Rechnerstrukturen WS 2012/13

Transkript

1 Rechnerstrukturen WS 202/3 Boolesche Funktionen und Schaltnetze Repräsentationen boolescher Funktionen (Wiederholung) Normalformen boolescher Funktionen (Wiederholung) Repräsentation boolescher Funktionen mit OBDDs Synthese von OBDDs für boolesche Funktionen Schaltnetze Hinweis: Folien teilweise a. d. Basis von Materialien von Thomas Jansen 23. Oktober 202 Rechnerstrukturen º» Boole. Fkt.

2 Definition 4 Repräsentationen boolescher Funktionen Seien n,m N. Eine Funktion f : B n B m heißt boolesche Funktion. Notation B n = Menge aller n-stelligen Tupel über B Beispiel B 2 = {(0,0),(0,),(,0),(,)} Anzahl boolescher Funktionen boolesche Funktion f : B n B m als Wertetabelle darstellbar mit B n = 2 n Zeilen und B m = 2 m Möglichkeiten je Zeile 2 m2n = 2 m 2n boolesche Funktionen f : B n B m Beispiel 2 22 = 2 4 = 6 boolesche Funktionen f : B 2 B Rechnerstrukturen º» Boole. Fkt. 2

3 Alle booleschen Funktionen f : B 2 B x 0 x 0 y y f Nullfkt. 0 f NOR f AND f 0 Äquiv. f f 0 Negation y f 4 0 Proj. x f 2 f f Negation x f 6 Proj. y f 4 Impl. f 7 0 XOR f 5 0 NAND f 8 OR f 6 Einsfkt. Verwenden im Weiteren (Konjunktion), (Disjunktion), (Negation) Rechnerstrukturen º» Boole. Fkt. 3

4 Darstellung boolescher Funktionen gerade gesehen Wertetabelle (Orientierung meistens wie hier) x y f bei fester Reihenfolge Wertevektor f 7 : (0,,,0) Rechnerstrukturen º» Boole. Fkt. 4

5 Index und Minterm Index x y f nicht einschlägig einschlägig 2 einschlägig 3 0 nicht einschlägig Definition Die boolesche Funktion, für die nur der Index i einschlägig ist, heißt Minterm zum Index i. Ein Minterm ist nur mit Negationen und Konjunktionen darstellbar: { 0 x j x j = x j und dann Konjunktion all dieser Literale ( ˆ= [negierte] Variable) Rechnerstrukturen º» Boole. Fkt. 5

6 Definition 8 Normalformen Die Darstellung von f als Disjunktion all ihrer Minterme zu einschlägigen Indizes heißt disjunktive Normalform (DNF). Die Darstellung von f als XOR-Verknüpfung all ihrer Minterme zu einschlägigen Indizes heißt Ringsummen-Normalform (RNF). Anmerkung Normalformen sind eindeutig. Index x y f 7 Minterm x y Beispiel x y 2 x y 3 0 x y DNF von f 7 x y x y RNF von f 7 x y x y Rechnerstrukturen º» Boole. Fkt. 6

7 Funktionale Vollständigkeit Beobachtung jede boolesche Funktion f : B n B nur mittels Konjunktion, Disjunktion und Negation darstellbar (z.b. durch ihre DNF) Definition 5 Eine Menge F von booleschen Funktionen heißt funktional vollständig, wenn sich jede boolesche Funktion durch Einsetzen und Komposition von Funktionen aus F darstellen lässt. Satz 6 {,, } ist funktional vollständig. Rechnerstrukturen º» Boole. Fkt. 7

8 Darstellungen boolescher Funktionen Wozu stellt man boolesche Funktionen dar? Realisierung Verifikation Fehleranalyse Synthese... Wo stellt man boolesche Funktionen dar? auf dem Papier im Computer Probleme Wertetabelle, Wertevektor immer groß Normalformen oft groß Normalformen unterstützen gewünschte Operationen kaum Wunsch andere Repräsentation Rechnerstrukturen º» Boole. Fkt. 8

9 Eine Datenstruktur für boolesche Funktionen Ziel f : B n B darstellen Wünsche zu einer Belegung,,...,x n schnell den Funktionswert f(,,...,x n ) ausrechnen können Funktionen schnell auf Gleichheit testen können Funktionen schnell manipulieren (z. B. eine Variable konstant setzen) können schnell eine Null-Eingabe/eine Eins-Eingabe finden können Funktionen möglichst klein repräsentieren... Ordered Binary Decision Diagrams Rechnerstrukturen º» Boole. Fkt. 9

10 OBDDs erster Schritt Festlegen einer Variablenordnung π (z.b. π = (,,,x 4 )) dann Baue πobdd aus Knoten x 4 und Kanten oder nach folgenden Regeln: Knoten mit Variablen, 0 oder markiert Kanten mit 0 oder markiert Variablen-Knoten mit je einer ausgehenden 0- und -Kante Konstanten-Knoten ohne ausgehende Kante genau ein Knoten ohne eingehende Kante Kanten zwischen Variablenknoten beachten π Rechnerstrukturen º» Boole. Fkt. 0

11 Variablenordnung π = (,, ) πobdd Ein Beispiel Beispiel Auswertung f(, 0, ) =, = 0, = f(,0,) = Rechnerstrukturen º» Boole. Fkt.

12 πobdd-größe gleichartige Senken verschmelzen 0 0 Rechnerstrukturen º» Boole. Fkt. 2

13 πobdd-größe gleichartige Knoten verschmelzen 0 0 Rechnerstrukturen º» Boole. Fkt. 3

14 πobdd-größe Knoten ohne Einfluss eliminieren 0 0 Rechnerstrukturen º» Boole. Fkt. 4

15 πobdd-größe Knoten ohne Einfluss eliminieren Rechnerstrukturen º» Boole. Fkt. 5

16 πobdd-größe Knoten ohne Einfluss eliminieren 0 Größe minimal Rechnerstrukturen º» Boole. Fkt. 6

17 Alternative Darstellung eines πobdds Rechnerstrukturen º» Boole. Fkt. 7

18 OBDD-Reduzierung Satz 9 Die erschöpfende Anwendung der Verschmelzungsregel Knoten mit gleicher Markierung und gleichen Nachfolgern können verschmolzen werden und Eliminationsregel Ein Knoten mit gleichem Null- und Einsnachfolger kann entfernt werden in beliebiger Reihenfolge führt zum reduzierten πobdd. reduziert = minimale Größe und eindeutig Rechnerstrukturen º» Boole. Fkt. 8

19 Erzeugung von OBDDs Wie kommt man zu einem πobdd? für f : B n B? Kommt darauf an, wie f gegeben ist... Welche Formate kennen wir? Funktionstabelle Wertevektor boolescher Ausdruck Normalformen informale Beschreibung OBDD... Rechnerstrukturen º» Boole. Fkt. 9

20 Man will nicht irgendein πobdd, man will das reduzierte πobdd. Erzeugung von OBDDs Welchen Weg kennen wir, das zu bekommen?. Erstelle vollständigen binären Baum über den Variablen, schreibe passende Funktionswerte an die Senken. 2. Reduziere. Ist das ein vernünftiges Vorgehen? Nur, wenn vollständiger Binärbaum nicht wesentlich größer als Eingabe und reduziertes πobdd! Rechnerstrukturen º» Boole. Fkt. 20

21 πobdd aus vollständigem Binärbaum Variablenordnung π = (,, ) Rechnerstrukturen º» Boole. Fkt. 2

22 Größe von Repräsentationen boolescher Funktionen Wie groß ist ein πobdd für f, das vollständiger Binärbaum ist? Beobachtung i-te Ebene 2 i Knoten also Senken+ n 2 i = Senken+ n 2 i = 2 n +Senken i= i=0 Für welche Eingabeformate ist das also akzeptabel? sicher nur für Wertetabelle und Wertevektor also Vorgehen fast immer nicht akzeptabel Erkenntnis Wir brauchen eine Alternative. Rechnerstrukturen º» Boole. Fkt. 22

23 Schrittweise OBDD-Konstruktion Idee baue πobdd schrittweise aus einfachsten πobdds zusammen klar πobdd für Nullfunktion klar πobdd für Einsfunktion 0 x i klar πobdd für x i klar πobdd für f aus πobdd für f durch Invertierung der Senkenmarkierungen Rechnerstrukturen º» Boole. Fkt. 23

24 OBDD-Synthese πobdd G für f : B n B πobdd G 2 für f 2 : B n B } πobdd G für f f 2 für beliebige boolesche Funktion : B 2 B Wichtig gleiche Variablenordnung π Idee Durchlaufe beide πobdds parallel. Rechnerstrukturen º» Boole. Fkt. 24

25 Ein einfaches Beispiel 0 x 4 x 4 0 x 4 (,) (2,2) (3,3) (4,3) x 4 x 4 x 4 (x 4 x 4 ) (x 4 ) = x 4 Variablenordnung x 4,,, boolesche Verknüpfung Rechnerstrukturen º» Boole. Fkt. 25

26 πobdd-synthese πobdd G für f : B n } B πobdd G 2 für f 2 : B n πobdd G B für f f 2 für beliebige boolesche Funktion : B 2 B G hat Knoten v,v 2,...,v s. G 2 hat Knoten w,w 2,...,w s2. Wir starten in Wurzeln v und w. Mit dem aktuellen Knotenpaar machen wir einen Synthese-Schritt. Ergebnis des Synthese-Schritts: Knoten des Ergebnis-πOBDD. Rechnerstrukturen º» Boole. Fkt. 26

27 Ein Synthese-Schritt aktuelle Knoten v i,w j v i hat Markierung m i {,,...,x n,0,} w j hat Markierung m j {,,...,x n,0,} Falls m i / {0,} v i,0 ist Nullnachfolger von v i v i, ist Einsnachfolger von v i Falls m j / {0,} w j,0 ist Nullnachfolger von w j w j, ist Einsnachfolger von w j Wir unterscheiden mehrere Fälle nach den Markierungen m i und m j. Rechnerstrukturen º» Boole. Fkt. 27

28 . Fall: gleiche Variable m i = m j = x k Erzeuge Knoten (v i,w j ) mit Markierung x k. Nullnachfolger der von Synthese-Schritt(v i,0,w j,0 ) erzeugte Knoten Einsnachfolger der von Synthese-Schritt(v i,,w j, ) erzeugte Knoten Rechnerstrukturen º» Boole. Fkt. 28

29 2. Fall: verschiedene Variable m i = x k, m j = x k, x k vor x k Erzeuge Knoten (v i,w j ) mit Markierung x k. Nullnachfolger der von Synthese-Schritt(v i,0,w j ) erzeugte Knoten Einsnachfolger der von Synthese-Schritt(v i,,w j ) erzeugte Knoten Rechnerstrukturen º» Boole. Fkt. 29

30 3. Fall: verschiedene Variable m i = x k, m j = x k, x k hinter x k Erzeuge Knoten (v i,w j ) mit Markierung x k. Nullnachfolger der von Synthese-Schritt(v i,w j,0 ) erzeugte Knoten Einsnachfolger der von Synthese-Schritt(v i,w j, ) erzeugte Knoten Rechnerstrukturen º» Boole. Fkt. 30

31 4. Fall: eine Variable, eine Senke m i = x k, m j {0,} Idee Konstante liegen in der Variablenordnung ganz hinten Erzeuge Knoten (v i,w j ) mit Markierung x k. Nullnachfolger der von Synthese-Schritt(v i,0,w j ) erzeugte Knoten Einsnachfolger der von Synthese-Schritt(v i,,w j ) erzeugte Knoten Rechnerstrukturen º» Boole. Fkt. 3

32 5. Fall: eine Variable, eine Senke m i {0,}, m j = x k Erzeuge Knoten (v i,w j ) mit Markierung x k. Nullnachfolger der von Synthese-Schritt(v i,w j,0 ) erzeugte Knoten Einsnachfolger der von Synthese-Schritt(v i,w j, ) erzeugte Knoten Rechnerstrukturen º» Boole. Fkt. 32

33 6. Fall: zwei Senken m i {0,}, m j {0,} Erzeuge mit m i m j markierte Senke. Zusammenfassung zum Merken. Erzeuge Knoten mit weiter vorne liegender Markierung. 2. Wenn beide Knoten mit gleicher Variabler markiert, aus beiden Knoten fortschreiten. 3. Bei ungleicher Variablenmarkierung, nur aus weiter vorne liegenden Knoten fortschreiten, im anderen Knoten warten. 4. Abbruch, wenn in beiden Knoten Senken erreicht. Rechnerstrukturen º» Boole. Fkt. 33

34 Noch ein Beispiel 0 (,) (2,) (2,2) (3,2) 0 (2,3) (3,3) 0 0 (3,) Variablenordnung, boolesche Verknüpfung Rechnerstrukturen º» Boole. Fkt. 34

35 Größenzuwachs bei Synthese Wie groß wird das neue πobdd? Beobachtung für je zwei Knoten höchstens ein neuer Knoten also aus πobdds mit s und s 2 Knoten neues πobdd mit s s 2 Knoten Beobachtungen Ergebnis-πOBDD in der Regel nicht reduziert Größe s s 2 manchmal erforderlich (ohne Senken) Rechnerstrukturen º» Boole. Fkt. 35

36 Operationen auf OBDDs Erinnerung OBDDs unterstützen viele wichtige Operationen. Reduzierung 2. Synthese 3. Auswertung 4. Konstantsetzung x i = c OBDD durchlaufen Vorgänger jedes xi -Knotens auf c-nachfolger des x i -Knotens umsetzen 5. Gleichheitstest Voraussetzung gleiche Variablenordnung π beide reduzierte πobdds ab der Quelle parallel durchlaufen bei ungleicher Markierung ungleich rekursiv für Null- und Einsnachfolger Rechnerstrukturen º» Boole. Fkt. 36

37 Operationen auf OBDDs (Fortsetzung) Erinnerung OBDDs unterstützen viele wichtige Operationen 6. Null-/Einseingabe finden mit OBDD-Durchlauf Vorgänger-Zeiger berechnen von passender Senke Aufstieg bis zur Quelle, dabei Belegung merken 7. Null-/Einseingaben zählen Beobachtung über Quelle laufen alle 2 n Eingaben Beobachtung jede Knoten halbiert Anzahl Eingaben und leitet Hälften jeweils über 0- und -Nachfolger OBDD von der Quelle durchlaufen an jedem Knoten Anzahl Eingaben notieren bei mehrfach erreichten Knoten Anzahlen addieren Summe an der passenden Senke ablesen (für reduziertes πobdd) Rechnerstrukturen º» Boole. Fkt. 37

38 Schaltnetze bis jetzt Diskussion (theoretischer) Grundlagen Wo bleibt die Hardware? kommt jetzt aber immer noch abstrakt Wunsch Realisierung boolescher Funktionen in Hardware klar brauchen Realisierung einer funktional-vollständigen Menge boolescher Funktionen Erinnerung Realisierung von NAND reicht aus +V x y Beobachtung x realisiert NAND(x, y) y Rechnerstrukturen º» Boole. Fkt. 38

39 Gatter Realisierung mit Transistoren... falsche Ebene! Grundlage hier einfache logische Bausteine (Gatter) Bausteine für Negation, Konjunktion, Disjunktion,... Spielregeln Eingänge mit Variablen oder Konstanten belegt nur Verbindungen von Ausgängen zu Eingängen keine Kreise Ergebnis heißt Schaltnetz Rechnerstrukturen º» Boole. Fkt. 39

40 Symbole für Gatter () Funktion DIN DIN EN 6067 IEEE y = x x y y x y x y = y & y y y = y & y y Rechnerstrukturen º» Boole. Fkt. 40

41 Symbole für Gatter (2) Funktion DIN DIN EN 6067 IEEE x y = y > y y y = > y y y y = y = y y y y x Rechnerstrukturen º» Boole. Fkt. 2 4 y = y

42 Schaltnetz-Bewertung Und jetzt beliebige Schaltnetze entwerfen? mindestens relevant Größe und Geschwindigkeit Schaltnetzgröße (= Anzahl der Gatter) wegen Kosten, Stromverbrauch, Verlustleistung, Zuverlässigkeit,... Schaltnetztiefe (= Länge längster Weg Eingang Ausgang) wegen Schaltgeschwindigkeit Fan-In (= max. Anzahl eingehender Kanten) wegen Realisierungsaufwand Fan-Out (= max. Anzahl ausgehender Kanten) wegen Realisierungsaufwand... (z. B. Anzahl Gattertypen, Testbarkeit, Verifizierbarkeit) Rechnerstrukturen º» Boole. Fkt. 42

43 Was wir schon wissen Jede boolesche Funktion kann mit einem {,, }- bzw. einem {,, }-Schaltnetz der Tiefe 3 realisiert werden. Beweis DNF, KNF oder RNF direkt umsetzen Probleme Fan-In des tiefsten Gatters kann extrem groß sein Größe des Schaltnetzes oft inakzeptabel Rechnerstrukturen º» Boole. Fkt. 43

44 Beispiel: DNF f bsp : B 3 B, Wertevektor (,0,0,0,,,,) f(,, ) = & & & > f bsp & & x 3 Rechnerstrukturen º» Boole. Fkt. 44

45 Beispiel: RNF f bsp : B 3 B, Wertevektor (,0,0,0,,,,) f(,, ) = & & & = f bsp & & Rechnerstrukturen º» Boole. Fkt. 45

46 Beispiel: KNF f bsp : B 3 B, Wertevektor (,0,0,0,,,,) f(,, ) = ( ) ( ) ( ) > > & f bsp > Rechnerstrukturen º» Boole. Fkt. 46

47 eine weitere Beispielfunktion... Multiplexer aber eine in der Praxis sehr wichtige diesmal! MUX d ( y,y 2,...,y d,x 0,,..., d ) = x(y y 2 y d ) 2 Beispiel y y 2 y 3 MUX 3 (y,y 2,y 3,x 0,,...,x 7 ) x x 4 x 5 0 x 6 x 7 Rechnerstrukturen º» Boole. Fkt. 47

48 Multiplexer Warum ist MUX in der Praxis wichtig? direkte Speicheradressierung OBDD-Realisierung Welche Variablenordnung π? wohl sinnvoll Adressvariablen zuerst denn Wir müssen uns sonst alle Datenvariablen merken! Rechnerstrukturen º» Boole. Fkt. 48

49 OBDD-Realisierung MUX 3 Variablenordnung π = (y,y 2,y 3,x 0,,,,x 4,x 5,x 6,x 7 ) y y 2 y 2 y 3 y 3 y 3 y 3 x 0 x 4 x 5 x 6 x 7 jeweils x i realisieren x i Rechnerstrukturen º» Boole. Fkt. 49

50 Einfluss von π auf OBDD-Größe Beispiel MUX d gesehen Variablenordnung π = (y,y 2,...,y d,x 0,,..., d ) Größe des reduzierten πobdds? oben vollständiger Binärbaum über y,y 2,...,y d d = 2 d Knoten unten je ein x i -Knoten und zwei Senken 2 d +2 Knoten zusammen 2 d +2 d +2 = 2 d+ + Knoten Rechnerstrukturen º» Boole. Fkt. 50

51 Einfluss von π auf OBDD-Größe Beispiel MUX d gesehen Variablenordnung π = (y,y 2,...,y d,x 0,,..., d ) Größe des reduzierten πobdd 2 d+ + Betrachte Variablenordnung π = (x 0,,..., d,y,y 2,...,y d ) Größe des reduzierten πobdds? Behauptung x x {0,} 2d : nach Lesen von x bzw. x verschiedene Knoten erreicht Beweis durch Widerspruch Rechnerstrukturen º» Boole. Fkt. 5

52 Widerspruchsbeweis zur OBDD-Größe Behauptung x x {0,} 2d : nach Lesen von x bzw. x verschiedene Knoten erreicht Annahme für x x {0,} 2d gleiche Knoten v erreicht Betrachte i = min{j x j x j } Betrachte y,y 2,...,y d mit (y y 2 y d ) 2 = i Beobachtung MUX d (y,y 2,...,y d,x) = x i x i = MUX d (y,y 2,...,y d,x ) aber OBDD berechnet gleichen Wert, da gleicher Knoten erreicht also minimales OBDD für π = (x 0,,..., d,y,y 2,...,y d ) hat Größe mindestens 2 2d (Binärbaum d. Tiefe 2 d ) d min. OBDD-Größe π = (d,x) min. OBDD-Größe π = (x,d) , Rechnerstrukturen º» Boole. Fkt. 52

53 Schaltnetz für MUX 3 x 0 & & & & x 4 & > MUX 3 x 5 & x 6 & x 7 & y y 2 y 3 Rechnerstrukturen º» Boole. Fkt. 53