6.1 Zerlegungen Ober- und Unterintegrale Existenz des Integrals

Transkript

1 Kpitel 6 Ds Riemnn-Integrl In diesem Abschnitt wollen wir einen Integrlbegriff einführen. Dieser Integrlbegriff geht uf Riemnn 1 zurück und beruht uf einer nheliegenden Anschuung. Es wird sich zeigen, dss dieser Begriff für wichtige Anwendungen nicht usreichend ist und wir werden später einer weitergehenden Begriff kennenlernen. Wir beginnen mit dem Begriff der Zerlegung eines Intervlls, eine nheliegende Konstruktion, die zur Definition des Integrls benötigt wird. Die Entwicklung des Integrlbegriffes nimmt einige Konzepte, die meist erst bei der Drstellung des Lebesgue-Integrles eine Rolle spielen, vorweg. Dmit ist unsere Drstellung etws bstrkter, ls es in der Litertur üblich ist, ndererseits treten uch bei der Drstellung, wie sie normlerweise gegeben wird, einige Probleme uf, die dort nicht explizit behndelt werden, deren schgemäße Lösung uf unseren Formlismus führt, der konsequent us dem Funktionsbegriff hervorgeht. Inhltsngbe 6.1 Zerlegungen Ober- und Unterintegrle Existenz des Integrls Der Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung Integrtion von Funktionenfolgen Ausblick und π Georg Friedrich Bernhrd Riemnn ( ) gilt ls einer der bedeutendsten Mthemtiker, seine wichtigsten Beiträge glten der Anlysis, und der Differentilgeometrie. 129

2 130 KAPITEL 6. DAS RIEMANN-INTEGRAL 6.1 Zerlegungen Definition (Zerlegung) Es sei [, b] Ê ein kompktes Intervll. Eine geordnete Teilmenge Z = ζ i i = 0,..., n mit = ζ 0 < ζ 1 < < ζ n = b heißt eine Zerlegung von [, b]. Ds Mximum (Z) = mx ζ i+1 ζ i i = 0,..., n 1 nennt mn die Feinheit der Zerlegung. Wir wollen nun zwei Zerlegungen vergleichen. Definition (Feinheit einer Zerlegung) 1. Eine Zerlegung Z 1 des Intervlls [, b] nennt mn feiner ls eine Zerlegung Z 2 des Intervlls [, b], flls (Z 1 ) (Z 2 ). 2. Eine Zerlegung Z 1 des Intervlls [, b] wird ls Verfeinerung der Zerlegung Z 2 bezeichnet, wenn Z 2 Z 1. Bemerkung Ist Z 1 eine Verfeinerung von Z 2, so ist d.h. Z 1 ist feiner ls Z 2. (Z 1 ) (Z 2 ), Lemm Ist [, b] ein kompktes Intervll in Ê und sind Z 1, Z 2 zwei Zerlegungen von [, b], so gibt es eine Zerlegung Z 3, so dss Z 3 sowohl eine Verfeinerung von Z 1, wie uch eine Verfeinerung von Z 2 ist.

3 6.2. OBER- UND UNTERINTEGRALE 131 Definition Jede Zerlegung Z 3 mit dieser Eigenschft wird ls gemeinsme Verfeinerung von Z 1 und Z 2 bezeichnet. Ds obige Lemm knn mn lso knpp so zusmmenfssen: zu je zwei Zerlegungen eines kompkten Intervlls gibt es eine gemeinsme Verfeinerung. Beweis von Lemm Betrchte Z 3 = Z 1 Z 2 und ordne Z 3 entsprechend der ntürlichen Anordnung in Ê. Definition Ist [, b] Ê ein kompktes Intervll, Z eine Zerlegung von [, b] und ϕ i Ê, i = 0,...,n 1 eine Folge von n reellen Zhlen, dnn nennt mn eine Funktion ϕ : [, b] Ê, D(ϕ) [, b] \ Z mit Treppenfunktion uf [, b]. ϕ(x) = ϕ i flls x (ζ i, ζ i+1 ) Eine Treppenfunktion wird durch eine Zerlegung und eine (endliche) Folge reeller Zhlen definiert. Mn bechte, dss die Werte der Treppenfunktion ϕ n den Stellen ζ i bei der Definition keine Rolle spielen. Wir gehen sogr noch einen Schritt weiter und verlngen nicht einml, dss ϕ n diesen Stellen definiert ist. Lemm Sind ϕ, ψ Treppenfunktionen uf [, b], so ist ϕ + ψ mit D(ϕ + ψ) = D(ϕ) D(ψ) mit (ϕ + ψ)(x) = ϕ(x) + ψ(x), x D(ϕ) D(ψ) eine Treppenfunktion. 2. Ist λ Ê und ϕ eine Treppenfunktion uf [, b], so ist λϕ eine Treppenfunktion. Beweis. Siehe Übungen. Definition Den Menge der Treppenfunktionen uf [, b] bezeichnen wir mit T([, b]). 6.2 Ober- und Unterintegrle Wir beginnen hier mit den nschulichen Begriffen von Ober- und Untersumme und zeigen, wie der Integrlbegriff, der uf diesen einfchen Begriffen bsiert

4 132 KAPITEL 6. DAS RIEMANN-INTEGRAL äquivlent zu einer etws bstrkteren Definition mittels Treppenfunktionen ist. Für lle prktischen Zwecke reicht die nschuliche Herleitung us, ds bstrktere Konzept gibt llerdings einen Ausblick und eine Vorbereitung uf die später zu definierende Verllgemeinerung des Integrlbegriffes. Um gewisse technische Kompliktionen uszuschließen, benötigen wir einige Einschränkungen n die von uns zu betrchtenden Funktionen. Definition (Rum der beschränkten Funktionen) Es sei [, b] ein kompktes Intervll in Ê, setze F([, b]; Ê) = f : [, b] Ê D(f) = [, b] \ Z, #(Z) Æ 0, f ist beschränkt. Mit einfchen Worten, F([, b]; Ê) ist die Menge ller beschränkten reellwertigen Funktionen, die n llen, bis uf endlich vielen Stellen, definiert sind. Definition (Ober-, Unter-, Riemnnsumme) Es sei [, b] Ê ein kompktes Intervll. Es sei Z eine Zerlegung von [, b]. Es sei f F([, b], Ê) mit D(f) [, b] \ Z. Für i = 0,...,n 1 sei x i (ζ i, ζ i+1 ). Dnn führen wir die folgenden Bezeichnungen ein: O(f, Z) = U(f, Z) = R(f, Z) = n 1 n 1 inf n 1 sup f(x) f(x) f(x i )(ζ i+1 ζ i ). x (ζ i, ζ i+1 ) (ζ i+1 ζ i ) x (ζ i, ζ i+1 ) (ζ i+1 ζ i ) O(f, Z) nennt mn die Obersumme von f uf [, b] zur Zerlegung Z, entsprechend U(f, Z) die Untersumme und R(f, Z) eine Riemnnsumme zur Zerlegung Z. Bemerkung (Riemnnsumme) Zu gegebener Zerlegung hängt der Wert einer Riemnnsumme von der Auswhl der x i (ζ i, ζ i+1 ) b. Allerdings gilt für jede solche Auswhl: U(f, Z) R(f, Z) O(f, Z). Mn bechte, dss die Werte der Obersumme, Untersumme und Riemnnsumme unbhängig sind von den Funktionswerten n den Zerlegungspunkten.

5 6.2. OBER- UND UNTERINTEGRALE 133 Lemm (Treppenfunktionen ls beschränkte Funktionen) Es gilt T([, b]) F([, b]; Ê). Beweis. Folgt sofort us der Definition. Definition (Äquivlenz beschränkter Funktionen) Auf F([, b]; Ê) definieren wir eine Reltion durch f g genu dnn Z [, b], #Z Æ 0 x [, b] \ Z gilt f(x) g(x) = 0. Aufgbe (Vektorräume von beschränkten Funktionen) 1. Mn zeige: Die Reltion f g ist eine Äquivlenzreltion uf F([, b]; Ê). 2. Für f F([, b]; Ê) sei [f] die Äquivlenzklsse mit f [f]. Mn zeige F([, b]; Ê) = [f] f F([, b], Ê) ist ein Vektorrum. 3. Es sei T([, b]) = [f] f T([, b]). Mn zeige: T([, b]) ist ein Untervektorrum von F([, b], Ê). 4. Mn überlege sich () F([, b], Ê) ist kein Vektorrum, T([, b]) ist kein Vektorrum. (b) Mn versuche eine Änderung der Definition von F([, b], Ê) und T([, b]), so dss Vektorräume entstehen. Vergewissern Sie sich, dss die oben gewählte Definition mittels Äquivlenzreltion eine einfche Lösung ller entstehenden Probleme ist. Wir wollen nun F([, b], Ê) mit einer Ordnung versehen. Definition (Ordnungsreltion für Klssen beschränkter Funktionen) Es sei [, b] ein kompktes Intervll in Ê und f, g F([, b], Ê). Wir definieren eine Ordnungsreltion durch: f g genu dnn wenn Z [, b], #(Z) Æ 0 mit D(f), D(g) [, b] \ Z, für x / Z gilt f(x) g(x).

6 134 KAPITEL 6. DAS RIEMANN-INTEGRAL Lemm (Ordnungsreltion) Die Reltion definiert eine Ordnungsreltion im Sinne der Definition uf F([, b], Ê). Beweis. Zu zeigen sind Reflexivität, Trnsitivität und Antisymmetrie. Ist f F([, b], Ê), so ist f f, denn für lle x D(f) gilt f(x) f(x), wobei ds letzte für die Ordnungsreltion uf Ê steht. Ist f g, g h, dnn gibt es eine Menge Z 1 mit f(x) g(x) ußerhlb Z 1 und eine Menge Z 2 mit g(x) h(x) ußerhlb Z 2. Sei Z = Z 1 Z 2. Dnn ist Z endlich und für x / Z gilt f(x) g(x) und g(x) h(x), lso f(x) h(x). Insbesondere hben wir gezeigt, us [f] [g] und [g] [h] folgt [f] [h]. Die Antisymmetrie beruht uf einem sehr ähnlichen Argument: [f] [g], [g] [f] implizieren die Existenz von endlichen Teilmengen Z 1, Z 2 von [, b] mit x [, b]\ Z 1 impliziert f(x) g(x) und x [, b] \ Z 2 impliziert g(x) f(x). Dnn ist Z 1 Z 2 endlich und für x / Z 1 Z 2 gilt f(x) g(x) f(x). Dmit ist [f] = [g]. Wir beginnen nun die Definition des Integrls. Definition Ist [, b] ein kompktes Intervll und ist ϕ eine Treppenfunktion, so dss bezüglich einer Zerlegung Z die Funktion ϕ uf jedem Intervll (ζ i, ζ i+1 ) konstnt ist und dort den Wert c i wie in Definition nnimmt. Wir setzen [ϕ(x)] dx = R(ϕ, Z). Lemm Für f T([, b]) ist wohldefiniert. [f(x)] dx Beweis. Ist Z 2 eine Verfeinerung von Z 1 = ζ0 1 < < ζ1 n und f Treppenfunktion uf [, b], die uf (ζ i, ζ i+1 ), i = 0,...,n 1 jeweils konstnt ist. D Z 2 eine Verfeinerung von Z 1 ist, wird ein Intervll (ζ 1 i, ζ1 i+1 )

7 6.2. OBER- UND UNTERINTEGRALE 135 durch Z 2 weiter zerlegt, jedoch nimmt f j uf jedem dieser Teilintervll den Wert c i n. Mn rechnet leicht nch, dss der Integrlwert, den mn bei Berechnung mit der Zerlegung Z 2 erhält der gleiche ist, wie mit Z 1. Ist nun g eine zu f äquivlente Funktion, so gibt es eine Zerlegung, so dss uf jedem Intervll (ζ i, ζ i+1 ) die Werte von f und g gleich sind. Dnn sind uch die mit dieser Zerlegung berechneten Integrle gleich. Definition (Ober- Unterintegrl) Für f F([, b], Ê) definieren wir Ober- bzw. Unterintegrl durch f(x) dx = inf f(x) dx = sup [ϕ(x)] dx ϕ T([, b]), [ϕ] [f] [ϕ(x)] dx ϕ T([, b]), [ϕ] [f]. Definition (Ober-, Unterintegrl für Äquivlenzklssen) Wir setzen [f(x)]dx = f(x)dx und [f(x)]dx = f(x)dx. Lemm Ober- und Unterintegrl der Klsse [f] hängt nicht von der Auswhl des Repräsentnten b. Beweis. Siehe Übungen.

8 136 KAPITEL 6. DAS RIEMANN-INTEGRAL Stz (Chrkterisierung integrierbrer Funktionen) Es sei [, b] Ê ein kompktes Intervll und f F([, b], Ê). Dnn sind die beiden folgenden Bedingungen gleichwertig. 1. Zu jedem ε > 0 gibt es ein δ > 0, so dss für jede Zerlegung Z von [, b] gilt (Z) < δ O(f, Z) U(f, Z) < ε. 2. f(x) dx = f(x) dx. Beweis. 1 2 Für die erste Richtung bemerken wir, dss die Obersumme und Untersumme jeweils ls Integrl für eine geeignete Treppenfunktion gedeutet werden können, und drus folgt, dss O(f, Z) f(x) dx und U(f, Z) f(x) dx. Dher gilt für jedes ε > 0 und (Z), δ, wobei δ = δ(ε) gemäß (1) definiert ist, ε > O(f, Z) U(f, Z) f(x) dx f(x) dx. Wir kommen zur Rückrichtung. Sei f F([, b], Ê), M > 0, so dss f(x) < M für lle x D(f). Es gelte f(x) dx = f(x) dx. Sei ε > 0 gegeben. Dnn gibt es zwei Treppenfunktionen ϕ, ϕ mit ϕ f ϕ mit ϕ(x) dx ϕ(x) dx < ε 2.

9 6.2. OBER- UND UNTERINTEGRALE 137 Die zugehörigen Zerlegungen seien Z, bzw. Z. Sei Z eine gemeinsme Verfeinerung von Z, und Z mit Z = ζ i i = 0,..., n 1. Setze δ 1 = ε 4Mn, δ 2 = 1 3 min ζ i+1 ζ i i = 0,...,n 1 und δ = minδ 1, δ 2. Ist nun Z 0 = = ξ 0 < ξ 1 < < ξ m = b eine Zerlegung von [, b] mit Feinheit (Z 0 ) < δ. Wir betrchten die Intervlle der Form (ξ i, ξ i+1 ) und unterscheiden zwei Typen: Typ 1: (ξ i, ξ i+1 ) enthält keinen Punkt der Form ζ j Typ 2: (ξ i, ξ i+1 ) enthält einen Punkt der Form ζ j. Wir berechnen die Differenz von Obersumme und Untersumme für die Intervlle von Typ 1 und Typ 2 getrennt. Es gibt höchstens n Intervlle vom Typ 2. In jedem solchen Intervll A gilt M inf f(x) x A sup f(x) x A < M und sup f(x) x A inf f(x) x A < 2M. Dnn trägt dieses Intervll zur Differenz von Ober- und Untersumme höchstens mit δ 1 2M = ε 4Mn 2M = ε 2n bei, d es höchstens n solche Intervlle gibt, ist der Gesmtbeitrg der Typ 2 Intervlle höchstens n ε 2n = ε 2. Ist nun B ein Typ 1 Intervll, so ist B (ζ i, ζ i+1 ) für ein i 0,..., n 1. Für x B gilt ϕ(x) inf f(x) x B sup f(x) x B ϕ(x). Dmit ist ϕ(x) ϕ(x) sup f(x) x B inf f(x) x B.

10 138 KAPITEL 6. DAS RIEMANN-INTEGRAL Insbesondere ist der Gesmtbeitrg der Typ 1 Intervlle zur Differenz von Obersumme und Untersumme bzuschätzen durch ϕ(x) dx ϕ(x) dx < ε 2. Definition (Integrierbrkeit) Ist für f F([, b], Ê) eine der beiden Bedingungen us Stz erfüllt, so ist f integrierbr im Sinne von Riemnn. Wir setzen f(x) dx = f(x) dx = lim R(f, Z) (Z) 0 und nennen dies ds Integrl von f.

11 6.2. OBER- UND UNTERINTEGRALE 139 Stz (Eigenschften des Integrls) Es sei [, b] Ê ein kompktes Intervll, f, g F([, b], Ê). Es seien f, g integrierbr. Dnn gilt: 1. Für ξ [, b] existieren die Integrle ξ f(x) dx, f(x) dx und es gilt ξ f(x) dx + f(x) dx = f(x) dx. ξ ξ 2. f + g sind integrierbr und (f + g)(x) dx = f(x) dx + g(x) dx. 3. Für λ Ê ist λf integrierbr und es gilt (λf)(x) dx = λ f(x) dx. 4. Es sei f + = mxf(x), 0, f (x) = mx f(x), 0. Dnn existieren die Integrle f + (x) dx, f (x) dx f(x) dx, Beweis. (1) Wir zeigen zunächst die Existenz des Integrls ξ f(s) ds. Für ξ = gibt es nichts zu zeigen, für ξ = b ist es die Vorussetzung. Sei nun < ξ < b. Nch dem Stz zur Chrkterisierung des integrierbren Funktionen gibt es zu ε > 0 ein δ > 0, so dss für jede Zerlegung Z mit Feinheit (Z) < δ die Differenz von Ober- und Untersumme kleiner ls ε ist. Sei Z = Z ξ eine weitere Zerlegung. Dnn ist die Feinheit (Z ) < δ und uch für diese Zerlegung ist die Differenz von Ober- und Untersumme kleiner ls ε. Wir schreiben [, b] = [, ξ] [ξ, b] und wir erhlten us Z zwei Zerlegungen Z 1 von

12 140 KAPITEL 6. DAS RIEMANN-INTEGRAL [, ξ] und Z 2 von [ξ, b]. Nun ist Also ist Dher folgt O(f, Z ) = O(f, Z 1 ) + O(f, Z 2 ) U(f, Z ) = U(f, Z 1 ) + U(f, Z 2 ). ε > O(f, Z ) U(f, Z ) = O(f, Z 1 ) U(f, Z 1 ) + O(f, Z 2 ) U(f, Z 2 ). O(f, Z 1 ) U(f, Z 1 ) < ε und dmit folgt die Integrierbrkeit. Ds Argument wird uf gleiche Weise uf [ξ, b] ngewendet und zeigt uch die Additionsformel ξ f(x) dx + f(x) dx = f(x) dx. ξ (2) Wir beweisen die Behuptung zunächst für Treppenfunktionen. Seien ϕ, ψ zwei Treppenfunktionen mit Zerlegungen Z 1, Z 2 und zugeordneten Folgen ϕ i, ψ j. Wir betrchten eine gemeinsme Verfeinerung Z von Z 1 und Z 2. Es gibt eine Treppenfunktion ϕ mit D(ϕ ) = [, b] \ Z, so dss ϕ ϕ und eine Treppenfunktion ψ mit D(ψ ) = [, b] \ Z und ψ ψ. Die Treppenfunktionen ϕ und ψ ddiert mn jetzt einfch durch Addieren der zugehörigen Folgenglieder. Dmit erhält mn sofort die Drstellung des Integrls ls Summe der beiden Integrle. Sind f, g F([, b], Ê) integrierbr, so sind für beide Funktionen Ober- und Unterintegrle gleich, d.h. zu ε > 0 gibt es Treppenfunktionen mit Nun gilt ψ f f ϕ f, ψ g g ϕ g ϕ f (x) dx ϕ g (x) dx ψ f (x) dx ε 2 ψ g (x) dx ε 2. ψ f + ψ g f + g ϕ f + ϕ g. Aufgrund der Vorbereitung für Treppenfunktionen ist dnn (ϕ f + ϕ g )(x) dx (ψ f + ψ g )(x) dx < ε.

13 6.2. OBER- UND UNTERINTEGRALE 141 Dmit ist f + g integrierbr und es gilt die Additionsformel. (3) Wir betrchten für eine Zerlegung Z = ζ 0 < < ζ n Für festes 0 i n 1 gilt sup f + (x) x (ζ i,ζ i+1 ) O(f +, Z) U(f +, Z). inf f +(x) x (ζ i,ζ i+1 ) sup f(x) x (ζ i,ζ i+1 ) inf f(x). x (ζ i,ζ i+1 ) Drus folgt sofort die Integrierbrkeit von f + nch Teil 1 von Stz D f = ( f) + folgt die Behuptung für f sofort. Mit (2) folgt die Integrierbrkeit von f. Korollr (Schrnken für Integrle beschränkter Funktionen) Ist [, b] Ê ein kompktes Intervll und f F([, b], Ê) eine integrierbre Funktion, mit Schrnke M > 0, so gilt f(x) dx f(x) dx M(b ). Beweis. Offenkundig ist für jede Zerlegung U( f, Z) U(f, Z) und dmit folgt die behuptete Ungleichung für die Unterintegrle und dmit uch für die Integrle. Für die Treppenfunktion gilt uf [, b] ϕ f. Also ist ϕ(x) = M, x [, b] f(x) dx = f(x) dx ϕ(x) dx = M(b ). Dmit ist uch die zweite Ungleichung gezeigt. Bemerkung (Integrl ls Grenzwert von Riemnn-Summen) Wegen der Äquivlenz der beiden Aussgen in Stz schreiben wir uch f(x) dx = lim R(f, Z). Z 0

14 142 KAPITEL 6. DAS RIEMANN-INTEGRAL Stz (Integrierbre Funktionen bilden einen Vektorrum) Es sei R([, b], Ê) die Menge der integrierbren Funktionen und R([, b], Ê) = [f] f R([, b], Ê). Dnn ist R([, b], Ê) ein reeller Vektorrum. (Mn bechte [f](x)dx = f(x)dx ist wohldefiniert.) Beweis. Folgt, d F([, b], Ê) ein Vektorrum ist, und mit [f], [g] R([, b], Ê) und λ Ê folgt [f + g] R([, b], Ê), bzw. λ[f] R([, b], Ê). Stz (Weitere Eigenschften) Es sei [, b] Ê ein kompktes Intervll. 1. Ist f integrierbr, so uch f p für p > Sind f, g F([, b], Ê) integrierbr, so gilt dies uch für f g. Beweis. (1) Es genügt den Fll f 1 zu betrchten, denn für beliebiges durch M > 0 beschränktes f, ist die Funktion g = f /M durch 1 beschränkt. Ist g p integrierbr, so uch M p g p = f p. Sei lso f 1. Dnn gibt es zu ε > 0 Treppenfunktionen ϕ f ψ mit (ψ ϕ)(x) dx ε p. Für Treppenfunktion gilt, dss jede Potenz p 1 wieder eine Treppenfunktion ist, lso ht mn Treppenfunktionen Drus folgt ϕ p f p ψ p. ϕ p (x)dx f p (x) dx f p (x) dx ψ p (x)dx.

15 6.2. OBER- UND UNTERINTEGRALE 143 D wir uns uf den Fll f 1 beschränken, folgt us dem Mittelwertstz der Differentilrechnung ((x p ) = px p 1 p) ψ p (x) ϕ p (x) p(ψ(x) ϕ(x)) und dmit (ψ p ϕ p )(x) dx p (ψ ϕ)(x) dx p ε p = ε. Dmit sind Ober-und Unterintegrl von f p gleich und f p ist integrierbr. (2) Folgt sofort us (1), denn fg = 1 4 ( (f + g) 2 (f g) 2). Definition (Vertuschte Integrlgrenzen) Bisher htten wir immer Integrle der Form f(x) dx betrchtet, wobei [, b] ein Intervll ist. Wir wollen nun Funktionen f F([, b], Ê) betrchten und setzen für c < d b ds Integrl d in der gewohnten Form. Wir definieren c c f(s) ds d f(s) ds = f(s) ds. d c

16 144 KAPITEL 6. DAS RIEMANN-INTEGRAL Bemerkung (komplexwertige Funktionen) Ntürlich können wir mit dem entwickelten Integrlbegriff uch komplexwertige Funktionen integrieren. Dzu setzen wir die Menge F([, b], ) = f : [, b] Re f F([, b], Ê), Im f F([, b], Ê). Eine Funktion f F([, b], ) heißt genu dnn Riemnn-integrierbr, wenn Re f und Im F Riemnn-integrierbr sind. Demzufolge ist R([, b], ) = f F([, b], ) Re f, Im f R([, b], Ê). Wir setzen dnn f(x)dx = Re f(x)dx +i Im f(x)dx. 6.3 Existenz des Integrls In diesem Abschnitt geht es drum, die Existenz des Riemnn-Integrls für gewisse Klssen von Funktionen zu beweisen. Stz (Integrierbrkeit stetiger Funktionen) Ist [, b] Ê ein kompktes Intervll, so ist f C([, b]) integrierbr. Beweis. Ist f C([, b]), so ist wegen der Kompktheit von [, b] die stetige Funktion f gleichmäßig stetig (Stz 4.3.9). Sei ε > 0, L = b und δ < ε L. Sei η > 0 so gewählt, dss x x < η impliziert f(x) f(x ) < δ (unter Ausnutzung der gleichmäßigen Stetigkeit). Sei Z = ζ 0 < < ζ n eine Zerlegung von [, b] mit Feinheit (Z) < η. Dnn ist O(f, Z) U(f, Z) = = n 1 sup x (ζ i,ζ i+1 ) ( n 1 n 1 f(x)(ζ i+1 ζ i ) n 1 sup f(x) inf f(x) x (ζ i,ζ i+1 ) x (ζ i,ζ i+1 ) inf f(x)(ζ i+1 ζ i ) x (ζ i,ζ i+1 ) ) (ζ i+1 ζ i ) n 1 δ(ζ i+1 ζ i ) = δ (ζ i+1 ζ i ) ε L L = ε. Dher existiert ds Integrl von f über [, b] nch Stz , 1.Teil.

17 6.3. EXISTENZ DES INTEGRALS 145 Stz (Integrierbrkeit monotoner Funktionen) Ist [, b] Ê ein kompktes Intervll, so ist eine überll definierte monotone Funktion f F([, b], Ê) integrierbr. Beweis. Wir betrchten obda eine monoton steigende Funktion. Für eine monoton steigende Funktion f und eine Zerlegung Z = ζ 0 < < ζ n gilt für i = 0,...,n 1 sup f(x) f(ζ i+1 ) und x (ζ i,ζ i+1 ) inf f(x) f(ζ i ). x (ζ i,ζ i+1 ) Sei m = f() und M = f(b), l = M m. Ist l = 0, so ist f konstnt und dmit stetig und dher integrierbr. Sei lso l 0. Sei ε > 0 gegeben und δ = ε l. Sei Z = ζ 0 < < ζ n eine Zerlegung von [, b] mit Feinheit (Z) < δ. Dnn ist O(f, Z) U(f, Z) = = n 1 n 1 sup x (ζ i,ζ i+1 ) f(x)(ζ i+1 ζ i ) (f(ζ i+1 ) f(ζ i ))(ζ i+1 ζ i ) n 1 (f(ζ i+1 ) f(ζ i ))δ n 1 = ε (f(ζ i+1 ) f(ζ i )) l = ε l l = ε. n 1 inf x (ζ i,ζ i+1 ) f(x)(ζ i+1 ζ i ) Dmit ist die Funktion f über dem Intervll [, b] nch Stz von der Chrkterisierung integrierbrer Funktionen, erster Teil, integrierbr. Stz (Mittelwertstz der Integrlrechnung) Es sei [, b] Ê ein kompktes Intervll, f C([, b]) und ϕ F([, b], Ê) sei integrierbr und ϕ(x) 0 für lle x [, b]. Dnn gibt es ein ξ [, b] mit f(x)ϕ(x) dx = f(ξ) ϕ(x) dx.

18 146 KAPITEL 6. DAS RIEMANN-INTEGRAL Beweis. fϕ ist nch Stz integrierbr. Es sei m = M = inf f(x) x [,b] sup f(x). x [,b] Dnn ist für lle x [, b] mϕ(x) f(x)ϕ(x) Mϕ(x). Insbesondere folgt m ϕ(x) dx f(x)ϕ(x) dx M ϕ(x) dx. Dher gibt es ein µ [m, M] mit µ ϕ(x) dx = f(x)ϕ(x) dx. Wegen des Zwischenwertstzes für stetige Funktionen gibt es ein ξ [, b] mit f(ξ) = µ. Drus folgt die Behuptung unmittelbr. Bemerkung (Mittelwertstz) ]Explizit wollen wir uf den wichtigen Spezilfll ϕ = 1 hinweisen, der den Nmen Mittelwertstz rechtfertigt und für stetiges f die elementre Formel für ein ξ (, b) liefert. f(x) dx = f(ξ)( b) 6.4 Der Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung In diesem Kpitel betrchten wir Integrle ls Funktion der oberen Grenze. Wir untersuchen diese Funktion uf Differenzierbrkeit und beweisen einen fundmentlen Zusmmenhng mit der Stmmfunktion.

19 6.4. DER HAUPTSATZ DER DIFFERENTIAL- UND INTEGRALRECHNUNG147 Stz (Huptstz) Es sei [, b] Ê ein kompktes Intervll, f F([, b], Ê) integrierbr. Dnn existiert für jedes x [, b] ds Integrl x f(s) ds. Die Funktion F(x) = x f(s) ds ist uf [, b] stetig. Ist f im Punkt x 0 (, b) stetig, so ist F in x 0 differenzierbr und es gilt F (x 0 ) = f(x 0 ). Beweis. Für den Beweis der Stetigkeit von F sei ε > 0 gegeben, M > 0 eine Schrnke für f und δ = ε M. Sind nun x 1, x 2 mit x 1 x 2 < δ gegeben, so existiert, nch dem gleichen Argument wie eben, ds Integrl F(x 2 ) F(x 1 ) = x 2 x 1 f(s) ds. Dies wird mit Korollr durch M x 1 x 2 Mδ = ε bgeschätzt. Dmit ist F gleichmäßig stetig. Für die Differenzierbrkeit ist zu untersuchen ob der Grenzwert existiert. Wir hben F(x 0 + h) F(x 0 ) = F(x 0 + h) F(x 0 ) lim h 0 h x 0 +h f(s) ds x 0 f(s) ds = x 0 +h f(s) ds. x 0 Nch dem Mittelwertstz der Integrlsrechnung gibt es ein ξ h (x 0, x 0 + h) mit x 0 +h x 0 f(s) ds = hf(ξ h ). Für h 0 konvergiert ξ h x 0 und wegen der Stetigkeit von f uch f(ξ h ) f(x 0 ).

20 148 KAPITEL 6. DAS RIEMANN-INTEGRAL Dmit ist der Stz gezeigt. Stz (Huptstz II) Ist f C([, b], Ê) und G eine Stmmfunktion von f, so gilt für c, d [, b] d c f(x) dx = G(d) G(c). Beweis. Zunächst ist klr, dss die Funktion x F(x) = f(s) ds eine Stmmfunktion von f ist und wegen c d d f(s) ds + f(s) ds = f(s) ds, c oder gilt d F(c) + f(s) ds = F(d) c d f(s) ds = F(d) F(c). c Ist nun G eine beliebige ndere Stmmfunktion von f, so gibt es nch Stz eine Konstnte C Ê mit Dmit ist G(x) = F(x) + C. G(d) G(c) = F(d) + C (F(c) + C) = F(d) F(c). Wir wollen noch die übliche Schreibweise erwähnen: ist F die Stmmfunktion von f, so schreibt mn die Formel f(x) dx = F(b) F()

21 6.5. INTEGRATION VON FUNKTIONENFOLGEN 149 uch oft in der Form f(x) dx = F b. Im fünften Kpitel htten wir bereits eine Liste von Stmmfunktionen ngegeben, diese knn nun dzu benutzt werden, Integrle zu berechnen. 6.5 Integrtion von Funktionenfolgen In diesem Abschnitt wollen wir uns überlegen, wie sich Integrtion und Grenzwertbildung bei Funktionenfolgen vertrgen. Stz Sei f n n Æ R([, b], Ê) eine gleichmäßig konvergente Folge integrierbrer Funktionen mit D(f n ) = [, b] für lle n Æ. Dnn ist f(x) = lim n f n (x) integrierbr und lim f n (x) dx = f(x) dx. (6.1) n Beweis. Wir zeigen: 1. f ist beschränkt. 2. Ober-und Unterintegrl sind gleich. 3. Gleichung (6.1). (1) f ist beschränkt. Sei ε > 0 gegeben und N Æ so gewählt, dss n > N impliziert: für lle x [, b] ist f n (x) f(x) < ε. Wähle n > N fest. D f n beschränkt ist, gibt es ein M > 0 mit f n (x) M für lle x [, b]. Dnn ist f(x) M + ε, insbesondere ist f beschränkt. (2) Sei ε > 0 gegeben, L = b und N Æ, so dss n > N impliziert f n (x) f(x) < ε 4L. Seien Z 1, Z 2 Zerlegungen von [, b], ϕ eine Treppenfunktion zur Zerlegung Z 1, ψ eine Treppenfunktion zur Zerlegung Z 2 mit ϕ f n ψ

22 150 KAPITEL 6. DAS RIEMANN-INTEGRAL und ψ(x) dx ϕ(x) dx < ε 2. Dnn ist ϕ(x) ε 4L f n(x) ε 4L f(x) f n(x) + ε 4L ψ(x) + ε 4L. Weiterhin sind ϕ(x) ε 4L, ψ(x) + ε 4L Treppenfunktionen zu Z 1 bzw. Z 2 und ( ϕ(x) ε ) dx = 4L ( ψ(x) + ε ) dx = 4L ϕ(x) dx ε 4 ψ(x) dx + ε 4 und ( ψ(x) + ε ) 4L dx ( ϕ(x) ε ) dx = (ψ(x) ϕ(x)) dx+ ε 4L 2 ε 2 +ε 2 = ε. Dmit ist Ober- und Unterintegrl gleich und f ist integrierbr. (3) Zum Beweis von Gleichung (6.1) sei ε > 0 gegeben L = b und N Æ, so dss für lle x [, b] gilt Dnn ist für n > N f(x) dx f(x) f n (x) < ε L. f n (x) dx f(x) f n (x) dx ε dx = ε. L Korollr Ist eine Folge f n n Æ stetiger Funktionen gleichmäßig konvergent, so ist die Grenzfunktion integrierbr und es gilt Gleichung (6.1).

23 6.5. INTEGRATION VON FUNKTIONENFOLGEN 151 Beweis. Folgt unmittelbr us dem Stz. Beispiel In diesem Beispiel wollen wir zeigen, dss einfche Konvergenz nicht usreicht um die Reihenfolge von Integrtion und Konvergenz zu vertuschen. Wir betrchten die Folge von stetigen Funktionen uf [0, 1] 0, für x > 1 n f n (x) = 2n 2n 2 1 x, für < x < 1 2n n. 2n 2 x, für x < 1 2n Die Funktion konvergiert punktweise gegen 0, die Folge der Integrle ist konstnt. 1 0 f n (x) dx = 1 2 Wir kommen nun zu einem Stz, der eine Aussge für die Vertuschbrkeit von Konvergenz und Differentition mcht. Allerdings ist dies Aussge etws komplizierter ls im Fll der Integrtion. Stz Es sei f n n Æ eine Folge stetig differenzierbrer Funktionen uf [, b]. Wir setzen vorus: 1. Es gibt ein x 0 [, b] mit f n (x 0 ) n Æ ist konvergent. 2. f n ist eine gleichmäßig konvergente Folge. Dnn konvergiert die Folge f n (x) n Æ für lle x [, b]. Setze f(x) = lim n f n (x). Die Funktion f differenzierbr, und es gilt für lle x [, b]. f (x) = lim n f n (x) Beweis. Wir setzen g(x) = lim n f n (x). Dnn ist g stetig, integrierbr und für