Resolution (Motivation) Vorlesung Logik Sommersemester 2012 Universität Duisburg-Essen. Resolution (Idee) Resolution (Idee)

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1 (Motivation) Vorlesung Logik Sommersemester 0 Universität Duisburg-Essen Barbara König Übungsleitung: Christoph Blume Wir benötigen Algorithmen für Erfüllbarkeitstests, die zumindest in vielen Fällen gutartiges Verhalten zeigen. Dennoch ist im schlimmsten Fall (worst case) immer eine exponentielle Laufzeit zu erwarten. Wir betrachten nun als Erfüllbarkeitstest und untersuchen dann einige Fallstudien mit schlechtem bzw. gutem Laufzeitverhalten. Barbara König Logik Barbara König Logik (Idee) Wir betrachten im folgenden nur Formeln in KNF. Es gilt folgende Beziehung: (Idee) Es gilt: (F A) (G A) = (F G) Aus der Herleitung der leeren Disjunktion bzw. leeren Klausel (= unerfüllbare Formel 0) folgt Unerfüllbarkeit. (Korrektheit) (Siehe auch der Zusammenhang zwischen Folgerung und Unerfüllbarkeit: F unerfüllbar gdw. F = 0.) Zwei Fragen: Kann man aus einer unerfüllbaren Formel immer die leere Klausel herleiten? (Vollständigkeit) Gibt es eine Möglichkeit, die Herleitung kompakter aufzuschreiben? Barbara König Logik Daraus folgt: F = G F F G (F A) (G A) (F A) (G A) (F G) Das kann so interpretiert werden, dass man zu den bisher existierenden Klauseln (F A), (G A) die Klausel (F G) hinzufügt, ohne die Aussage der Formel zu verändern. Dies macht man so lange, bis man die leere Klausel erhält, oder sich sicher sein kann, dass die leere Klausel nicht auftaucht. Barbara König Logik

2 Mengendarstellung der KNF Vorteile der Mengendarstellung Klausel: Menge von Literalen (Disjunktion). {A, B} stellt (A B) dar. Formel: Menge von Klauseln (Konjunktion). {{A, B}, { A, B}} stellt ((A B) ( A B)) dar. Die leere Klausel (= leere Disjunktion) ist äquivalent zu einer unerfüllbaren Formel. Diese wird auch mit bezeichnet. Die leere Formel (= leere Konjunktion) ist äquivalent zu einer gültigen Formel. Man erhält automatisch: Kommutativität: (A B) (B A), beide dargestellt durch {A, B} Assoziativität: ((A B) C) (A (B C)), beide dargestellt durch {A, B, C} Idempotenz: (A A) A, beide dargestellt durch {A} Barbara König Logik Barbara König Logik Resolvent (I) Resolvent (II) Definition (Resolvent) Seien K, K und R Klauseln. Dann heißt R Resolvent von K und K, falls es ein Literal L gibt mit L K und L K und R die Form hat: R = (K {L}) (K {L}). Hierbei ist L definiert als { Ai falls L = A L = i, A i falls L = A i Wir stellen diesen Sachverhalt durch folgendes Diagramm dar (Sprechweise: R wird aus K, K nach L resolviert). K R Ferner: falls K = {L} und K = {L}, so entsteht die leere Menge als Resolvent. Diese wird mit dem speziellen Symbol bezeichnet, das eine unerfüllbare Formel darstellt. K Barbara König Logik Barbara König Logik 00

3 s-lemma Definition von Res(F ) s-lemma Sei F eine Formel in KNF, dargestellt als Klauselmenge. Ferner sei R ein Resolvent zweier Klauseln K und K in F. Dann sind F und F {R} äquivalent. Beweis: Folgt direkt aus (F A) (F }{{} A) }{{} K (F A) }{{} K K (F A) }{{} (F F ) }{{} K R Definition Sei F eine Klauselmenge. Dann ist Res(F ) definiert als Res(F ) = F {R R ist Resolvent zweier Klauseln in F }. Außerdem setzen wir: Res 0 (F ) = F Res n+ (F ) = Res(Res n (F )) für n 0 und schließlich sei Res (F ) = Res n (F ). n 0 Barbara König Logik 0 Barbara König Logik 0 Anzahl der Resolventen Anzahl der Resolventen Angenommen, die Formel F enthält n atomare Formeln. Dann gilt welche Abschätzung für Res (F )? A Res (F ) n B Res (F ) n C Res (F ) kann beliebig groß werden Dabei bezeichnet Res (F ) die Anzahl der Elemente in Res (F ). Es gilt Res (F ) n n ist eine obere Schranke für die Menge aller Klauseln (jede atomare Formel kann auf vier verschieden Arten in einer Klausel vorkommen: gar nicht, nur positiv, nur negativ, positiv und negativ). Was passiert, wenn alle Klauseln maximal zweielementig sind? Durch die von zweielementigen Klauseln können nur wieder zweielementige Klauseln entstehen. (Das ist bei drei- und mehrelementigen Klauseln anders.) Da es bei n verschiedenen atomaren Formeln nur ( ) n = n(n ) viele zweielementige und n viele einelementige Klauseln gibt, werden nach spätestens dieser polynomialen Anzahl von Schritten keine neuen Klauseln mehr abgeleitet. Barbara König Logik 0 Barbara König Logik 0

4 ssatz Induktionsprinzip Wir zeigen nun die Korrektheit und Vollständigkeit der : ssatz (der ) Eine Klauselmenge F ist unerfüllbar genau dann, wenn Res (F ). Diese Aussage beinhaltet zwei Teile: Wenn Res (F ), dann ist F unerfüllbar. (Korrektheit, folgt unmittelbar aus dem slemma) Wenn F unerfüllbar ist, dann Res (F ). (Vollständigkeit, muss noch per Induktion bewiesen werden) Um die Aussage Für jedes n {0,,,,...} gilt P(n). zu zeigen, gehen wir im allgemeinen folgendermaßen vor: Wir zeigen, dass P(0) gilt. (Induktionsanfang) Wir zeigen, dass für jedes n gilt: Wenn P(n) gilt, dann gilt auch P(n + ). (Induktionsschritt) Dann kann man schließen, dass P(n) für jedes beliebige n gilt. Barbara König Logik 0 Barbara König Logik 0 Beweisidee (I) Beweisidee (I) Vollständigkeitsbeweis: Induktion über die Anzahl der atomaren Formeln. Hier: Induktionsschritt mit n + = Vollständigkeitsbeweis: Induktion über die Anzahl der atomaren Formeln. Hier: Induktionsschritt mit n + = F = {{A }, { A, A }, { A, A, A }, {A, A }, { A, A, A }} F = {{A }, { A, A }, { A, A, A }, {A, A }, { A, A, A }} F 0 = {{A }, { A }, { A, A }} A wird mit 0 belegt Barbara König Logik 0 Barbara König Logik 0

5 Beweisidee (I) Beweisidee (II) Vollständigkeitsbeweis: Induktion über die Anzahl der atomaren Formeln. Hier: Induktionsschritt mit n + = F = {{A }, { A, A }, { A, A, A }, {A, A }, { A, A, A }} F 0 F { A } { A, A } {A } {A } { A, A } { A } { A } F 0 = {{A }, { A }, { A, A }} F = {{A }, {A }, { A, A }} A wird mit 0 belegt A wird mit belegt Barbara König Logik 0 Barbara König Logik 0 Beweisidee (II) Beweisidee (II) F 0 F { A, A } { A, A, A } {A } {A, A } { A, A, A } F 0 F { A, A } { A, A, A } {A } {A, A } { A, A, A } { A, A } { A, A } { A, A } { A, A } {A } { A } {A } { A } Barbara König Logik 0 Barbara König Logik 0

6 Deduktion Definition (Deduktion) Eine Deduktion (oder Herleitung oder Beweis) der leeren Klausel aus einer Klauselmenge F ist eine Folge von K, K,..., K m von Klauseln mit folgenden Eigenschaften: K m ist die leere Klausel und für jedes i =,..., m gilt, dass K i entweder Element von F ist oder aus gewissen Klauseln K a,k b mit a, b < i resolviert werden kann. Eine Klauselmenge ist unerfüllbar genau dann, wenn eine Deduktion der leeren Klausel existiert. Es ist also nicht notwendig, ganz Res (F ) zu berechnen, sondern es können geeignete Such-Heuristiken verwendet werden. skalkül Mit dem Begriff Kalkül bezeichnet man eine Menge von syntaktischen Umformungsregeln, mit denen man semantische Eigenschaften herleiten kann. Syntaktische Umformungsregeln:, Stopp bei Erreichen der leeren Klausel Semantische Eigenschaft: Unerfüllbarkeit Wünschenswerte Eigenschaften eines Kalküls: Korrektheit: Wenn die leere Klausel aus F abgeleitet werden kann, dann ist F unerfüllbar. Vollständigkeit: Wenn F unerfüllbar ist, dann ist die leere Klausel aus F ableitbar. Barbara König Logik 0 Barbara König Logik 0 Wir wollen zeigen, dass ((AK BK) (AK BK) (BK RL AK) RL) ( AK BK) gültig ist. Das ist genau dann der Fall, wenn (AK BK) ( AK BK) ( BK RL AK) RL (AK BK) unerfüllbar ist. (Wegen: F G gültig gdw. F G unerfüllbar.) Wir verwenden otter einen Theorembeweiser basierend auf. otter Mit Hilfe von otter kann man sbeweise durchführen. otter ist eigentlich für die gedacht, für die ist im allgemeinen ein aussagenlogischer SAT-Solver (wie limboole) angebracht. otter ist inzwischen zu prover weiterentwickelt worden, wir verwenden in der Vorlesung jedoch trotzdem otter, weil man in der Ausgabe sehr schön die sbeweise nachvollziehen kann. Barbara König Logik Barbara König Logik

7 Eingabesyntax (Beispielformel) set(prolog_style_variables). set(binary_res). clear(unit_deletion). clear(factor). list(sos). ak bk. % (ak bk) in limboole-syntax -ak bk. % (!ak bk) -bk -rl -ak. % (!bk!rl!ak) rl. % rl ak -bk. % (ak!bk) end_of_list. Die Optionen zu Beginn stellen sicher, dass die in der Vorlesung eingeführte Art der verwendet wird. Barbara König Logik Textuelle Ausgabe von otter PROOF [] ak bk. [] -ak bk. [] -bk -rl -ak. [] rl. [] ak -bk. [binary,.,.] bk. [binary,.,.] ak. [binary,.,.] -rl -ak. [binary,.,.] -ak. [binary,.,.] $F end of proof Barbara König Logik Ausgabe von otter visuell mit GraphViz aufbereitet Beispiel: Pigeonhole-Prinzip Wir betrachten nun eine Formel, bei der viele Erfüllbarkeitstester (SAT-Solver) ein schlechtes Verhalten zeigen. Pigeonhole-Prinzip/Dirichletsches Schubfachprinzip Wenn N + Tauben in N Schlägen sitzen, dann gibt es in mindestens einem Schlag zwei (oder mehr) Tauben. Wir verwenden zur Formalisierung folgende atomare Formeln: T i,j mit i {,..., N + }, j {,..., N}. A(T i,j ) = bedeutet dabei, dass die i-te Taube im j-ten Schlag sitzt. Barbara König Logik Barbara König Logik

8 Beispiel: Pigeonhole-Prinzip Beispiel: Pigeonhole-Prinzip Wir formalisieren zunächst: N + Tauben sitzen in N Schlägen. Jede Taube sitzt in mindestens einem Schlag: F = i {,...,N+} j {,...,N} T i,j Keine Taube sitzt in zwei Schlägen: F = ( T i,j T i,j ) i {,...,N+} j,j {,...,N}, j j In einem Schlag sitzen (mindestens) zwei Tauben: G = (T i,j T i,j) i,i {,...,N+}, i i j {,...,N} Der gesamte aussagenlogische Ausdruck lautet daher F F G. Er ist gültig genau dann, wenn F F G unerfüllbar ist. Dabei ist F F G schon beinahe in konjunktiver Normalform. Mit Hilfe eines Programms kann man Formeln für jedes N erzeugen und mit Hilfe von limboole überprüfen. Für diese Art von Formeln zeigt limboole ein relativ schlechtes Laufzeitverhalten, bereits ab N = dauert der Test sehr lange. Barbara König Logik Barbara König Logik Beispiel: ein Sudoku-Solver, basierend auf Erfüllbarkeitstests Beispiel: ein Sudoku-Solver, basierend auf Erfüllbarkeitstests Sudoku-Regeln Ein Sudoku-Feld ist ein Schachbrett mit Zeilen und Spalten. Es ist außerdem unterteilt in Regionen, bestehend aus Feldern. Sudoku-Regeln Zu Beginn sind einige dieser Felder mit Zahlen aus der Menge {,..., } gefüllt. Barbara König Logik Barbara König Logik

9 Beispiel: ein Sudoku-Solver, basierend auf Erfüllbarkeitstests Sudoku-Regeln Die Aufgabe besteht nun darin, das Feld vollständig auszufüllen, so dass in jeder Zeile, in jeder Spalte und in jeder Region jede Zahl zwischen und genau einmal vorkommt. Wir verwenden folgende atomare Formeln, um ein Sudoku zu beschreiben: S i,j,k mit i, j, k {,..., }. A(S i,j,k ) = bedeutet dabei, dass sich auf Feld (i, j) die Zahl k befindet. Mit Hilfe dieser = atomaren Formeln lassen sich nun die Sudoku-Spielregeln mit Hilfe der formalisieren. Barbara König Logik Barbara König Logik 0 Auf jedem Feld befindet sich eine Zahl: i,j {,...,} k {,...,} S i,j,k Auf keinem Feld befinden sich zwei Zahlen: ( S i,j,k S i,j,k ) i,j {,...,} k,k {,...,}, k k In keiner Zeile, Spalte, Region kommt eine Zahl doppelt vor: für Zeile lautet die Formel wie folgt ( S,j,k S,j,k) j,j {,...,}, j j k {,...,} (Für die restlichen Zeilen und für die Spalten und Regionen ergeben sich analoge Formeln). Barbara König Logik Für die Erzeugung dieser Formel als limboole-formel bietet es sich an, ein Programm zu schreiben, das die (sehr große) Formel in eine Datei schreibt. Die Datei besteht aus ca Zeichen. Anschließend muss nur noch die Situation in einem bestimmten Sudoku-Rätsel dargestellt werden, wie z.b. für das obige Beispiel: S & S & S & S & S & S & S & S & S & S & S & S & S & S & S & S & S & S & S & S & S & S & S & S & S & S & S & S & S & S Die entstehende Formel ist erfüllbar und limboole gibt (trotz der Größe der Formel) ohne erkennbare Zeitverzögerung die Lösung aus. Barbara König Logik