Übungen Theoretische Physik I (Mechanik) Blatt 7 (Austeilung am: , Abgabe am )

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Joachim Winter
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1 Übungen Theoretische Physik I (Mechanik) Blatt 7 (Austeilung am: , Abgabe am ) Beispiel 1: Stoß in der Ebene [3 Punkte] Betrachten Sie den elastischen Stoß dreier Billiardkugeln A, B und C mit jeweils der Masse in der Ebene. Vor dem Stoß bewege sich die Kugel A mit der Geschwindigkeit =5m/s auf die anderen Kugeln B und C zu, welche vor dem Stoß ruhen. Nach der Kollision bewegen sich die Kugeln in die Richtungen, die in der Skizze angedeutet sind. Berechnen Sie den Betrag der Geschwindigkeiten aller drei Kugeln nach dem Stoß. Lösung: Die Impulserhaltung liefert: = + + In Komponenten ausgedrückt: B A cos 3 = y-richtung (1) C + A sin 3 = =5m/s x-richtung () Bei elastischen Stößen kann man von der Energieerhaltung in der folgenden Form Gebrauch machen: nach kin = 1 A + B + C = kin vor = 1 (3) Hiermit haben wir ein nichtlineares System (1-3) von drei Gleichungen für drei Unbekannte. Quadriert man jeweils die beiden Gleichungen (1) und (), addiert sie danach und subtrahiert man schließlich die Energieerhaltung (3), so bekommt man A ( C sin 3 B cos 3 )=,also C = B cot 3 (4) für A 6=. Diese Gleichung zusammen mit den beiden Gleichungen der Impulserhaltung bildet nun ein lineares Gleichungssystem dreier Gleichungen für drei Unbekannte. Damit ist die Aufgabe elementar 1

2 lösbar und man erhält Beispiel : A = sin 3 = =5 3 B = sin 3 cos 3 = 4 = C = cos 3 3 = 4 = 15 =375 4 förmige Bewegung mit Reibung [3 Punkte] EinTeilchenderMasse bewege sich entlang einer ebenen, kreisförmigen Bahn mit Radius entgegen dem Uhrzeigersinn. In einem Viertel des es, nämlich im bogen (3 ) erfährt das Teilchen eine konstante Reibungskraft =, die seine Geschwindigkeit reduziert. Das Teilchen startet seine Bewegung zum eitpunkt =bei = und =mit der Anfangsgeschwindigkeit =, es wirken keine äußeren Kräfte auf den Massenpunkt ein. Wie groß ist der Radius des es, wenn das Teilchen nach genau drei Umdrehungen zum Stillstand kommt? Hilfe: Benutzen Sie die Definition der kinetischen Energie über die Arbeit. Welchen Beitrag liefert die wangskraft? Lösung: Für die Reibungskraft gilt hier: Die Gesamtenergie zum eitpunkt =ist Reib = () ½ if [ 3) () = if [3 ) kin ( )=

3 und dann für 6= : = ges d = d d d = 1 = kin () kin ( )= d + d () Reib d wobei R d =für Kräfte, die wangsbedingungen für bahnen d entsprechen. Kommt das Teilchen nach exakt Umdrehungen zum Stillstand, so gilt kin ( )=, und somit kin ( )= Umdrehungen = X 3 Reib d = d = = Insbesondere gilt für drei Umdrehungen =3somit = 3. Beispiel 3: ( () )( d ) = Schiefer Turm von Pisa [5 Punkte] Vom höchstmöglichen Punkt des schiefen Turms von Pisa werde ein Stein der Masse fallengelassen. Wegen der Erdrotation erreicht der Stein den Boden mit einem kleinen Versatz im Vergleich zu einer vertikalen Linie im rotierenden Bezugssystem der Erde. Berechnen Sie den Versatz unter der Annahme einer Turmhöhe von = 16 m und einer geographischen Breite für Pisa von =5. Hilfe: Verwenden Sie die Bewegungsgleichung in rotierenden Bezugssystemen mit der Gravitation und vernachlässigen Sie die entrifugalkraft. Machen Sie einen Ansatz r () =r ()+u (), wobeir () die Lösung für den nichtrotierenden Grenzfall darstellt. Vernachlässigen Sie Terme, die quadratische oder höhere Potenzen von enthalten und lösen Sie die Bewegungsgleichung. 3

4 Lösung: Die Bewegungsgleichung im rotierenden Bezugssystem ohne äußere Kräfte ist d r µˆ d = dr r d Die Winkelgeschwindigkeit für die Erddrehung ist =(1) Hz. Daher reichen Terme von erster Ordnung in aus und wir können die höheren Terme in vernachlässigen. Wir vernachlässigen daher die entrifugalkraft und berücksichtigen nun die Gravitationskraft: d r d = Für die Lösung machen wir den folgenen Ansatz µˆ dr d wobei sich r () auf die Lösung für =reduziert: r () = µ 1 e Wir setzen (6) in die Bewegungsgleichung (5) ein und erhalten: d d r ()+u () = e + d d u = e (5) r () =r ()+u () (6) d d u ' ˆ e Weil die Rotationsachse ˆ parallel zur Erdachse ist, gilt ˆ e =cos()e wobei e der nach Osten zeigende Tangentialeinheitsvektor ist. Somit haben wir für die Bewegungsgleichung Durch Integration bekommen wir dann Mit der Gesamtfallzeit erhalten wir schließlich µ ˆ d r d ()+u () e µ ˆ e + d d u () e d d u = cos()e u () = cos()e = 1 = = cos() = 3 s p cos() Mit der Gesamtturmhöhe von = 16 m und der geographischen Breite von Pisa =5 ergibt sich somit ein Versatz von 9 cm. 4

5 Beispiel 4: Stange gleitet Wand hinab [4 Punkte] Eine Masse sei genau in der Mitte einer masselosen Stange der Länge fest angebracht. Dieses Gebilde lehne reibungsfrei an einer Wand und gleite wegen der Gravitationskraft, die auf wirkt an ihr hinab. Die Stange bleibt zu jeder eit mit der Wand in Berührung. (a) Formulieren Sie die geometrische wangsbedingung für die Bewegung der Masse und konstruieren Sie einen formalen Ausdruck für die wangskraft. (b) Bestimmen Sie die Geschwindigkeit der Masse als Funktion ihrer Position (z.b. ). (c) Berechnen Sie die wangskraft konkret und interpretieren Sie die auftretenden Terme. Hilfe: Drücken Sie die wangsbedingung =in Polarkoordinaten aus. bestimmen Sie den Parameter in der wangskraft aus zweimaliger Differenziation der wangsbedingung, also d d = Lösung: Die Bewegung der Masse ist beschränkt auf den Bereich = sin =( )cos Somit ist ³ µ ( ) = + 1= Hier ist = - die Masse befindet sich in der Mitte der Stange: ( ) = + = in Polarkoordinaten : ( ) == Wir machen einen Ansatz für die wangskraft gemäß = und bekommen µ = = + 1 = 5

6 Das führt auf die folgenden Bewegungsgleichungen: : : = sin + + = cos bekommen wir aus: d d = + =, setzen aus der radialen Bewegungsgl. ein, µ + sin + = = + sin Damit können wir die Bewegungsgleichungen lösen: = sin + + sin + = d d ist trivial erfüllt wenn die Bewegung auf S beschränkt ist, also () =. Weiter gilt: : + = cos ; () = () = = cos = cos d = d d d sin = sin + Anfangsbed.: () = ; () = = sin r = (sin sin ) 1 () = = p (sin sin ) 1 Damit bekommt man schließlich für die wangskraft = = + sin = + sin Beispiel 5: = (3 sin sin ) : für die bahn nötige entripetalkraft, sin : Komponente der Gravitationskraft in zentripetaler Richtung. Flaschenzug & wangskräfte [3 Punkte] Die Masse 1 hänge an dem einen Ende einer masselosen Schnur, welche über einen fixierten, reibungsfreien und nichtrotierenden Flaschenzug geführt worden sei. Am anderen Ende der Schnur hänge die Masse. Schreiben Sie die newtonschen Bewegungsgleichungen in der Form ẍ = + worin für die äußere Kraft auf die Masse ( = 1 ) durch die Gravitation und für die wangskraft stehen soll. Bestimmen Sie die wangskraft für beide Massen (ohne Verwendung des Lagrange-Formalismus). Hilfe: Bestimmen Sie die wangskraft aus zweimaliger Differenziation der wangsbdingung nach der eit. 6

7 Lösung: Geometrische wangsbedingung: ( 1 )= = Ansatz über die wangskräfte: Bewegungsgleichungen: = = = 1 = = + d Aus d = 1 + = 1 = und somit + 1 = + = wangskräfte: = = = µ 1 1 = = = 1 = =

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