, c d. f + e + d. ae + bg a f + bh. ce + dg c f + dh

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1 Die Determinante Blockmatrizen Bemerkung: Für zwei 2 2-Matrizen gilt a b e f a b c d g h c d e g a b, c d f h a c b e + d a g, c f + ae + bg a f + bh ce + dg c f + dh b d h Sind die Einträge der obigen Matrizen selbst wieder Matrizen, von Größen der Art, daß alle auftretenden Produkte existieren, so kann man die Rechnung wortwörtlich wie oben durchführen. Sei M eine m n Matrix. Wir unterteilen die Matrix M in 4 Blöcke: Ak,l B M k,n l C m k.l D m k,n l Die Indizes bezeichnen dabei die Größe der jeweiligen Untermatrix. Die Matrix wurde also nach der k ten Zeile und der l ten Spalte aufgeteilt. Zu einer weiteren n p Matrix N wählen wir eine Unterteilung nach der l ten Zeile und der k ten Spalte: N E l,k G n l,k F l,p k H n l.p k Satz: Ak,l B M N k,n l C m k.l D m k.n l E l,k F l,p k G n l,k H n l.p k A k,l E l,k + B k,n l G n l,k A k,l F l,p k + B k,n l H n l,p k C m k,l E l,k + D m k,n l G n l,k C m k,l F l,p k + D m k,n l H n l,p k

2 Die Determinante Erinnerung: Die Determinante einer 2 2 Matrix war definiert als a b c d ad bc Definition: Für A a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n... a n1 a n2 a nn ist die Determinante A definiert durch: a 22 a 2n A : a 11.. a n2 a nn a 21 a 12 a 1n.. a n2 a nn n+1 a n1 a 12 a 1n.. a n 1,2 a n 1,n Bei dieser sogenannten Entwicklung nach der ersten Spalte nimmt man also den i ten Eintrag der ersten Spalte, multipliziert in mit 1 1+i. Diesen Wert multipliziert man mit der Determinante der Matrix à 1j, bei der die erste Spalte und i te Zeile gestrichen sind. Dann werden die Ergebnisse addiert. Kurz A n i1 1 i+1 a i1 à 1i Beispiel: e 1 a 1 b 1 e 2 a 2 b 2 e 3 a 3 b 3 a2 b e 1 2 a 3 b 3 a1 b e 2 1 a 3 b 3 + e 3 a1 b 1 a 2 b 2

3 e 1 a 2 b 3 a 3 b 2 + e 2 a 3 b 1 a 1 b 3 + e 3 a 1 b 2 a 2 b 1 Bemerkung: Setzt man hier statt der Zahlen e i die Standardbasisvektoren e i ein, so erhält man eine praktische Merkregel für das Kreuzprodukt: a b a 2 b 3 a 3 b 2 a 3 b 1 a 1 b 3 a 1 b 2 a 2 b 1 Bemerkung: Die Determinante kann man so für Matrizen mit Einträgen aus einem beliebigen Körper definieren. Im R n gibt es aber auch eine sehr anschauliche gemoetrische Interpretation: a 1,..., a n ist bis auf das Vorzeichen das n dimensionale Volumen des von den Vektoren a i aufgespannten Parallelepipeds P : {t 1 a t n a n t 1,..., t n [0, 1]} Satz: Es gilt b + a 1,..., a n b, a 2,..., a n + a 1,..., a n und sowie λ a 1,..., a n λ a 1,..., a n 0, a 2,..., a n 0 Grund: Entwicklung nach der ersten Spalte. Satz: Vertauschen zweier Zeilen ändert das Vorzeichen der Determinante. Grund: 1 Wir betrachten zunächst den Spezialfall des Vertauschens der ersten und der zweiten Zeile Für 2 2 Matrizen kann man das Nachrechnen. Sei nun n > 2 und B die Matrix, die aus A durch vertauschen der ersten beiden Zeilen entsteht.

4 Es ist A a 11 A 11 a 21 A 21 ± n k3 1k+1 a k1 A k1 und B a 21 A 21 a 11 A 11 ± n k3 1k+1 a k1 B k1. Nun sind in den B k1 für k 3 ebenfalls die ersten beiden Spalten vertauscht. Per Induktionsannahme wechselt also das Vorzeichen der Determinante. Daher ist B a 21 A 21 a 11 A 11 ± n k3 11 a k1 B k1 und also A + B 0 und damit die Behauptung. 2 Völlig analog erhält man den Fall, daß die erste Zeile mit irgeneiner anderen Zeile vertauscht wird. 3 Den allgemeinen Fall des Vertauschens der i ten und j ten Spalte erhölt man wie folgt: Tausche Zeilen i und 1. Tausche Zeilen j und 1. Tausche Zeilen 1 und i. Das sind drei Vertauschungen mit der ersten Zeile. Satz: Für eine n n Matrix A gilt A t A Grund: Per Induktion über n und der Tatsache, daß in der Definition der Determinante nur Matrizen der Größe n 1 n 1 auftreten. Folgerung: Vertauschen zweier Spaltenvektoren ändert das Vorzeichen der Determinante. Satz: Sind in einer Matrix der i te i > 1 und der erste Spaltenvektor identisch, so ist deren Determinante 0 Grund: Vertauschen der i ten und ersten Spalte ändert das Vorzeichen. Allerdings verändert das Vertauschen in diesem Fall nichts. Also muß die Determinante 0 sein. Satz: Addiert man ein Vielfaches der i ten i > 1 auf die erste Spalte, so ändert sich die Determinanten nicht. Grund: Wir betrachten die Matrix a 1 + λ a i, a 2,..., a n. Dann ist die Determinante hiervon: A + λ a i, a 2,..., a i,..., a 2 in der hinteren Determinante sind aber der i te und der erste Spaltenvektor identisch. Bemerkung: Alle obigen Eigenschaften gelten für belibiege Zeilen oder Spalten. Beispiel: Für eine Matrix der folgenden Struktur A b 11 b 1n b n1 b nn

5 wobei es sich bei den mit gekennzeichneten Einträgen um beliebige Einträge handelt, gilt Spezialfälle:i Für Diagonalmatrizen gilt: b 11 b 1n A.. b n1 b nn λ λ n ii Für wie folgt partitionierte Matrizen gilt: iii und ein Spezialfall von ii ist: Er B 0 A Er 0 0 A λ 1... λ n A A Eigenschaften der Determinante Alle im folgenden auftretenden Matrizen seien quadratisch und von gleicher Größe. 1 0 C 0 D 0 CD bilden wir von allen drei Matrizen die Determinanten, so erhalten wir den Determinantenmultiplikationssatz: CD C D 2 Ist A invertierbar, gibt es also ein A 1 mit AA 1 E n A 1 A, so gilt: 1 E n A A 1, also Ist A invertierbar, so gilt A 0 und A 1 1 A

6 3 Es gilt Daher haben wir: 4 Weiter gilt 0 En 0 En 0 En A 0 0 En 2 0 En 1 E 2n 0 En A 0 0 En 0 A also A 0 A 5 A 0 0 B A 0 0 B Also haben wir insgesamt: A 0 0 B A B Dies gilt auch, wenn die quadratischen Matrizen A und B nicht die gleiche Größe haben. Allgemeiner gilt: A 1 0 A A r A 1... A r für beliebige, quadratische Matrizen A 1,..., A r sogenannte Blockdiagonalmatrizen. Lemma: Die folgende Matrix sei gebil, indem man die i te Spalte der Einheitsmatrix durch den Vektor b b1,..., b n t ersetzt. Dann gilt: 1 b i b i 1 b i b i b i b n 1

7 Grund: Entwicklung nach der ersten Spalte. Satz Cramersche Regel: Sei A [ a 1,..., a n ] eine n n Matrix gegeben durch ihre Spaltenvektoren. Sei x eine Lösung des Gleichungssystems A x b. Das System hat genau dann eine einzige Lösung, wenn A 0 ist. Dann gilt: A e 1...., e i 1, x, e i+1,..., e n A e 1...., A e i 1, A x, A e i+1,..., A e n a 1...., a i 1, b, a i+1,..., a n : A i Dann gilt: A e 1...., e i 1, x, e i+1,..., e n A x i A i x i A i A