eine (m n-matrix A, eine (n k-matrix B und eine (k p-matrix C, 4 (A B T = B T A T, für eine (m n-matrix A und eine (n k-matrix B D Horstmann: November
14 Matrizen Beispiel 15 Es seien: A := ( , D := ( , F := ( und b := ( 2 5 Nach den eingeführten Rechenregeln gilt: 1 Die Transponierte von A lautet: A T = ( Die Matrix F transponiert lautet: F T = D Horstmann: November
15 3 Das Matrizenprodukt A A T ergibt: ( Das Matrizenprodukt A T A ergibt: 5 Das Matrizenprodukt A D ergibt: ( ( Das Matrizenprodukt A I ergibt: ( D Horstmann: November
16 7 Das Matrizenprodukt I A ergibt: ( Das Matrizenprodukt A F ergibt: ( Die Matrix A mit dem Vektor b multipliziert ergibt: ( 9 26 Wir bemerken, dass für zwei (n n-matrizen A und B in der Regel A B B A gilt Hingegen gilt für jede (n n-matrix A, dass A I = I A D Horstmann: November
17 Die Determinante einer Matrizen Definition 5 Es sei A = (a ij n n eine (n n-matrix Die Determinante der Matrix A (det A ist wie folgt rekursiv definiert 1 n = 1: Im Fall n = 1 ist die Matrix A = eine einzelne reelle Zahl Wir definieren det A = 2 n = 2: In diesem Fall definieren wir det A = a 22 a 12 a 21 3 n 3: Ist 0, so definieren wir det A = det (  αt β wobei α der Zeilenvektor ist, dessen Einträge die Werte der ersten Spalte der Matrix A unter dem Wert sind, also α := (a 21,, a n1, β den Zeilenvektor bezeichnet, den man erhält, wenn man die erste Zeile von A nimmt ohne das Element, dh β := (a 12,, a 1n und  die ((n 1 (n 1-Matrix definiert, die man erhält, wenn man in der Matrix A die erste Spalte und die erste Zeile streicht, dh  := (a (i+1(j+1 (n 1 (n 1, D Horstmann: November
18 Die Determinante einer Matrizen Exemplarische Berechnung der Determinante einer 3 3-Matrix: A = a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 und wir nehmen an, dass 0 ist Nach der Rekursionsformel ist α = (a 21, a 31, β = (a 12, a 13 und  = ( a22 a 23 a 32 a 33 Es gilt: α T β = ( a12 a 21 a 13 a 21 a 31 a 12 a 31 a 13 und  1 α T β = ( a22 a 12 a 21 a a 23 a 13 a a 32 a 31 a 12 a a 33 a 31 a D Horstmann: November
19 Die Determinante einer Matrizen Wegen der Definition einer Determinante einer 2 2-Matrix ist also: ( det  1 α T β ( = a 22 a ( 12a 21 a 33 a ( 31a 13 a 23 a 13a 21 Insgesamt erhalten wir also: det A = det (  1 = ( a 22 a 12a 21 ( a 23 a 13a 21 α T β ( a 33 a 31a 13 ( a 32 a 31a 12 ( a 32 a 31a 12 = a 22 a 33 a 23 a 32 a 12 a 21 a 33 +a 12 a 31 a 23 + a 13 a 21 a 32 a 13 a 22 a 31 D Horstmann: November
20 Berechnung der Inversen Definition 6 Es sei A = (a ij n n eine gegebene (n n-matrix Die zur Matrix A adjungierte Matrix bzw die Adjunkte A ist als die Transponierte der Matrix (ã ij n n definiert, also ist A := (ã ij T n n, wobei die Komponenten der Matrix (ã ij n n durch ã ij := ( 1 i+j det A ij gegeben sind und die hier angegebene Matrix A ij aus der Matrix A durch Streichen der i-ten Zeile und der j-ten Spalte gewonnen wird Lemma 3 Es sei A eine (n n-matrix mit det A 0 Dann ist die zu A inverse Matrix durch A 1 = 1 det A A gegeben Für det A = 0 besitzt A keine Inverse 0 D Horstmann: November
21 Berechnung der Inversen Beispiel 16 Es sei ( a b A = c d mit a d b c 0 Die Inverse von A ist nach dem oben genannten Satz gegeben durch A 1 = 1 a d b c ( d b c a Für (2 2-Matrizen hat man also eine einfache Formel zur Bestimmung der Inversen zur Hand D Horstmann: November
22 Berechnung der Inversen Beispiel 17 Es sei nun A = Die Berechnung der Determinante ergibt in diesem Fall: det A = 46 Nun bestimmen wir die Einträge der Matrix (ã ij 3 3 Nach der Formel zur Berechnung der Einträge erhalten wir: ã 11 = ( det ã 12 = ( det ã 13 = ( det = 18, = 2, = 4, D Horstmann: November
23 ã 21 = ( det ã 22 = ( det ã 23 = ( det ã 31 = ( det ã 32 = ( det = 11, = 14, = 5, = 10, = 4, D Horstmann: November
24 ã 33 = ( det = 8, und somit insgesamt: woraus: folgt (ã ij 3 3 = A 1 = D Horstmann: November
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