5. Matrizen und Determinanten

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1 technische universität dortmund Dortmund, im Januar 01 Fakultät für Mathematik Prof Dr H M Möller Lineare Algebra für Lehramt Gymnasien und Berufskolleg Zusammenfassung der Abschnitte 1 und Matrizen und Determinanten 1 Matrixkalkül Die Menge aller Matrizen A := a 11 a 1 a 1n a 1 a a n a m1 a m a mn mit a ij K für i = 1,, m, j = 1,, n wird mit K m n bezeichnet (In der Literatur findet man auch als Bezeichnungen wie Mat m,n (K) oder M(m n, K) oder ähnliches) Dabei gibt m die Anzahl der Zeilen und n die der Spalten an Eine Matrix A K m n kann man als Vektorsystem aus m Zeilenvektoren auffassen oder eines aus n Spaltenvektoren Eine Matrix aus K m 1 besteht aus einer Spalte, so dass man sie auch als Spaltenvektor ansehen kann Entsprechend sehen wir eine Matrix aus K 1 n auch als Zeilenvektor an Die Abbildung Φ : K m n K m n, Φ(A) := (a 11,, a 1n, a 1,, a n,, a m1,, a mn ), ist offensichtlich bijektiv Sie ist auch linear Weil (mit s = m n N) K s = K m n ein K-Vektorraum ist, ist infolge der Isomorphie auch K m n ein K-Vektorraum (Dass K m n sogar ein Ring ist, zeigen wir später) Definition 1 (Matrix-Vektor-Multiplikation) Für A K m n und x K n definiert man b := Ax K m durch b 1 := a 11 x 1 + a 1 x + + a 1n x n, b := a 1 x 1 + a x + + a n x n, b m := a m1 x 1 + a m x + + a mn x n 1

2 Bemerkung 1 Ein LGS mit Koeffizientenmatrx A K m n und rechter Seite b K m kann man jetzt kurz schreiben als Ax = b Bemerkung Sind a 1,, a n die Spalten von A, dann ist Ax = b gleichbedeutend mit b = x 1 a 1 + x a + x n a n Satz (Charakterisierung linearer Abbildungen) Sei A K m n Die Abbildung Φ : K n K m, x Ax, ist linear Umgekehrt, wenn Φ : K n K m linear ist, dann gibt es eine Matrix A K m n mit Φ(x) = Ax Die Spalten der Matrix A sind Φ(e 1 ), Φ(e ),, Φ(e n ) Dabei sind e 1,, e n die Einheitsvektoren aus K n Beweis Die Linearität der Abbildung Φ : K n K m, x Ax folgt aus a 11 (x 1 + y 1 ) + a 1 (x + y ) + + a 1n (x n + y n ) A(x + y) = a 1 (x 1 + y 1 ) + a (x + y ) + + a n (x n + y n ) a m1 (x 1 + y 1 ) + a m (x + y ) + + a mn (x n + y n ) = = (a 11 x 1 + a 1 x + + a 1n x n ) + (a 11 y 1 + a 1 y + + a 1n y n ) (a 1 x 1 + a x + + a n x n ) + (a 1 y 1 + a y + + a n y n ) (a m1 x 1 + a m x + + a mn x n ) + (a m1 y 1 + a m y + + a mn y n ) a 11 x 1 + a 1 x + + a 1n x n a 1 x 1 + a x + + a n x n a m1 x 1 + a m x + + a mn x n = Ax + Ay und entsprechend = αax = α = + a 11 y 1 + a 1 y + + a 1n y n a 1 y 1 + a y + + a n y n a m1 y 1 + a m y + + a mn y n a 11 x 1 + a 1 x + + a 1n x n a 1 x 1 + a x + + a n x n a m1 x 1 + a m x + + a mn x n α(a 11 x 1 + a 1 x + + a 1n x n ) α(a 1 x 1 + a x + + a n x n ) α(a m1 x 1 + a m x + + a mn x n ) a 11 αx 1 + a 1 αx + + a 1n αx n a 1 αx 1 + a αx + + a n αx n a m1 αx 1 + a m αx + + a mn αx n = A(αx)

3 Ist umgekehrt Φ : K n K m linear und bezeichnet man mit A die Matrix mit Φ(e 1 ), Φ(e ),, Φ(e n ) als Spalten, dann folgt für x = (x 1,, x n ) K n Ax = x 1 Φ(e 1 )+x Φ(e )+ +x n Φ(e n ) = Φ(x 1 e 1 +x e + +x n e n ) = Φ(x) Das war zu zeigen ( ) 0 Beispiel 1 Sei A 1 := Die Abbildung Φ : R R, (x 1, x ) ( ) ( ) x1 x1 A 1 = bildet den ersten Einheitsvektor e x x 1 = (1, 0) auf ( ) Φ 1 (e 1 ) = ab und den zweiten Einheitsvektor e 0 = (0, 1) auf sich ( ) 0 selbst Φ 1 (e ) = Die Vektoren (x 1 1, x ) R werden also durch Φ 1 in Richtung der x 1 -Achse gestreckt ( ) cos(ϕ) sin(ϕ) Beispiel Sei ϕ ein fester Winkel und A := Schreibt sin(ϕ) cos(ϕ) man jetzt die Elemente des R in Polarkoordinaten, also (r cos(ψ), r sin(ψ)) statt (x 1, x ), dann ist die lineare Abbildung 1 ( ) ( ) r cos(ψ) r cos(ϕ + ψ) Φ : R R, (r cos(ψ), r sin(ψ)) A = r sin(ψ) r sin(ϕ + ψ) Mittels Φ wird also jedes Element von R um den Winkel ϕ gedreht Man schreibt oft Φ A für die lineare Abbildung Φ, wenn Φ : x Ax gilt Sind A und B Matrizen gleichen Formats, A, B K m n, dann gilt auch A+B K m n und man sieht leicht ein, dass Φ A+B = Φ A +Φ B gilt Entsprechend gilt für die Skalarmultiplikation Φ αa = αφ A Für lineare Abbildungen von einem K-Vektorraum V in einen K-Vektorraum W gilt allgemein der folgende Satz Satz 3 Sind V und W zwei K-Vektorräume und ist L(V, W ) die Menge aller linearen Abbildungen von V nach W, dann ist L(V, W ) ein Untervektorraum von Abb(V, W ) Beweis Für je zwei linearen Abbildungen Φ 1, Φ : V W sind auch Φ 1 + Φ : V W, x Φ 1 (x) + Φ (x), und für α K αφ 1 : V W, x αφ 1 (x), 1 Unter Verwendung der Additionstheoreme für den Sinus und Cosinus cos(ϕ) cos(ψ) sin(ϕ) sin(ψ) = cos(ϕ + ψ) und sin(ϕ) cos(ψ) + cos(ϕ) sin(ψ) = sin(ϕ + ψ) 3

4 in L(V, W ) Die Nullabbildung 0 : V W, x 0, ist ebenfalls in L(V, W ) Also ist L(V, W ) ein Untervektorraum von Abb(V, W ) Die Komposition von linearen Abbildungen ist (falls die Komposition möglich ist) wieder eine lineare Abbildung Der Einfachheit halber beschränken wir uns hier auf lineare Abbildungen, die durch Matrizen beschrieben werden: Sei Φ A : K n K m, Φ B : K l K n Dann gilt Φ C := Φ A Φ B : K l K n und für beliebige x, y K l Φ C (x + y) = Φ A (Φ B (x + y)) = Φ A (Φ B (x) + Φ B (y)) = Φ A (Φ B (x)) + Φ A (Φ B (y)) = Φ C (x) + Φ C (y) sowie für beliebige x K l und α K Φ C (αx) = Φ A (Φ B (αx)) = Φ A (αφ B (x)) = αφ A (Φ B (x)) = αφ C (x) Wegen A = (a ij ) K m n und B = (b ij ) K n l gilt C = (c ij ) K m l und mit langer, in der Vorlesung vorgeführter Rechnung (Wir haben da Φ C (e 1 ),, Φ C (e l ) berechnet) bekommt man schließlich c ij = n a ik b kl für i = 1,, m, j = 1,, l k=1 Definition 4 (Matrixprodukt) Das Produkt A B von Matrizen A = (a ij ) K m n, B = (b ij ) K r s ist nur definiert für n = r In diesem Fall ist (c ij ) := A B K m s definiert durch c ij = n a ik b kl für i = 1,, m, j = 1,, s k=1 Beispiele Sei A := , B := ( ) Weil A genausoviele Spalten wie B Zeilen hat, ist A B definiert Man bekommt mit etwas Rechnung A B =

5 ( 3 Mit A wie eben, aber B = 0 ) bekommt man A B = Hier hatten wir B als Matrix mit nur einer Spalte angesehen (und A B entsprechend als Matrixmultiplikation interpretiert) Hätten wir dagegen B als Vektor angesehen, so wäre bei der Matrix-Vektor-Multiplikation dasselbe Resultat (jetzt aber als Vektor und nicht als Matrix aufgefasst) herausgekommen Die Matrix E K n n, E := , wird als Einheitsmatrix (in K n n ) bezeichnet Man rechnet leicht nach, dass A E = A und E A = A gilt für alle A K n n Satz Seien A K m n und B K n l Dann gilt für die lineare Abbildung Φ := Φ A Φ B : K l K m, x Cx, C = A B Die Abbildung Φ E : K n K n, x Ex, ist die identische Abbildung und Φ 0 : K n K n, x 0, die Nullabbildung Satz 6 Die Matrixmultiplikation ist assoziativ und (zusammen mit der Matrixaddition) auch distributiv Beweis Die Assoziativität folgt aus der Assoziativität der Komposition von Abbildungen, (Φ A Φ B ) Φ C = Φ A (Φ B Φ C ) (A B) C = A (B C) Dasselbe gilt für die Distributivgesetze Φ A (Φ B + Φ C ) = Φ A Φ B + Φ A Φ C A (B + C) = A B + A C, (Φ A + Φ B ) Φ C = Φ A Φ C + Φ B Φ C (A + B) C = A C + B C

6 Mit Satz 6 bekommt man sofort folgendes Resultat Satz 7 K n n ist ein Ring mit der Matrixaddition als Addition und der Matrixmultiplikation als Multiplikation E ist das neutrale Element bezüglich der Matrixmultiplikation Folgender Satz ist ein nützliches Hilfsmittel bei vielen Gelegenheiten Satz 8 Sei Φ : V W eine lineare Abbildung Dann gilt: Φ ist genau dann injektiv, wenn Kern(Φ) = {0} ist Beweis Weil Φ linear ist, gilt Φ(0) = 0, also 0 Kern(Φ) Ist Φ injektiv, dann gibt es zu jedem w Bild(Φ) W nur ein Urbild Das gilt insbesondere für w = 0 Also folgt Kern(Φ) = {0} Sei Kern(Φ) = {0} Betrachte v 1, v V mit Φ(v 1 ) = Φ(v ) Aus der Linearität von Φ folgt dann Φ(v 1 v ) = 0, dh, v 1 v liegt im Kern, also v 1 v = 0 Definition 9 (Transposition) Ist A = (a ij ) K m n, dann wird A T = (c ij ) K n m definiert durch c ij := a ji für i = 1,, n j = 1,, m A T heißt transponiert zu A Die Zeilen von A sind die Spalten von A T und die Spalten von A sind die Zeilen von A T Gilt A = A T, so heißt A symmetrisch Gilt A = A T, so heißt A schiefsymmetrisch Beispiel Zu A := ist ( ) die transponierte Matrix A T Die Einheitsmatrix E ist symmetrisch Die Nullmatrix 0 K n n ist als einzige n n-matrix zugleich symmetrisch und schiefsymmetrisch Bemerkung Es gilt (A B) T = B T A T, denn mit C = (c ij ) := A B ist ja c ij das Produkt aus i-ter Zeile von A und j-ter Spalte von B Damit steht c ij in der j-ten Zeile an Position i von C T = (A B) T An der i-ten Position der j-ten Zeile von einem Matrixprodukt U V steht aber das Produkt aus j-ter Zeile von U und i-ter Spalte von V Die j-te Spalte von U = B T ist die j-te Zeile von B und die i-te Spalte von V = A T ist die i-te Zeile von A 6

7 Matrizen und lineare Gleichungssysteme Definition 10 (Rang) Der Rang eines Vektorsystems v 1,, v m (im Vektorraum V ) ist definiert durch rang{v 1,, v m } := dimlin{v 1,, v m } Sind s 1,, s n die Spalten und z 1,, z m die Zeilen einer Matrix A K m n, dann definiert man Srang(A) := rang{s 1,, s n } (Spaltenrang), Zrang(A) := rang{z 1,, z m } (Zeilenrang) Wir wollen zeigen, dass Srang(A) = Zrang(A) für alle Matrizen A gilt Lemma 11 Bei den folgenden Umformungen eines Vektorsystems v 1,, v m ändert sich Lin{v 1,, v m } nicht, und damit auch nicht rang{v 1,, v m } 1) Vertauschen zweier Vektoren ) Ersetzen eines Vektors v i durch αv i mit 0 α K 3) Ersetzen eines v i durch v i + αv j mit i j und α K Beweis Sei w 1,, w m durch eine der drei Umformungsarten aus v 1,, v m entstanden Zu zeigen ist Lin{w 1,, w m } = Lin{v 1,, v m } Im Fall 1) gilt mit w i = v j und w j = v i und sonst v k = w k v = α 1 v α i v i + + α j v j + + α m v m, v = α 1 w α j w i + + α i w j + + α m w m Im Fall ) gilt mit w i = αv i und sonst w k = v k v = α 1 v α i v i + + α m v m, v = α 1 w α i α i + + α m w m Im Fall 3) gilt wegen w i = v i + αv j v i = w i αv j = w i αw j v = α 1 v α i v i + + α j v j + + α m v m, v = α 1 w α i w i + + (α j αα i )w j + + α m w m Damit erzeugen v 1,, v m und w 1,, w m den selben Vektorraum Korollar 1 Der Zeilenrang einer Matrix ist gleich der Anzahl der Stufen der (durch elementare Zeilenumformungen) auf Stufenform gebrachten Matrix Beweis Elementare Zeilenumformungen sind Umformungen im Sinn von 1), ) und 3) von Lemma 11 Die zu den Stufen gehörenden Zeilenvektoren 7

8 sind linear unabhängig und spannen den Zeilenraum auf Satz Der Zeilenrang einer Matrix ist gleich ihrem Spaltenrang (den wir deshalb kurz als Rang der Matrix bezeichnen dürfen) Beweis Seien obda die ersten r := Srang(A) Spalten von A K m n linear unabhängig Dann ist jedes LGS a 11 a 1 a 1r α 1 a 1i a 1 a a r α a i a m1 a m a mr α r = a mi, i = r + 1,, n, eindeutig lösbar Somit hat die (gemeinsame) Koeffizientenmatrix dieser n r LGS, wenn man sie auf Stufenform bringt, r Stufen Damit hat dann aber auch die gesamte Matrix A, auf Stufenform gebracht, r Stufen, also ist nach Korollar 1 auch Zrang(A) = r Satz 14 Das LGS Ax = b hat genau dann eine Lösung, wenn rang(a) = rang(a b) Beweis Seien s 1,, s n die Spalten von A Das LGS Ax = b ist genau dann lösbar, wenn die rechte Seite b in Lin{s 1,, s n } liegt (vgl Bemerkung nach Definition 1), dh, genau dann wenn Lin{s 1,, s n } = Lin{s 1,, s n, b} gilt Wegen Lin{s 1,, s n } Lin{s 1,, s n, b} ist das genau dann der Fall, wenn beide linearen Vektorräume die gleiche Dimension haben, also rang(a) = rang(a b) Satz 1 (Dimensionsformel für LGS) Sei A K m n mit rang(a) = r Dann gilt diml(a, 0) = n r Wenn A schon Stufenform hat, und die Stufen in den ersten r Spalten sind, A = 0 0 1, dann erhält man eine Basis von L(A, 0), indem man für die letzten n r Komponenten der Reihe nach die n r Einheitsvektoren aus K n r einsetzt 8

9 und dann die ersten r Komponenten der Lösung aus Ax = 0 bestimmt Beispiel Sei A R 4 6 mit A = Hier ist also r = 3, m = 4 und n = 6 Die Einheitsvektoren des R n r = R 3 werden der Reihe nach in die letzten drei Komponenten eingesetzt: (x 4, x, x 6 ) = (1, 0, 0) in das LGS x 1 x +4x 4 +x = 0, x x 3 +x +4x 6 = 0, x 3 +4x 4 = 0 eingesetzt gibt x 3 = 4, x = 4 und x 1 = 8, also die erste Basislösung ( 8, 4, 4, 1, 0, 0) (x 4, x, x 6 ) = (0, 1, 0) in das LGS eingesetzt gibt x 3 = 0, x = und x 1 = 4, also die zweite Basislösung ( 4,, 0, 0, 1, 0) (x 4, x, x 6 ) = (0, 0, 1) in das LGS eingesetzt gibt dann als dritte Basislösung ( 4, 4, 0, 0, 0, 1) Jedes Lösung des homogenen LGS, also jedes Element aus L(A, 0) ist Linearkombination aus diesen drei Basislösungen, denn ist v := (α 1,, α 6 ) in L(A, 0), dann auch w := v α 4 ( 8, 4, 4, 1, 0, 0) α ( 4,, 0, 0, 1, 0) α 6 ( 4, 4, 0, 0, 0, 1) = (α 1 + 8α 4 + 4α + 4α 6, α + 4α 4 + α + 4α 6, α 3 + 4α 4, 0, 0, 0) Aus Aw = 0 folgt aber, dass auch die ersten drei Komponenten von w Null sind, also w = 0, und damit v = α 4 ( 8, 4, 4, 1, 0, 0) + α ( 4,, 0, 0, 1, 0) + α 6 ( 4, 4, 0, 0, 0, 1) Korollar 16 Sei A K m n und rang(a) = r Dann ist r = n äquivalent dazu, dass jedes LGS Ax = b höchstens eine Lösung besitzt 9

10 Beweis Es gibt genau dann höchstens eine Lösung, wenn L(A, 0) = {0} Das ist nach Satz 1 genau dann der Fall, wenn r = n gilt Korollar 16 Sei A K m n und rang(a) = r Ax = b ist genau dann lösbar für jedes b K m, wenn r = m gilt (Man sagt dann, das LGS mit Koeffizientenmatrix A ist universell lösbar) Beweis Der von den Spalten von A aufgespannte K-Vektorraum ist genau dann der K m, wenn das LGS universell lösbar ist In diesem Fall gilt r = n Definition 18 (reguläre Matrix) Eine Matrix A K m n heißt regulär, wenn m = n und rang(a) = n gilt Beispiel Seien e 1,, e n die Einheitsvektoren aus K n Die Matrix mit diesen Vektoren als Spalten heisst Einheitsmatrix und wird mit E n bezeichnet Sie ist regulär, weil sie (quadratisch ist und) Matrix in Stufenform mit n Stufen ist, also den Rang n hat Hilfssatz 19 Sei A K m n und B K n l Dann gilt rang(ab) rang(a) und rang(ab) rang(b) Beweis Seien a 1,, a n die Spalten von A und b 1,, b l die von B sowie S := Lin{a 1,, a n } Die Matrix AB hat Ab 1,, Ab l als Spalten Weil jedes Ab i eine Linearkombination der Spalten von A ist, gilt Ab i S für i = 1,, l und Lin{Ab 1,, Ab l } S Aus der Definition des (Spalten-)rangs folgt rang(ab) dim(s) = r Weil Spaltenrang und Zeilenrang gleich sind, folgt rang(a) = rang(a T ), rang(b) = rang(b T ) und rang((ab) T ) = rang(ab) Mit dem eben bewiesenen (mit B T für A und A T für B) daher rang(ab) = rang((ab) T ) = rang(b T A T ) rang(b T ) = rang(b) Das war zu beweisen Satz 0 Für quadratische Matrizen A K n n sind die folgenden Aussagen äquivalent i) A ist regulär ii) Für jedes b K n hat das LGS Ax = b eine eindeutige Lösung iii) Zu A gibt es ein R K n n mit AR = E n iv) Zu A gibt es ein L K n n mit LA = E n v) A ist invertierbar, dh, es gibt ein B K n n mit AB = E n = BA vi) Φ A : K n K n, x Ax, ist bijektiv 10

11 Beweis Wir zeigen zuerst im Ringschluss, dass i), ii) und iii) äquivalent sind Dann die Äquivalenz von iv) und v) zu den ersten drei Aussagen und abschließend die Äquivalenz von ii) und vi) i) ii) Wenn i) gilt dann hat Ax = b nach Korollar 16 höchstens und nach Korollar 17 mindestens eine Lösung Also gilt dann ii) ii) iii) Wenn ii) gilt, sind die LGS Ax = e i, i = 1,, n, eindeutig lösbar Die Lösungen seien r 1,, r n Die Matrix R K n n mit der Lösung r i des LGS Ax = e i in Spalte i erfüllt dann AR = E n iii) i) Die Matrix A hat höchstens den Rang n Daher folgt mit Hilfssatz 19 n = rang(e n ) = rang(ar) rang(a) n Das ist nur möglich, wenn rang(a) = n gilt, wenn also A regulär ist Damit sind i), ii) und iii) äquivalent i) iv) Ist A regulär, dann rang(a T ) = rang(a) = n, also auch A T regulär Nach iii) folgt für das reguläre A T, dass es ein R K n n gibt mit A T R = E n Transponieren ergibt dann LA = E n mit L := R T iv) i) Analog zu iii) i) i) v) Aus i) folgt iii) und iv) Wegen R = E n R = (LA)R = L(AR) = LE n = L gilt v) mit B := L = R v) iii) Man setze R := B ii) vi) Φ A ist genau dann bijektiv, wenn es zu jedem x K n genau ein b K n gibt mit Φ A (x) = b Das ist mit Φ A (x) = Ax genau die Aussage ii) Definition 1 (Inverse Matrix) Sei A K n n regulär Die Matrix B aus Satz 0 v) wird Inverse von A oder invers zu A genannt und mit A 1 bezeichnet Sind c 1,, c n die Spalten von A 1, dann ist Ac i = e i für i = 1,, n wegen AA 1 = E n Daher gibt die Lösung von Ax = e 1 die erste Spalte von A 1, gibt die Lösung von Ax = e die zweite Spalte von A 1, usw bis gibt die Lösung von Ax = e n die letzte Spalte von A 1 Das sind n LGS mit derselben Koeffizientenmatrix A Man kann deshalb die Gaußelimination gleichzeitig auf alle erweiterte Matrizen anwenden, indem man alle n rechten Seiten e 1,, e n simultan mit umformt Wenn dieses Verfahren scheitert, dann war eines der LGS nicht lösbar und nach Satz 0 i) ii) die Matrix A nicht regulär 11

12 Beispiel Sei A R 3 3 mit A = Dann geben elementare Zeilenumformungen Hieraus liest man die Lösungen der LGS und damit die inverse Matrix ab, A 1 = Bemerkung Ist A regulär, dann hat Ax = b als Lösung x = A 1 b Man könnte also meinen, dass man am besten erst A 1 ausrechnet und dann die Lösung x = A 1 b durch eine einfache Matrix-Vektor-Multiplikation bekommt Das ist aber erst dann sinnvoll, wenn man (mindestens) n LGS mit der selben Koeffizientenmatrix zu lösen hat, den man hat ja diesen Aufwand zur Berechnung von A 1 zu betreiben Im Fall n = kann man ( A 1 ohne ) Gaußelimination bekommen: Man rechnet a b leicht nach dass A = genau dann regulär ist, wenn ad bc 0 c d gilt Dann ist ) A 1 = ( d ad bc c ad bc b ad bc a ad bc Satz Die regulären Matrizen A K n n bilden eine Gruppe bezüglich der Matrixmultiplikation (Diese Gruppe nennt man allgemeine lineare Gruppe über K und bezeichnet sie mit GL n (K)) 1

13 Beweis Sind A, B K n n regulär, dann existieren A 1 und B 1 Die Matrix AB K n n ist dann auch regulär, denn sie besitzt als Inverse B 1 A 1 wegen AB(B 1 A 1 ) = ABB 1 A 1 = AA 1 = E n, (B 1 A 1 )AB = B 1 A 1 AB = B 1 B = E n Damit ist die Matrixmultiplikation eine Verknüpfung in GL n (K) Das Assoziativgesetz gilt hier, weil es für beliebige n n-matrizen gilt Jedes Element besitzt ein Inverses nach Satz 0 v) Die Einheitsmatrix E n liegt in GL n (K) und ist das neutrale Element bzgl der Verknüpfung