12 Ungleichungen. Wir beginnen mit einer einfachen Ungleichung über die Varianz. Satz 35 Es sei X eine zufällige Variable.

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1 12 Ungleichungen Wir beginnen mit einer einfachen Ungleichung über die Varianz. Satz 35 Es sei X eine zufällige Variable. Dann gilt: min c R E(X c)2 = Var X. Beweis: Für alle reellen Zahlen c R gilt: E(X c) 2 = E(X EX + EX c) W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

2 = E(X EX) 2 + 2E((X EX)(EX c)) + (EX c) 2 = E(X EX) 2 + 2(EX c)e(x EX) +(EX c) 2 }{{} =0 = VarX + (EX c) 2 VarX Setzen wir c := EX erhalten wir Gleichheit. 469 W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

3 12.1 Jensen-Ungleichung Satz 36 (Ungleichung von JENSEN) Sei X eine zufällige Variable mit EX < und g eine differenzierbare und konvexe Funktion. Dann gilt: Eg(X) g(ex). Beweis: Sei T(x) die Tangente an die Kurve der Funktion g im Punkt x 0, g(x) T(x) = g(x 0 ) + g (x 0 ) }{{} Anstieg der Kurve in x 0 (x x 0 ). 470 W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

4 Wir setzen nun x := X und x 0 := EX und erhalten: Daraus folgt: g(x) g(ex) + g (EX) (X EX). Eg(X) E(g(EX) + g (EX) (X EX)) = g(ex) + g (EX) E(X EX) }{{} =0 = g(ex) Folg. 6 Es sei g differenzierbar und konkav. Weiterhin sei X eine zufällige Variable. Dann gilt: Eg(X) g(ex). 471 W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

5 Beweis: Da die Funktion g nach Voraussetzung konkav ist, ist die Funktion ( g) konvex. Dann gilt nach Satz 36: E(( g)(x)) ( g)(ex). Daraus folgt: Eg(X) g(ex). Eg(X) g(ex). Bsp Es sei g(x) = x 2. Dann gilt nach Satz 36: EX 2 (EX) W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

6 Daraus aber folgt (die schon bekannte Aussage): VarX = E(X EX) 2 = EX 2 (EX) Es sei g(x) = x. Dann gilt nach Satz 36: E X EX. 3. Es sei g(x) = ln x. Diese Funktion ist konkav. Also gilt nach Folgerung 6: E(lnX) ln(ex). 473 W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

7 12.2 Markov- und Tschebyschev-Ungleichung Satz 37 (Ungleichung von MARKOV) eine Zufallsgröße. Dann gilt: Sei c > 0. X sei P( X > c) E X. c Beweis: Wir definieren eine Zufallsgröße Y : c, falls X(ω) > c Y (ω) :=, ω Ω. 0, falls X(ω) c 474 W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

8 Wir können also schreiben: 0 c Y : P( X c) P( X > c) Offenbar gilt für alle ω Ω: 0 Y (ω) X(ω), beziehungsweise: 0 Y X. Daraus folgt: P( X Y 0) = 1. Nach Satz 11: E( X Y ) 0 E X EY. 475 W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

9 Da die Zufallsgröße Y diskret ist, folgt aus der Definition des Erwartungswertes: EY = 0 P( X c) + c P( X > c) Wir stellen um und erhalten: = c P( X > c) E X P( X > c) E X c. Satz 38 (Ungleichung von TSCHEBYCHEV) Es sei ε > 0 und sei Y eine Zufallsgröße. Dann gilt: P( Y EY > ε) Var Y ε W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

10 Beweis: Wir verwenden die Ungleichung von MARKOV: P( X > c) E X c. Wir setzen folgendes in diese Ungleichung ein: X := (Y EY ) 2i 0, c := ε 2i (i N). Da ε > 0 gilt, ist die Voraussetzung der Ungleichung von MARKOV erfüllt. Wir erhalten also: P ( (Y EY ) 2i > ε 2i) = P( Y EY > ε) Wenn wir nun i := 1 setzen, so ergibt sich: E(Y EY )2i ε 2i. P( Y EY > ε) E(Y EY )2 ε 2 = Var Y ε W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

11 Bem.: Aus der Ungleichung von TSCHEBYCHEV folgt: P( Y EY ε) 1 Var Y ε 2. Bsp. 77 Es sei X N(µ,σ 2 ), also EX = µ, VarX = σ 2. Wir setzen ε := k σ (k N) und erhalten dann mit der Ungleichung von TSCHEBYCHEV: P( X µ k σ) 1 σ2 k 2 σ = k W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

12 k exakt Tschebychew-Ungleichung Φ(kσ) Φ( kσ) 1 1 k Bem. 18 Die Tschebyscheff-Ungleichung gilt für beliebig verteilte Zufallsvariablen, die Erwartungswert und Varianz besitzen, insbesondere liegt die Zufallsvariable X mit Wahrscheinlichkeit 0.89 im 3σ-Intervall. 479 W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

13 Bsp. 78 Die Zahl med = med(x) heißt Median der Zufallsvariablen X, falls P(X med) 1 2 und P(X med) 1 2 Sei P(X > 0) = 1. Aus der Markov-Ungleichung folgt: 1 2 P(X med) EX med, d.h. med 2 EX 480 W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

14 12.3 Hoeffding-Ungleichung Satz 39 (Hoeffding-Ungleichung) Seien Y 1,...,Y n unabhängig und so dass EY i = 0 und a i Y i b i. Sei ɛ > 0. Dann gilt t > 0: P( n Y i ɛ) e tɛ n e t2 (b i a i ) 2 /8, i=1 i=1 Satz 40 (Hoeffding-Ungleichung für Bernoulli ZV) Seien X 1,...,X n Bi(1,p). Dann gilt ɛ > 0: wobei X n = 1 n n i=1 X i. P( X n p > ɛ) 2e 2nɛ2, 481 W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

15 Bsp. 79 Seien X 1,...,X n Bi(1,p), d.h. Bernoulli: X i = 1 mit Wkt. p, X i = 0 sonst. n = 100,ɛ = 0.2. Tschebyschev: P( X n p ) > ɛ) varx n ɛ 2 = p(1 p) nɛ 2 1 4nɛ 2 = Hoeffding: P( X n p ) > ɛ) 2e = W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

16 Bem.: Es geht sogar noch besser. ZGWS (s. Kapitel 13): P( X n p ) > ɛ) = P ( n i=1 X i np np(1 p) > nɛ ) np(1 p) ( 1 Φ ( nɛ )) ( nɛ ) + Φ np(1 p) np(1 p) = 2Φ ( nɛ ) np(1 p) 2Φ ( nɛ n 1 4 ) = 2Φ( 2ɛ n) = 2Φ( 4) W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

17 Bsp. 80 Sei α > 0 und Hoeffding: ɛ n = 1 2n log( 2 ). α P( X n p ) > ɛ n ) 2e 2nɛ2 n = α. Sei C = (X n ɛ n,x n + ɛ n ). P(p / C) = P( X n p > ɛ n ) α P(p C) 1 α D.h. das zufällige Intervall C überdeckt den wahren Parameter p mit Wkt. 1 α. C heißt 1 α Konfidenzintervall. 484 W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

18 Problem: Schätzung von Binomialwktn. Vorgabe: ɛ,α. Gesucht: notwendiger Stichprobenumfang um P( ˆp p > ɛ) < α zu sichern. Hoeffding: Es genügt: 2 e 2nɛ2 < α also n > ln α/2 2ɛ 2 = ln(2/α) 2ɛ W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

19 ZGWS: P( ˆp p > ɛ) = P ( ˆp p np(1 p) > nɛ ) np(1 p) = 2Φ ( nɛ ) np(1 p) < α nɛ np(1 p) < Φ 1 ( α 2 ) Φ 1 ( α) n > 2 p(1 p) ɛ ( Φ 1 (1 α)) 2 2 n > 4ɛ W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

20 Vergleich Hoeffding - ZGWS. Sei ɛ = ZGWS Hoeffding α 1 4ɛ 2 Φ 1 (1 α 2 ) 1 2ɛ 2 ln 2 α W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

21 Beweis: (Hoeffding-Ungleichung) Sei t > 0. Aus der Markov-Ungleichung folgt: P( n i=1 Y i ɛ) = P(t n i=1 Y i tɛ) = P(e t P n i=1 Y i e tɛ ) e tɛ E ( e t P n i=1 Y i ) = e tɛ n i=1 E(e ty i ). Da a i Y i b i läßt sich Y i als konvexe Kombination von a i und b i schreiben, wobei α = Y i a i b i a i. Y i = αb i + (1 α)a i, 488 W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

22 NR.: Für konvexe Funktionen f(x), x (a, b) gilt: f(x) f(a) + f(b) f(a) (x a) = αf(b) + (1 α)f(a) b a (Die Kurve f liegt unterhalb der Sekante, α = x a b a.). Da die Exponentialfunktion konvex ist: e ty i αe tb i + (1 α)e ta i = Y i a i b i a i e tb i + b i Y i b i a i e ta i E(e ty i ) a i b i a i e tb i + b i b i a i e ta i = e g(u) 489 W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

23 wegen EY i = 0. Dabei ist u = t(b i a i ) g(u) = γu + log(1 γ + γe u ) γ = a i b i a i g(0) = g (0) = 0, g (u) 1 u > 0. 4 Satz von Taylor: es ex. ein ξ (0,u): g(u) = g(0) + ug (0) + u2 2 g (ξ) = u2 2 g (ξ) u2 8 = t2 (b i a i ) W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

24 Daraus folgt: E(e ty i ) e g(u) e t2 (b i a i ) 2 /8. Damit: P( n Y i ɛ) = e tɛ n E(e ty i ) e tɛ n e t2 (b i a i ) 2 /8 i=1 i=1 i=1 491 W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

25 Beweis: (Hoeffding-Ungleichung für Bernoulli ZV) Sei Y i = 1(X n i p). Dann gilt EY i = 0 und a Y i b, wobei a = p/n und b = (1 p)/n. Also (b a) 2 = 1/n 2. Aus der Hoeffding-Ungleichung folgt: P(X n p > ɛ) = P( n i=1 Y i > ɛ) e tɛ e t2 /(8n), für jedes t > 0. Setze t = 4nɛ: P(X n p > ɛ) e 2nɛ2. Analog: P(X n p < ɛ) e 2nɛ W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

26 Beides zusammen: P( X n p > ɛ) 2e 2nɛ2. Satz 41 (Chernov-Ungleichung) Seien X 1,...,X n Bi(1,p). Dann gilt δ (0, 1): P( X n p p P( X n p p > δ) e pn δ2 3 > δ) e pn δ2 2 wobei X n = 1 n n i=1 X i. Beweis: s. z.b. in Wikipedia 493 W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

27 Satz 42 (Mill-Ungleichung) Sei Z N(0, 1). Dann gilt: P( Z > t) 2 π e t2 /2 t = 2φ(t) t 494 W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

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