Lineare Algebra I (WS 13/14)

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1 Lineare Algebra I (WS 13/14) Alexander Lytchak Nach einer Vorlage von Bernhard Hanke Alexander Lytchak 1 / 15

2 Motivation Für das Verständis affiner Teilräume eines Vektorraums sind Translationen ganz hilfreich. Man kann sie als Symmetrien des Vektorraumes interpretieren, die alle geometrischen Strukturen erhalten, abgesehen vom Ursprung, dem Nullelement. Wir haben auch Affinitäten der Ebene benutzt, um Aussagen über Dreiecke zu erhalten. Diese kann man als Symmetrien der Ebene intrepretieren, die die affine Geometrie erhalten ( Geraden und Strecken). Die Existenz von Symmetrien eines Dreiecks führte zu neuen, wenn auch im Moment nicht sehr tiefen Erkenntnissen: Existenz des Massenschwerpunktes. Die Symmetrie ist neben der Zahl der fundamentalste Begriff der Mathematik. Wir machen uns nun daran, die beiden Begriffe zu präzisieren und zusammenzuführen. Alexander Lytchak 2 / 15

3 Verknüpfungen Definition Sei M eine Menge. Eine Verknüpfung auf M ist eine Abbildung : M M M, (m 1, m 2 ) m 1 m 2. Mit (M, ) bezeichnen wir die Menge M mit der Verknüpfung. Definition Sei (M, ) eine Menge mit Verknüpfung. Die Verknüpfung heißt assoziativ, wenn für alle m 1, m 2, m 3 M gilt m 1 (m 2 m 3 ) = (m 1 m 2 ) m 3. Die Verknüpfung heißt kommutativ, wenn für alle m 1, m 2 M gilt m 1 m 2 = m 2 m 1. Alexander Lytchak 3 / 15

4 Verknüpfungen. Beispiele (R, +), (R, ) sind kommutativ und assoziativ. (R, ) ist nicht assoziativ und nicht kommutativ. (N, +), (N, ), (Z, +), (Z, ), (Q, +), (Q, ), (C, +), (C, ) sind kommutativ und assoziativ. Dabei sind N, Z, Q, C die Mengen der natürlichen bzw. ganzen bzw. rationalen bzw. komplexen Zahlen. (m, n) m n ist keine Verknüpfung auf N. Sei M n (R) die Menge der quadratischen (n n)-matrizen. Dann ist die Matrixaddition + auf M n (R) assoziativ und kommutativ. Die Matrixmultiplikation auf M n (R) ist assoziativ aber nicht kommutativ, wenn n 2. Die Addition auf jedem Vektorraum ist assoziativ und kommutativ. Das aus der Schule eventuell bekannte Vektorprodukt : R 3 R 3 R 3 ist nicht kommutativ und nicht assoziativ. Alexander Lytchak 4 / 15

5 Verknüpfungen. Beispiele Sei M eine beliebige Menge. Sei Abb(M) die Menge aller Abbildungen f : M M und sei Bij(M) Abb(M) die Teilmenge aller bijektiven Selbstabbildungen von M. Die Komposition definiert assoziative Verknüpfungen auf Abb(M) und Bij(M). Die Komposition auf der Menge aller Endomorphismen End(V ) eines Vekotrraums V ist eine assoziative, aber meistens nicht kommutative Verknüpfung. Bezüglich der Addition ist End(V ) ein Vektorraum, insbesondere ist + auf End(V ) assoziativ und kommutativ. Sei V ein Vektorraum. Auf der Menge der Translationen Translationen(V ) von V und auf der Menge der Affinitäten von V definiert die Komposition eine assoziative Verknüpfung. Alexander Lytchak 5 / 15

6 Neutrales Element und Inverse Definition Sei (M, ) eine Menge mit Verknüpfung. Ein Element e M heißt ein neutrales Element, falls für alle m M gilt m e = e m = m. Wenn es ein neutrales Element gibt, ist es eindeutig bestimmt. Definition Sei (M, ) eine Menge mit assoziativer Verknüpfung und neutralem Element e. Ein Element g M heißt invertierbar, falls es ein h M mit g h = h g = e. Das Element h heißt das Inverse von g und wird mit g 1 bezeichnet. Lemma Sei (M, ) assoziativ und e neutrales Element. Seien a, b, g M. Gilt a g = e = g b, so ist a = b. Insbesondere ist das Inverse eindeutig bestimmt, wenn es existiert. Alexander Lytchak 6 / 15

7 Neutrales Element und Inverse. Beispiele In (N, +), (Z, +), (Q, +), (R, +), (C, +) ist 0 das neutrale Element. In N ist nur die 0 invertierbar. In Z, Q, R, C sind alle Elemente invertierbar und das Inverse von m ist m. In (N, ), (Z, ), (Q, ), (R, ), (C, ) ist 1 das neutrale Element. Invertierbar sind in N nur 1, in Z nur ±1 und Q, R, C alle Elemente außer 0. In jedem Vektorraum (V, +) ist 0 das neutrale Element und das Inverse von v ist v. In (M n (R), ) ist die Einheitsmatrix E n das neutrale Element. Genau die invertierbaren Matrizen sind invertierbar. In (Abb(M), ) ist die Identität id M das neutrale Element. Die Teilmenge der invertierbaren Elemente ist genau Bij(M), die Menge der bijektiven Selbstabbildungen. In (End(V ), ) ist id V das neutrale Element. Die Menge der invertierbaren Elemente ist genau Aut(V ), die Menge aller Automorphismen von V. Alexander Lytchak 7 / 15

8 Einige Rechenregeln Sei (M, ) eine Menge mit assoziativer Verknüpfung und neutralem Element. Im Folgenden seien m 1,..., m r, g, h, m Elemente aus M. Produkte m 1 m 2... m r sind ohne Klammern wohldefiniert. D.h. man kann in beliebiger Reihenfolge die Multiplikationen ausführen. Ist m invertierbar und gilt m g = m h, so gilt g = h. Genauso kann man invertierbare Elemente von rechts kürzen. Sind g und h invertierbar, so ist es auch g h und es gilt (g h) 1 = h 1 g 1. Alexander Lytchak 8 / 15

9 Gruppen. Definition Definition Eine Gruppe ist eine Menge mit assoziativer Verknüpfung und neutralem Element e, in der alle Elemente invertierbar sind. Die Gruppe heißt abelsch oder kommutativ, wenn die Verknüpfung kommutativ ist. Dies ist wahrscheinlich der wichtigste mathematische Begriff überhaupt. Alexander Lytchak 9 / 15

10 Gruppen. Beispiele I Es gibt zwei große Klassen von Beispielen: Zahlen und Symmetrien. Wir kennen folgende abelsche Gruppen: (Z, +), (Q, +), (R, +),(C, +). Und auch (R x, ), (C x, ),(Q x, ), wobei wir mit K x die Menge K \ 0 bezeichnen, für K = Q, R, C. Ist V ein Vektorraum, so ist (V, +) eine abelsche Gruppe. Insbesondere sind der Koordinatenraum R n und die Menge der Matrizen R m n abelsche Gruppen. Die Menge der invertierbaren Matrizen (GL n (R), ) ist eine Gruppe. Viele interessante Teilmengen der obigen Gruppen sind Gruppen. Z.B. bezüglich der Addition haben wir die Gruppe der Gaußschen Zahlen Z[i] := {x + yi C x, y Z} und die Gruppe der algebraischen Zahlen {x C a 0,..., a n Q, a 0 + a 1 x + a 2 x a n x n = 0}. (Diese Objekte lernen sie später in Algebra-Vorlesungen besser kennen.) Alexander Lytchak 10 / 15

11 Untergruppen. Beispiele II Definition Ist (G, ) eine Gruppe und H eine Teilmenge von G, so heißt H eine Untergruppe, geschrieben H < G, falls folgende Eigenschaften gelten: 1) Das neutrale Element e von G liegt in H. 2) Sind g, h H, so ist g h H. 3) Ist g H, so ist g 1 H. Ist H eine Untergruppe von (G, ) so definiert auch eine Verknüpfung auf H und macht es zu einer Gruppe. Ein Untervektorraum eines Vektorraumes (V, +) ist eine Untergruppe. Q n mit der komponentenweise Addition ist eine Untergruppe aber kein Untervektorraum von R n. Ebenso das ganzzahlige Gitter Z n. (Z, +) < (Q, +) < (R, +) < (C, +) (Q x, ) < (R x, ) < (C x, ) Alexander Lytchak 11 / 15

12 Untergruppen. Beispiele III Die Teilmenge aller Diagonalmatrizen ist eine Untergruppe von (M n, (R), +). Eine Diagonalmatrix ist invertierbar (bezüglich der Matrixmultiplikation) genau dann, wenn jedes ihrer Diagonalelemente ungleich Null ist. Dann ist das Inverse auch eine Diagonalmatrix. Die Menge der invertierbaren Diagonalmatrizen ist eine Untergruppe von GL n (R). Die Menge P n der (n n)-permutationsmatrizen (in jeder Zeile und jeder Spalte gibt es genau eine 1 und sonst Nullen) ist eine Untergruppe von GL n (R). Alexander Lytchak 12 / 15

13 Symmetrien Symmetrien eines Objektes sind Selbstabbildungen des Objektes die gewisse uns wichtig erscheinende Strukturen erhalten. Alexander Lytchak 13 / 15

14 Bespiele von Gruppen. Symmetrien Betrachten wir Figuren (d.h. Teilmengen) in der Ebene R 2. Nennen wir eine Selbstabbildung der Ebene eine (euklidisiche) Symmetrie der Figur, wenn die Selbstabbildung Abstände nicht verändert (also eine sogenannte Bewegung der Ebene ist) und die Figur auf sich selbst abbildet. Dies ist eine Untergruppe der Gruppe aller Bewegungen der Ebene. Wir werden im Folgenden ohne Beweis annehmen, dass jede Bewegung der Ebene eine affine Abbildung ist, also durch die Bilder dreier affin unabhängiger Punkte festgelegt ist. In der Tat ist jede Bewegung eine Drehung um einen Punkt, eine Translation, oder eine Hintereinanderausführung einer Spiegelung an einer Geraden und einer Translation entlang der Spiegelungsachse. Die Gruppe der Symmetrien eines vollkommen unsymmetrischen Objektes besteht nur aus der Identität. Die Gruppe hat genau ein Element, das auch das neutrale Element ist. Solche Gruppen haben wir schon vorher als die additive Gruppe eines 0-dimensionalen Vektorraums gesehen. Alexander Lytchak 14 / 15

15 Symmetrien II. Dreieck Die Gruppe der Symmetrien eines gleichseitigen Dreiecks besteht aus der Identität, drei Spiegelungen und zwei Drehungen. Die Gruppe ist nicht abelsch. Die Gruppe der Symmetrien eines gleichschenkligen und nicht gleichseitigen Dreiecks besteht aus der Identität und einer Spiegelung. Die Gruppe ist abelsch. Die Gruppe der Symmetrien eines nicht gleichschenkligen Dreiecks besteht nur aus einem Element, der Identität. Alexander Lytchak 15 / 15

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