Statistische Methoden in den Umweltwissenschaften

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1 Statistische Methoden in den Umweltwissenschaften Post Hoc Tests A priori Tests (Kontraste) Nicht-parametrischer Vergleich von Mittelwerten

2 50 Ergebnis der ANOVA Sprossdichte der Seegräser Die manipulierte Seeigeldichte hat einen signifikanten Effekt auf die Sprossdichte der Seegräser (p < 0,05). 0 keine mittel hoch Manipulierte Seeigeldichte ABER: Welche Gruppe unterscheidet sich von welcher Gruppe? Multiple Vergleiche von Mittelwerten

3 Multiple Vergleiche von Mittelwerten Datensatz mit 3 Gruppen ANOVA: signifikantes Ergebnis Sprossdichte der Seegräser keine mittel hoch Manipulierte Seeigeldichte Gruppe n Werte MW STABW keine 5 15 ; 17 ; 18 ; 20 ; 21 18,2 2,4 mittel 5 13 ; 20 ; 22 ; 25 ; 28 21,6 5,7 hoch 5 31 ; 37 ; 38 ; 40 ; 45 38,2 5,1

4 Multiple Vergleiche von Mittelwerten Datensatz mit 3 Gruppen ANOVA: signifikantes Ergebnis Sprossdichte der Seegräser keine mittel hoch Manipulierte Seeigeldichte Paarweise t-tests? bei 3 Gruppen ergeben sich 3 Vergleiche bei 5 Gruppen ergeben sich bereits 10 Vergleiche G (G 1) 5 (5 1) Vergleiche (z) = = = Gruppe Vergleich 1 G1-G2 2 G1-G3 3 G2-G3

5 Multiple Vergleiche von Mittelwerten Alle paarweise Mittelwertvergleiche mit der entsprechenden Nullhypothese Vergleich Differenz der H 0 k H 1 k Mittelwerte G1-G2 18,2-21,6 = 3,4 µ1 = µ2 µ1 µ2 G1-G3 18,2-38,2 = 20,0 µ1 = µ3 µ1 µ3 G2-G3 21,6-38,2 = 16,6 µ2 = µ3 µ2 µ3 Wenn H 0 : µ1 = µ2 = µ3 gilt, dann gelten auch alle auf die paarweisen Vergleiche bezogenen Nullhypothesen

6 Unabhängige und abhängige Vergleiche Vergleich Differenz der H 0 k H 1 k Mittelwerte G1-G2 18,2-21,6 = 3,4 µ1 = µ2 µ1 µ2 G1-G3 18,2-38,2 = 20,0 µ1 = µ3 µ1 µ3 G2-G3 21,6-38,2 = 16,6 µ2 = µ3 µ2 µ3 Alle Vergleiche des Beispiels sind abhängige Vergleiche, d.h. mit überlappenden Informationen G1-G2, G1-G3 G1-G2, G2-G3 G1-G3, G2-G3

7 Unabhängige und abhängige Vergleiche Vergleich Differenz der Mittelwerte H 0 k H 1 k 5 Gruppen, d.h. 10 abhängige und unabhängige Vergleiche G1-G =16 µ1=µ2 µ1 µ2 G1-G =17 µ1=µ3 µ1 µ3 G1-G =17 µ1=µ4 µ1 µ4 G1-G =11 µ1=µ5 µ1 µ5 G2-G =1 µ2=µ3 µ2 µ3 G2-G =1 µ2=µ4 µ2 µ4 G2-G =6 µ2=µ5 µ2 µ5 G3-G =0 µ3=µ4 µ3 µ4 G3-G =6 µ3=µ5 µ3 µ5 Unabhängige Vergleiche z.b. G1-G2 und G3-G4 Abhängige Vergleiche mit überlappenden Informationen z.b. G1-G3, G1-G4 und G1-G5 G4-G =6 µ4=µ5 µ4 µ5

8 Inflation der Wahrscheinlichkeit des alpha-fehlers Die Wahrscheinlichkeit der Gesamtheit von 2 unabhängigen Vergleichen einen alpha-fehler zu begehen, erhöht sich! α gesamt = 1 (1 α einzel ) z = 1 (1 0,05) = 1 (1 0,05) 2 10 = 0,098 = 0,401 wobei z die Anzahl der Vergleiche ist Bei 2 unabhängigen Vergleichen verdoppelt sich bereits der alpha-fehler!!! Approximation: αgesamt z αeinzel = 2 0,05 = 0,1

9 Inflation der Wahrscheinlichkeit des alpha-fehlers Auf welchem Niveau sind die Einzelvergleiche zu prüfen, damit die Wahrscheinlichkeit der Gesamtheit von 2 unabhängigen Vergleichen einen alpha- Fehler zu begehen, 0,05 nicht überschreitet? 1/z 1/2 αeinzel = 1 (1 αgesamt) = 1 (1 0,05) = 0,025 Approximation: α α z 0,05 2 gesamt einzel = = 0,025

10 Inflation der Wahrscheinlichkeit des alpha-fehlers Sind nicht alle Vergleiche unabhängig, sind nur die Grenzen bekannt, zwischen denen die tatsächliche Wahrscheinlichkeit liegt, einen alpha-fehler zu machen. Sie liegt zwischen α einzel und α gesamt. α < α < einzel tatsächlich α gesamt bei 2 Vergleichen: bei 10 Vergleichen: 0,025 <???? < 0,050 0,005 <???? < 0,050

11 Inflation der Wahrscheinlichkeit des alpha-fehlers Nach Anpassung des alpha-fehlers liegt die Wahrscheinlichkeit der Gesamtheit von 3 unabhängigen und abhängigen Vergleichen einen alpha-fehler zu begehen, zwischen 0,017 und 0,050! Gruppe Vergleich 1 G1-G2 2 G1-G3 3 G2-G3 α = 1 (1 α ) = 1 (1 0,05) 1/3 1/3 einzel gesamt = 0,017

12 Post hoc Tests Ziel: alpha-fehler für die Gesamtheit der Vergleiche beschränken, meist auf p = 0,05 Methode: Absenkung des alpha-fehlers pro Einzelvergleich α < α < einzel tatsächlich α gesamt Viele Verfahren, auch in SPSS Gleiche oder ungleiche Stichprobenumfänge? Homogene Varianzen?

13 Bonferroni-Verfahren Neue kritische Irrtumswahrscheinlichkeit alpha wird durch Division der konventionellen alpha durch die Zahl der angestellten Vergleiche berechnet α neu = α z Testvorschrift: Ablehnen von H 0 (z), falls p z α / z Vorteil: einfaches Verfahren, alle Nullhypothesen werden mit gleicher Wahrscheinlichkeit abgelehnt Nachteil: sehr konservativ

14 Bonferroni-Verfahren Beispiel: für drei geplante Vergleiche gilt: 0,05 α neu = = 3 0,017 Gruppe Vergleich p-werte H 0 ablehnen? 1 G1-G2 0,798 nein 2 G1-G3 <0,001 ja 3 G2-G3 <0,001 ja

15 Bonferroni-Verfahren Sprossdichte der Seegräser ANOVA: p<0,001 a a b Die manipulierte Seeigeldichte hat einen signifikanten Effekt auf die Sprossdichte der Seegräser (p < 0,001). Keine Seeigel und eine mittlere Seeigeldichte unterscheiden sich nicht signifikant voneinander. Hohe Seeigeldichten bewirken die signifikant höchste Sprossdichte. 0 keine mittel hoch Manipulierte Seeigeldichte

16 Multiple Vergleiche von Mittelwerten Post hoc Vergleiche A priori Vergleiche Ungeplante Vergleiche Jede Gruppe wird mit jeder verglichen Geplante Vergleiche Kontraste in SPSS Fragestellungen, die von besonderem Interesse sind Vorzug der wenigen geplanten Vergleiche gegenüber allen möglichen ungeplanten Vergleichen, da keine unnötige Verschwendung des alpha-fehlers.

17 Geplante Mittelwertsvergleiche (Kontraste) Testen einer Teilmenge von Vergleichen Bestehen vor der Datenerhebung Hypothesen, welche Gruppenmittelwerte sich unterscheiden, sollten Kontraste formuliert werden Im Gegensatz zu post hoc-tests, prüfen Kontraste nur die a priori vermuteten Mittelwertdifferenzen auf Signifikanz Kontraste können im Gegensatz zu post hoc-tests auch gerichtet sein!

18 Kontrastberechnung Kontrastgewichte formulieren Kontrast A B C 1 A B,C B C Voraussetzungen prüfen Ist die Summe aller Gewichte = 0? Sind die Kontraste statistisch unabhängig (orthogonal)? Wiesen ohne Seeigel haben eine geringere Sprossdichte als Wiesen mit Seeigel (unabhängig von der Seeigeldichte). Sprossdichte der Seegräser Seegrasdichte in Wiesen mit mittlerer Seeigeldichte ist geringer als die in Wiesen mit hoher Seeigeldichte. 0 keine mittel hoch Manipulierte Seeigeldichte

19 Geplante Vergleiche (Kontraste) Es kann sinnvoll sein, nach einer signifikanten ANOVA nur wenige ausgewählte Gruppen miteinander zu vergleichen Vorteil: Teststärke dieser Paarungen wird nicht durch uninteressante Vergleiche gesenkt Achtung! Auch diese Vergleiche gegen Inflation von Fehlern 1. Ordnung schützen Dunnett-Test (auch in SPSS)

20 Was sind nicht-parametrische Tests? Setzen keine bestimmte Verteilung der Daten voraus, sind Verteilungsfreie Tests Anwendung, wenn Daten nicht normalverteilt sind, können aber auch auf normalverteilte Daten angewand werden Unempfindlich gegen Ausreißer Auch für ordinalskalierte Daten Messwerte Rangplätze

21 Zwei unabhängige Stichproben: Mann-Whitney U-Test Prüfung, ob sich mittlere Ränge von zwei unabhängigen Stichproben signifikant unterscheiden Nullhypothese H 0 : die mittleren Ränge sind unter beiden Bedingungen gleich

22 Zwei unabhängige Stichproben: Mann-Whitney U-Test Nullhypothese H 0 : die mittleren Ränge sind unter beiden Bedingungen gleich Kontrollgruppe Experimentalgruppe Messwert Rang Messwert Rang Gemeinsame Rangreihe der Werte beider Stichproben

23 Sta tistik für Test b IOW-Statistikseminar: 4. Veranstaltung Zwei unabhängige Stichproben: Mann-Whitney U-Test Mann-Whitney-U Wilcoxon-W Z Asymptotische Signifikanz (2-seitig) Exakte Signifikanz [2*(1-seitig Sig.)] Variable 2,000 12, 000-2,132,033,038 a a. Nicht für Bindungen korrigiert. b. Gruppenvariable: Gruppe Testgröße U: Wie häufig stehen Werte der Kontrollgruppe vor Werten der Experimentalgruppe? U gibt an, wie häufig Werte an falscher Stelle in der Rangfolge stehen. Kontrollgruppe Experimentalgruppe steht als einziger Wert der Experimentalgruppe vor 20 und 22 der Kontrollgruppe

24 Fishers Randomisationstest Auf wieviel verschiedene Arten können 10 Beobachtungen auf zwei Gruppen der Größe n 1 =4 und n 2 =6 aufgeteilt werden? K (n + n2)! = n! n! 1 = Kontrollgruppe Experimentalgruppe Messwert Messwert Wenn H 0 zutrifft, kann jede dieser 210 Aufteilungen mit gleicher Wahrscheinlichkeit auftreten Für alle möglichen Aufteilungen werden die zugehörigen U-Werte bestimmt Vollständige Stichprobenverteilung von U

25 Überprüfung der Nullhypothese: Fishers Randomisationstest Kontrollgruppe Messwert Experimentalgruppe Messwert Bereich der Verwerfung von H 0 : die 5% kleinsten Werte von U (d.h. einseitiger Test mit Irrtumswahrscheinlichkeit = 5%) Die kleinsten 5% der 210 möglichen U-Werte: 210 0,05 = 10,5, d.h. die 10 kleinsten Werte

26 Sta tistik für Test b IOW-Statistikseminar: 4. Veranstaltung Zwei unabhängige Stichproben: Mann-Whitney U-Test Mann-Whitney-U Wilcoxon-W Z Asymptotische Signifikanz (2-seitig) Exakte Signifikanz [2*(1-seitig Sig.)] Variable 2,000 12, 000-2,132,033,038 a a. Nicht für Bindungen korrigiert. b. Gruppenvariable: Gruppe Prüfgröße 2-seitige Irrtumswahrscheinlichkeit 1-seitige Irrtumswahrscheinlichkeit: 0,038 : 2 = 0,019 p = 0,038 ; d.h. p < 0,05 und H 0 wird abgelehnt Es besteht ein signifikanter Unterschied zwischen den beiden Gruppen.

27 Zwei unabhängige Stichproben: Mann-Whitney U-Test Prüfung von H 0 bis n=50 über exakte Stichprobenverteilung, ab dann approximativ Mit Zusatzmodul Exakte Tests lassen sich auch im Fall von größeren Stichproben exakte p-werte bestimmen, dann auch Berücksichtigung von Rangbindungen Rangbindungen ties, d.h. Werte liegen mehrfach vor, dann Korrektur

28 Testen von mittleren Rängen (MR): Nicht-parametrische ANOVA : Kruskal-Wallis H-Test keine mittel hoch Messwert Rang Messwert Rang Messwert Rang , , R 1 21,5 R 2 33,5 R 3 65 n 1 5 n 2 5 n 3 5 MR 1 4,3 MR 2 6,7 MR 3 13,0

29 Kruskal-Wallis H-Test keine mittel hoch R 1 21,5 R 2 33,5 R 3 65 n 1 5 n 2 5 n 3 6 MR 1 4,3 MR 2 6,7 MR 3 13,0 MR (21,5+33,5+65)/(5+5+5) = 8,0 Nullhypothese H 0 : MR 1 = MR 2 = MR 3 = MR Testgröße H: H = 12 N(N + 1) 3 j= 1 n j (MRj MR) 2 H ist annähernd χ 2 -Verteilt mit df=k-1 Freiheitsgraden

30 Kruskal-Wallis H-Test df = 2 (3-1 Gruppen) H ist annähernd χ 2 -verteilt Was ist das kritische H?? H kritisch = 5,992 H= 10,095 > 5,992 Die manipulierte Seeigeldichte hat einen signifikanten Effekt auf die Sprossdichte der Seegräser (p = 0,006).

31 Nicht-parametrischer post hoc Test Mann-Whitney-U Test: mit Bonferroni-Anpassung des alpha-fehlers (Test wird in SPSS angeboten, aber Bonferroni-Anpassung muss manuell durchgeführt werden)