Die Satzgruppe des Pythagoras

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1 7 Die Stzgruppe des Pythgors In Klssenstufe 7 hen wir uns ei den Inhlten zur Geometrie insesondere mit Dreieken und ihren Eigenshften eshäftigt. In diesem Kpitel wirst du erkennen, dss es ei rehtwinkligen Dreieken rehnerishe Zusmmenhänge zwishen estimmenden Streken git. Die neu gewonnenen ussgen zu rehtwinkligen Dreieken ermöglihen u.. die erehnung von Strekenlängen in eenen Figuren und Körpern. Zentrle ussge in diesem Kpitel ist der Stz des Pythgors, wohl einer der eknntesten Sätze der Mthemtik. 7.1 Der Stz des Pythgors ei einem rehtwinkligen Dreiek sind dir folgende ezeihnungen eknnt (ild 7.1): Die Seiten, die den rehten Winkel egrenzen, heißen Ktheten, die Seite, die dem rehten Winkel gegenüerliegt, heißt Hypotenuse (Skript 7, shnitt 3.4) Kthete Hypotenuse ild 7.1 Für rehtwinklige Dreieke liefern der Innenwinkelstz und die Eigenshft, dss in jedem Dreiek dem größeren Winkel die längere Seite gegenüer liegt, folgende ussgen (Skript 7, shnitte 3.3 und 3.5): Merke In jedem rehtwinkligen Dreiek sind die Winkel, die der Hypotenuse nliegen, spitze Winkel und die Summe ihrer Mße eträgt 90, ist die Hypotenuse die längste Seite. α Kthete β

2 14 7 Die Stzgruppe des Pythgors Wir konstruieren ein rehtwinkliges Dreiek mit den Kthetenlängen = 3m und = 4m. Für die Länge der Hypotenuse messen wir 5m (ild 7.) 1. Qudrieren wir die Mßzhlen der Kthetenlängen, so erhlten wir: = 9 und = 16. eim Vergleih mit dem Qudrt der Mßzhl der Hypotenusenlänge entdeken wir die eziehung: = 4 m = 3m + = 9+ 16= 5. Zeihnen wir weitere rehtwinklige Dreieke mit elieigen Kthetenlängen und und messen die Hypotenusenlänge, so estätigt sih die Vermutung, dss für jedes dieser rehtwinkligen Dreieke gilt: + =. Es ergit sih folgender Stz: 5m ild 7. Stz 7.1 (Der Stz des Pythgors 3 ) Für jedes rehtwinklige Dreiek mit den Kthetenlängen und und der Hypotenusenlänge gilt: + =. Oder uh: In jedem rehtwinkligen Dreiek hen die Qudrte üer den Ktheten zusmmen den gleihen Fläheninhlt wie ds Qudrt unter der Hypotenuse (ild 7.3). Qudrte üer den Ktheten Qudrt unter der Hypotenuse ild 7.3 Zum Stz des Pythgors sind üer 100 unhängige eweise eknnt. Sie eruhen meistens uf dem Vergleih von Fläheninhlten. Wir wollen zwei dvon etrhten. 1 us druktehnishen Gründen stimmen die Mße in der Konstruktion niht mit den ngegeenen Mßen üerein. Die eziehung wr shon den yloniern und den Ägyptern im nfng des.jhrtusends v.hr. eknnt. 3 Pythgors von Smos ( v.hr.), griehisher Philosoph und Mthemtiker

3 7 Die Stzgruppe des Pythgors eweis von Stz 7.1 Gegeen ist ein rehtwinkliges Dreiek mit dem Qudrt unter der Hypotenuse. Die Gerde und die Senkrehte dzu durh sowie die Gerde und die Senkrehte dzu durh erzeugen ds Vierek DEF (ild 7.4). D im Vierek lle Innenwinkel rehte Winkel sind (der Winkel & E ist uh ein rehter Winkel, d die Gerden und DE sowie und EF prllel sind), ist ds Vierek ein Rehtek. 1 Wir etrhten nun im Rehtek DEF die vier Dreieke, D, E und F. Für sie gilt: 1) Die vier Dreieke sind rehtwinklig. ) = = = =. 3) Mit 1) gilt: α = 90 β = α ; α = 90 β = α ; α = 90 β = α Insgesmt gilt: α = α = α = α und dmit uh β = β = β = β Nh dem Kongruenzstz WSW sind die vier Dreieke somit kongruent. Drus folgt, dss lle vier Seiten des Rehteks DEF gleih lng sind. Ds Rehtek DEF ist somit ein Qudrt mit der Seitenlänge +. Der Fläheninhlt des Qudrtes unter der Hypotenuse wird nun uf zwei rten estimmt: Mit den Inhlten des Qudrtes DEF und der vier kongruenten Dreieke gilt: = ( + ) 1 4 = + + = +. ( ) Mit seiner Seitenlänge ergit sih: =. Zusmmengefsst erhlten wir: + =. D α β 3 β Qudrt unter der Hypotenuse α 3 β ild 7.4 α 1 β 1 α F E 1 Zur Erinnerung: ezeihnungen für Streken:,, ezeihnungen für Strekenlängen:,, ezeihnungen für Winkel: & α, & β, & ezeihnungen für Winkelmße: α, β, & (Skript 6, shnitt 4.1)

4 144 7 Die Stzgruppe des Pythgors. eweis von Stz 7.1 Gegeen ist ein rehtwinkliges Dreiek. us vier zum Dreiek kongruenten Dreieken werden die Viereke DEFG und HIJK geildet (ild 7.5). D im Vierek DEFG lle Innenwinkel rehte Winkel sind (sie werden jeweils us den eiden spitzen Winkeln des rehtwinkligen Dreieks G zusmmengesetzt) und lle Seiten gleih lng sind, hndelt es sih um ein Qudrt. K D im Vierek HIJK lle Innenwinkel rehte J Winkel und lle Seiten gleih lng sind (die H Seitenlänge ist gleih der Differenz der I Kthetenlängen des Dreieks ), hndelt es sih eenflls um ein Qudrt. Der Fläheninhlt des Qudrtes DEFG lässt D sih nun uf zwei rten erehnen: ild 7.5 Mit den Inhlten des Qudrtes HIJK und der 4 kongruenten Dreieke gilt: 1 = ( ) + 4 ( ) = + + = +. Mit seiner Seitenlänge ergit sih: =. Zusmmen erhlten wir: + =. Mit dem Stz des Pythgors lssen sih in rehtwinkligen Dreieken us zwei Seitenlängen die dritte erehnen. F E eispiel 1 (Stz des Pythgors nwenden) Ds Dreiek in ild 7.6 ist rehtwinklig und seine Kthetenlängen sind mit 5m und 7m ngegeen. Die fehlende Hypotenusenlänge x können wir mit dem Stz des Pythgors erehnen. Es gilt: x = (5 m) + (7 m) = 74 m. D x > 0 ist, ht die Gleihung nur eine Lösung: x = Die Hypotenuse ist etw 8,6 m lng. x 7m ild m 8, 6 m. 5m

5 7 Die Stzgruppe des Pythgors 145 eispiel (Stz des Pythgors nwenden) Ds Dreiek in ild 7.7 ist rehtwinklig und seine Hypotenusenlänge ist mit 9m und eine Kthetenlänge mit 6m ngegeen. Die fehlende Länge y der nderen Kthete erehnen wir mit dem Stz des Pythgors. Es gilt: y + ( 6m) = ( 9m ). Wir lösen die Gleihung nh y uf und erhlten: y = ( 9m) ( 6m) = 45m. D y > 0 ist, ht die Gleihung nur eine Lösung: y = 45 m = 9 5 m = 3 5 m 6,7 m. Die ndere Kthete ist etw 67, m lng. eispiel 3 (Qudrt-Spirle) etrhte die Qudrt-Spirle in ild m 9m 6m ild 7.7 y 1m 1m 3 4 1m m 3m 4m 5 1 5m ild 7.8 Die Figur zeigt, wie mn mithilfe von Einheitsqudrten, lso Qudrten mit der Seitenlänge 1m und dem Inhlt 1 = 1m, nheinnder Qudrte mit den In- hlten m, 3 m, 4 m,... konstruieren knn. Nh dem Stz des Pythgors gilt für den Inhlt: des. gruen Qudrts: = + = 1m + 1m = m des 3. gruen Qudrts: = + = 1m + m = 3m des 4. gruen Qudrts: = + = 1m + 3m = 4m usw Die Seitenlängen der Qudrte etrgen demnh m, 3m, 4 m,...