Riemann-integrierbare Funktionen

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1 Kpitel VI Riemnn-integrierbre Funktionen 26 Ds Riemnn-Integrl ls Grenzwert von Zwischensummen 27 Der Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung nebst Folgerungen 28 Äquivlente Definitionen des Riemnn- Integrls 29 Uneigentliche Riemnn-Integrle 30 Die Gmmfunktion und die Stirlingsche Formel C 1

2 26 Ds Riemnn-Integrl ls Grenzwert von Zwischensummen 26.1 Riemnnsche Summen und Riemnnfolgen 26.2 Riemnn-Integrierbrkeit 26.4 Ds Riemnn-Integrl ist ein positives lineres Funktionl uf R[, b] 26.8 Erster Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung Treppenfunktionen R[, b] ist bgeschlossen bzgl. gleichmäßiger Konvergenz Regelfunktionen Chrkterisierung von Regelfunktionen Riemnn-Integrierbrkeit von Regelfunktionen Ds Riemnn-Integrl dient zur Lösung von folgenden drei zunächst sehr unterschiedlich erscheinenden Problemkreisen: I) ) Gegeben sei eine (in der Regel) stetige Funktion f : I R. Gesucht ist eine Stmmfunktion, d.h. eine differenzierbre Funktion ϕ : I R mit ϕ (t) = f(t) für t I. b) Für Nturwissenschft, Wirtschftswissenschften und Technik ist die folgende Verllgemeinerung von ) wichtig: Sei f : I R R gegeben. Gesucht ist eine differenzierbre Funktion ϕ : I R mit ϕ (t) = f(t, ϕ(t)), t I. Mn nennt ein solches ϕ eine Lösung der Differentilgleichung y = f(x, y). [26] 1 C 1

3 Ds Riemnn-Integrl ls Grenzwert von Zwischensummen II) Sei f : [, b] [0, [ eine (stetige) Funktion. Gesucht ist eine vernünftige Definition des Flächeninhlts für die sogennnte Ordintenmenge {(t, u) : t [, b] : 0 u f(t)} und gegebenenflls eine Berechnungsmöglichkeit. u f b t III) Viele in den Ntur- und Ingenieurwissenschften uftretenden Größen benötigen zu ihrer exkten Definition einen Grenzprozeß der folgenden Art: Wirkt eine konstnte Krft f längs eines Weges der Länge s, und zwr längs der t-achse vom Punkt bis zum Punkt b := +s, so versteht mn unter der von der konstnten Krft f geleisteten Arbeit ds Produkt f s = f(b ). Ist die Krft f jedoch örtlich vribel, d.h. f : [, b] R eine Funktion des Ortes t [, b], so wird mn folgendermßen vorgehen. Zerlege ds Intervll [, b] in kleine Teilintervlle I 1,..., I n, wähle in jedem Intervll I k := [x k 1, x k ] einen Punkt ξ k us. Mn wird dnn die Riemnnsche Summe n k=1 f(ξ k)(x k x k 1 ) ls Näherung für die gesuchte Arbeit A nsehen. Hierzu wird mn insbesondere dnn berechtigt sein, wenn mn mit jeder genügend feinen Zerlegung des Intervlls [, b] einem festen Wert A beliebig nhe kommt. Wir werden die Vorstellung, die in (III) zur Definition der Arbeit führt, im folgenden zur Definition des Riemnn-Integrls verwenden. C 1 [26] 2

4 Kpitel VI Riemnn-integrierbre Funktionen 26.1 Riemnnsche Summen und Riemnnfolgen (i) (ii) (iii) (iv) Z = (x 0, x 1,..., x n ) heißt eine Zerlegung von [, b], wenn gilt: = x 0 < x 1 <... < x n = b. Z := mx{x k x k 1 : 1 k n} heißt ds Feinheitsmß der Zerlegung Z. ξ = (ξ 1,..., ξ n ) mit ξ k [x k 1, x k ] heißt ein Zwischenvektor der Zerlegung Z. Sei f : [, b] R, Z eine Zerlegung von [, b] und ξ ein Zwischenvektor von Z. Dnn heißt S(f, Z) := S(f, Z, ξ) := n k=1 f(ξ k)(x k x k 1 ) eine Riemnnsche Summe oder Zwischensumme von f (zur Zerlegung Z). Ist (Z j ) j N eine Folge von Zerlegungen mit Z j 0, so heißt Z j eine Zerlegungsnullfolge. Eine Folge (S(f, Z j, ξ j )) j N heißt eine Riemnnfolge, wenn (Z j ) j N eine Zerlegungsnullfolge ist. Die folgende Definition ist nun durch die heuristischen Überlegungen in (III) nhegelegt. Diese Definition ht Riemnn 1854 in seiner Hbilittionsschrift über trigonometrische Reihen gegeben. In dieser Arbeit leitet er uch Kriterien für die Existenz des Integrls her Riemnn-Integrierbrkeit Eine Funktion f : [, b] R heißt Riemnn-integrierbr über [, b], wenn sie beschränkt ist und wenn ein I R existiert, so dß gilt: Für jedes ε R + gibt es ein δ R +, so dß für jede Zerlegung Z von [, b] und jeden Zwischenvektor ξ von Z gilt: Z < δ S(f, Z, ξ) I < ε. Dieses I bezeichnet mn dnn mit f dx oder f(x) dx und nennt diesen Wert ds Riemnn-Integrl von f über [, b]. R[, b] bezeichnet die Gesmtheit ller Riemnn-integrierbren Funktionen über [, b]. [26] 3 C 1

5 Ds Riemnn-Integrl ls Grenzwert von Zwischensummen Ds I us 26.2 ist offenbr eindeutig bestimmt. Denn sind I 1, I 2 zwei verschiedene Zhlen, die der in 26.2 ngegebenen Bedingung genügen, so setze ε := I 1 I 2 2. Dnn gibt es δ 1, δ 2 R + mit S(f, Z, ξ) I i < ε für Z mit Z < δ i für i = 1, 2. Ist nun Z eine Zerlegung mit Z < min(δ 1, δ 2 ) gewählt, so liefert 2ε = I 1 I 2 I 1 S(f, Z) + S(f, Z) I 2 < 2ε einen Widerspruch. Genu wie sich die Konvergenz von Funktionen mit Hilfe der Konvergenz von Folgen beschreiben läßt (siehe 16.12), können wir die Riemnn-Integrierbrkeit uch mit Hilfe von Folgen, den Riemnnfolgen, beschreiben Kriterium für Riemnn-Integrierbrkeit Sei f : [, b] R eine Funktion. Dnn ist f genu dnn Riemnn-integrierbr, wenn f beschränkt ist und jede Riemnnfolge von f konvergiert. Ist dies der Fll, so konvergiert jede Riemnnfolge gegen f dx. Beweis. Eine Riemnn-integrierbre Funktion ist nch Definition 26.2 beschränkt. Sei nun eine Riemnnfolge (S(f, Z j, ξ j )) j N gegeben. Wir zeigen (1) S(f, Z j, ξ j ) f dx. Wähle zum Nchweis von (1) ein ε R +. Dnn gibt es nch Definition 26.2 ein δ R + mit (2) Z < δ S(f, Z, ξ) fdx < ε. Nch Definition der Riemnnfolge gilt Z j < δ für j j 0. Also folgt us (2): d.h. es gilt (1). S(f, Z j, ξ j ) f dx < ε für j j 0, Sei nun f beschränkt und jede Riemnnfolge konvergent. Wegen (3) S(f, Z, ξ) n k=1 f(ξ k) (x k x k 1 ) f [,b] n k=1 (x k x k 1 ) = f [,b] (b ) muß der Grenzwert jeder Riemnnfolge in R liegen. Wir zeigen zunächst, die Grenzwerte ller Riemnnfolgen sind gleich: Denn sind S(f, Z j, ξ j ) und S(f, Z j, ξ j ) zwei Riemnnfolgen, so sind sie nch Vorussetzung konvergent. Betrchtet mn nun die Riemnnfolge S(f, Z j, ξ j ) mit Z 2j := Z j und Z 2j 1 := Z j, ξ2j := ξ j, ξ 2j 1 := ξ j, so ist sie nch Vorussetzung ebenflls konvergent. C 1 [26] 4

6 Kpitel VI Riemnn-integrierbre Funktionen Die beiden Teilfolgen (S(f, Z j, ξ j )) j N = (S(f, Z 2j, ξ 2j )) j N und (S(f, Z j, ξ j )) j N = (S(f, Z 2j 1, ξ 2j 1 )) j N von (S(f, Z j, ξ j )) j N konvergieren dher gegen den Grenzwert dieser Folge, d.h. gegen den gleichen Wert. Dieser gemeinsme Wert ller Riemnnfolgen wird nun mit I bezeichnet. Wir behupten, f ist Riemnn-integrierbr, und I ist ds Riemnn-Integrl von f über [, b]. Andernflls gibt es ein ε R +, so dß für δ = 1 j eine Zerlegung Z j mit Z j < 1 j und ein Zwischenvektor ξj existiert mit S(f, Z j, ξ j ) I ε. Dnn ist ber S(f, Z j, ξ j ) eine Riemnnfolge, die nicht gegen I konvergiert, im Widerspruch zur Definition von I. Mit Hilfe von 26.3 erhlten wir nun leicht Rechenregeln für ds Riemnn-Integrl Ds Riemnn-Integrl ist ein positives lineres Funktionl uf R[, b] Für f, g R[, b] und α R ist (i) f + g R[, b] mit (f + g)dx = f dx + g dx; (ii) f g R[, b] mit (f g) dx = f dx g dx; (iii) αf R[, b] mit αf dx = α f dx; (iv) f g f dx g dx, lso insbesondere f dx 0 für f 0; (v) f dx f [,b] (b ). Ferner: (vi) Die Funktion 1 ist uf [, b] Riemnn-integrierbr mit 1 dx = b. Beweis. Zunächst ist mit f, g uch f + g, f g, αf beschränkt. Sei nun zum Nchweis von (i) (v) eine Zerlegungsnullfolge (Z j ) j N gewählt. Dnn gilt für jeden Zwischenvektor ξ j von Z j : [26] 5 C 1

7 (1) S(f, Z j, ξ j ) (2) S(g, Z j, ξ j ) Ds Riemnn-Integrl ls Grenzwert von Zwischensummen f dx, g dx. Aus (1) und (2) folgt S(f + g, Z j, ξ j ) = S(f, Z j, ξ j ) + S(g, Z j, ξ j ) f dx + g dx. Also ist f + g R[, b] mit (f + g) dx = f dx + g dx; somit gilt (i). Aus (1) folgt S(αf, Z j, ξ j ) = αs(f, Z j, ξ j ) α f dx. Also ist αf R[, b] mit (αf) dx = α f dx; somit gilt (iii). (ii) folgt us (i) und (iii) wegen f g = f + ( 1) g. (iv) folgt wegen S(f, Z j, ξ j ) S(g, Z j, ξ j ) mit (1) und (2). (v) folgt wegen S(f, Z j, ξ j ) f [,b] (b ) (siehe (3) im Beweis von 26.3)) us (1). (vi) folgt us S(1, Z j, ξ j ) = b. Ds folgende Beispiel benutzt, dß zwischen zwei verschiedenen reellen Zhlen stets eine rtionle Zhl (siehe 4.5) und eine irrtionle Zhl (siehe Aufgbe 8(ii)) liegen Beispiel einer beschränkten, nicht Riemnn-integrierbren Funktion Die folgende beschränkte Funktion f ist nicht Riemnn-integrierbr über [0, 1] : { 1 für t [0, 1] Q f(t) := 0 für t [0, 1] (R \ Q). Beweis. Wähle eine Zerlegungsnullfolge Z j und einen Zwischenvektor ξ j von Z j mit rtionlen Komponenten sowie einen weiteren Zwischenvektor ξ j von Z j mit irrtionlen Komponenten (nch der Vorüberlegung ist dies möglich). Dnn gilt: S(f, Z j, ξ j ) = 1, S(f, Z j, ξ j ) = 0. D die beiden Riemnnfolgen gegen verschiedene Werte konvergieren, knn dher f nch 26.3 nicht Riemnn-integrierbr sein. Die folgende Definition verllgemeinert den Begriff des Dichtliegens von D in R zum Begriff des Dichtliegens von D in M R. C 1 [26] 6

8 Kpitel VI Riemnn-integrierbre Funktionen 26.6 Dichtliegen in Teilmengen von R Seien M R und D M. Dnn sgt mn, D liegt dicht in M, wenn jeder Punkt von M Berührungspunkt von D ist. Ist D I und I ein Intervll, so liegt D dicht in I, wenn zwischen je zwei verschiedenen Punkten von I immer ein Punkt von D liegt. Beweis. Seien jeder Punkt von I Berührungspunkt von D und, b I mit < b gegeben. Zu zeigen ist ], b[ D. Wähle c ], b[ I. Dnn ist c Berührungspunkt von D und ], b[ Umgebung von c. Also ist ], b[ D (vgl. Definition 5.8(ii)). Sei I. Zu zeigen ist, ist Berührungspunkt von D. Sei hierzu eine Umgebung O von gewählt. Dnn gibt es ein ε R + und U ε () O (siehe Definition 5.5(i)). In U ε () gibt es einen von verschiedenen Punkt c I. Zwischen und c liegt nch Vorussetzung ein Punkt d D. Dnn liegt d in U ε () und somit in O. Also ist O D, und dher Berührungspunkt von D Übereinstimmung von Riemnn-Integrlen Riemnn-integrierbrer Funktionen Sind f, g R[, b] und stimmen f und g uf einer in[, b] dichtliegenden Menge überein, so gilt: f dx = g dx. Beweis. Sei Z j eine Zerlegung von [, b] mit Z j 0. Wähle einen Zwischenvektor ξ j = (ξ j 1,..., ξj n j ) von Z j = (x j 0,..., xj n j ) mit (1) f(ξ j k ) = g(ξj k ) für k = 1,..., n j. Dieses ist möglich, d in jedem Zerlegungsintervll [x j k 1, xj k ] von Z j nch Vorussetzung ein Punkt liegt, in dem f und g übereinstimmen. Wegen (1) gilt: (2) S(f, Z j, ξ j ) = S(g, Z j, ξ j ). D f und g us R[, b] sind, gilt: (3) S(f, Z j, ξ j ) (4) S(g, Z j, ξ j ) Aus (2) (4) folgt die Behuptung. f dx, g dx. Bechte, dß bei diesem Stz f und g in R[, b] sein müssen: Ist g gleich 1 uf [0, 1] und f die Funktion in 26.5, so stimmen f und g uf einer dichtliegenden Menge überein, g ist Riemnn-integrierbr, f ber nicht. [26] 7 C 1

9 Ds Riemnn-Integrl ls Grenzwert von Zwischensummen Der folgende Huptstz ist grundlegend für die Berechnung von Riemnn-Integrlen. Er sgt us: Besitzt eine Riemnn-integrierbre Funktion f eine Funktion F mit F = f, so berechnet sich ds Integrl ls Differenz der Funktionswerte von F n der Stelle b und der Stelle. Er zeigt lso, dß für gewisse Riemnn-integrierbre Funktionen die Integrtion nichts nderes ls Antidifferentition, d.h. Umkehrung der Differentition ist Erster Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung f : [, b] R genüge jeder der beiden Bedingungen: (I) f sei Riemnn-integrierbr; (II) f besitze eine Stmmfunktion. Dnn gilt für jede Stmmfunktion F von f f dx = F (b) F (). Beweis. Sei Z j = (x j 0,..., xj n j ) eine Zerlegungsfolge mit Z j 0. Dnn gibt es ξ j k ]xj k 1, xj k [ nch dem Mittelwertstz der Differentilrechnung (siehe 19.2) mit F (b) F () = n j k=1 (F (xj k ) F (xj k 1 )) = nj 19.2 k=1 F (ξ j k )(xj k xj k 1 ) = n j k=1 f(ξj k )(xj k xj k 1 ) = S(f, Z j, ξ j ) für ξ j = (ξ j 1,..., ξj n j ). Nch (I) gilt nun ber S(f, Z j, ξ (j) ) f dx. Wegen der Bedeutung des ersten Huptstzes geben wir noch eine Umformulierung von 26.8: 26.9 Äquivlente Formulierung des ersten Huptstzes der Differentil- und Integrlrechnung Ist F : [, b] R differenzierbr und F Riemnn-integrierbr über [, b], so gilt: F (x) dx = F (b) F (). Beweis. Setze f := F. Dnn besitzt f die Stmmfunktion F. D f (= F ) nch Vorussetzung Riemnn-integrierbr ist, folgt die Behuptung us Für eine ttsächliche Anwendung des Huptstzes 26.8 müssen wir noch zwei Frgen bentworten: Welche Funktionen sind Riemnn-integrierbr? Welche Funktionen besitzen eine Stmmfunktion? C 1 [26] 8

10 Kpitel VI Riemnn-integrierbre Funktionen Die zweite Frge wr unser eingngs erwähntes Problem I ). Diese Frge wird bentwortet durch den sogennnten zweiten Huptstz der Differentilund Integrlrechnung. Wir wenden uns jetzt der ersten Frge zu. Hierzu geben wir zunächst eine einfche Klsse von Riemnn-integrierbren Funktionen n, die Klsse der Treppenfunktionen. Mit Hilfe des Cuchy-Kriteriums der Riemnn-Integrierbrkeit zeigen wir dnn, dß R[, b] unter gleichmäßiger Konvergenz bgeschlossen ist und erhlten hierus, dß jede sogennnte Regelfunktion Riemnn-integrierbr ist Treppenfunktionen Eine Funktion ϕ : [, b] R heißt Treppenfunktion (über [, b]), wenn es eine Zerlegung Z = (x 0,..., x n ) von [, b] gibt, so dß ϕ uf jedem der Intervlle ]x k 1, x k [ für k = 1,..., n konstnt ist. Die Gesmtheit ller Treppenfunktionen wird mit T [, b] bezeichnet. Es gilt: (i) Jede Treppenfunktion über [, b] ist Riemnn-integrierbr über [, b]. (ii) Sei Z = (x 0, x 1,..., x n ) eine Zerlegung von [, b] und ϕ eine Treppenfunktion mit ϕ(t) = c k für t ]x k 1, x k [. Dnn ist: ϕ dx = n c k (x k x k 1 ). k=1 Beweis. Wegen 26.4(i) (iii) reicht es, für c d b mit { 1 für c t d ϕ := 0 für t [, b] \ [c, d] zu zeigen: (1) ϕ ist integrierbr mit ϕ dx = d c. Sei hierzu ε R + gewählt. Dnn gilt mit δ := ε 2 : Ist Z eine Zerlegung von [, b] mit Z < δ, so folgt S(ϕ, Z) (d c) 2 Z < ε. Nch Definition des Riemnn-Integrls in 26.2 folgt hierus (1). Als Folgerung us ergibt sich Sei f R[, b] und für g : [, b] R gelte g(t) = f(t) bis uf endlich viele t [, b]. Dnn ist uch g R[, b] mit b f dx = b g dx. Beweis. Es ist g = (g f)+f und g f T [, b] R[, b] mit b (g f)dx = 0 (siehe 26.10). Die Behuptung folgt dher us 26.4(i). [26] 9 C 1

11 Ds Riemnn-Integrl ls Grenzwert von Zwischensummen Cuchy-Kriterium für die Riemnn-Integrierbrkeit Sei f : [, b] R beschränkt. Dnn ist f genu dnn Riemnn-integrierbr, wenn es für jedes ε R + ein δ R + gibt, so dß für je zwei Zerlegungen Z 1, Z 2 von [, b] gilt: Z 1, Z 2 < δ S(f, Z 1 ) S(f, Z 2 ) < ε. Beweis. Ist f Riemnn-integrierbr über [, b], so gibt es zu ε R + ein δ R + (siehe 26.2) mit (1) Z < δ S(f, Z) I < ε 2. Aus (1) folgt mit der Dreiecksungleichung die Behuptung. Zur Rückrichtung sei eine Zerlegungsnullfolge Z j gegeben. Dnn reicht es nch 26.3, die Konvergenz von (S(f, Z j )) j N und somit uch die Cuchy- Konvergenz von (S(f, Z j )) j N nchzuweisen. Sei hierzu ε R +. Dnn gibt es ein j 0, d Z j eine Zerlegungsnullfolge ist, mit Z j0 +n < δ für lle n N. Also gilt nch Vorussetzung S(f, Z j0 +n) S(f, Z j0 ) < ε für lle n N, d.h. (S(f, Z j )) j N ist Cuchy-konvergent R[, b] ist bgeschlossen bzgl. gleichmäßiger Konvergenz Sei f n R[, b] für n m und f : [, b] R mit f n f [,b] 0 für n. Dnn gilt: (i) (ii) f R[, b]; f dx = lim n f n dx. Beweis. (i) Zunächst ist f := f [,b] < wegen f n < und f f f n + f n. Also gilt (siehe uch 20.3): 20.3 (1) f ist beschränkt. Zur Anwendung des Cuchy-Kriteriums für die Riemnn-Integrierbrkeit von f sei ε R +. Nch Vorussetzung gibt es ein n 0 mit (2) f f n0 < ε 3(b ) und zu ε und f n0 gibt es ein δ R + (siehe 26.11), so dß für je zwei Zerlegungen Z 1, Z 2 mit Zwischenvektoren ξ 1, ξ 2 gilt: (3) Z 1, Z 2 < δ S(f n0, Z 1, ξ 1 ) S(f n0, Z 2, ξ 2 ) < ε/3. C 1 [26] 10

12 Kpitel VI Riemnn-integrierbre Funktionen Also erhlten wir für solche Zerlegungen S(f, Z 1, ξ 1 ) S(f, Z 2, ξ 2 ) = S(f f n0, Z 1, ξ 1 ) + S(f n0, Z 1, ξ 1 ) S(f n0, Z 2, ξ 2 ) + S(f n0 f, Z 2, ξ 2 ) S(f f n0, Z 1, ξ 1 ) + ε/3 + S(f f n0, Z 2, ξ 2 ) (3) f f n0 (b ) + ε/3+ f f n0 (b ) < ε. (2) Nch ist dher f Riemnn-integrierbr. (ii) folgt us f dx f n dx = (f f n )dx f f n (b ). 26.4(v) Aus und folgt lso, dß die gleichmäßigen Limites von Folgen von Treppenfunktionen Riemnn-integrierbr sind. Dieses sind, wie wir sehen werden, genu die sogennnten Regelfunktionen Regelfunktionen Sei I ein Intervll, und sei f : I R eine Funktion. Dnn heißt f eine Regelfunktion, wenn gilt: (i) (ii) Für jedes t I besitzt f in t rechts- und linksseitige Grenzwerte in R. Gehört der linke Eckpunkt (rechte Eckpunkt) von I zu I, so besitzt f in ihm einen rechtsseitigen (linksseitigen) Grenzwert in R. Stetige Funktionen und monotone Funktionen über Intervllen sind Regelfunktionen, denn es gilt: Beispiele für Regelfunktionen Sei I ein Intervll und sei f : I R eine Funktion. (i) (ii) Ist f stetig, so ist f eine Regelfunktion. Ist f monoton, so ist f eine Regelfunktion. Beweis. Es reicht, (ii) zu beweisen. Sei hierzu f monoton wchsend (betrchte sonst f). Ist t 0 I, dnn existieren nch und der Anmerkung lim t t0 f(t) und lim t t0 f(t). D f monoton wchsend ist, folgt < lim t t0 f(t) lim t t0 f(t) <, lso sind die links- und rechtsseitigen Grenzwerte von f in t 0 uch endlich. Sei ein linker zu I gehörender Eckpunkt, dnn existiert wieder lim t f(t)(< ) und ist wegen < f() lim t f(t) < endlich. Für einen rechten zu I gehörigen Eckpunkt beweist mn entsprechend die Existenz eines endlichen linksseitigen Grenzwerts von f. [26] 11 C 1

13 Ds Riemnn-Integrl ls Grenzwert von Zwischensummen Chrkterisierung von Regelfunktionen f : [, b] R ist genu dnn eine Regelfunktion über [, b], wenn es eine Folge (ϕ n ) n N von Treppenfunktionen über [, b] gibt, die gleichmäßig gegen f konvergiert. Beweis. Es reicht zu zeigen: (1) ( ε R + ) gibt es ein ϕ ε T [, b] mit f ϕ ε [,b] < ε; ein solches ϕ ε nennt mn eine ε-approximtion von f über [, b]. Ist nämlich (1) richtig, so gibt es zu ε = 1 n ein ϕ n T [, b] mit f ϕ n [,b] < 1 n ; dher folgt f ϕ n [,b] 0 (siehe 7.15). Zu (1): Wir beweisen (1) indirekt. Wir nehmen lso n, es gibt ein ε R +, so dß gilt: (2) f ϕ [,b] ε für jedes ϕ T [, b]. Wir konstruieren ls erstes induktiv nch n N 0 { [n, b n ] [, b] mit b n n = b 2 (3) n, f [ n, b n ] ψ [n,bn] ε für jedes ψ T [ n, b n ]. (A) Setze 0 :=, b 0 := b. Also folgt (3) für n = 0 us (2). (S) Es gelte nun (3) für n. Sei M der Mittelpunkt von [ n, b n ]. Dnn besitzt entweder f [ n, M] keine ε-approximtion über [ n, M] oder f [M, b n ] keine ε-approximtion über [M, b n ]; ndernflls könnte mn nämlich beide Treppenfunktionen zu einer Treppenfunktion über [ n, b n ] so zusmmensetzen, dß diese zusmmengesetzte Treppenfunktion eine ε-approximtion von f [ n, b n ] wäre: Eine solche ε-approximtion gibt es ber nch Induktionsvorussetzung nicht. Als [ n+1, b n+1 ] wählen wir nun [ n, M] (bzw. [M, b n ]) wenn f [ n, M] (bzw. f [M, b n ]) keine ε-approximtion besitzt. Dmit ist (3) induktiv bewiesen. Wir werden nun einen Widerspruch zu (3) herleiten. Dnn sind wir fertig, d ein Widerspruch zu (3) zeigt, dß die Negtion von (1) nicht gelten knn, lso (1) richtig sein muß. D n [, b] sind, gibt es eine konvergente Teilfolge ϕ(n) nch dem Auswhlprinzip von Bolzno-Weierstrß (siehe 8.4). Nch 7.16(i) liegt dnn der Grenzwert t 0 dieser Folge wieder in [, b]. Wir betrchten nur den (schwierigen) Fll t 0 ], b[. Es sei g l bzw. g r der links- bzw. rechtsseitige Grenzwert von f in t 0. Wähle nun ein δ R + mit { f(t) gl ε/2 für t [t 0 δ, t 0 [, (4) f(t) g r ε/2 für t ]t 0, t 0 + δ]. Für ein genügend großes n gilt dnn wegen ϕ(n) t 0 und b n n 0 (5) [ ϕ(n), b ϕ(n) ] [t 0 δ, t 0 + δ]. C 1 [26] 12

14 Kpitel VI Riemnn-integrierbre Funktionen Die durch g l für t [ ϕ(n), t 0 [ (6) ϕ(t) := f(t 0 ) für t = t 0 g r für t ]t 0, b ϕ(n) ] definierte Treppenfunktion über [ ϕ(n), b ϕ(n) ] ist dnn eine ε-approximtion von f [ ϕ(n), b ϕ(n) ] (benutze (4), (5) und (6)). Eine solche ε-approximtion drf es ber nch (3) nicht geben (bechte, dß ϕ(n) N). Ist t 0 [, b[ (bzw. t 0 ], b]), dnn ist zu zeigen, dß f in t 0 einen rechtsseitigen (bzw. linksseitigen) Grenzwert in R ht. Wir betrchten nur den Fll t 0 [, b[; der Fll t 0 ], b] verläuft nlog. Sei ε R +. Dnn gibt es ein n 0 mit (7) f ϕ n0 [,b] < ε/2. Zu t 0 und ϕ n0 gibt es, d ϕ n0 T [, b] ist, ein δ R +, so dß ϕ n0 uf ]t 0, t 0 + δ[ konstnt ist. Für t, t ]t 0, t 0 + δ[ gilt dher: (8) f(t) f(t ) = f(t) ϕ n0 (t) + ϕ n0 (t ) f(t ) f(t) ϕ n0 (t) + ϕ n0 (t ) f(t ) f ϕ n0 [,b] + ϕ n0 f [,b] < (7) Nch dem Cuchy-Kriterium für die Konvergenz von Funktionen (siehe mit D := ]t 0, b]) existiert lim t t0 ]t 0, b] in R (siehe (8)). D ]t 0, b] = [, b] ]t 0, [ ist, existiert in R lim t t0 f [, b] ]t 0, [, d.h. es existiert in R der rechtsseitige Grenzwert von f in t 0 (siehe Definition 16.6(i)) Korollr Ist f : [, b] R eine Regelfunktion, so ist f höchstens n bzählbr vielen Stellen unstetig. Beweis. Nch existiert eine Folge von Treppenfunktionen (ϕ n ) n N, die gleichmäßig gegen f konvergiert. Jede der Treppenfunktionen ϕ n ist n höchstens endlich vielen Stellen N n unstetig. Außerhlb der nch 11.8(v) bzählbren Menge n=1 N n sind dher lle (ϕ n ) n N stetig, und dmit ist nch 20.13(i) uch der gleichmäßige Limes f für lle Punkte, die nicht in der bzählbren Menge n=1 N n liegen, stetig. Mn bechte, dß umgekehrt nicht jede uch nicht jede beschränkte Funktion, die höchstens n bzählbr vielen Stellen unstetig ist, eine Regelfunktion ist. Betrchte z.b. f : [0, 1] R, definiert durch f(0) := 0 und f(t) := sin(1/t) für t ]0, 1]. ε. [26] 13 C 1

15 Ds Riemnn-Integrl ls Grenzwert von Zwischensummen Lemm Sei I ein Intervll. Dnn gilt: (i) Es gibt eine Folge von bgeschlossenen und beschränkten Intervllen I n mit I n I n+1 und I = n=1 I n. Mit diesen I n gilt: (ii) Ist t 0 I, dnn ist f stetig in t 0, wenn für jedes n N mit t 0 I n gilt: f I n ist stetig in t 0. (iii) Es ist f differenzierbr, wenn f I n differenzierbr für jedes n N ist. Beweis. (i) mit β. Mn bezeichnet den linken Eckpunkt von I mit α, den rechten Ist α I, so setze n := α für lle n N. Gilt α I, so setze n := α + 1 n für α R und n := n für α =. Ist β I, so setze b n := β für lle n N. Gilt β I, so setze b n := β 1/n für β R und β n := n für β =. Dnn folgt I n I n+1 und I = n=1 I n. (ii) (iii) Ist t 0 I, so gibt es ein δ R + mit t 0 δ, t 0 + δ I. Dher ist t 0 δ, t 0 +δ I n für ein geeignetes n N (benutze I n I n+1 und I = n=1 I n). Also gilt ]t 0 δ, t 0 + δ[ I n und f ist stetig in t 0 bzw. differenzierbr in t 0, d f I n ls stetig in t 0 bzw. ls differenzierbr in t 0 vorusgesetzt ist. Ist t 0 linker (bzw. rechter) Eckpunkt von [, b], so gilt t 0 = n für lle n (bzw. t 0 = b n für lle n). D f [ n, b n ] nch Vorussetzung stetig in t 0, bzw. einseitig differenzierbr in t 0 ist, gilt uch, dß f stetig in t 0, bzw. einseitig differenzierbr in t 0 ist Korollr Sei I ein Intervll und f : I R eine Regelfunktion. Dnn ist f höchstens n bzählbr vielen Stellen unstetig. Insbesondere ist lso eine monotone Funktion uf einem Intervll n höchstens bzählbr vielen Stellen unstetig. Beweis. Sei I n eine Folge von Intervllen gemäß 26.17(i) mit I = n=1 I n. Nun ist f I n eine Regelfunktion. Also ist f I n höchstens n bzählbr vielen Stellen N n unstetig (siehe 26.16). Nch 11.8(v) ist n=1 N n bzählbr. Ist nun t 0 n=1 N n, ber t 0 I n, so ist f I n in t 0 stetig. Nch 26.17(ii) folgt dher die Stetigkeit von f in t 0. C 1 [26] 14

16 Kpitel VI Riemnn-integrierbre Funktionen Riemnn-Integrierbrkeit von Regelfunktionen Jede Regelfunktion f : [, b] R ist Riemnn-integrierbr über [, b]. Ist dher f : [, b] R insbesondere eine stetige oder eine monotone Funktion, so ist f Riemnn-integrierbr über [, b]. Beweis. Es ist jedes ϕ T [, b] Riemnn-integrierbr (siehe 26.10(i)). D nch jede Regelfunktion f gleichmäßiger Limes einer Folge (ϕ n ) n N mit ϕ n T [, b] ist, ist f nch 26.12(i) uch Riemnn-integrierbr. Ist nun f stetig bzw. monoton, so ist f eine Regelfunktion (siehe 26.14) und nch eben Bewiesenem dher Riemnn-integrierbr. Für eine Anwendung des ersten Huptstzes der Differentil- und Integrlrechnung ergben sich zwei Frgen. Die erste Frge, welche Funktionen Riemnn-integrierbr sind, können wir mit ls usreichend bentwortet nsehen: Jede stetige Funktion, jede monotone Funktion und llgemeiner jede Regelfunktion ist Riemnn-integrierbr. Der zweiten Frge, welche Funktionen Stmmfunktionen besitzen, werden wir uns im nächsten Prgrphen zuwenden. Eine Antwort hieruf gibt der sogennnte zweite Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung. Dß beide Frgen in gewisser Weise unbhängig sind, zeigen die beiden folgenden Beispiele: Die Funktion f, definiert durch f(t) := 0 für t [0, 1 2 ] und f(t) := 1 für t ] 1 2, 1], ist ls Treppenfunktion Riemnn-integrierbr. f knn jedoch keine Stmmfunktion F besitzen, d sonst f = F dem Drbouxschen Zwischenwertstz (siehe 18.16) genügen müßte. Die Funktion f, definiert durch f(0) := 0 und f(t) := 2t sin( 1 t 2 ) 2 t cos( 1 t 2 ) für t ]0, 1], besitzt x 2 sin(1/x 2 ) ls Stmmfunktion, ist ber ls unbeschränkte Funktion nicht Riemnn-integrierbr. [26] 15 C 1