Kapitel 4. Stochastische Grundlagen. 4.1 Filtrationen und Stoppzeiten

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1 Kapitel 4 Stochastische Grundlagen An dieser Stelle möchte ich auf einige stochastische Grundlagen eingehen, die bisher im Kapitel 3 Anwendung gefunden haben und im Folgenden Anwendung finden werden. Grundproblem ist die Ordnung von Zufallsvariablen in der Zeit. Die Darstellung orientiert sich an Elliott and Kopp (1999). 4.1 Filtrationen und Stoppzeiten Sei (Ω, F,P) ein Wahrscheinlichkeitsraum und der Zeitparameter t sei in [0,T] oder [0, ], namentlich T. Das übliche Modell für mit der Zeit zunehmende Information ist die Definition 1: Filtration IF = (F t,t T ). Wobei F t eine aufsteigende Folge von Unter-σ-Algebren F t F ist 1. Weitere Annahmen: a) IF ist vollständig, d. h. jede Null-Menge in F gehört auch zu F 0 (also zu jeder F t ). b) IF ist rechts-stetig, d. h. F t = s>t F s. 1 F t stellt die Menge der Ereignisse dar, die in t beurteilt werden kann, im Sinne von ist eingetreten/ist nicht eingetreten. F t ist somit die Menge von Mengen, denen in t 0 t eine Eintrittswahrscheinlichkeit für t zugewiesen werden kann. 47

2 48 KAPITEL 4. STOCHASTISCHE GRUNDLAGEN X t 1 2/3 1/3 1/3 1/3 1/3 t 1 t 2 t 3 t Abbildung 4.1: Zustände eines stochastischen Prozesses und deren Wahrscheinlichkeit Bemerkung: 1. F t stellt die Geschichte eines Prozesses bis zum Zeitpunkt t dar. Wenn ein Ereignis (eine Menge) A F F t -messbar ist, also A F t, dann hängt es nur davon ab, was bis zum Zeitpunkt t passiert. Z. B. ist das Ereignis Der DAX liegt bis zum unter 5000 nicht messbar für t = (Ω, F t,p) sei wieder ein W-Raum. Beispiel: Man betrachte einen stochastischen Prozess, der drei Pfade zu drei Zeitpunkten realisieren kann, wie in Abbildung 4.1 dargestellt. Der Grundraum Ω ist die Menge von drei Elementen ω 1, ω 2,ω 3, die die Pfade beschreiben. Wir wollen hier das Maß P betrachten, das jedem ω dieselbe Wahrscheinlichkeit, also P(ω i ) = 1/3, i=1,2,3, zuweist. Wir wollen die zufälligen Ausprägungen des Prozesses zu den Zeitpunkte t 1, t 2 und t 3 mit X 1, X 2 und X 3 bezeichnen. Die möglichen Ausprägungen sind hier X 1 = x 11, X 2 {x 21,x 22 } und X 3 {x 31,x 32, x 33 }. Der Prozess wird messbar bezüglich der Filtration: F 1 = {{X 1 = x 11 }, }

3 4.1. FILTRATIONEN UND STOPPZEITEN 49 F 2 = {{X 1 = x 11 }, {X }{{} 1 = x 11,X 2 = x 21 }, {X }{{} 1 = x 11,X 2 = x 22 }, } = F }{{} 1 Ω {ω 1,ω 2 } {ω 3 } {{ω 1,ω 2 }, {ω 3 }} F 3 = {{X 1 = x 11 },...,{X }{{} 1 = x 11,X 2 = x 21,X 3 = x 32 },...} = F }{{} 2 {{ω 1 }, {ω 2 }}. Ω {ω 2 } Die zusätzliche Information, die im Zeitpunkt t 2 nun vorliegt, führt z. B. zu einer veränderten Prognose für die Ausprägung des Prozesses im Zeitpunt t 3. So ist z. B. ( 1 E(X 3 F 2 ) = I {X2 =x 21 } 2 x ) 2 x 32 + I {X2 =x 22 }x 33. Häufig schreibt man auch E(X 3 X 2 ), wenn die σ-algebra F 2 wie hier die kleinste ist, die X 2 messbar macht. Man nennt F 2 die von X 2 erzeugte σ-algebra, bzw. σ{x 2 }. In Worten besagt obige Darstellung, dass wenn X 2 den Wert x 21 angenommen hat, für X 3 nur noch x 31 und x 32 (mit gleicher Wahrscheinlichkeit) in Frage kommen. Wenn X 2 den Wert x 22 angenommen hat, kommt für X 3 nur noch x 33 in Frage. Dies unterscheidet sich von EX 3 = 1 3 x x x 33, insbesondere ist das Erste eine Zufallsvariable, das Zweite nicht. Was man in der Finanzstochastik darübr hinaus häufig braucht, ist ein Zufallsmechanismus auf den t s. Definition 2: Eine Zufallsvariable T auf Ω mit Werten in T heißt Stoppzeit, falls t 0 gilt {ω : T(ω) t} = {T t} F t. Bemerkung: Der Wertebereich von T ist T, die dazugehörige σ-algebra ist die Borel sche. Bemerkung: Das Ereignis {T t} hängt nur von dem ab, was bis zum Zeitpunkt t passiert. Beispiel: T := Das erste Mal, dass der Wechselkurs EUR/USD > 1, 5 ist. - Der Wertebereich ist in T (F 0 ist heute). - Die Frage Ist T t? kann in t beantwortet werden, also kann ihr aus heutiger

4 50 KAPITEL 4. STOCHASTISCHE GRUNDLAGEN Sicht eine Wahrscheinlichkeit, nämlich P({ω : T(ω) t}) zugewiesen werden, d. h. sie ist F t -messbar. Gegenbeispiel: T := Der DAX wird immer unter 7000 bleiben kann in (keinem) Punkt t beantwortet werden, es kann kein Maß zugewiesen werden, außerdem bilde T nicht nach T ab. T := Das letzte Mal vor einem Datum (in der Zukunft), dass ein anderes Ereignis eintreten wird ( Das letzte Mal vor 2010, dass der DAX über 5000 liegt ) kann vor 2010 nicht beantwortet werden, also ist es nicht F t -messbar für t < Grundlegende Eigenschaften: 1. T(ω) t ω Ω ist Stoppzeit. (Bew.: {T t} = Ω F t ) 2. Falls T Stoppzeit ist, dann sind auch T + s mit s IR + Stoppzeit. (Übung) 3. Falls T und S Stoppzeiten sind, dann auch T S (min(t, S)) und T S (max(t, S)) Stoppzeiten. Beweis: Wegen 1. und der Abgeschlossenheit von σ-algebren gegen Schnitte und Komplemente gilt {T S t} = {T t} {S t} = {{T t} c {S t} c } c F t und {T S t} = {T t} {S t} F t. Definition: Sei T eine Stoppzeit bezüglich {F t }. Dann ist die σ-algebra F T die Menge der Ereignisse, die bis zur Zeit T passieren, d. h. A F, so dass A {T t} F t t. (Sowohl A tritt ein, als auch {T t}, jeweils symbolisiert durch Mengen von ω s, die in Ω enthalten sind.) Übung: Zeige, dass F T eine σ-algebra ist.

5 4.2. STOCHASTISCHE PROZESSE 51 Man kann sich F T nicht sequentiell erzeugt vorstellen: Falls T(ω 1 ) = s 1, so folgt nicht F T = F s1. Theorem Seien S und T Stoppzeiten 2. Wenn S T, dann F S F T. Beweis: Sei B F S B {T t} S T = B {S t} {T t} }{{}}{{} F tweil B F S F tweil T Stoppzeit F t weil F t σ-algebra B F T 4.2 Stochastische Prozesse Definition: Ein stetiger stochastischer Prozess X nimmt Werte im Maßraum (E, E) an und ist eine Familie von Zufallsvariablen {X t } auf (Ω, F,P) mit Index t und Werten in (E, E). Beispiel: Für jedes ω gibt es einen Ölpreisverlauf (Pfad) in T. Für jedes t stellt X t (ω) eine mögliche Realisation des Ölpreises im Punkt t dar. Äquivalenz von Prozessen Wie bei (endlich multivariaten) reelwertigen Zufallsvariablen, kann man sich die Frage nach der Gleichheit zweier stochastischer Prozesse stellen. Wir wollen hier differenzierter von der Äquivalenz von stochastischen Prozessen sprechen und drei verschieden starke Definitionen auflisten. 2 T ist hier zu unterscheiden von T als rechter Grenze von T.

6 52 KAPITEL 4. STOCHASTISCHE GRUNDLAGEN Sei E = IR und E = B, die Borel sche σ-algebra auf IR. Wähle die finit-dimensionale Fraktion X t1,...,x tn,t i T und A IR n. Dann ist Φ X X t1,...,x tn (A) = P({ω Ω (X t1 (ω),...,x tn (ω)) A}) die n-dimensionale Wahrscheinlichkeitsverteilung auf der Familie {t 1,...,t n }. Definition: X,Y seien stochastische Prozesse und es gelte Φ X t 1,...,t n (A) = Φ Y t 1,...,t n (A) {t 1,...,t n }. Dann sind X und Y äquivalent, oder auch haben dieselbe Verteilung. Das ist nicht sehr stark, da wir uns auf (endliche) abzählbare Teilmengen des T beschränken. Stärker ist: Definition: X, Y seien stochastische Prozesse auf (Ω, F, P) mit Werten in (E, E). X und Y heißen ununterscheidbar (engl indistinguishable ) falls für fast alle ω Ω gilt X t (ω) = Y t (ω) t T. Definition: X,Y wie in der letzten Definition. Gilt X t = Y t f.s. t so nennt man Y Modifikation von X. Die beiden Definitionen unterscheiden sich in den Nullmengen. Im letzten Fall darf die Nullmenge von t abhängen, im ersten Fall nicht. Bei abzählbarer Zeitmenge (Indexmenge) unterscheiden sich die Definitionen nicht. Martingale Eine wichtige Familie von stochastischen Prozessen stellen die Martingale dar. Für eine umfassende Darstellung, die im Rahmen dieser Einführung nicht angemessen ist, siehe z. B. Musiela and Rutkowski (1997).

7 4.2. STOCHASTISCHE PROZESSE 53 Definition: Sei {F t },t 0, eine Filtration auf dem messbaren Raum (Ω, F) und sei {X t } ein stochastischer Prozess auf (Ω, F) mit Werten in (E, E). Dann heißt X adaptiert an {F t } falls X t F t -messbar ist t. Definition: Sei (Ω, F,P) ein W-Raum mit Filtration {F t }, t [0, ]. Ein reelwertiger adaptierter stoch. Prozess {M t } heißt Supermartingal (Submartingal) bzgl. der Filtration {F t } wenn a) E[ M t ] < t b) E[M t F s ] M s für s t (E[M t F s ] M s ) Falls E[M t F s ] = M s für s t nennt man {M t } Martingal. Bemerkung: E[M t ] = E[M 0 ] wegen E[M t ] = E[E[M t F 0 ]] = E[M 0 ]. Beispiel: Brown sche Bewegung Eine Standard Brown sche Bewegung {B t }, t 0 ist ein reelwertiger stochastischer Prozess mit stetigem Pfad und stationären, normalverteilten, unabhängigen Inkrementen, d. h.: a) B 0 = 0 f.s. b) t B t (ω) ist stetig für fast alle ω Ω. c) Für t > s ist B t B s Gauß-Variable mit Erwartungswert 0 und Varianz t s und ist unabhängig von F s = σ{b u : u s}. Theorem Sei {B t } Standard Brown sche Bewegung bzgl. der Filtration {F t }. Dann gilt: 1. {B t } ist F t -Martingal 2. {B 2 t t} ist F t -Martingal σ2 σbt ( 3. {e 2 t) } ist F t -Martingal

8 54 KAPITEL 4. STOCHASTISCHE GRUNDLAGEN Beweis: Die Bedingung a) aus der Martingaldefinition wird hier nicht untersucht. 1. B t = B s + B t B s, E[B t B s F s ] = 0, da B t B s unabhängig von F s und E = 0 ist. Somit gilt E[B t F s ] = B s. 2. Übung 3. Bemerkung: Falls Z N(0, 1), d. h. mit Dichte f(z) = 1 2π e z2 2 und λ IR, dann ist die Moment-erzeugende Funktion Ee λz = 1 2π IR eλz e z 2 λ 2 dz = e 2 2. (Siehe z. B. Johnson et al. (1994).) Nun ist für s < t E[e σbt σ2 t 2 F s ] = e σbs σ2 t 2 E[e σ(b t B s) F s ] = e σbs σ2 t 2 E[e σ(b t B s) ] da B t B s N(0,t s) gilt = e σbs σ2 t σ 2 e 2 (t s) 2 = e σbs σ2 s 2.