Kommentiertes Musterprotokoll zum Versuch. g-bestimmung mit Hilfe des freien Falls und der Atwoodschen Fallmaschine

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1 Grundlagenlabor Physik Kommentiertes Musterprotokoll zum Versuch g-bestimmung mit Hilfe des freien Falls und der Atwoodschen Fallmaschine Sophie Kröger und Andreas Bartelt SoSe 2017 Dozent/in... Studiengang:... Gruppe:... Wochentag:... Versuch durchgeführt am:

2 Kommentar: Absichtliches Fälschen von Daten oder das Kopieren von Daten anderer Laborgruppen verstößt gegen den Kodex guter wissenschaftlicher Praxis. Es handelt sich hierbei um Betrug. Bei Verstoß muss das Labor wiederholt werden. 1. Zielstellung In diesem Versuch sollen mit zwei verschiedenen Fallexperimenten, einem Versuchsaufbau zum freien Fall und einer Atwoodschen Fallmaschine, die Erdbeschleunigung g bestimmt und die Messgenauigkeiten der beiden Experimente verglichen werden. 2. Messungen 2.1. Freier Fall In dem Experiment wurde eine Stahlkugel fallen gelassen. Ein Elektromagnet löste die Fallbewegung aus. Am Ende der einstellbaren Fallstrecke befand sich ein Detektor, der das Auftreffen der Stahlkugel registrierte 1. Gemessen wurde die Fallzeit 2 t der Stahlkugel in Abhängigkeit von der zurückgelegten Fallstrecke s. Dabei wurde nicht die Gesamtstrecke s, sondern die Verschiebung Δx eingestellt 3 : s = s 0 + Δx (1) Die anfängliche Position s 0 (offset) entspricht Δx = 0 und war zunächst nicht bekannt. Messmittel: Der Wert der Verschiebung Δx wurde mittels eines Stahlmaßstabs abgelesen. Die Zeitmessung erfolgte mit einer elektronischen Stoppuhr. Der Elektromagnet lieferte das Startsignal und der Detektor das Stoppsignal. Systematische Fehler und zufällige Fehler der Positions- und Zeitmessung werden im Falle der linearen Regressionsanalyse vernachlässigt 4. Die Messwerte 1 Kommentar: An dieser Stelle eine kurze und präzise Darstellung des Experiments (wenige Sätze). Keine langen Abhandlungen oder Wiederholungen dessen, was in der Laboranleitung dargestellt wurde. 2 Kommentar: Alle physikalischen Größen und Symbole müssen im Text definiert und einheitlich verwendet werden. Physikalische Symbole werden kursiv und deren Einheiten nicht kursiv geschrieben. 3 Kommentar: Alle Gleichungen, auf die im Text Bezug genommen wird, müssen fortlaufend nummeriert werden. 4 Kommentar: Für viele Auswertungen müssen die zufälligen und systematischen Fehler der Orts- und Zeitmessung bestimmt werden. Geht der Messwert direkt in eine Auswertung ein, würde der zufällige Fehler als Ablesefehler des Stahlmaßstabs u z = 1 mm und als Ablesefehler der Stoppuhr u z = 1 ms betragen. Erfolgt die Analyse über die Mittelwertbildung, ergeben sich die zufälligen Fehler aus den Standardabweichungen. Der systematische Fehler der Positionsmessung beträgt u s = 0,05 mm L (L: gemessene Länge). Der systematische Fehler der Zeitmessung beträgt u s = 1 ms. 2

3 der Verschiebungen Δx i und der zugehörigen Zeitspannen t i zwischen Start- und Stoppsignal sind in Tabelle 1 aufgeführt 5. Tabelle 1: Falldauer t in Abhängigkeit von der Verschiebung Δx im freien Fall x/cc 0,0 5,0 10,0 15,0 20,0 25,0 30,0 35,0 40,0 45,0 50,0 55, t/mm Atwoodsche Fallmaschine Bei der Atwoodschen Fallmaschine sind die Massen m 1 + m 2 über eine Schnur und Rollen mit der Masse m 3 verbunden 6. Die Massen m 1 und m 2 sind gleich. Wie beim Versuch zum freien Fall wurde die Laufzeit als Funktion der einstellbaren Strecke mit einer Stoppuhr gemessen. Start- und Stoppsignal lieferten der Elektromagnet und die positionierbare Lichtschranke. Die zurückgelegte Gesamtstrecke s ließ sich einstellen, indem die Position der Lichtschranke um Δx verschoben wurde: s = s 0 + Δx Die anfängliche Position s 0 (offset) entspricht Δx = 0 und war zunächst nicht bekannt. Messmittel: Die Verschiebungen Δx i wurden mittels eines Stahlmaßstabs eingestellt. Die Messung der Zeitspannen t i, die die Massen zum Zurücklegen der verschiedenen Strecken s i benötigen, erfolgte mit einer elektronischen Stoppuhr. Die Massen m 1 und m 2 wurden mit einer Feinwaage gemessen. Folgende Größen wurden gemessen: Große Massen m 1 = m 3 = 750,0 g Ablesefehler u z = 0,1 g systematischer Fehler u s = 0,1 g Gesamtfehler u g (m 1 ) = u z + u s = 0,2 g Messergebnis m 1 = (750,0 ± 0,2) g Kleine Masse m 2 = 120,5 g Ablesefehler u z = 0,1 g systematischer Fehler u s = 0,1 g Gesamtfehler u g (m 2 ) = u z + u s = 0,2 g Messergebnis m 2 = (120,5 ± 0,2) g 5 Kommentar: Jede Tabelle sollte mit einer Tabellenüberschrift versehen werden und im Text sollte auf jede Tabelle verwiesen werden. Die Daten in der Tabelle sollten auch als Diagramm dargestellt werden. Bei längeren Messreihen sollten aus Gründen der besseren Lesbarkeit die Messdaten nicht im Protokoll aufgeführt werden. Dann genügen eine graphische Darstellung der Messwerte sowie der Verweis auf das Messprotokoll bzw. das beigefügte Excel-Datenblatt. 6 Kommentar: Gegebenenfalls kann eine Skizze diesen Text ersetzen oder ergänzen. 3

4 Die Positionen der Lichtschranke Δx i und die gehörigen Zeitspannen t i zwischen Start- und Stoppsignal sind in Tabelle 2 aufgeführt. Systematische Fehler und Ablesefehler (zufällige Fehler) der Positions- und Zeitmessung werden im Falle der linearen Regressionsanalyse vernachlässigt 7. Tabelle 2: Messreihe Falldauer t in Abhängigkeit von der Verschiebung Δx in der Atwoodschen Fallmaschine. 8 x/cc 97,0 92,0 87,0 82,0 77,0 72,0 67,0 62,0 57,0 52,0 47,0 42,0 t/s 2,321 2,293 2,265 2,228 2,204 2,170 2,127 2,096 2,063 2,026 1,989 1, Auswertung 3.1. Freier Fall Der Zusammenhang von Fallzeit und Fallhöhe wird beschreiben durch die Gleichung (s 0 + x) = 1 2 g t2 Daraus folgt t 2 = 2 g x + 2 s 0 g Diese Beziehung zwischen t 2 und x hat die Form der Geradengleichung f(x) = b x + a, wobei b die Steigung und a der y-achsenabschnitt sind. Tragen wir t 2 als Funktion von x in einem Diagramm auf, können Steigung und Achsenabschnitt aus der Ausgleichsgeraden graphisch visualisiert werden. Mithilfe einer linearen Regressionsanalyse [1] können Steigung b = 2 g und Achsenabschnitt a = 2 s 0 g sowie deren Ungenauigkeiten (zufällige Fehler) u a und u b quantitativ ermittelt werden. 9 Die lineare Regressionsanalyse der Messdaten wurde mit Excel durchgeführt (siehe angehängtes Excel-Blatt). Die systematischen Fehler der Größen a und b werden im Falle der linearen Regressionsanalyse vernachlässigt. Die Messdaten inklusive Ausgleichsgerade sind in Abbildung 1 dargestellt Kommentar: siehe Fußnote 4. 8 Siehe Fußnote 1. 9 Kommentar: a = 1 ( x D i 2 y 2 i x i x i y i ), u a = x2 s y, b = 1 (n x D iy i x i y i ), u b = n D s y, D = n x i 2 ( x i ) 2, s y = (y i f(x i )) 2 (n 2) Laborprotokoll nicht wiederholt werden) 10 Kommentar: In den Abbildungen sollten Symbole und Schrift ausreichend groß sein. Achten Sie auch darauf, nur den relevanten Ausschnitt darzustellen. 4 D (Formeln siehe [1]; diese Formeln müssen im

5 t ² in s² x in m Abbildung 1: Quadrierte Falldauer als Funktion der Verschiebung beim freien Fall. Die Ausgleichsgerade wurde mittels linearer Regression ermittelt. Die Ergebnisse der Regressionsanalyse finden sich in Tabelle 3. Größe Wert Absoluter Fehler Relativer Fehler Steigung b 0, s²/m u b = 0,000309s²/m u b = 0,15 % Achsenabschnitt a 0, s² u a = 0, m u a = 8,39 % Tabelle 3: Ergebnisse der linearen Regressionsanalyse für den freien Fall Erdbeschleunigung g Aus der Steigung b = 2 g kann die gesuchte Erdbeschleunigung g berechnet werden: g = 2 b = 9, m s 2 Da es sich bei der Berechnung von g um die einfache Division durch die fehlerbehaftete Größe b handelt, ist der relative Fehler von g gleich dem relativen Fehler von b: 11 u g = u b = 0,15 % u g = g u g = 0, m s 2 0,015 m s 2 11 Kommentar: die 2 ist eine exakte Zahl und hat keinen Fehler. 5

6 Endergebnis 12 : Erdbeschleunigung g = (9,803 ± 0,015) m s 2 = 9,803 m s 2 ± 0,15% Anfangsposition s 0 Aus dem Achsenabschnitt a und der Steigung b ergeben sich die anfängliche Position s 0 = a b = 0, m der relative Fehler 13 u s0 = u a + u b = 8,54 % 9 % der absolute Fehler u s0 = s 0 u s0 = 0, m 0,0854 = 0, m 0,0007 m Endergebnis: Anfangsposition s 0 = (8,5 ± 0,7) mm = 8,5 mm ± 9 % 3.2. Atwoodsche Fallmaschine In der Atwoodschen Fallmaschine ändert sich die Fallhöhe der Massen gemäß (s 0 + x) = 1 2 a t2. Daraus folgt t 2 = 2 a x + 2 s 0 a Die Bewegungsgleichung für die Atwoodsche Fallmaschine (2 m 1 + m 2 ) a = m 2 g wird nach der Beschleunigung a aufgelöst und in die obere Gleichung eingesetzt: t 2 = 2 g (2m 1 + m 2 m 2 ) x + 2 g (2m 1 + m 2 m 2 )s 0 Dabei sind m 1 die große Masse und m 2 die kleine Zusatzmasse. Es liegt wiederum eine Geradengleichung mit der Steigung b = 2 g (2m 1+m 2 ) sowie dem m 2 Achsenabschnitt a = 2 g (2m 1+m 2 )s m 0 vor (Vorsicht: nicht zu verwechseln mit der 2 Beschleunigung a), die mithilfe der linearen Regression aus den Messdaten ermittelt werden können. 12 Kommentar: Sinnvoll gerundet gemäß der durch den Fehler bestimmten Signifikanz. 13 Da die Anfangsposition s 0 der Quotient der beiden fehlerbehafteten Größen a und b ist, errechnet sich der relative Fehler der Anfangsposition u s0 als Summe der relativen Fehler von a und b. 6

7 Die Auswertung der Daten erfolgt wieder mit Excel. Das Ergebnis der linearen Regression ist graphisch in Abbildung 2 dargestellt: t 2 in s x in cm Abbildung 2: Quadrierte Falldauer als Funktion der Änderung der Fallhöhe x in der Atwoodschen Fallmaschine. Die Ausgleichsgerade wurde mittels linearer Regression ermittelt. Die Ergebnisse der linearen Regressionsanalyse finden sich in Tabelle 4. Größe Wert Absoluter Fehler Relativer Fehler Steigung b 2, s²/m u b = 0,0259 s²/m u b = 0,90 % Achsenabschnitt a 2, s² u a = 0,0185 m u a = 0,71 % Tabelle 4: Steigung und Achsenabschnitt für die Atwoodsche Fallmaschine als Ergebnisse der linearen Regressionsanalyse Erdbeschleunigung g Mithilfe der Steigung berechnet sich die Erdbeschleunigung g zu: g = 2 b 2m 1 + m 2 m 2 = 9,33884 m s 2 Da g das Produkt der drei fehlerbehafteten Größen b, m 1 und m 2 ist, wird der absolute Fehler von g durch Anwendung der Fehlerfortpflanzung ermittelt: u g = u b + m 1 u m1 + m 2 u m2 = 2 b 2 2m 1 + m 2 m 2 4 u b + u b m m1 + 4 m b m u m 2 2 = 0, m s 2 + 0, m s 2 + 0, m s 2 = 0,10 m s 2 Dabei war u b = 0,0259 s²/m, u m1 = 0,2 g und u m2 = 0,2 g. 7

8 Der relative Fehler beträgt u g = u g g = 1,08 % Endergebnis: g = (9,34 ± 0,10) m s 2 = 9,34 m s 2 ± 1,1 % Anfangsposition s 0 Aus dem Achsenabschnitt a und der Steigung b ergeben sich die anfängliche Position s 0 = a b = 0,90699 m der relative Fehler 14 u s0 = u a + u b = 0,9 % + 0,71 % = 1,61 % 1,6 % der absolute Fehler u s0 = s 0 u s0 = 0,9069 m 0,0161 = 0,01460 m 0,015 m Endergebnis: s 0 = (90,7 ± 1,5) cm = 90,7 cm ± 1,6 % 4. Ergebniszusammenfassung Freier Fall Erdbeschleunigung g = (9,803 ± 0,015) m = 9,803 m ± 0,15% s 2 s 2 Anfangsposition s 0 = (8,5 ± 0,7) mm = 8,5 mm ± 9 % Atwoodsche Fallmaschine Erdbeschleunigung g = (9,34 ± 0,10) m s 2 = 9,34 m s 2 ± 1,1 % Anfangsposition s 0 = (90,7 ± 1,5) cm = 90,7 cm ± 1,6 % 14 Da die Anfangsposition s 0 der Quotient der beiden fehlerbehafteten Größen a und b ist, errechnet sich der relative Fehler der Anfangsposition u s0 als Summe der relativen Fehler von a und b. 8

9 5. Bewertung der Ergebnisse Das Ergebnis der Erdbeschleunigung g aus dem Experiment zum freien Fall stimmt innerhalb der Fehlergrenzen mit dem Literaturwert von (9, m/s 2 ± 0,000000x) m/s² [2] überein. Demgegenüber weicht das Ergebnis der Erdbeschleunigung g mittels der Atwoodschen Fallmaschine deutlich vom Literaturwert ab. Ein Vergleich der Fehlergrenzen zeigt, dass die Fehlergrenze bei der Bestimmung von g mit der Atwoodschen Fallmaschine deutlich größer ist als die im Experiment zum freien Fall. Trotz der größeren Fehlergrenzen liegt der Literaturwert nicht innerhalb des Vertrauensbereichs der Messung mit der Atwoodschen Fallmaschine. Die Abweichung zum Literaturwert ist mit 9,81 m 9,34 m = 0,47 m nahezu s 2 s 2 s 2 fünfmal größer als die Fehlergrenzen. Als Grund für die Abweichung kann angenommen werden, dass bei der Atwoodschen Fallmachine die Reibung der Schnur sowie das Trägheitsmoment der mitdrehenden Umlenkrollen signifikante Einflüsse ausüben, die im Modell nicht mitberücksichtigt wurden. Die großen Fehlergrenzen des Experiments mit der Atwoodschen Fallmaschine ergeben sich daraus, dass hier im Gegensatz zum freien Fall nicht nur die Ungenauigkeit der Steigung, sondern auch die Ungenauigkeiten der Massenbestimmungen berücksichtigt werden. Des Weiteren hat die Steigung bei diesem Experiment mit 0,9 % einen größeren relativen Fehler als beim freien Fall mit 0,15 %. 15 Die hohen Zeitauflösungen heutiger Zeitmessungen ermöglichen, dass das Experiment zum freien Fall die besseren Ergebnisse liefert. Zu Zeiten, als die Adwoodsche Fallmaschine erfunden wurde, war eine so präzise Zeitmessung mittels schneller Detektoren und elektronischen Stoppuhren nicht möglich. Daher stellte die Atwoodsche Fallmaschine für die damalige Zeit eine gute Messmethode der Erdbeschleunigung dar. 16 Die Werte für die Anfangspositionen s 0 erscheinen in beiden Fällen realistisch und passend zum jeweiligen Messaufbau. 6. Quellen- und Literaturverzeichnis 17 [1] Arbeitsblätter zur Fehlerrechnung (Version 1/03) [2] Kohlrausch - Praktische Physik, Band 3, Tabellen und Diagramme, herausgegeben von D. Hahn und S. Wagner, B. G. Teubner Stuttgart, 23. Auflage, Kommentar: Der Erkenntnisgrad dieses Absatzes ist nicht notwendigerweise zu erbringen. Dieser Absatz stellt die Kür dar. 16 Kommentar: Der Erkenntnisgrad dieses Absatzes ist nicht notwendigerweise zu erbringen. Dieser Absatz stellt die Kür dar. 17 Kommentar: Bei fremdem Text- und Bildmaterial muss die Bezugsquelle zitiert werden. 9

10 7. Anhang: Messprotokoll Kommentar 1: Als Anhang muss ein Protokoll der Messungen beigefügt werden, das die Originaldaten und alle Aufzeichnungen während des Versuchs beinhaltet. Auf keinen Fall dürfen die Messergebnisse vor dem Ende des Labors gelöscht werden. Kommentar 2: Wenn die Auswertung mittels Excel oder Calc erfolgte, sollte das entsprechende Excel- oder Calc-File ebenfalls abgegeben werden. 10