Parallelprojektion. Das Projektionszentrum liegt im Unendlichen. Projektionsebene. Projektionsrichtung. Quader. Bild des Quaders

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1 Parallelprojektion Das Projektionszentrum liegt im Unendlichen. Projektionsebene Projektionsrichtung Quader Bild des Quaders

2 Zentralprojektion Auge und Kamera Sowohl das Sehen mit dem Auge als auch das Fotografieren sind praktisch Zentralprojektionen Projektionszentrum Linse Bildebene - Netzhaut Projektionszentrum Objektiv Bildebene - Filmebene

3 Projektionen

4 Zentralprojektion zeichnerische Perspektive Projektionsebene Projektionszentrum Quader Bild des Quaders

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7 Invarianten bei einer Projektion Zentralprojektion zwischen Ebenen allgemeiner Lage: Inzidenz, Doppelverhältnis perspektive Kollineation Parallelprojektion zwischen Ebenen allgemeiner Lage: Inzidenz, Parallelität, Teilverhältnis perspektive Affinität Zentralprojektion zwischen parallelen Ebenen: Inzidenz, Parallelität, Teilverhältnis, Winkel Ähnlichkeit Parallelprojektion zwischen parallelen Ebenen: Inzidenz, Parallelität, Teilverhältnis, Winkel, Flächeninhalt Kongruenz

8 Zentralprojektion - Bezeichnungen Hauptpunkt Bildebene Horizont H h H h Projektionszentrum Z d X e X c e X g H H d X c g X = 1 Z Grundgerade Z 0 Standebene Bildpunkt / Durchstoßpunkt X c (zu X) ist der Spurpunkt des Sehstrahles ZX in der Bildebene: X c := ZX

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10 Abstand Objekt Bildebene veränderlich Abstand Objekt - Projektionszentrum gleich

11 Abstand Objekt - Projektionszentrum veränderlich Abstand Objekt Bildebene gleich

12 Vergleich Parallelprojektion - Zentralprojektion Parallelprojektion Bei einer Parallelprojektion hängt das Bild von der Projektionsrichtung bezogen auf das darzustellende Objekt ab. Bei einer Zentralprojektion hat der Abstand des Projektionszentrums (Betrachters) zum Objekt einen sehr großen Einfluss auf das Bild. Betrachter nah am Objekt Betrachter weiter vom Objekt entfernt Zentralprojektion Verfälschung da Projektionszentrum innerhalb des Objekts

13 Fluchtpunkte Die perspektivischen Bilder von im Raum parallelen Geraden schneiden sich in einem Punkt, dem Fluchtpunkt.

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15 Fluchtpunkte von Höhen- und Tiefengeraden Der Fluchtpunkt einer Höhengerade (zur Standebene parallele Gerade) liegt auf dem Horizont. Die Bilder von Tiefengeraden (zur Bildebene senkrechte Gerade) schneiden sich im Hauptpunkt. H Horizont

16 Albrecht Dürer ( ) Der Zeichner der Laute

17 Durchstoßverfahren 2 X c X c H X Z h H X c X Z h H d X Z x 12 Xc g H X Xc Z H X 1 g Z

18 Abbildung eines Punktes h H X c X Z y-achse H X c h y c y c x 12 g x c H = O x-achse H Xc x c X Konstruktionsvorschrift geg.: X, Z in Grund- und Aufriss und Grundriss von ( 1 = ) g und g (= ) und H in Zeichenebene X c := zentr(x;, Z) Ablauf H := (Z g) g X c := Z X g X c := ord(x c ) Z X x c = c H'X ' g Z y c = c x12x '' X c := (x c, y c ) bezüglich KS(H ; x, y) / KS Koordinatensystem mit g als x-achse und H H als y-achse

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21 Fluchtpunkt einer Geraden = 1 a* h Z F a a* : (Z a) H a A X X c a c Der Fluchtpunkt F a der Geraden a ist der Spurpunkt der zu a parallelen Geraden a* durch Z: F a (Z a) Daher gilt auch: a (A F Z) a Das heißt: Die Lage einer Geraden a ist durch ihren Spurpunkt A und ihren Fluchtpunkt F a umkehrbar eindeutig bestimmt.

22 a b Fa Fb Fc a F ( i. d. R. H) h 1 a = 1 a F H h 2 a

23 Parallele Geraden a b F a Fb Eigenschaften einer Zentralprojektion (Abbildung von Geraden) haben denselben Fluchtpunkt: Der Fluchtpunkt von Höhengeraden liegt auf dem Horizont: a F h 1 a Der Fluchtpunkt der Tiefengeraden ist der Hauptpunkt H: a F H a Für zu parallele Geraden gilt: a c a d.h. ist uneigentlich. (Spurpunkt ) A F a A : a

24 Abbildung einer Geraden (mit Durchstoßverfahren) A a Z a c A c H F a h F a q A =y A x 12 p A =x A g Fa H = O H A Z g= a

25 Zentralriss eines Quaders Wahl des Augpunkts b Der Blickwinkel wird durch die beiden äußeren Projektionsstrahlen bestimmt. Die Ausdehnung b ist der Abstand zwischen den beiden Schnittpunkten dieser Strahlen mit. Faustregel: 40 (besser 40 ) 1,5 b < d < 3 b Der Hauptstrahl soll etwa den Schwerpunkt des Objekts berühren bzw. Winkelhalbierende des Blickwinkels sein.

26 Eigenschaften einer Zentralprojektion (Abbildung von Ebenen) Parallele Ebenen (aber nicht dieselbe Fluchtgerade: D f f Σ D ) haben Die Fluchtgerade von Höhenebenen ist der Horizont h: f h Die Fluchtgerade von Tiefenebenen verläuft durch den Hauptpunkt H: H f Der Fluchtpunkt einer parallelen Geraden liegt auf der Fluchtgeraden der Ebene: a Fa f Analog zur Abbildung einer Geraden werden Ebenen durch ihre Spur(-gerade) s und ihre Fluchtgerade (Fluchtspur) dargestellt, wobei f der Zentralriss Geraden s u ( s,s s c u von ist; es gilt : s ). c f su ( Z ) der uneigentli chen DieSpurgerade s und die Fluchtgerade f c u c u c u Es ist s s Z. s s Ebene bestimmen die Ebene umkehrbar eindeutig : c u einer

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28 Wahre Strecke PQ einer Frontgeraden, senkrecht

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30 Wahre Länge einer Strecke Frontgerade, nicht senkrecht 4. P 0 P c 6. l 5. Q 0 Q c h 1. F Ablauf: 1. F h beliebig 2. S 0 := FS c g 3. a 0 := S 0 P c Q c 4. P 0 := FP c a 0 5. Q 0 := FQ c a l := PQ 3. a 0 S c g S 0 2.

31 Wahre Länge einer Strecke (Gerade a in der Grundebene) Messpunkt Ma Z M a a H P c A Q c P P 0 F a a c Q Q 0 Ma =g H A P P 0 p Q q Q 0 a Fa a Der gesuchte Punkt P 0 ist der Schnittpunkt der Geraden M a P c mit der Grundgeraden g. Z Die Gerade a=pq c Γ wird um A so gedreht, daß sie in П liegt. Dann ist die wahre Länge P 0 Q 0 dort abzulesen: Die Drehsehnen p=pp 0 und q=qq 0 sind parallel. Ihr gemeinsamer Fluchtpunkt F p,q = M a liegt auf dem Horizont und wird Messpunkt oder Maßpunkt von a genannt.

32 Wahre Länge einer Strecke Gerade a der Grundebene M a H F a h a c Q c g d P c A P 0 Q 0 Z 0

33 Wahre Länge einer Strecke Allgemeine Lage F a H a c h Z 0 =M a d Q c Q 0 P c k A P 0 a 0 K

34 Bestimmung der Standardanordnung - Hauptpunkt Variante 1: Bei einem vollständigen Foto liegt der Hauptpunkt in der Mitte des Fotos (Schnittpunkt der Diagonalen). Variante 2: Werden zur Bildebene parallele ebene Figuren ähnlich abgebildet, d.h. ist zum Beispiel das Bild eines Rechtecks wieder ein Rechteck, so sind die Bilder der zu dieser Figur senkrechten Geraden Tiefengeraden und schneiden sich perspektivisch im Hauptpunkt. Hauptpunkt

35 Bestimmung der Standardanordnung - Horizont Variante 1: Der Horizont h ist das Lot zum Bild einer vertikalen Geraden, durch einen Fluchtpunkt F1, F2 einer horizontalen Geraden. Variante 2: Der Horizont h ist durch die Fluchtpunkte von zwei nicht zueinander parallelen Höhengeraden bestimmt. F1 F2

36 Bestimmung der Standardanordnung - Distanz Sind der Hauptpunkt und zwei Fluchtpunkte von zueinander senkrechten Höhengeraden bekannt, so lässt sich die Distanz mit Hilfe des Thales- Kreises über die beiden Fluchtpunkte bestimmen. F 2 Thales-Kreis (2r= F 1 F 2 ) Distanz d F 1

37 Rekonstruktion - Projektionszentrum F 1 H F 2 h geg.: Zentralriss, h, H, g, notwendige Fluchtpunkte und: (= g) g in Zeichenebene geeignet wählen Z konstruieren F1 H F2 Ablauf (geg. F1, F2 geeignet) F1 := (F1 g) F2 := (F2 g) k := thkr(f1, F2 ) Z := k (H g) Z Thales-Kreis k

38 Rekonstruktion Gerade in der Grundebene F a H S a c a c g Fa a Sa H a := grundr(a: a ) Ablauf: Fa := (Fa g) Sa c := a c g Sa := (Sa c g) a := Sa Fa Z Z

39 Rekonstruktion Punkt in der Grundebene H P c a c g P Pg a P := grundr(p: P ) Ablauf: a beliebig mit P a und a a := grundr(a: a ) P g := (P c g) P := P g Z a Z

40 Rekonstruktion Grundriss eines Quaders H g Z

41 Rekonstruktion Grund- und Aufriss Konstruktion der wahren Länge einer zur Bildebene parallelen Strecke. l H l g Wenn eine Strecke in der Bildebene liegt, wird sie kongruent, d.h. in wahrer Länge, abgebildet. l x 12 Z