Thermodynamik (Wärmelehre) III kinetische Gastheorie

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1 Physik A VL6 ( ) Thermodynamik (Wärmelehre) III kinetische Gastheorie Thermische Bewegung Die kinetische Gastheorie Mikroskopische Betrachtung des Druckes Mawell sche Geschwindigkeitserteilung gdes idealen Gases 1

2 Wärme und Bewegung Wärme ist kinetische Energie kleinster Bewegungen on Molekülen Diese Bewegung g ist nicht sichtbar, aber die makroskopische Folge ist Wärme historisch: on J. Ingenhousz 1785 entdeckt, on R. Brown 188 wiederentdeckt (Pollenbewegung) kaum beachtete Entdeckung ( Störeffekt, Rauschen) G.L. Guoy (1889): Brown sche Bewegung ist Beweis der kontinuierlichen Molekülbewegung A. Einstein (1905): quantitatie Analyse: mathematische Gesetze beschreiben die Bewegung der Moleküle, auf der Basis der Prinzipen der kinetischmolekularen Theorie der Wärme J. Ingenhousz ( ) R. Brown ( ) A. Einstein ( )

3 Wärme und Bewegung Die Brown sche Molekularbewegung Thermodynamik III die in Wasser schwimmenden Polystyrolkügelchen y führen Zitterbewegungen g aus Die Bewegung on Atomen oder Molekülen wird auf größere Körper übertragen, diese ollführen ruck- artige, zitternde Wegänderungen Der Weg der Bewegung g ist zufällig Bedeutung der Brown schen Molekularbewegung - Festkörper sind starr N Atome oder Moleküle in festen Abständen nur 3 räumliche Freiheitsgrade keine Statistik notwendig - Moleküle: Bewegung, Rotation, Schwingung zusätzliche Freiheitsgrade der Bewegung - Gase: N Moleküle führen statistisch unabhängige Bewegungen aus N Bewegungsgleichungen zur Beschreibung allgemeine, statistische Beschreibung (ideales Gas!) sinnoll 3

4 Wärme und Bewegung Thermodynamik III Eigenschaften eines idealen Gases Annahmen es gelten die Gesetze der klassischen Mechanik (Newton sche Aiome) alle auftretenden Geschwindigkeiten sind klein gegen die Lichtgeschwindigkeit: 1000 m/s, ß /c die zahl ist sehr groß: N >>> 1 der mittlere e Abstand der e >> Durchmesser der die Ausdehnung der ist ernachlässigbar die Wechselwirkung (Anziehungs- und Abstossungskräfte) zwischen den Gasteilchen kann ernachlässigt werden kinetische Energie >> potentielle Energie der Gasteilchen führen im wesentlichen nur elastische Stöße mit den Wänden und untereinander aus 4

5 Wärme und Bewegung Eigenschaften eines idealen Gases mechanisches Modell des idealen Gases Druck im idealen Gas: Folge des Aufpralls on auf Fläche des Stempels im mechanischen Modell: mit zunehmender kinetischer Energie der Stahlkugeln wird der Stempel weiter nach oben geschoben! 5

6 Mikroskopische Betrachtung des Druckes Betrachtung einer Einzelsituation: ein (Masse m) trifft auf den Stempel (Masse M, M >> m) und wird dort reflektiert elastischer Stoß: Anwendung on Energie- und Impulserhaltungssatz für Komponente in -Richtung Energieerhaltung: (Annahmen nur kinetische Energien) 1 m m ' + M S y m r r Impulserhaltung: s Impulserhaltung: m m' + M S y r M 6

7 Mikroskopische Betrachtung des Druckes Geschwindigkeit aus Energieerhaltungssatz in Impulserhaltungssatz einsetzen ( Mechanik elastischer Stoß): m auf den Stempel übertragene Energie S m + M E kin m MS M ( m + M ) Berücksichtigung on: Stempelmasse M >>> m E 4m M kin E kin m M 1 + M 4 m m M E kin 1 m Es wird (näherungsweise) keine kinetische Energie auf den Stempel übertragen: S 0 ' Durch die Stöße der auf den Stempel entsteht trotzdem eine Kraft Impulsübertrag beachten 7

8 Mikroskopische Betrachtung des Druckes Impulserhaltungssatz: m m' + P aus Stoßgesetz (orehrige Betrachtung): Stempel ' Stempel. Newton sches Gesetz: P m p r F r dp dt Übertragung auf eine große -Zahl N: alle, die sich in der Schicht mit der Dicke s Δ t r F r P Δt or dem Stempel befinden, treffen innerhalb der Zeit Δt auf den Stempel. N zahl Definition der dichte n V Volumen mit V s A N n V nδta mittlere Kraft zahl N im Volumen 8

9 Mikroskopische Betrachtung des Druckes Berechnung der Kraft auf den Stempel aus dem Impulsübertrag und der Zahl der Stempel P m p 1 Stempel 1 m F P p Δt Δt Δt 1 F m N n A N N F n ΔtA Δt nm A N n A Der Druck ergibt sich daraus zu: F p nm 4nE kin A kin p 4 n E Schwächen und unrealistische Annahmen der Herleitung der Formel: 1. Die haben nicht alle dieselbe Geschwindigkeit.. Nur mit > 0 tragen zum Druck bei. 9

10 Mikroskopische Betrachtung des Druckes Verbesserung der Berechnung: bisher p 4 n E kin Das Geschwindigkeitsquadrat wird durch das mittlere Geschwindigkeitsquadrat aller ersetzt: N, i N 1 1 i Von den N im Volumen V bewegen sich nur N/6 auf die Wand zu (zur Erinnerung: Gasteilchen 3 Translationsfreiheitsgrade mit je Richtungen, nur 1 Freiheitsgrad in 1 Richtung führt zur Kollision m.d. Wand) 1 r 6 da die Geschwindigkeitserteilung gisotrop ist. nur 1/6 des Impulses wird pro Volumen an die Wand übertragen 10

11 Mikroskopische Betrachtung des Druckes Verbesserung der Berechnung: E kin bisher 1 m mittlere kinetische Energie der : p 4 n E kin r mittlerer Druck herorgerufen durch die : p n m n m 6 m r n m E kin p 3 n E kin Die dichte n N/V ist, also folgt: pv 3 N E kin E 3 kin E kin : mittlere kinetische Energie des gesamten Gases 11

12 Mikroskopische Betrachtung des Druckes Verbesserung der Berechnung: pv 3 E kin E kin : mittlere kinetische Energie des gesamten Gases da im idealen Gas keine Kräfte der untereinander wirken, ist die gesamte gemittelte potentielle Energie des Gases ernachlässigbar. Die innere Energie U des Systems ist gleich der kinetischen Gesamtenergie aller im Gas U N E kin E kin pv U 3 Zustandsgleichung des idealen Gases 1

13 Mikroskopische Betrachtung des Druckes pv 3 3 U E kin Ekin pv N kb T 3 3 jeder Translations-Freiheitsgrad hat eine Energie on 0,5 k BT Diese Gleichung gilt in guter Näherung nur für... einatomige Gase (z.b. Edelgase, wie He, Ne, Xe) mittlere Temperaturen, d.h. etwa Zimmertemperatur. In der Nähe des absoluten Nullpunktes kondensieren iele Gase, bei Temperaturen > 1000 C ionisieren sie. wenn die innere Energie bei einem idealen Gas konstant ist, dann ist auch die Temperatur T konstant Temperatur T zur mittleren kinetischen Energie der Gasmoleküle Definition der Temperatur über obige Formel! 13

14 Mawell sche Geschwindigkeitserteilung des idealen Gases (Mawell-Boltzmann-Verteilung) Eperiment: Geschwindigkeitserteilung on Kugeln Kugeln werden aus mechanischem Modell herausgeschleudert ΔN/Δ Anteil der Moleküle mit Geschwindigkeit im Interall Δ. 14

15 Mawell sche Geschwindigkeitserteilung des idealen Gases (Mawell-Boltzmann-Verteilung) ΔN/Δ dn d f (, T ) ep m k T B 15

16 Mawell sche Geschwindigkeitserteilung des idealen Gases (Mawell-Boltzmann-Verteilung) ΔN/Δ dn d f (, T ) ep m k T B 16

17 Zusammenfassung Stöße mit der Wand (z.b. Kolben) in einem idealen Gas Es wird keine kinetische Energie auf den Stempel übertragen Gasmoleküle durch die Stöße der auf den Stempel entsteht aber eine Kraft Impulsübertrag Mittelung über iele : mittleres Geschwindigkeitsquadrat F Stempel mit der Fläche A Zylinder: Volumen V() pv 3 3 U E kin Ekin pv N kbt 3 3 Temperatur T zur mittleren kinetischen Energie der Gasmoleküle Definition der Temperatur über obige Formel! Mawell sche Geschwindigkeitserteilung (Mawell-Boltzmann-Verteilung) dn d m f (, T ) ep kbt 17