Die folgende Grafik zeigt eine Übergangsmatrix mit zugehörigem Graph: Geben Sie analog zu den folgenden Graphen jeweils eine Transitionsmatrix an.
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- Gretel Melsbach
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1 Stephan Peter Wirtschaftsingenieurwesen SS 2017 Mathematik II Serie 2 Matrizen II Aufgabe 1 Die flgende Grafik zeigt eine Übergangsmatrix mit zugehörigem Graph: a) Geben Sie analg zu den flgenden Graphen jeweils eine Transitinsmatrix an. (a) (b) (c) 1
2 Eine sg. (endliche) zufällige Irrfahrt mit zwei absrbierenden Zuständen (ganz links und ganz rechts). Die Zustände -1, 0 und 1 haben jeweils die gleiche Übergangswahrscheinlichkeit (0,5) zu den Zuständen links und rechts vn ihnen. Auch Altienkurse kann man z.b. durch zufällige Irrfahrten mdellieren! 2
3 b) Geben Sie zu flgenden Übergangsmatrizen entsprechende Graphen an (Beachten Sie, dass die Übergänge vn Spalten zu Zeilen der umgekehrt erflgen können): 0 0,2 0,8 0,5 0 0,5 0,1 0,9 0 c) Zusatz: Versuchen Sie zu all den Matrizen A, die in dieser Aufgabe aufgetaucht sind, Vektren v zu finden, für die gilt: Av = v (bzw. v*a = V, je nachdem, b die Übergänge vn den Spalten zu den Zeilen erflgen der umgekehrt). Aufgabe 2 3
4 Auf einem Markt knkurrieren die Güter A, B und C miteinander. Im Mnat Januar eines Jahres haben die Güter Marktanteile vn 40%, 20% und 10%. Die restlichen 30% der möglichen Käufer haben weder A,B nch C gekauft. Das Verhalten der Käufer (einer Marke treu zu bleiben, überwechseln zu einer anderen Marke der gar nicht kaufen) beim Übergang vn einem Mnat zum nächsten gibt die flgende Tabelle an, wbei die Menge der Nichtkäufer mit X bezeichnet wurde. nach A B C X vn A 60% 10% 10% 20% B 10% 50% 10% 30% C 20% 10% 60% 10% X 40% 20% 10% 30% Bestimmen Sie die Marktanteile und den Anteil der Nichtkäufer für die Mnate Februar, März und April. (Beachten Sie, dass die Übergangsmatrix in der Vrlesung im Vergleich zu biger Tabelle transpniert ist.) Geben Sie einen Graphen mit den Übergangswahrscheinlichkeiten zu biger Tabelle an. Zusatz: Können Sie einen Vektr mit Marktanteilen finden, der ein Gleichgewicht darstellt, d.h. der sich bei Multiplikatin mit der Übergangsmatrix nicht ändert? Aufgabe 3 Ein Betrieb besteht aus zwei Abteilungen A1 und A2, er stellt die Prdukte P1, P2 und P3 her. Für das Prdukt Pj werden vier mögliche Halbfabrikate H1 bis H4 kmbiniert, und zwar entsprechend der nachstehenden Tabelle. Die Tagesprduktin ist zunächst: Tagesprduktin P1 P2 P3 A A Teilbedarf H1 H2 H3 H4 P P P Berechnen Sie den Tagesbedarf der beiden Abteilungen an Halbfabrikaten und interpretieren Sie diese Aktin als Matrixprdukt! Aufgabe 4 Können in dem ersten Beispiel zu dem Unternehmen aus der Vrlesung die Preise der beiden Güter s verringert werden, dass der mnatliche Gewinn auf Null reduziert wird? 4
5 Aufgabe 5 Wettervrhersage (vgl. O. Häggström (2002) Finite Markv Chains and Algrithmic Applicatins. CU Press, Cambridge) Wir betrachten zunächst Reginen, in denen sich typischerweise längere Regenbzw. Trckenperiden abwechseln, wbei Regentage bzw. Snnentage im Mittel etwa gleich ft vrkmmen. Dann ist es relativ einfach, das Wetter des flgenden Tages vrherzusagen, falls dabei nur die beiden,,zustände'',,regen'' bzw.,,snnenschein'' betrachtet werden. Wenn wir annehmen, dass die Prgnse in 75% aller Fälle richtig ist (und zwar unabhängig davn, b es zum gegenwärtigen Tag regnet der die Snne scheint), dann kann die Wettervrhersage durch eine Markv-Kette mit der flgenden Übergangsmatrix mdelliert werden: (7) In Reginen, in denen diese Symmetrie zwischen,,regen'' bzw.,,snnenschein'' nicht vrliegt, sndern Snnentage wesentlich öfter als Regentage vrkmmen, sllte die Wettervrhersage nicht durch die in (7) betrachtete Übergangsmatrix mdelliert werden. In diesem Fall könnte beispielsweise die Übergangsmatrix (8) ein geeignetes Mdell sein. a) Wie grß ist im zweiten Beispiel die WAhrscheinlichkeit, dass auf einen Snnentag ein Regentag flgt? b) Wie grß ist die entsprechende Wahrscheinlichkeit im ersten Beispiel? c) Wie grß ist im zweiten Beispiel die Wahrscheinlichkeit, dass 3 Tage nach einem Snnentag die Snne scheint? d) Geben Sie enstsprechende Graphen zu beiden Beispielen an. e) Finden Sie für beide Beispiele jeweils mindestens einen Vektr v=(a,b), s dass gilt: v*p = v. Zusatz: Was könnten diese Vektren bedeuten? 4/13/2017 6:58 PM 5
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