BC 1.2 Mathematik WS 2016/17. BC 1.2 Mathematik Zusammenfassung Kapitel II: Vektoralgebra und lineare Algebra. b 2

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1 Zusammenfassung Kapitel II: Vektoralgebra und lineare Algebra 1 Vektoralgebra 1 Der dreidimensionale Vektorraum R 3 ist die Gesamtheit aller geordneten Tripel (x 1, x 2, x 3 ) reeller Zahlen Jedes geordnete Tripel definiert einen Punkt des Raums x 1 Die Zahlen x i heißen Koordinaten R 3 = x 2 x 1, x 2, x 3 R Es wird zwischen x 3 Spalten- und Zeilenvektoren unterschieden 2 Definition Vektor: Der Vektor a des Euklidischen Raums E 3 ist eine gerichtete Strecke durch die Punkte P (Anfang) und Q (Endpunkt): a = P Q Vektoren, die über Parallelverschiebung erzeugt werden, sind gleich Die Komponenten des Vektors sind die Längen der Projektionen des Vektors auf die Koordinatenachsen Der Betrag eines Vektors a entspricht der Länge des Vektorpfeils 3 Rechnen mit Vektoren: Addition: c = a + a 1 b 1 a 1 + b 1 b = a 2 + b 2 = a 2 + b 2 a 3 b 3 a 3 + b 3 λa 1 Multiplikation mit einer reellen Zahl (Skalar): c = λ a = λa 2 λa 3 Es gelten Kommutativ-, Assoziativ- und Distributivgesetze Skalarprodukt: a b = λ Das Ergebnis des Skalarprodukts ist eine Zahl (ein Skalar): λ = a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 Geometrische Betrachtung: a b = a b cos α; a = a a a 2 3, cos α = a b a b Vektorprodukt: a b = c Das Ergebnis des Vektorprodukts ist ein Vektor c, der senkrecht auf der von a und b aufgespannten Ebene steht: a a 1 b 1 a 2 b 3 a 3 b 2 b = a 2 b 2 = a 3 b 1 a 1 b 3 = c a 3 b 3 a 1 b 2 a 2 b 1 Das Assoziativgesetz ist im Allgemeinen nicht gültig; das Vektorprodukt ist anti-kommutativ

2 4 Definition: Lineare Unabhängigkeit: Es seien k Vektoren a 1, a 2, a k des n- dimensionalen Raums R n vorgegeben Die k Vektoren heißen linear unabhängig, wenn die lineare Vektorgleichung λ 1 a 1 + λ 2 a 2 + λ k a k = 0 nur für λ 1 = λ 2 = λ k = 0 erfüllt werden kann Gibt es mindestens einen λ i 0, so heißen die k Vektoren linear abhängig k Vektoren a 1, a 2, a k in R n sind dann und nur dann linear abhängig, wenn mindestens einer der k Vektoren als Linearkombination der übrigen darstellbar ist: a j = k 1 λ i=1 k a i In einem n-dimensionalen Vektorraums hat eine Menge linear unabhängiger Vektoren höchstens n Elemente 5 Definition Vektorraum: Eine nicht leere Menge V heißt Vektorraum, wenn gilt: Es gibt für jeden Vektor a eine Multiplikation mit Skalaren λ R, wobei das Produkt λ a ein Vektor ist, der auch zu V gehört: a V (λ a) V Der Summenvektor zweier beliebiger Vektoren gehört auch zu V : a V, b V a + b = c V Hierbei sollen die üblichen Rechenregeln gelten Es gibt k linear unabhängige Vektoren; mehr als k Vektoren sind immer linear abhängig Die Menge V heißt linearer Vektorraum der Dimension k, dim V = k oder V k Der lineare Vektorraum V k besteht aus der Gesamtheit der Linearkombinationen der linear unabhängigen Vektoren q 1, q 2, q k ; diese bilden eine sogenannte Basis des linearen Vektorraums (Dies gilt für endlich-dimensionale Vektorräume) 6 Im euklidischen Raum (kartesische Metrik) ist die Länge eines Vektors a = P Q als der Abstand zweier Punkte P = (p 1, p 2, p n ) und Q = (q 1, q 2, q n ) wie folgt definiert: a = d(p, Q) = n (q i p i ) 2 = i=1 Vektoren der Länge 1 heißen normiert a a a 2 n 7 Zwei Vektoren heißen orthogonal, wenn ihr Skalarprodukt gleich Null ist, a b = 0 8 Die Vektoren, die eine orthonormale Basis aufspannen, erfüllen die folgende Relation: { 1 für i = j q i q j = δ ij = 0 für i j δ ij heißt das Kronecker-Symbol

3 9 Über das Schmidtsche Orthogonalisierungsverfahren kann jede Basis aus n linear unabhängigen Vektoren q 1, q n in R n in eine orthogonale bzw orthonormale Basis e 1, e n überführt werden: i 1 r i = q i ( q i e j ) e j ; j=1 e j = r i r i 10 Im komplexen Vektorraum C n ist das Skalarprodukt zweier komplexer Vektoren wie folgt definiert: a 1 b 1 a = ; n b = ; a b = a b = a i b i = a 1b 1 + a 2b a nb n = λ a n b n λ ist eine (komplexe) Zahl Es gilt: i=1 a b = b a ; a λb = λ a b ; λa b = λ a b ; a b+c = a b + a c ; a a 0 2 Matrizen und Determinanten 1 Definition: Matrix: Unter einer Matrix A vom Schema (m, n) mit m, n N verstehen wir die m n Zahlen a ik (Matrixelemente) (i = 1, m, k = 1, n), die in dem rechteckigen Schema a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = a m1 a m2 a mn zusammengefasst werden 2 Eine Matrix heißt quadratisch, wenn Zeilenzahl = Spaltenzahl Quadratische Matrizen, deren Nichtdiagonalelemente verschwinden, heißen Diagonalmatrizen Diagonalmatrizen, deren Diagonalelemente a ii = 1, heißen Einheitsmatrix 3 Rechnen mit Matrizen Addition: Elementweise; A + B = C, mit c ik = a ik + b ik a 11 + b 11 a 12 + b 12 a 1n + b 1n a 21 + b 21 a 22 + b 22 a 2n + b 2n C = a m1 + b m1 a m2 + b m2 a mn + b mn

4 Multiplikation mit einem Skalar λ: elementweise Multiplikation: λ a 11 λ a 12 λ a 1n λ a 21 λ a 22 λ a 2n λ A = λ a m1 λ a m2 λ a mn Multiplikation Matrix A(m, n) mit Vektor (der gleichen Länge n) ergibt wieder ein Vektor: a 11 v 1 + a 12 v a 1n v n a 21 v 1 + a 22 v a 2n v n A v = a m1 v 1 + a m2 v a mn v n Matrixmultiplikation A(m, n) B(n, p) = C(m, p) mit c ik = n j=1 a ij + b jk Matrixmultiplikation ist nicht kommutativ; es gelten Assoziativ- und Distributivgesetze Eine Matrix A heißt regulär (nicht-singulär), wenn es eine Matrix B gibt, die zugleich links- und rechts-invers von A ist: A B = B A = E B heißt dann Inverse von A und wird im Allgemeinen mit A 1 bezeichnet: A A 1 = A 1 A = E 4 Der Rang Rg(A) einer Matrix A(m, n) gibt die Maximalzahl r (mit r < n) linear unabhängiger Zeilen- bzw Spaltenvektoren an Eine n-reihige quadratische Matrix A(n, n) is dann und nur dann regulär, wenn r = n 5 Transponierte Matrix A T : a T ik = a ki Symmetrische Matrix: A T = A Orthogonale Matrix: A T = A 1 Hermitesche Matrix: A T = A 6 Jeder n reihigen quadratischen Matrix A wird eine Zahl D zugeordnet: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n det(a) = a m1 a m2 a mn Die Determinante kann über die Regel von Sarrus (nur für 3 3 Matrizen) oder den Laplaceschen Entwicklungssatz berechnet werden: D = det(a) = n j=1 ( 1)i+j a ij D ij, wobei die Summe über die j te Zeile oder Spalte geht, a ij das Matrixelement an der Stelle a ij darstellt und D ij die Unterdeterminante ist, welche entsteht, wenn der ursprünglichen die i te Zeile und j te Spalte gestrichen wurde

5 7 Eigenschaften von Determinanten: Vertauschen zweier Zeilen (Spalten) einer Determinante führt zu einem Vorzeichenwechsel der Determinanten Enthält die Determinante zwei gleiche Zeilen (Spalten), ist der Wert der Determinante gleich Null Multiplikation einer Determinante mit einer Zahl λ: die Elemente einer Zeile werden mit λ multipliziert (nicht wie bei einer Matrix!) Enthält eine Zeile (Spalte) nur Nullen, ist der Wert der Determinante gleich Null Addiert man zu einem beliebigen Zeilenvektor (Spaltenvektor) a i das λ-fache eines anderen Zeilenvektors (Spaltenvektors) a k (k i), so behält die Determinante ihren Wert unverändert bei Addiert man zu einem beliebigen Zeilenvektor (Spaltenvektor) a i eine beliebige Linearkombination der übrigen Zeilenvektoren (Spaltenvektoren), so behält die Determinante ihren Wert unverändert bei Vertauscht man Zeilen und Spalten einer Determinante, so behält die Determinante ihren Wert unverändert bei det(a) = det(a T ) Für zwei quadratische Matrizen A und B des gleichen Typs gilt: det(c) = det(a B) = det(a) det(b) 8 Anwendungen der Determinantentheorie: Lineare Unabhängigkeit von Vektoren: Da det(a) = 0, wenn die Matrix zwei gleiche Zeilen bzw Spalten (oder den Nullvektor) aufweist: n Vektoren a 1, a n des n dimensionalen Vektorraums R n sind dann und nur dann linear unabhängig, wenn ihre Determinante nicht verschwindet Der Rang r einer Matrix gibt demnach die größtmögliche Anzahl von Null verschiedener r-reihiger Unterdeterminanten an Lineare Gleichungssysteme A x = b: Sei A eine (m,n) Matrix, b R m und Rg(A) = Rg(Ã) = r Homogone lineare Gleichungssysteme der Form A x = 0 haben immer eine Lösung (triviale Lösung), x = 0 Diese ist die einzige Lösung, wenn Rg(A) = n Für Rg(A) < n existiert nicht nur die triviale Lösung Der Lösungsvektorraum hat dabei die Dimension n r Inhomogene lineare Gleichungssysteme haben nur dann eine Lösung, wenn Rg(A) = Rg(Ã) Für r = n existiert genau eine einzige Lösung; für r < n hat der Lösungsvektorraum die Dimension n r Der Lösungsvektor kann beispielsweise über die Cramersche Regel gefunden werden; alternativ bietet sich das Verfahren von Gauß an, um die Matrix in Zeilenstufenform zu überführen Berechnung inverser Matrizen:

6 9 Eine lineare Transformation ˆσ ist eine eindeutige Abbildung des (komplexen) n dimensionalen Vektorraums V n (R) in sich, die jeden Vektor x V n (R) einem Vektor y = ˆσ( x) V n (R) so zuordnet, dass gilt: ˆσ(λ x) = λˆσ( x) ˆσ( x 1 + x 2 ) = ˆσ( x 1 ) + ˆσ( x 2 ) Die Summe zweier linearer Transformationen ist ebenfalls eine lineare Tranformation Jeder lineare Transformation ˆσ kann durch eine Matrix A bezüglich einer festen Basis q 1, q n dargestellt werden Ein Beispiel für eine lineare Transformation ist die Koordinatentransformation Der Übergang einer Matrix P in eine neue Basis Q wird wie folgt ausgedrückt: Q = T P T 1, wobei T die Transformationsmatrix ist 10 Matrixeigenwertprobleme: Spezielle linear Abbildung ˆσ eines Vektors x, so dass gilt: ˆσ( x) = λ x, bzw in Matrixdarstellung bzgl einer festen Basis A x = λ x oder (A λe) x = 0 Es heißt λ Eigenwert und x Eigenvektor der Gleichung Die Lösungen werden zb über die Determinante gefunden: a 11 λ a 12 a 1n a 21 a 22 λ a 2n det(a λe) = = 0 a n1 a n2 a nn λ Die Nullstellen des Polynoms sind die Eigenwerte Aufgrund des Fundamentalsatzes der Algebra gibt es n Lösungen (Eigenwerte) λ 1, λ n und n dazugehörende Lösungsvektoren (Eigenvektoren) x 1, x n Tritt mehrmals der gleiche Eigenwert auf, so nennt man diesen Eigenwert m-fach entartet Das spezielle Eigenwertproblem (A λe) x = 0 mit A = A T besitzt die folgenden Eigenschaften: (i) alle n Eigenwerte sind reell; (ii) es gibt genau n linear unabhängige Eigenvektoren; (iii) Eigenvektoren, die zu verschiedenen Eigenvektoren gehören, sind orthogonal; (iv) zu jedem Eigenwert λ i der Vielfachheit m existieren genau m linear unabhängige Eigenvektoren x (1) i, x (2) i,, x (m) i, die sich orthonormieren lassen Die Eigenwerte reeller symmetrischer Matrizen in Diagonal- oder Dreiecksform sind die Elemente der Hauptdiagonalen λ i = a ii (i = 1, n) Zu jeder reellen symmetrischen Matrix A findet sich eine reelle orthogonale Matrix T, so dass B = T 1 AT in Diagonalform ist Die Spalten von T sind die Eigenvektoren x i, die Diagonalelemente sind die Eigenwerte b ii = λ i (Hauptachsentransformation),