12 Ungleichungen. Wir beginnen mit einer einfachen Ungleichung über die Varianz. Satz 35 Es sei X eine zufällige Variable.
|
|
- Heinrich Küchler
- vor 6 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 12 Ungleichungen Wir beginnen mit einer einfachen Ungleichung über die Varianz. Satz 35 Es sei X eine zufällige Variable. Dann gilt: min c R E(X c)2 = Var X. Beweis: Für alle reellen Zahlen c R gilt: E(X c) 2 = E(X EX + EX c) W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin
2 = E(X EX) 2 + 2E((X EX)(EX c)) + (EX c) 2 = E(X EX) 2 + 2(EX c)e(x EX) +(EX c) 2 }{{} =0 = VarX + (EX c) 2 VarX Setzen wir c := EX erhalten wir Gleichheit. 469 W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin
3 12.1 Jensen-Ungleichung Satz 36 (Ungleichung von JENSEN) Sei X eine zufällige Variable mit EX < und g eine differenzierbare und konvexe Funktion. Dann gilt: Eg(X) g(ex). Beweis: Sei T(x) die Tangente an die Kurve der Funktion g im Punkt x 0, g(x) T(x) = g(x 0 ) + g (x 0 ) }{{} Anstieg der Kurve in x 0 (x x 0 ). 470 W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin
4 Wir setzen nun x := X und x 0 := EX und erhalten: Daraus folgt: g(x) g(ex) + g (EX) (X EX). Eg(X) E(g(EX) + g (EX) (X EX)) = g(ex) + g (EX) E(X EX) }{{} =0 = g(ex) Folg. 6 Es sei g differenzierbar und konkav. Weiterhin sei X eine zufällige Variable. Dann gilt: Eg(X) g(ex). 471 W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin
5 Beweis: Da die Funktion g nach Voraussetzung konkav ist, ist die Funktion ( g) konvex. Dann gilt nach Satz 36: E(( g)(x)) ( g)(ex). Daraus folgt: Eg(X) g(ex). Eg(X) g(ex). Bsp Es sei g(x) = x 2. Dann gilt nach Satz 36: EX 2 (EX) W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin
6 Daraus aber folgt (die schon bekannte Aussage): VarX = E(X EX) 2 = EX 2 (EX) Es sei g(x) = x. Dann gilt nach Satz 36: E X EX. 3. Es sei g(x) = ln x. Diese Funktion ist konkav. Also gilt nach Folgerung 6: E(lnX) ln(ex). 473 W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin
7 12.2 Markov- und Tschebyschev-Ungleichung Satz 37 (Ungleichung von MARKOV) eine Zufallsgröße. Dann gilt: Sei c > 0. X sei P( X > c) E X. c Beweis: Wir definieren eine Zufallsgröße Y : c, falls X(ω) > c Y (ω) :=, ω Ω. 0, falls X(ω) c 474 W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin
8 Wir können also schreiben: 0 c Y : P( X c) P( X > c) Offenbar gilt für alle ω Ω: 0 Y (ω) X(ω), beziehungsweise: 0 Y X. Daraus folgt: P( X Y 0) = 1. Nach Satz 11: E( X Y ) 0 E X EY. 475 W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin
9 Da die Zufallsgröße Y diskret ist, folgt aus der Definition des Erwartungswertes: EY = 0 P( X c) + c P( X > c) Wir stellen um und erhalten: = c P( X > c) E X P( X > c) E X c. Satz 38 (Ungleichung von TSCHEBYCHEV) Es sei ε > 0 und sei Y eine Zufallsgröße. Dann gilt: P( Y EY > ε) Var Y ε W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin
10 Beweis: Wir verwenden die Ungleichung von MARKOV: P( X > c) E X c. Wir setzen folgendes in diese Ungleichung ein: X := (Y EY ) 2i 0, c := ε 2i (i N). Da ε > 0 gilt, ist die Voraussetzung der Ungleichung von MARKOV erfüllt. Wir erhalten also: P ( (Y EY ) 2i > ε 2i) = P( Y EY > ε) Wenn wir nun i := 1 setzen, so ergibt sich: E(Y EY )2i ε 2i. P( Y EY > ε) E(Y EY )2 ε 2 = Var Y ε W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin
11 Bem.: Aus der Ungleichung von TSCHEBYCHEV folgt: P( Y EY ε) 1 Var Y ε 2. Bsp. 77 Es sei X N(µ,σ 2 ), also EX = µ, VarX = σ 2. Wir setzen ε := k σ (k N) und erhalten dann mit der Ungleichung von TSCHEBYCHEV: P( X µ k σ) 1 σ2 k 2 σ = k W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin
12 k exakt Tschebychew-Ungleichung Φ(kσ) Φ( kσ) 1 1 k Bem. 18 Die Tschebyscheff-Ungleichung gilt für beliebig verteilte Zufallsvariablen, die Erwartungswert und Varianz besitzen, insbesondere liegt die Zufallsvariable X mit Wahrscheinlichkeit 0.89 im 3σ-Intervall. 479 W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin
13 Bsp. 78 Die Zahl med = med(x) heißt Median der Zufallsvariablen X, falls P(X med) 1 2 und P(X med) 1 2 Sei P(X > 0) = 1. Aus der Markov-Ungleichung folgt: 1 2 P(X med) EX med, d.h. med 2 EX 480 W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin
14 12.3 Hoeffding-Ungleichung Satz 39 (Hoeffding-Ungleichung) Seien Y 1,...,Y n unabhängig und so dass EY i = 0 und a i Y i b i. Sei ɛ > 0. Dann gilt t > 0: P( n Y i ɛ) e tɛ n e t2 (b i a i ) 2 /8, i=1 i=1 Satz 40 (Hoeffding-Ungleichung für Bernoulli ZV) Seien X 1,...,X n Bi(1,p). Dann gilt ɛ > 0: wobei X n = 1 n n i=1 X i. P( X n p > ɛ) 2e 2nɛ2, 481 W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin
15 Bsp. 79 Seien X 1,...,X n Bi(1,p), d.h. Bernoulli: X i = 1 mit Wkt. p, X i = 0 sonst. n = 100,ɛ = 0.2. Tschebyschev: P( X n p ) > ɛ) varx n ɛ 2 = p(1 p) nɛ 2 1 4nɛ 2 = Hoeffding: P( X n p ) > ɛ) 2e = W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin
16 Bem.: Es geht sogar noch besser. ZGWS (s. Kapitel 13): P( X n p ) > ɛ) = P ( n i=1 X i np np(1 p) > nɛ ) np(1 p) ( 1 Φ ( nɛ )) ( nɛ ) + Φ np(1 p) np(1 p) = 2Φ ( nɛ ) np(1 p) 2Φ ( nɛ n 1 4 ) = 2Φ( 2ɛ n) = 2Φ( 4) W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin
17 Bsp. 80 Sei α > 0 und Hoeffding: ɛ n = 1 2n log( 2 ). α P( X n p ) > ɛ n ) 2e 2nɛ2 n = α. Sei C = (X n ɛ n,x n + ɛ n ). P(p / C) = P( X n p > ɛ n ) α P(p C) 1 α D.h. das zufällige Intervall C überdeckt den wahren Parameter p mit Wkt. 1 α. C heißt 1 α Konfidenzintervall. 484 W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin
18 Problem: Schätzung von Binomialwktn. Vorgabe: ɛ,α. Gesucht: notwendiger Stichprobenumfang um P( ˆp p > ɛ) < α zu sichern. Hoeffding: Es genügt: 2 e 2nɛ2 < α also n > ln α/2 2ɛ 2 = ln(2/α) 2ɛ W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin
19 ZGWS: P( ˆp p > ɛ) = P ( ˆp p np(1 p) > nɛ ) np(1 p) = 2Φ ( nɛ ) np(1 p) < α nɛ np(1 p) < Φ 1 ( α 2 ) Φ 1 ( α) n > 2 p(1 p) ɛ ( Φ 1 (1 α)) 2 2 n > 4ɛ W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin
20 Vergleich Hoeffding - ZGWS. Sei ɛ = ZGWS Hoeffding α 1 4ɛ 2 Φ 1 (1 α 2 ) 1 2ɛ 2 ln 2 α W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin
21 Beweis: (Hoeffding-Ungleichung) Sei t > 0. Aus der Markov-Ungleichung folgt: P( n i=1 Y i ɛ) = P(t n i=1 Y i tɛ) = P(e t P n i=1 Y i e tɛ ) e tɛ E ( e t P n i=1 Y i ) = e tɛ n i=1 E(e ty i ). Da a i Y i b i läßt sich Y i als konvexe Kombination von a i und b i schreiben, wobei α = Y i a i b i a i. Y i = αb i + (1 α)a i, 488 W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin
22 NR.: Für konvexe Funktionen f(x), x (a, b) gilt: f(x) f(a) + f(b) f(a) (x a) = αf(b) + (1 α)f(a) b a (Die Kurve f liegt unterhalb der Sekante, α = x a b a.). Da die Exponentialfunktion konvex ist: e ty i αe tb i + (1 α)e ta i = Y i a i b i a i e tb i + b i Y i b i a i e ta i E(e ty i ) a i b i a i e tb i + b i b i a i e ta i = e g(u) 489 W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin
23 wegen EY i = 0. Dabei ist u = t(b i a i ) g(u) = γu + log(1 γ + γe u ) γ = a i b i a i g(0) = g (0) = 0, g (u) 1 u > 0. 4 Satz von Taylor: es ex. ein ξ (0,u): g(u) = g(0) + ug (0) + u2 2 g (ξ) = u2 2 g (ξ) u2 8 = t2 (b i a i ) W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin
24 Daraus folgt: E(e ty i ) e g(u) e t2 (b i a i ) 2 /8. Damit: P( n Y i ɛ) = e tɛ n E(e ty i ) e tɛ n e t2 (b i a i ) 2 /8 i=1 i=1 i=1 491 W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin
25 Beweis: (Hoeffding-Ungleichung für Bernoulli ZV) Sei Y i = 1(X n i p). Dann gilt EY i = 0 und a Y i b, wobei a = p/n und b = (1 p)/n. Also (b a) 2 = 1/n 2. Aus der Hoeffding-Ungleichung folgt: P(X n p > ɛ) = P( n i=1 Y i > ɛ) e tɛ e t2 /(8n), für jedes t > 0. Setze t = 4nɛ: P(X n p > ɛ) e 2nɛ2. Analog: P(X n p < ɛ) e 2nɛ W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin
26 Beides zusammen: P( X n p > ɛ) 2e 2nɛ2. Satz 41 (Chernov-Ungleichung) Seien X 1,...,X n Bi(1,p). Dann gilt δ (0, 1): P( X n p p P( X n p p > δ) e pn δ2 3 > δ) e pn δ2 2 wobei X n = 1 n n i=1 X i. Beweis: s. z.b. in Wikipedia 493 W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin
27 Satz 42 (Mill-Ungleichung) Sei Z N(0, 1). Dann gilt: P( Z > t) 2 π e t2 /2 t = 2φ(t) t 494 W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin
13.5 Der zentrale Grenzwertsatz
13.5 Der zentrale Grenzwertsatz Satz 56 (Der Zentrale Grenzwertsatz Es seien X 1,...,X n (n N unabhängige, identisch verteilte zufällige Variablen mit µ := EX i ; σ 2 := VarX i. Wir definieren für alle
MehrBeispiel 48. 4.3.2 Zusammengesetzte Zufallsvariablen
4.3.2 Zusammengesetzte Zufallsvariablen Beispiel 48 Ein Würfel werde zweimal geworfen. X bzw. Y bezeichne die Augenzahl im ersten bzw. zweiten Wurf. Sei Z := X + Y die Summe der gewürfelten Augenzahlen.
MehrStatistische Thermodynamik I Lösungen zur Serie 1
Statistische Thermodynamik I Lösungen zur Serie Zufallsvariablen, Wahrscheinlichkeitsverteilungen 4. März 2. Zwei Lektoren lesen ein Buch. Lektor A findet 2 Druckfehler, Lektor B nur 5. Von den gefundenen
MehrFüllmenge. Füllmenge. Füllmenge. Füllmenge. Mean = 500,0029 Std. Dev. = 3,96016 N = 10.000. 485,00 490,00 495,00 500,00 505,00 510,00 515,00 Füllmenge
2.4 Stetige Zufallsvariable Beispiel. Abfüllung von 500 Gramm Packungen einer bestimmten Ware auf einer automatischen Abfüllanlage. Die Zufallsvariable X beschreibe die Füllmenge einer zufällig ausgewählten
Mehr$ % + 0 sonst. " p für X =1 $
31 617 Spezielle Verteilungen 6171 Bernoulli Verteilung Wir beschreiben zunächst drei diskrete Verteilungen und beginnen mit einem Zufallsexperiment, indem wir uns für das Eintreffen eines bestimmten Ereignisses
MehrExtremwertverteilungen
Seminar Statistik Institut für Stochastik 12. Februar 2009 Gliederung 1 Grenzwertwahrscheinlichkeiten 2 3 MDA Fréchet MDA Weibull MDA Gumbel 4 5 6 Darstellung von multivariaten, max-stabilen Verteilungsfunktionen
MehrGrundlagen der Inferenzstatistik: Was Ihnen nicht erspart bleibt!
Grundlagen der Inferenzstatistik: Was Ihnen nicht erspart bleibt! 1 Einführung 2 Wahrscheinlichkeiten kurz gefasst 3 Zufallsvariablen und Verteilungen 4 Theoretische Verteilungen (Wahrscheinlichkeitsfunktion)
MehrKapitel 3. Zufallsvariable. Wahrscheinlichkeitsfunktion, Dichte und Verteilungsfunktion. Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung
Kapitel 3 Zufallsvariable Josef Leydold c 2006 Mathematische Methoden III Zufallsvariable 1 / 43 Lernziele Diskrete und stetige Zufallsvariable Wahrscheinlichkeitsfunktion, Dichte und Verteilungsfunktion
MehrWirtschaftsmathematik für International Management (BA) und Betriebswirtschaft (BA)
Wirtschaftsmathematik für International Management (BA) und Betriebswirtschaft (BA) Wintersemester 2013/14 Hochschule Augsburg : Gliederung 1 Aussagenlogik 2 Lineare Algebra 3 Lineare Programme 4 Folgen
MehrMonte Carlo Methoden in Kreditrisiko-Management
Monte Carlo Methoden in Kreditrisiko-Management P Kreditportfolio bestehend aus m Krediten; Verlustfunktion L = n i=1 L i; Die Verluste L i sind unabhängig bedingt durch einen Vektor Z von ökonomischen
MehrBei vielen Zufallsexperimenten interessiert man sich lediglich für das Eintreten bzw. das Nichteintreten eines bestimmten Ereignisses.
XI. Binomialverteilung ================================================================== 11.1 Definitionen -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
MehrExtrema von Funktionen in zwei Variablen
Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum Universität Basel Mathematik für Ökonomen 1 Dr. Thomas Zehrt Extrema von Funktionen in zwei Variablen Literatur: Gauglhofer, M. und Müller, H.: Mathematik für Ökonomen,
MehrStochastische Eingangsprüfung, 17.05.2008
Stochastische Eingangsprüfung, 17.5.8 Wir gehen stets von einem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, A, P) aus. Aufgabe 1 ( Punkte) Sei X : Ω [, ) eine integrierbare Zufallsvariable mit XdP = 1. Sei Q : A R, Q(A)
MehrStochastik für WiWi - Klausurvorbereitung
Dr. Markus Kuze WS 2013/14 Dipl.-Math. Stefa Roth 11.02.2014 Stochastik für WiWi - Klausurvorbereitug Gesetz der totale Wahrscheilichkeit ud Satz vo Bayes (Ω, F, P) Wahrscheilichkeitsraum, E 1,..., E F
MehrZufallsgrößen. Vorlesung Statistik für KW 29.04.2008 Helmut Küchenhoff
Zufallsgrößen 2.5 Zufallsgrößen 2.5.1 Verteilungsfunktion einer Zufallsgröße 2.5.2 Wahrscheinlichkeits- und Dichtefunktion Wahrscheinlichkeitsfunktion einer diskreten Zufallsgröße Dichtefunktion einer
MehrSeminar Analysis Konvexe Funktionen und einige wichtige Ungleichungen
Seminar Analysis Konvexe Funktionen und einige wichtige Ungleichungen Michael Schaeer 3.04.03 Abstract This seminar is about convex functions and several imortant ineualities. At the beginning the term
MehrStatistik - Fehlerrechnung - Auswertung von Messungen
2013-11-13 Statistik - Fehlerrechnung - Auswertung von Messungen TEIL I Vorbereitungskurs F-Praktikum B (Physik), RWTH Aachen Thomas Hebbeker Literatur Eindimensionaler Fall: Grundbegriffe Wahrscheinlichkeitsverteilungen:
MehrÜbungsrunde 7, Gruppe 2 LVA 107.369, Übungsrunde 7, Gruppe 2, 28.11. Markus Nemetz, markus.nemetz@tuwien.ac.at, TU Wien, 11/2006
1 3.34 1.1 Angabe Übungsrunde 7, Gruppe 2 LVA 107.369, Übungsrunde 7, Gruppe 2, 28.11. Markus Nemetz, markus.nemetz@tuwien.ac.at, TU Wien, 11/2006 U sei auf dem Intervall (0, 1) uniform verteilt. Zeigen
MehrVorlesung. Funktionen/Abbildungen 1
Vorlesung Funktionen/Abbildungen 1 1 Grundlagen Hinweis: In dieser Vorlesung werden Funktionen und Abbildungen synonym verwendet. In der Schule wird eine Funktion häufig als eindeutige Zuordnung definiert.
MehrApproximation durch Taylorpolynome
TU Berlin Fakultät II - Mathematik und Naturwissenschaften Sekretariat MA 4-1 Straße des 17. Juni 10623 Berlin Hochschultag Approximation durch Taylorpolynome Im Rahmen der Schülerinnen- und Schüler-Uni
MehrStatistik II für Betriebswirte Vorlesung 2
PD Dr. Frank Heyde TU Bergakademie Freiberg Institut für Stochastik Statistik II für Betriebswirte Vorlesung 2 21. Oktober 2014 Verbundene Stichproben Liegen zwei Stichproben vor, deren Werte einander
MehrAusarbeitung des Seminarvortrags zum Thema
Ausarbeitung des Seminarvortrags zum Thema Anlagepreisbewegung zum Seminar Finanzmathematische Modelle und Simulationen bei Raphael Kruse und Prof. Dr. Wolf-Jürgen Beyn von Imke Meyer im W9/10 Anlagepreisbewegung
MehrPräsenzübungsaufgaben zur Vorlesung Elementare Sachversicherungsmathematik
Präsenzübungsaufgaben zur Vorlesung Elementare Sachversicherungsmathematik Dozent: Volker Krätschmer Fakultät für Mathematik, Universität Duisburg-Essen, WS 2012/13 1. Präsenzübung Aufgabe T 1 Sei (Z 1,...,
MehrAnalyse von Zeitreihen in der Umweltphysik und Geophysik Stochastische Prozesse
Analyse von Zeitreihen in der Umweltphysik und Geophysik Stochastische Prozesse Yannik Behr Gliederung 1 Stochastische Prozesse Stochastische Prozesse Ein stochastischer Prozess ist ein Phänomen, dessen
MehrMonte-Carlo Simulation
Monte-Carlo Simulation Sehr häufig hängen wichtige Ergebnisse von unbekannten Werten wesentlich ab, für die man allerhöchstens statistische Daten hat oder für die man ein Modell der Wahrscheinlichkeitsrechnung
MehrGaußsche Prozesse - ein funktionalanalytischer Zugang
Universität Ulm Fakultät für Mathematik und Wirtschaftswissenschaften Gaußsche Prozesse - ein funktionalanalytischer Zugang Bachelorarbeit in Wirtschaftsmathematik vorgelegt von Clemens Kraus am 31. Mai
MehrTeil II. Nichtlineare Optimierung
Teil II Nichtlineare Optimierung 60 Kapitel 1 Einleitung In diesem Abschnitt wird die Optimierung von Funktionen min {f(x)} x Ω betrachtet, wobei Ω R n eine abgeschlossene Menge und f : Ω R eine gegebene
MehrProfil A 49,3 48,2 50,7 50,9 49,8 48,7 49,6 50,1 Profil B 51,8 49,6 53,2 51,1 51,1 53,4 50,7 50 51,5 51,7 48,8
1. Aufgabe: Eine Reifenfirma hat für Winterreifen unterschiedliche Profile entwickelt. Bei jeweils gleicher Geschwindigkeit und auch sonst gleichen Bedingungen wurden die Bremswirkungen gemessen. Die gemessenen
MehrMathematik 1 für Wirtschaftsinformatik
Mathematik 1 für Wirtschaftsinformatik Wintersemester 2012/13 Hochschule Augsburg : Gliederung 7 Folgen und Reihen 8 Finanzmathematik 9 Reelle Funktionen 10 Differenzieren 1 11 Differenzieren 2 12 Integration
MehrKommentierte Musterlösung zur Klausur HM I für Naturwissenschaftler
Kommentierte Musterlösung zur Klausur HM I für Naturwissenschaftler Wintersemester 3/4 (.3.4). (a) Für z = + i und z = 3 4i berechne man z z und z z. Die Ergebnisse sind in kartesischer Form anzugeben.
MehrBox-and-Whisker Plot -0,2 0,8 1,8 2,8 3,8 4,8
. Aufgabe: Für zwei verschiedene Aktien wurde der relative Kurszuwachs (in % beobachtet. Aus den jeweils 20 Quartaldaten ergaben sich die folgenden Box-Plots. Box-and-Whisker Plot Aktie Aktie 2-0,2 0,8,8
MehrZ = 60! 29!31! 1,1 1017.
Aufgabe : Eine Hochzeitsgesellschaft besteht aus 60 Personen. a Wieviele verschiedene Möglichkeiten für Sitzordnungen gibt es? b Nehmen Sie nun an, dass 9 Gäste aus dem Familien- und Freundeskreis der
MehrEinführung in die Statistik
Einführung in die Statistik Dr. C.J. Luchsinger 2 Zufallsgrössen Literatur Kapitel 2 * Statistik in Cartoons: Kapitel 4 * Krengel: 3.1 und 3.2 in 3 und (Honours Program) 10 sowie 11.1, 11.2 und 11.3 in
Mehrq = 1 p = 0.8 0.2 k 0.8 10 k k = 0, 1,..., 10 1 1 0.8 2 + 10 0.2 0.8 + 10 9 1 2 0.22 1 = 0.8 8 [0.64 + 1.6 + 1.8] = 0.678
Lösungsvorschläge zu Blatt 8 X binomialverteilt mit p = 0. und n = 10: a PX = = 10 q = 1 p = 0.8 0. 0.8 10 = 0, 1,..., 10 PX = PX = 0 + PX = 1 + PX = 10 10 = 0. 0 0.8 10 + 0. 1 0.8 9 + 0 1 10 = 0.8 8 [
Mehr4. Versicherungsangebot
4. Versicherungsangebot Georg Nöldeke Wirtschaftswissenschaftliche Fakultät, Universität Basel Versicherungsökonomie (FS 11) Versicherungsangebot 1 / 13 1. Einleitung 1.1 Hintergrund In einem grossen Teil
MehrEin möglicher Unterrichtsgang
Ein möglicher Unterrichtsgang. Wiederholung: Bernoulli Experiment und Binomialverteilung Da der sichere Umgang mit der Binomialverteilung, auch der Umgang mit dem GTR und den Diagrammen, eine notwendige
MehrCredit Metrics. Wird in erster Linie für die Evaluierung von Bond Portfolios verwendet. (Siehe Crouhy et al. (2000), J.P.Morgan Inc.
Wurde bei J.P.Morgan entwickelt. Credit Metrics Wird in erster Linie für die Evaluierung von Bond Portfolios verwendet. (Siehe Crouhy et al. (2000), J.P.Morgan Inc. (1997)) Basiert auf ein Bonität-Einstufungssystem
MehrGenexpression. Expression eines einzelnen Gens. Expressionsmessung. Genexpressionsmessung. Transkription (Vorgang) Genexpression
Genexpressionsmessung Genexpression Transkription (Vorgang) Genexpression (quantitativ) Wieviele m-rna Moleküle eines bestimmten Gens sind in den Zellen? Genomische Datenanalyse 8. Kapitel Wie mißt man
MehrStatistiktraining im Qualitätsmanagement
Gerhard Linß Statistiktraining im Qualitätsmanagement ISBN-0: -446-75- ISBN-: 978--446-75-4 Leserobe Weitere Informationen oder Bestellungen unter htt://www.hanser.de/978--446-75-4 sowie im Buchhandel
Mehr2 3 x3 17. x k dx = x k x k+1 k +1. Mit jeder weiteren partiellen Integration reduziert sich der Grad des Faktors x n, induktiv erhalten wir also
Universität Konstanz Fachbereich Mathematik und Statistik Repetitorium Analysis 0 Dr DK Huynh Blatt 8 Aufgabe 6 Bestimmen Sie (a) (x + x 7x+)dx (c) (f) x n exp(x)dx (n N fest) sin (x)dx (g) (b) (d) ln(x)dx
MehrProbestudium der Physik: Mathematische Grundlagen
Probestudium der Physik: Mathematische Grundlagen Ludger Santen 1. Februar 2013 Fachrichtung Theoretische Physik, Universität des Saarlandes, Saarbrücken 1 Einführung Die Mathematik ist die Sprache der
MehrModulabschlussklausur Analysis II
Modulabschlussklausur Analysis II. Juli 015 Bearbeitungszeit: 150 min Aufgabe 1 [5/10 Punkte] Es sei a R und f a : R 3 R mit f a (x, y, z) = x cos(y) + z 3 sin(y) + a 3 + (z + ay a y) cos(x) a) Bestimmen
MehrOptimalitätskriterien
Kapitel 4 Optimalitätskriterien Als Optimalitätskriterien bezeichnet man notwendige oder hinreichende Bedingungen dafür, dass ein x 0 Ω R n Lösung eines Optimierungsproblems ist. Diese Kriterien besitzen
MehrDie Pareto Verteilung wird benutzt, um Einkommensverteilungen zu modellieren. Die Verteilungsfunktion ist
Frage Die Pareto Verteilung wird benutzt, um Einkommensverteilungen zu modellieren. Die Verteilungsfunktion ist k a F (x) =1 k>0,x k x Finden Sie den Erwartungswert und den Median der Dichte für a>1. (Bei
MehrEinführung in die Statistik für Wirtschaftswissenschaftler für Betriebswirtschaft und Internationales Management
Einführung in die Statistik für Wirtschaftswissenschaftler für Betriebswirtschaft und Internationales Management Sommersemester 2013 Hochschule Augsburg : Gliederung 1 Einführung 2 Deskriptive Statistik
Mehr5. Schließende Statistik. 5.1. Einführung
5. Schließende Statistik 5.1. Einführung Sollen auf der Basis von empirischen Untersuchungen (Daten) Erkenntnisse gewonnen und Entscheidungen gefällt werden, sind die Methoden der Statistik einzusetzen.
MehrKern- und Schulcurriculum Mathematik Klasse 9/10. Stand Schuljahr 2009/10
Kern- und Schulcurriculum Mathematik /10 Stand Schuljahr 2009/10 Fett und kursiv dargestellte Einheiten gehören zum Schulcurriculum In allen Übungseinheiten kommt die Leitidee Vernetzung zum Tragen - Hilfsmittel
MehrERGÄNZUNGEN ZUR ANALYSIS II MITTELWERTSATZ UND ANWENDUNGEN
ERGÄNZUNGEN ZUR ANALYSIS II MITTELWERTSATZ UND ANWENDUNGEN CHRISTIAN HARTFELDT. Zweiter Mittelwertsatz Der Mittelwertsatz Satz VI.3.4) lässt sich verallgemeinern zu Satz.. Seien f, g : [a, b] R auf [a,
MehrDIFFERENTIALGLEICHUNGEN
DIFFERENTIALGLEICHUNGEN GRUNDBEGRIFFE Differentialgleichung Eine Gleichung, in der Ableitungen einer unbekannten Funktion y = y(x) bis zur n-ten Ordnung auftreten, heisst gewöhnliche Differentialgleichung
MehrProf. Dr. H. Rommelfanger: Entscheidungstheorie, Kapitel 3 38
Prof. Dr. H. Rommelfanger: Entscheidungstheorie, Kapitel 3 38 Offene Fragen Warum ist ein ET bereit, für eine Feuerversicherung mit einer Versicherungshöhe von 1 Million und einer Jahreseintrittswahrscheinlichkeit
MehrMonty Hall-Problem. Wochen 3 und 4: Verteilungen von Zufallsvariablen. Lernziele. Diskrete Verteilungen
Monty Hall-Problem Wochen 3 und 4: Verteilungen von Zufallsvariablen US-amerikanische Fernseh-Show Let s make a deal, moderiert von Monty Hall: WBL 15/17, 04.05.2015 Alain Hauser
MehrInstitut für Statistik und Mathematische Wirtschaftstheorie Universität Augsburg OPTIMIERUNG II. Aufgaben und Lösungen
Institut für Statistik und Mathematische Wirtschaftstheorie Universität Augsburg OPTIMIERUNG II Aufgaben und Lösungen SS 2005 Aufgaben Aufgabe 41 Ein Betrieb stellt zwei Produkte P 1 und P 2 her, die die
Mehr, dt. $+ f(x) = , - + < x < +, " > 0. " 2# Für die zugehörige Verteilungsfunktion F(x) ergibt sich dann: F(x) =
38 6..7.4 Normalverteilung Die Gauß-Verteilung oder Normal-Verteilung ist eine stetige Verteilung, d.h. ihre Zufallsvariablen können beliebige reelle Zahlenwerte annehmen. Wir definieren sie durch die
MehrRUPRECHTS-KARLS-UNIVERSITÄT HEIDELBERG
Die Poisson-Verteilung Jianmin Lu RUPRECHTS-KARLS-UNIVERSITÄT HEIDELBERG Ausarbeitung zum Vortrag im Seminar Stochastik (Wintersemester 2008/09, Leitung PD Dr. Gudrun Thäter) Zusammenfassung: In der Wahrscheinlichkeitstheorie
MehrCoupon Collector's-Problem (Sammelbilderproblem) Name: Walter Wolf Matrikelnr.: 533440 Dozent: Dr. W. Kössler
Coupon Collector's-Problem (Sammelbilderproblem) Name: Walter Wolf Matrikelnr.: 533440 Dozent: Dr. W. Kössler Problemstellung Als Sammelbilderproblem bezeichnet man die Frage, wie viele Produkte bzw. Bilder
MehrKlausur Analysis II (SS 2005)
Klausur Analysis II (SS 5) Prof. Dr. J. Franke Abschlußklausur vom. Juli 5 Name, Vorname: Matrikelnummer: Gruppe, Tutor: Pseudonym: ir wünschen Ihnen viel Erfolg! Mit 5 Punkten oder mehr von 5 ist die
MehrSolvency II und die Standardformel
Fakultät Mathematik und Naturwissenschaften Institut für Mathematische Stochastik Solvency II und die Standardformel Festkolloquium 20 Jahre (neue) Versicherungsmathematik an der TU Dresden Sebastian Fuchs
Mehr1.5 Folgerungen aus dem Kolmogoroff- Axiomensystem P( ) = 0.
1.5 Folgerungen aus dem Kolmogoroff- Axiomensystem Folg. 2 Sei (Ω, E, P) W.-raum. Seien A, B,A 1,...,A n Ereignisse. Es gelten die folgenden Aussagen: 1. P(A) = 1 P(A). 2. Für das unmögliche Ereignis gilt:
Mehr17. Penalty- und Barriere-Methoden
H.J. Oberle Optimierung SoSe 01 17. Penalty- und Barriere-Methoden Penalty- und Barriere Methoden gehören zu den ältesten Ansätzen zur Lösung allgemeiner restringierter Optimierungsaufgaben. Die grundlegende
MehrElemente der Analysis I Kapitel 2: Einführung II, Gleichungen
Elemente der Analysis I Kapitel 2: Einführung II, Gleichungen Prof. Dr. Volker Schulz Universität Trier / FB IV / Abt. Mathematik 8. November 2010 http://www.mathematik.uni-trier.de/ schulz/elan-ws1011.html
MehrQuantitative Risk Management
Quantitative Risk Management Copulas und Abhängigkeit Johannes Paschetag Mathematisches Institut der Universität zu Köln Wintersemester 2009/10 Betreuung: Prof. Schmidli, J. Eisenberg i Inhaltsverzeichnis
MehrAnwendung der Theorie von Gauß Shift Experimenten auf den Kolmogorov Smirnov Test und das einseitige Boundary Crossing Problem
Anwendung der Theorie von Gauß Shift Experimenten auf den Kolmogorov Smirnov Test und das einseitige Boundary Crossing Problem Inauguraldissertation zur Erlangung des Doktorgrades der Mathematisch Naturwissenschaftlichen
MehrSchätzer (vgl. Kapitel 1): Stichprobenmittel X N. Stichprobenmedian X N
Prof. Dr. J. Franke Statistik II für Wirtschaftswissenschaftler 8.1 Schätzer für Lage- und Skalenparameter und Verteilungsmodellwahl Lageparameter (l(x + a) = l(x) + a): Erwartungswert EX Median von X
MehrNichtlineare Optimierung ohne Nebenbedingungen
Kapitel 2 Nichtlineare Optimierung ohne Nebenbedingungen In diesem Abschnitt sollen im wesentlichen Verfahren zur Bestimmung des Minimums von nichtglatten Funktionen in einer Variablen im Detail vorgestellt
MehrEine Einführung in R: Statistische Tests
Eine Einführung in R: Statistische Tests Bernd Klaus, Verena Zuber Institut für Medizinische Informatik, Statistik und Epidemiologie (IMISE), Universität Leipzig http://www.uni-leipzig.de/ zuber/teaching/ws12/r-kurs/
MehrEinführung in die Statistik
Meteorologisches Institut der Universität Bonn Skript zur Vorlesung Einführung in die Statistik Wintersemester 2004/2005 Andreas Hense Thomas Burkhardt Petra Friederichs Version: 31. Oktober 2005 1 Inhaltsverzeichnis
MehrMultivariate Statistik
Hermann Singer Multivariate Statistik 1 Auflage 15 Oktober 2012 Seite: 12 KAPITEL 1 FALLSTUDIEN Abbildung 12: Logistische Regression: Geschätzte Wahrscheinlichkeit für schlechte und gute Kredite (rot/blau)
MehrSkalare Differentialgleichungen
Kapitel 2 Skalare Differentialgleichungen 2.1 Skalare lineare Differentialgleichungen 2.2 Bernoulli und Riccati Differentialgleichungen 2.3 Differentialgleichungen mit getrennten Variablen 2.4 Exakte Differentialgleichungen
MehrFragestellungen der Schließenden Statistik
Fragestellungen der Schließenden Statistik Bisher: Teil I: Beschreibende Statistik Zusammenfassung von an GesamtheitM N {e,,e N } erhobenem Datensatz x,,x N durch Häufigkeitsverteilung und Kennzahlen für
MehrVersuch: Zufälliges Ziehen aus der Population
Wahrscheinlichkeit Ein Test diagnostiziert Kranke zu 99% richtig Gesunde zu 90% richtig 5% der Bevölkerung ist krank? Wie wahrscheinlich ist es, dass jemand krank ist, wenn der Test dies diagnostiziert?
MehrBeispiele zur UE Wirtschaftsstatistik 1 bei Nagel
Beispiele zur UE Wirtschaftsstatistik 1 bei Nagel 1 Ereignisse und Wahrscheinlichkeiten 1. Ein Würfel wird zweimal geworfen, der Stichprobenraum Ω ist Ihnen nicht neu. Versuchen Sie, den Stichprobenraum
MehrKompaktskript zur Vorlesung Stochastische Risikoanalyse
Kompaktskript zur Vorlesung Stochastische Risikoanalyse Friedrich-Schiller-Universität Jena Wirtschaftswissenschaftliche Fakultät Lehrstuhl für Wirtschafts- und Sozialstatistik Prof. Dr. P. Kischka Sommersemester
MehrReelle Analysis. Vorlesungsskript. Enno Lenzmann, Universität Basel. 7. November 2013
Reelle Analysis Vorlesungsskript Enno Lenzmann, Universität Basel 7. November 2013 6 L p -Räume Mit Hilfe der Masstheorie können wir nun die sog. L p -Räume einführen. Diese Räume sind wichtig in vielen
MehrDIPLOMVORPRÜFUNG GRUNDZÜGE DER STATISTIK, TEIL B WINTERSEMESTER 2006/07 28.02.2007
Wirtschaftswissenschaftliches Prüfungsamt DIPLOMVORPRÜFUNG GRUNDZÜGE DER STATISTIK, TEIL B WINTERSEMESTER 006/07 8.0.007 Lösung Prof. Dr. R Friedmann / Dr. R. Hauser Hinweise für die Klausurteilnehmer
MehrKlaus Pötzelberger Department of Statistics and Mathematics Wirtschaftsuniversität Wien
Interdisziplinäres Vertiefungsfach Grundkurs I: Stochastische Grundlagen der Finanzmathematik Wahlfach Mathematical Methods: Wahrscheinlichkeitsrechnung Klaus Pötzelberger Department of Statistics and
MehrKapitel 4: Stationäre Prozesse
Kapitel 4: Statioäre Prozesse M. Scheutzow Jauary 6, 2010 4.1 Maßerhaltede Trasformatioe I diesem Kapitel führe wir zuächst de Begriff der maßerhaltede Trasformatio auf eiem Wahrscheilichkeitsraum ei ud
MehrComputational Finance
Computational Finance Kapitel 2.1: Einführung in die Simulation Prof. Dr. Thorsten Poddig Lehrstuhl für Allgemeine Betriebswirtschaftslehre, insbes. Finanzwirtschaft Universität Bremen Hochschulring 4
MehrARBEITSUNTERLAGEN ZUR VORLESUNG UND ÜBUNG AN DER UNIVERSITÄT DES SAARLANDES DERIVATIVE FINANZINSTRUMENTE
ARBEITSUNTERLAGEN ZUR VORLESUNG UND ÜBUNG AN DER UNIVERSITÄT DES SAARLANDES DERIVATIVE FINANZINSTRUMENTE im SS 215 Aufgabe 1 (Innerer Wert, Zeitwert, Basiskurs, Aufgeld) Am 13.4.2 kostete eine Kaufoption
MehrStatistik. R. Frühwirth. Statistik. fru@hephy.oeaw.ac.at. VO 142.090 http://tinyurl.com/tu142090. Februar 2010. R. Frühwirth Statistik 1/536
fru@hephy.oeaw.ac.at VO 142.090 http://tinyurl.com/tu142090 Februar 2010 1/536 Übersicht über die Vorlesung Teil 1: Deskriptive Teil 2: Wahrscheinlichkeitsrechnung Teil 3: Zufallsvariable Teil 4: Parameterschätzung
MehrGleichungen und Ungleichungen
Gleichungen Ungleichungen. Lineare Gleichungen Sei die Gleichung ax = b gegeben, wobei x die Unbekannte ist a, b reelle Zahlen sind. Diese Gleichung hat als Lösung die einzige reelle Zahl x = b, falls
MehrMathematischer Vorbereitungskurs für Ökonomen
Mathematischer Vorbereitungskurs für Ökonomen Dr. Thomas Zehrt Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum Universität Basel Gleichungen Inhalt: 1. Grundlegendes 2. Lineare Gleichungen 3. Gleichungen mit Brüchen
MehrKursthemen 12. Sitzung. Spezielle Verteilungen: Warteprozesse. Spezielle Verteilungen: Warteprozesse
Kursthemen 12. Sitzung Folie I - 12-1 Spezielle Verteilungen: Warteprozesse Spezielle Verteilungen: Warteprozesse A) Die Geometrische Verteilung (Folien 2 bis 7) A) Die Geometrische Verteilung (Folien
MehrStatistik Musterlösungen
Statistik Musterlösungen Regina Tüchler & Achim Zeileis Institut für Statistik & Mathematik Wirtschaftsuniversität Wien 1 Grundbegriffe (1.23) Skript Reaktionen auf Videofilm. Aussagen M, E, P, S h(m)
MehrUniversität Bonn 28. Juli 2010 Fachbereich Rechts- und Wirtschaftswissenschaften Statistische Abteilung Prof. Dr. A. Kneip. KLAUSUR Statistik B
Universität Bonn 28. Juli 2010 Fachbereich Rechts- und Wirtschaftswissenschaften Statistische Abteilung Prof. Dr. A. Kneip Sommersemester 2010 KLAUSUR Statistik B Hinweise zur Bearbeitung: Bei allen Teilaufgaben
MehrÜbungsblatt 1 zur Vorlesung Angewandte Stochastik
Dr Christoph Luchsiger Übugsblatt 1 zur Vorlesug Agewadte Stochastik Repetitio WT Herausgabe des Übugsblattes: Woche 9, Abgabe der Lösuge: Woche 1 (bis Freitag, 1615 Uhr), Rückgabe ud Besprechug: Woche
MehrGrundlagen der Monte-Carlo-Methode
Probieren geht über studieren Institut für experimentelle Kernphysik Karlsruher Institut für Technologie 16. November 2009 Übersicht Definitionen und Motivation 1 Definitionen und Motivation Typische Problemstellung
MehrMessgeräte: Mess-System-Analyse und Messmittelfähigkeit
Messgeräte: Mess-System-Analyse und Messmittelfähigkeit Andreas Berlin 14. Juli 2009 Bachelor-Seminar: Messen und Statistik Inhalt: 1 Aspekte einer Messung 2 Mess-System-Analyse 2.1 ANOVA-Methode 2.2 Maße
MehrSchleswig-Holsteinische Ergänzung der Musteraufgaben für den hilfsmittelfreien Teil der schriftlichen Abiturprüfung im Fach Mathematik ab 2015
ische Ergänzung der für den hilfsmittelfreien Teil der schriftlichen Abiturprüfung im Fach Mathematik ab 2015 Ministerium für ildung und Wissenschaft des Landes Juni 2013 1 Inhaltsverzeichnis Vorbemerkungen
MehrPlanungsblatt Mathematik für die 4E
Planungsblatt Mathematik für die 4E Woche 26 (von 09.03 bis 13.03) Hausaufgaben 1 Bis Mittwoch 11.03: Auf dem Planungsblatt stehen einige Aufgaben als Übung für die SA. Bereite diese Aufgaben vor! Vor
MehrBisher angenommen: jeder Spieler kennt alle Teile des Spiels. - Diskontfaktor des Verhandlungspartners
1 KAP 15. Spiele unter unvollständiger Information Bisher angenommen: jeder Spieler kennt alle Teile des Spiels seine Gegenspieler, deren Aktionen, deren Nutzen, seinen eigenen Nutzen etc. Oft kennt man
MehrGegeben ist die Funktion f durch. Ihr Schaubild sei K.
Aufgabe I 1 Gegeben ist die Funktion f durch. Ihr Schaubild sei K. a) Geben Sie die maximale Definitionsmenge D f an. Untersuchen Sie K auf gemeinsame Punkte mit der x-achse. Bestimmen Sie die Intervalle,
MehrSchleswig-Holsteinische Ergänzung der Musteraufgaben für den hilfsmittelfreien Teil der schriftlichen Abiturprüfung im Fach Mathematik ab 2015
ische Ergänzung der für den hilfsmittelfreien Teil der schriftlichen Abiturprüfung im Fach Mathematik ab 2015 Ministerium für ildung und Wissenschaft des Landes Juni 2013 1 für Aufgabenpool 1 Analysis
MehrOptimale Steuerung. Sequentielle Quadratische Programmierung. Kevin Sieg. 14. Juli 2010. Fachbereich für Mathematik und Statistik Universität Konstanz
Optimale Steuerung Kevin Sieg Fachbereich für Mathematik und Statistik Universität Konstanz 14. Juli 2010 1 / 29 Aufgabenstellung 1 Aufgabenstellung Aufgabenstellung 2 Die zusammengesetzte Trapezregel
MehrAnhand des bereits hergeleiteten Models erstellen wir nun mit der Formel
Ausarbeitung zum Proseminar Finanzmathematische Modelle und Simulationen bei Raphael Kruse und Prof. Dr. Wolf-Jürgen Beyn zum Thema Simulation des Anlagenpreismodels von Simon Uphus im WS 09/10 Zusammenfassung
MehrElemente der Analysis I: Zusammenfassung und Formelsammlung
Elemente der Analysis I: Zusammenfassung und Formelsammlung B. Schuster/ L. Frerick 9. Februar 200 Inhaltsverzeichnis Grundlagen 5. Mengen und Zahlen................................ 5.. Mengen...................................
MehrKlausur Statistik Lösungshinweise
Klausur Statistik Lösungshinweise Prüfungsdatum: 1. Juli 2015 Prüfer: Etschberger, Heiden, Jansen Studiengang: IM und BW Aufgabe 1 14 Punkte Ein Freund von Ihnen hat über einen Teil seiner Daten, die er
MehrGewinnchancen und Gewinnerwartung
Bachelorarbeit an der Ruhr-Universität Bochum Gewinnchancen und Gewinnerwartung Marius Alexander Wilker aus Marl Bochum, im April 008 Fakultät für Mathematik Prof. Dr. R. Verfürth Inhaltsverzeichnis I.
Mehr- Denken Sie daran, Ihre Laboraufgaben regelmäßig am besten jeweils nach Lösung einer Teilaufgabe zu speichern.
Hinweise zur Klausur Schließende Statistik / Statistik 2 - Die Klausur besteht aus zwei Teilen. Die Aufgaben aus Teil 1 sind mit dem Statistiklabor am PC zu lösen, die Aufgaben aus Teil 2 sind klassisch
MehrPhysik 4, Übung 8, Prof. Förster
Physik 4, Übung 8, Prof. Förster Christoph Hansen Emailkontakt Dieser Text ist unter dieser Creative Commons Lizenz veröffentlicht. Ich erhebe keinen Anspruch auf Vollständigkeit oder Richtigkeit. Falls
MehrUnsupervised Kernel Regression
9. Mai 26 Inhalt Nichtlineare Dimensionsreduktion mittels UKR (Unüberwachte KernRegression, 25) Anknüpfungspunkte Datamining I: PCA + Hauptkurven Benötigte Zutaten Klassische Kernregression Kerndichteschätzung
Mehr