WS 2009/10. Diskrete Strukturen

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1 WS 29/ Diskrete Strukturen Prof. Dr. J. Esparza Lehrstuhl für Grundlagen der Softwarezuverlässigkeit und theoretische Informatik Fakultät für Informatik Technische Universität München

2 Kapitel II - Grundlagen Mathematische und notationelle Grundlagen Mengen Relationen und Abbildungen Aussagen- und Prädikatenlogik Beweismethoden Wachstum von Funktionen 2 Vorlesung Diskrete Strukturen WS 9/

3 Logik ist die Wissenschaft des Schließens. Sie untersucht welche Inferenzen korrekt sind. Unter Inferenz verstehen wir (informell) eine Aussage der Form: wenn A wahr ist, dann ist auch B wahr. Umgangssprachlich sagen wir auch: Wenn A gilt, dann gilt B Wenn A dann B A impliziert B A ist die Annahme (Prämisse, Antezedens, Hypothese) und B die Konklusion (Konsequenz). 3 Vorlesung Diskrete Strukturen WS 9/

4 Eine korrekte Inferenz Wenn alle Menschen sterblich sind und Sokrates ein Mensch ist, dann ist Sokrates sterblich. A = alle Menschen sind sterblich und Sokrates ist ein Mensch B = Sokrates ist sterblich Eine korrekte Inferenz wenn A dann B bedeutet nicht, dass B wahr ist. Wenn die Inferenz korrekt ist und A wahr ist, dann ist B wahr, mehr wissen wir nicht. Wenn bestochene Ministerpräsidenten ins Gefängnis müssen und Herr Beckstein bestochen wurde, dann muss er ins Gefängnis ist eine korrekte Inferenz. Vorlesung Diskrete Strukturen WS 9/

5 Beispiele von inkorrekten Inferenzen: Wenn einige Männer klug sind und alle Fussballer Männer sind, dann sind alle Fussballer klug. Wenn einige vererbte Variationen dem Gesetz der Selektion unterliegen und alle menschlichen Unterschiede vererbte Variationen sind, dann unterliegen alle menschlichen Unterschiede dem Gesetz der Selektion. Vorlesung Diskrete Strukturen WS 9/

6 Korrekt oder inkorrekt? Wenn es heute bewölkt ist, und wir nur dann schwimmen gehen, wenn es sonnig ist, und wir immer dann rudern, wenn wir nicht schwimmen, und wir immer früh nach Hause kommen wenn wir rudern, dann werden wir heute früh nach Hause kommen. Vorlesung Diskrete Strukturen WS 9/

7 Noch zwei korrekte Inferenzen Wenn dann alle Guldräber untreßig und alle Untreßigen filzig sind sind alle Guldräber filzig. Diese Inferenz erkennen wir als korrekt, auch wenn wir nicht wissen, was Guldräber, untreßig, oder filzig bedeutet. Die Inferenz ist eine Instanz von: Wenn (alle X sind Y) und (alle Y sind Z) dann (alle X sind Z) Vorlesung Diskrete Strukturen WS 9/

8 Noch zwei korrekte Inferenzen Wenn Anna ein Enkelkind hat dann ist Anna eine Mutter Die Inferenz kann nur als korrekt erkannt werden, wenn man Wissen über die Bedeutung von Mutter und Enkelkind hat. Vorlesung Diskrete Strukturen WS 9/

9 Logische Inferenzen (informell) Eine logische Inferenz ist eine Inferenz mit Variablen (Platzhalter für Aussagen oder Objekte). Achtung: diese Terminologie ist nicht Standard! Eine logische Inferenz ist korrekt, wenn alle ihre Instanzen korrekt sind. Logiker sagen: die Inferenz ist (allgemein)gültig oder eine Tautologie. Wenn (alle X sind Y) und (alle Y sind Z) dann (alle X sind Z) ist gültig. Wenn (alle X sind Y) dann (alle Y sind X) ist nicht gültig. Wenn A und B und (wenn A dann C) dann B und C ist gültig. Vorlesung Diskrete Strukturen WS 9/

10 Die Logik untersucht die gültigen Inferenzen Wie kann man sie (automatisch) erkennen? Welche sind die nützlichsten? Die Logik stellt die Basis der mathematischen Beweise. Praktische Anwendungen der Logik finden sich in zahlreichen Gebieten der Informatik, z.b. Datenbanken, Programmverifikation, Korrektheitsbeweise, Systemsicherheit, künstliche Intelligenz und vielen mehr. Vorlesung Diskrete Strukturen WS 9/

11 Es gibt zahlreiche Logiken Aussagenlogik, Prädikatenlogik, Temporalogik, deontische Logik Verschiedene Logiken studieren die gültigen Inferenzen in verschiedenen Sprachfragmenten: Aussagenlogik: und, oder, nicht, wenn dann Wenn X und Y dann Y (Platzhalter für Aussagen) Syllogistische Logik: alle, einige, keine Wenn alle A sind B und kein B ist ein C dann ist kein A ein C (Platzhalter für Objekte) Temporallogik: Aussagenlogik + heute, morgen, irgendwann, nie Wenn heute A gilt, dann war gestern wahr, dass morgen A gelten wird. Vorlesung Diskrete Strukturen WS 9/

12 Aussagenlogik (propositional logic) Aussagen werden aus einer vorgegebene Menge von atomaren Aussagen (Platzhalter für Aussagen) mit Hilfe der Operatoren (Konnektoren, Junktoren) und, oder, nicht und wenn dann gebaut. Atomare Aussagen sind wahr oder falsch, nie wahr und falsch, keines von beiden oder etwas dazwischen. Die Grundlagen der Aussagenlogik wurden von George Boole ( The Laws of Thought 854) entwickelt. Man spricht deswegen auch von der Booleschen Logik. 2 Vorlesung Diskrete Strukturen WS 9/

13 George Boole (85-864) 3 Vorlesung Diskrete Strukturen WS 9/

14 Aussagenlogik formal 4 Die Aussagenlogik (wie jede Logik) bildet eine formale Sprache. Eine formale Sprache wird definiert durch ihre Syntax und ihre Semantik. Die Syntax der Sprache legt durch Regeln fest, welche Zeichenketten wohlgeformte Ausdrücke sind. Die wohlgeformten Ausdrücke einer Logik heißen Formeln. Die Semantik legt die Bedeutung der Ausdrücke fest. Eine formale Semantik ordnet jeden Ausdruck einem mathematischen Objekt zu, welchem als Bedeutung des Ausdrucks interpretiert wird. Vorlesung Diskrete Strukturen WS 9/

15 Formale Syntax. Eine formale Syntax besteht aus einem Vokabular und einer Menge von Formationsregeln. Das Vokabular legt fest, welche Zeichen in Ausdrücken vorkommen dürfen Die Formationsregeln legen fest, welche Zeichenketten über dem Vokabular zulässig oder wohlgeformt sind und welche nicht. 5 Vorlesung Diskrete Strukturen WS 9/

16 Syntax der Aussagenlogik: Vokabular Das Vokabular setzt sich aus folgenden Zeichenklassen zusammen: Wahrheitskonstanten: Aussagenvariablen: true, false p, q, r, s, t Logische Operatoren:,,, Hilfssymbolen: (, ) 6 Vorlesung Diskrete Strukturen WS 9/

17 Syntax der Aussagenlogik: Formationsregeln 7 Regel : true und false sind Formeln. Regel : eine Aussagenvariable ist eine Formel. Regel 2: ist F eine Formel, dann ist auch G eine Formel. Regel 3: sind F und G Formeln, dann sind a. (F G) b. (F G) c. (F G) ebenfalls Formeln. Regel 4: Ein Ausdruck ist nur dann eine Formel, wenn er durch Anwendung der obenstehenden Regeln konstruiert werden kann. Vorlesung Diskrete Strukturen WS 9/

18 Syntax der Aussagenlogik: Formationsregeln Es lassen sich also durch Anwendung von logischen Operatoren (Konnektoren) auf Formeln neue Formeln bilden. Ein Operator kombiniert einen oder mehrere Operanden zu einem komplexeren Ausdruck. Monadische/unäre Operatoren haben ein Argument (z.b. : F), dyadische/binäre Operatoren haben zwei Argumente (z.b. F Ç G). 8 Vorlesung Diskrete Strukturen WS 9/

19 Formeln sind: ((p q) r) ((p (false q)) r) (( p q) (q p)) Keine Formeln sind: (q r] p (p q) ) ( q (q p)) 9 Vorlesung Diskrete Strukturen WS 9/

20 Ableitungsbeispiel ()p Regel (2)q Regel (3) q Regel 2, (2) (4)(p q) Regel 3a, (), (2) (5) (p q) Regel 2, (4) (6)(q q) Regel 3b, (2), (3) (7)( (p q) (q q)) Regel 3c, (5), (6) 2 Vorlesung Diskrete Strukturen WS 9/

21 Syntaxbaum für den Ausdruck ( (p q) (q q)) q 2 p Vorlesung Diskrete Strukturen WS 9/ q q

22 Bindungsregeln zur Vereinfachung von Klammerausdrücken bindet stärker als bindet stärker als bindet stärker als Beispiele: p q steht für ( p q), nicht für (p q) p q r steht für ((p q) r), nicht für (p q r )) p q r s steht für ((p q) (r s)) In den Folien: Weder p q r s noch ((p q) (r s)), sondern (p q) (r s) 22 Vorlesung Diskrete Strukturen WS 9/

23 Semantik der Aussagenlogik. 23 Was ist die Bedeutung einer Formel? Die Formel F = p q kann in vier Welten ausgewertet werden Welt : p und q sind beide wahr. F ist falsch. Welt 2: p ist wahr, q ist falsch. F ist falsch. Welt 3: p ist falsch, q ist wahr. F ist wahr Welt 4: p ist falsch, q ist falsch. F ist falsch. Die Bedeutung einer Formel ist die Funktion, die jede mögliche Welt dem Wahrheitswert der Formel in dieser Welt zuordnet: (die Formel ist wahr), oder (die Formel ist falsch). Man nennt {, } die Booleschen Werte. Vorlesung Diskrete Strukturen WS 9/

24 Formale Semantik der Aussagenlogik. 24 Eine Belegung ( eine Welt ) ist eine Funktion von einer Menge von Aussagevariablen in die Menge {,} der Wahrheitswerte. Eine Belegung : V! {,} passt zu einer Formel F, wenn alle Variablen, die in F vorkommen, zu V gehören. Beispiel: die Funktionen p, q p, q, r sind passende Belegungen der Formel p q. Vorlesung Diskrete Strukturen WS 9/

25 Formale Semantik der Aussagenlogik. Die Semantik einer Formel F ist eine Funktion [F], die jede Belegung, die zu F passt, ( jede Welt ) einem Wahrheitswert [F]( ) zuordnet. Die Funktion [F] ist folgendermaßen definiert in Abhängigkeit von F: () Semantik der Formeln true und false: F = true. Für alle Belegungen gilt: [true]( )= F = false. Für alle Belegungen gilt: [false]( )= 25 Vorlesung Diskrete Strukturen WS 9/

26 Formale Semantik der Aussagenlogik. (2) Semantik der Negation (NICHT) und der Konjunktion (UND): F = : G für eine Formel G. Für jede Belegung, die zu F passt: ½ falls [G]( ) = [F]( ) = falls [G]( ) = F = (G Æ H) für Formeln G und H. Für jede Belegung, die zu F passt: ½ falls [G]( ) = und [H]( ) = [F]( ) = falls [G]( ) = oder [H]( ) = 26 Vorlesung Diskrete Strukturen WS 9/

27 Formale Semantik der Aussagenlogik. Die Semantik kann mit Hilfe einer Wahrheitstabelle visualisiert werden Die Tabelle gibt den Wahrheitswert der Formel für jede Kombination von Wahrheitswerten der Operanden an. G G G H G H 27 Vorlesung Diskrete Strukturen WS 9/

28 Formale Semantik der Aussagenlogik. (3) Semantik der Disjunktion (ODER): F = (G Ç H) für Formeln G und H. Für jede Belegung, die zu F passt, gilt: [F]( ) = ½ falls [G]( ) = oder [H]( ) = falls [G]( ) = und [H]( ) = 28 Vorlesung Diskrete Strukturen WS 9/

29 Formale Semantik der Aussagenlogik. Wahrheitstabelle: G H G V H 29 In der Logik ist G oder H wahr, wenn G wahr ist, oder H wahr ist, oder beide wahr sind. Der ODER-Operator wird auch als Nichtausschließendes- Oder bezeichnet, da er die Möglichkeit beinhaltet, dass G und H wahr sind. Vorlesung Diskrete Strukturen WS 9/

30 Formale Semantik der Aussagenlogik. (4) Semantik der Implikation (WENN DANN): F = (G ) H) für Formeln G und H. Für jede Belegung, die zu F passt : [F]( ) = ½ falls [G]( ) = oder [H]( ) = falls [G]( ) = und [H]( ) = 3 Vorlesung Diskrete Strukturen WS 9/

31 Formale Semantik der Aussagenlogik. Wahrheitstabelle: F G F G Semantik in Worten: F G ist falsch genau dann wenn F wahr ist und G falsch ist. Andernfalls ist F G wahr. In der Implikation F G ist F die Hypothese und G die Konklusion. 3 Vorlesung Diskrete Strukturen WS 9/

32 Formale Semantik der Aussagenlogik. 32 Die formale Semantik der Implikation ist unterschiedlich von dem Gebrauch von wenn dann in der Alltagssprache. p ) q sagt nicht, dass p eine Ursache für q ist Pinguine schwimmen ) Pferde wiehern ist wahr in unserer Welt. p ) q sagt nichts darüber, ob p wahr oder falsch ist Frau Merkel wurde bestochen ) Frau Merkel gehört hinter Gitter ist wahr in unserer Welt. Wenn in einer Welt p falsch ist, dann ist in dieser Welt p ) q wahr, unabhängig davon, was q sagt!! Pinguine fliegen ) Pferde sprechen ist wahr in unserer Welt. Vorlesung Diskrete Strukturen WS 9/

33 Formale Semantik der Aussagenlogik. p ) q sagt nichts darüber, ob : p ) : q wahr ist In der Alltagssprache: aus Wenn du brav bist, dann bekommst Du ein Bonbon folgt implizit Wenn Du nicht brav bist, dann bekommst Du kein Bonbon In der Logik: Die Formel Du bist brav ) Du bekommst ein Bonbon sagt nichts darüber, was passiert, wenn Du nicht brav bist. Vielleicht bekommst Du auch ein Bonbon! 33 Vorlesung Diskrete Strukturen WS 9/

34 Weitere Operatoren: Ausschließendes-Oder Der binäre Operator (XOR) entspricht dem sprachlichen Konstrukt entweder oder er schließt die Möglichkeit aus, dass beide Operanden wahr sind. Wahrheitstabelle: G H G H 34 Vorlesung Diskrete Strukturen WS 9/

35 Weitere Operatoren: Bikonditional Der binäre Operator, entspricht dem sprachlichen Konstrukt genau dann, wenn. Wahrheitstabelle: G H G, H 35 Vorlesung Diskrete Strukturen WS 9/

36 Aufgabe: Sind diese Aussagen wahr oder falsch in unserer Welt? 36 Diese Vorlesung wird niemals enden ) die Sonne wird morgen aufgehen Dienstag ist ein Tag der Woche ) Bush ist ein Pinguin. +=6 ) Merkel ist Kanzlerin Der Mond ist aus grünem Käse ) Frankreich hat einen König Vorlesung Diskrete Strukturen WS 9/

37 Wahrheitstabellen 37 Sei F eine Formel, und sei V F die Menge der Variablen, die in F vorkommen. Eine Belegung, die zu F passt, ist minimal für F wenn V F = V Sei eine Belegung, die zu F passt, und sei F die Projektion von auf V F. Dann ist F ist eine minimale Belegung und es gilt: [F]( )=[F]( F). Das heisst: die Funktion [F] wird von den minimalen Belegungen V F! {,} eindeutig bestimmt. Die Wahrheitstabelle von F enthält als Zeilen die minimalen Belegungen von F und die entsprechenden Werte von [F]. Vorlesung Diskrete Strukturen WS 9/

38 Vorlesung Diskrete Strukturen WS 9/ Kapitel II Grundlagen; Logik Wahrheitstabellen. Beispiel: Sei F = ((p Ç : q)) r), : r 38 p q r F

39 Wahrheitstabellen. Wieviele zeilen hat die Wahrheitstabelle einer Formel F, in der n Variablen vorkommen? 39 Vorlesung Diskrete Strukturen WS 9/

40 Berechnung der Wahrheitstabelle einer Formel. p q r ((p Ç : q) ) r), : r 4 Vorlesung Diskrete Strukturen WS 9/

41 Berechnung der Wahrheitstabelle einer Formel. p q r ((p Ç : q) ) r), : r 4 Vorlesung Diskrete Strukturen WS 9/

42 Berechnung der Wahrheitstabelle einer Formel. p q r ((p Ç : q) ) r), : r 42 Vorlesung Diskrete Strukturen WS 9/

43 Berechnung der Wahrheitstabelle einer Formel. p q r ((p Ç : q) ) r), : r 43 Vorlesung Diskrete Strukturen WS 9/

44 Berechnung der Wahrheitstabelle einer Formel. p q r ((p Ç : q) ) r), : r 44 Vorlesung Diskrete Strukturen WS 9/

45 Berechnung der Wahrheitstabelle einer Formel. p q r ((p Ç : q) ) r), : r 45 Vorlesung Diskrete Strukturen WS 9/

46 (Allgemein)gültigkeit, Tautologie. 46 Eine Formel F ist (allgemein)gültig wenn für jede Belegung, die zu F passt, gilt: [F]( )=. Intuitiv: eine Formel ist gültig wenn sie überall ( in allen Welten ) wahr ist. Achtung! Eine Formel ist gültig ist nicht dasselbe wie Eine Formel ist wahr. Wir sagen auch: F ist eine Tautologie. Eine Formel F ist gültig genau dann, wenn für jede minimale Belegung, die zu F passt, gilt: [F]( )=. Tautologietest: berechne die Wahrheitstabelle und prüfe, ob die Spalte für F ausschließlich Einsen enthält. Vorlesung Diskrete Strukturen WS 9/

47 Allgemeingültigkeit, Tautologie. Beispiele von Tautologien: p Ç : p (p Æ q) ) p p ) (p Ç q) p ) (q ) p) (p ) (q ) r)) ) ((p ) q) ) (p ) r)) 47 Vorlesung Diskrete Strukturen WS 9/

48 Widerspruch. Eine Formel F ist ein Widerspruch wenn für jede Belegung, die zu F passt, gilt: [F]( )=. Intuitiv: eine Formel ist ein Widerspruch wenn sie überall ( in allen Welten ) falsch ist. Eine Formel F ist ein Widerspruch genau dann, wenn für jede minimale Belegung, die zu F passt, gilt: [F]( )=. Widerspruchstest: berechne die Wahrheitstabelle und prüfe, ob die Spalte für F ausschliesschlich Nullen enthält. 48 Vorlesung Diskrete Strukturen WS 9/

49 Erfüllbarkeit. 49 Eine Formel F ist erfüllbar wenn es eine Belegung gibt, die zu F passt, und [F]( )= erfüllt. Intuitiv: eine Formel ist erfüllbar wenn sie in mindestens einer Welt wahr ist. Erfüllbarkeitstest: berechne die Wahrheitstabelle und prüfe, ob die Spalte für F mindestens eine enthält. Das Erfüllbarkeitsproblem (satisfiability problem, SAT) ist eines der am meisten untersuchten Problemen der ganzen Informatik: Gegeben: eine aussagenlogische Formel F Entscheiden: ob F erfüllbar ist. Vorlesung Diskrete Strukturen WS 9/

50 Aufgabe. p p Ç q p Ç : p p Æ : p p ) : p p ) q p ) (q ) p) p )(p) q) p, : p Gültig Erfüllbar Widerspruch 5 Vorlesung Diskrete Strukturen WS 9/

51 Aufgabe: Stimmt es oder nicht? J/N Gegenbeispiel Wenn F gültig, dann F erfüllbar Wenn F erfüllbar, dann : F unerfüllbar Wenn F gültig, dann : F unerfüllbar Wenn F unerfüllbar, dann : F gültig 5 Vorlesung Diskrete Strukturen WS 9/

52 Logische Äquivalenz 52 Zwei Formeln F und G sind logisch äquivalent (symbolisch: F G) genau dann, wenn für jede Belegung, die zu F und zu G passt, gilt: [F]( ) = [G]( ) Intuitiv: wenn F und G äquivalent sind, dann sind sie zwei verschiedene Schreibweisen der selben Aussage. Sei V die Menge der Variablen, die in F oder G vorkommen. F und G sind äquivalent genau dann, wenn für jede Belegung : V! {,} gilt: [F]( ) = [G]( ). Aquivalenztest: Konstruiere die Wahrheitstabelle von F,G und prüfe, ob die Spalte für F,G ausschliesschlich Einsen enthält. Vorlesung Diskrete Strukturen WS 9/

53 Aufgabe: stimmt es oder nicht? F G F G p Æ (p Ç q) p : (p Ç q) : p Ç : q p Æ (q Ç r) (p Æ q) Ç r p Æ (q Ç r) (p Æ q) Ç (p Æ r) 53 Vorlesung Diskrete Strukturen WS 9/

54 Logischen Inferenzen: Formalisierung. Eine logische Inferenz ist eine Formel der Gestalt F ) G. Dabei ist F die Annahme und G die Konklusion. Eine logische Inferenz ist korrekt wenn sie gültig ist. Notation: F ² G (in Worten: G folgt aus F) bezeichnet, dass F ) G gültig ist. Achtung! G folgt aus F ist nicht dasselbe wie F impliziert G Fast immer ist die Annahme F eine Konjunktion F Æ Æ F n. Man spricht dann von den Annahmen F,, F n Statt F Æ Æ F n ² F schreibt man platzsparend F,, F n ² F. Folgerungstest: berechne die Wahrheitstabelle und prüfe, ob die Spalte für F ) G ausschließlich Einsen enthält. 54 Vorlesung Diskrete Strukturen WS 9/

55 Aufgabe: stimmt es oder nicht? A F A ² F p p Ç q p p Æ q p, q p Ç q p, q p Æ q p Æ q p p Ç q p p, p ) q q 55 Vorlesung Diskrete Strukturen WS 9/

56 Beziehungen F ist gültig (eine Tautologie), genau dann, wenn : F ist ein Widerspruch. F true true ² F F ist ein Widerspruch, genau dann, wenn : F ist gültig. F false F ² false F ist erfüllbar genau dann, wenn : F ist nicht gültig F G gilt, genau dann, wenn F, G ist eine Tautologie 56 Vorlesung Diskrete Strukturen WS 9/

57 Aufgabe: Wahr oder falsch? Eine Formel F ist eine Tautologie, genau dann, wenn : F ein Widerspruch ist. Eine Formel F ist keine Tautologie, genau dann, wenn : F erfüllbar ist. Wenn F ein Widerspruch ist, dann ist F ) G eine Tautologie. F ist ein Widerspruch genau dann, wenn F false. F ist ein Widerspruch genau dann, wenn F ) false 57 Vorlesung Diskrete Strukturen WS 9/

58 Kapitel II - Grundlagen Eigenschaften der Äquivalenz Die Relation ist reflexiv, symmetrisch und transitiv. Damit ist eine Äquivalenzelation (wie zu erwarten war). Diese Transitivität erlaubt es, die Äquivalenz zweier Formel F und G nachzuweisen, in dem man eine Kette von Äquivalenzen F F F 2 F n G angibt. Das ist eine alternative Methode zur Wahrheitstabelle. 58 Vorlesung Diskrete Strukturen WS 9/

59 Kapitel II - Grundlagen Eigenschaften der Äquivalenz Die Relation ist eine Kongruenz. Das heißt: wenn in einer Formel F eine Teilformel durch eine äquivalente Formel ersetzt wird, dann ist die resultierende Formel äquivalent zu F. Die Kongruenz-Eigenschaft erlaubt es, eine Äquivalenz F i F i+ zu finden, in dem man einen kleinen Teil von F i durch eine äquivalente Formel ersetzt. 59 Vorlesung Diskrete Strukturen WS 9/

60 Kapitel II - Grundlagen Vergleich mit arithmetischen Ausdrücken: Syntax:,,2, sind arithmetische Ausdrücke Wenn A und B arithmetische Ausdrücke sind, dann sind (A+B) und (A B) auch arithmetische Ausdrücke Semantik eines Ausdrucks: eine natürliche Zahl Relation = : zwei Ausdrücke sind äquivalent, wenn ihre Semantik dieselbe Zahl ist = (5 4) = Vorlesung Diskrete Strukturen WS 9/

61 Kapitel II - Grundlagen Vergleich mit arithmetischen Ausdrücken: Die Relation = ist eine Äquivalenzrelation und eine Kongruenz. Beweis, dass (9 + 7) (3 + (4 2)) = 76: (9 +7) (3 + (4 2)) = (9 + 7) (3 + 8) = 6 (3 + 8) = 6 = 76 6 Vorlesung Diskrete Strukturen WS 9/

62 Äquivalenzregeln 62 Um Äquivalenzketten zu konstruieren können wir Äquivalenzregeln verwenden: Äquivalenzschemen, die instanziert werden können, um äquivalente Formeln zu gewinnen. Regeln enthalten Formelvariablen (Platzhalter für Formeln). Beispiel: Die Regel (F Ç G) Æ H (F Æ H)Ç (G Æ H) sagt Für alle Formeln F, G, H gilt: die Formel (FÇ G)Æ H und die Formel (FÆ H)Ç (GÆ H) sind äquivalent Vergleiche mit der arith. Regel: (x + y) z = (x z) + (y z) Eine Regel kann mit verschiedenen Formeln instanziert werden: (p Ç q) Æ r (p Æ r) Ç (q Æ r) ((p) q) Ç q) Æ : p ((p) q) Æ : p) Ç (q Æ : p) Vorlesung Diskrete Strukturen WS 9/

63 Äquivalenzregeln Wie zeigt man, dass eine Regel korrekt ist? Jede Instanz kann mit einer Wahrheitstabelle geprüft werden, aber es gibt unendlich viele Instanzen! Die folgende Eigenschaft (ohne Beweis) gibt die Lösung: Eine Regel ist korrekt genau dann, wenn sie korrekt ist für die Instanz, in der die Formelvariablen F, G, H, jeweils durch die Variablen p,q,r, ersetzt werden. D.h.: Um die Korrektheit einer Regel nachzuweisen reicht es zu zeigen, dass sie für diese eine Instanz gilt. Das kann mit einer Wahrheitstabelle gemacht werden. 63 Vorlesung Diskrete Strukturen WS 9/

64 Äquivalenzregeln für,, Identität: F true F F false F Dominanz: F true true F false false Idempotenz: F F F F F F Doppelte Negation: F F Kommutativität: F G G F F G G F Assoziativität: (F G) H F (G H) (F G) H F (G H) Distributivität: F (G H) (F G) (F H) F (G H) (F G) (F H) De Morgan s: (F G) F G (F G) F G Triviale Tautologie/Kontradiktion: F F true F F false Augustus De Morgan (86-87) 64 Vorlesung Diskrete Strukturen WS 9/

65 Äquivalenzregeln für andere Operatoren Mit Hilfe von Äquivalenzregeln lassen sich logische Operatoren durch andere Operatoren ausdrücken. 65 Exklusives-Oder: F G (F G) (F G) F G (F G) (G F) Implikation: F G F G F G F G Bikonditional: F G (F G) (G F) F G (F G) Beachte: die Konnektoren,,, sind nicht unabhängig! Vorlesung Diskrete Strukturen WS 9/

66 Beweis von Äquivalenzen mit Äquivalenzregeln Zeige (p ( p q)) p q (p ( p q)) p ( p q) p ( p q) p (p q) ( p p) ( p q) false ( p q) ( p q) false p q 66 Vorlesung Diskrete Strukturen WS 9/

67 Beweis von Äquivalenzen mit Äquivalenzregeln Zeige, dass p q q p. p q p q q p q q p p 67 Vorlesung Diskrete Strukturen WS 9/

68 Beweis von Äquivalenzen mit Äquivalenzregeln Beobachtung: Eine Formel F ist eine Tautologie gdw. F true Zeige, dass ((p q) ( p r) (s s)) (q r) eine Tautologie ist. ((p q) ( p r) (s s)) (q r) ((p q) ( p r) true) (q r) ((p q) ( p r)) (q r) ((p q) ( p r)) (q r) ( (p q) ( p r)) (q r) 68 Vorlesung Diskrete Strukturen WS 9/

69 Beweis von Äquivalenzen mit Äquivalenzregeln 69 ( (p q) ( p r)) (q r) ( p q) (p r) q r ( p q) q (p r) r (( p q) ( q q)) ((p r) ( r r)) (( p q) true) ((p r) true) p q p r (Beachte: Klammern weggelassen) p p q r true q r true Vorlesung Diskrete Strukturen WS 9/

70 Beweis von nicht-äquivalenzen Um zu zeigen, dass F und G nicht äquivalent sind reicht es, eine Belegung anzugeben, die zu F und G passt, und F wahr macht und G falsch (oder umgekehrt). Eine solche Belegung kann systematisch mit einer Wahrheitstabelle gesucht werden, aber nicht mit Äquivalenzregeln. In der Praxis oft besser: Finde mit Hilfe von Regeln einfachere Formeln F und G mit F F und G G. Finde eine Belegung, die zeigt, dass F und G nicht äquivalent sind. 7 Vorlesung Diskrete Strukturen WS 9/

71 Beweis von nicht-äquivalenzen Zeige: ((p q) r) und (p (q r)) sind nichtäquivalent.. ((p q) r) ( ( p q) r) ((p q) r) 2. (p (q r)) ( p q r) 3. ((p q) r) und ( p q r) sind nicht äquivalent: ((p q) r) falsch für p, q, r ( p q r) wahr für p, q, r 7 Vorlesung Diskrete Strukturen WS 9/

72 Vergleich: Wahrheitstabelle vs. Äquivalenzregeln Vorteile der Wahrheitstabellen: Automatische und einfache Methode. Terminiert garantiert mit der richtigen Antwort Nachteile der Wahrheitstabellen: Die Wahrheitstabelle einer Formel mit n Variablen enthält 2 n Zeilen. Die Methode ist daher völlig ungeignet für großes n. Die Wahrheitstabelle jeder Formel mit n Variablen enthält 2 n Zeilen, egal wie dumm die Formel ist (p Ç : p ) Æ (p 2 Ç : p 2 )Æ Æ (p n Ç : p n ) 72 Vorlesung Diskrete Strukturen WS 9/

73 Vergleich: Wahrheitstabelle vs. Äquivalenzregeln Vorteile der Äquivalenzregeln: Ab vier/fünf Variablen die bessere Methode für Menschen. Richtige Sequenz von Regelanwendungen kann schnell zum Ziel führen. Nachteile der Äquivalenzregeln: Die richtige Regel muss erraten werden. Terminierung ist nicht garantiert Kann nur zeigen, das F G gilt, aber nicht, dass es nicht gilt. 73 Vorlesung Diskrete Strukturen WS 9/

74 Ein Kalkül für logische Inferenzen. Wir beschreiben eine Menge von Inferenzregeln (ein Kalkül), Mit den Inferenzregeln können Ausdrücke A ` F mechanisch erzeugt werden, wobei A eine Konjunktion von Annahmen und F eine Formel ist. Es wird gelten: wenn A ` F, dann A ² F. Das Kalkül bietet damit eine alternative zum Folgerungstest. Die Regeln sind ähnlich zu den Formationsregeln: Basisregeln: A ` F für die Konjunktion A und die Formel F Induktive Regeln: wenn A ` F,, A n ` F n, dann B ` F 74 Vorlesung Diskrete Strukturen WS 9/

75 Ein Kalkül für logische Inferenzen Grafische Darstellung der Basisregeln: A ` F Grafische Darstellung der induktiven Regeln A ` F A n` F n B ` F Intuition: um B ² F zu beweisen, reicht es zu zeigen, dass A ² F und A 2 ² F 2 und und A n ² F n gelten. 75 Vorlesung Diskrete Strukturen WS 9/

76 Ein Kalkül für logische Inferenzen Annahmeregel. Für jede A, für jede Annahme F in A : A ` F Ausgeschlossener Dritte. Für jede A, für jede F: A ` F Ç : F 76 Vorlesung Diskrete Strukturen WS 9/

77 Ein Kalkül für logische Inferenzen Regel für true. Für jede A : A ` true Regel für false. Für jede A, für jede Formel F : A ` F A ` : F A ` false 77 Vorlesung Diskrete Strukturen WS 9/

78 Ein Kalkül für logische Inferenzen Konjunktionseinführung. Für alle A, für alle F, G : A ` F A ` G A ` F Æ G Konjunktionsbeseitigung. Für alle A, für alle F, G : A ` F Æ G A ` F A ` F Æ G A ` G 78 Vorlesung Diskrete Strukturen WS 9/

79 Ein Kalkül für logische Inferenzen Disjunktionseinführung. Für alle A, für alle F, G : A ` F A ` F Ç G A ` F A ` G Ç F Disjunktionsbeseitigung. Für alle A, für alle F, G, H : A ` F Ç G A, F ` H A, G ` H A ` H 79 Vorlesung Diskrete Strukturen WS 9/

80 Ein Kalkül für logische Inferenzen Negationseinführung. Für alle A, für alle F : A, F ` false A ` : F Negationssbeseitigung. Für alle A, für alle F : A, : F ` false A ` F 8 Vorlesung Diskrete Strukturen WS 9/

81 Ein Kalkül für logische Inferenzen Implikationseinführung. Für alle A, für alle F, G: A, F ` G A ` F ) G Implikationsbeseitigung. Für alle A, für alle F, G: A ` F ) G A ` F A ` G 8 Vorlesung Diskrete Strukturen WS 9/

82 Ein Kalkül für logische Inferenzen Theorem: Die Regelmenge hat die folgenden zwei Eigenschaften: Wenn F ` G, dann F ² G. (Korrektheit, soundness) Aus der Regelmenge werden nur gültige Inferenzen hergeleitet. Wenn F ² G, dann F ` G. (Vollständigkeit, completeness) Jede gültige Inferenz kann mit der Regelmenge hergeleitet werden. 82 Vorlesung Diskrete Strukturen WS 9/

83 Beispiel eines formalen Beweises. Wir betrachten nochmal die Inferenz Wenn es heute bewölkt ist, und wir nur dann schwimmen gehen, wenn es sonnig ist, und wir immer dann rudern, wenn wir nicht schwimmen, und wir immer früh nach Hause kommen wenn wir rudern, dann werden wir heute früh nach Hause kommen. Wir formalisieren sie in der Aussagenlogik und zeigen ihre Korrekheit mit Hilfe der Inferenzregeln. 83 Vorlesung Diskrete Strukturen WS 9/

84 Beispiel eines formalen Beweises Wir führen Variablen für die Aussagen ein sonnig = es ist sonnig schwimmen = wir werden schwimmen rudern = wir werden rudern früh = wir werden früh nach Hause kommen. Annahmenmenge A: (a) sonnig (b) schwim sonnig (c) schwim rudern 84 (d) rudern früh Vorlesung Diskrete Strukturen WS 9/

85 Beispiel eines formalen Beweises Eine Herleitung von A ` F ist eine endliche Sequenz A ` F, A 2 ` F 2,, A n` F n mit: A n = A und F n = F Für alle i, i n, der Ausdruck A i ` F i kann aus einer Teilmenge der Ausdrücke A ` F,, A i- ` F i- durch Anwendung einer Regel gewonnen werden. Ein formaler Beweis der Aussage F folgt aus den Annahmen A,, A n ist eine Herleitung von A, A 2,, A n ` F 85 Vorlesung Diskrete Strukturen WS 9/

86 Beispiel eines formalen Beweises Schritt Bewiesen durch. A, schwim ` schwim An. 2. A, schwim ` schwim ) sonnig An. (b) 3. A, schwim ` : sonnig An. (a) 4. A, schwim ` sonnig Imp.Bes.,2 5. A, schwim ` false false.ein. 3,4 6. A ` schwim ) false Imp.Ein A ` : schwim Neg.Ein A ` : schwim ) rudern An. (c) 9. A ` rudern Imp.Bes. 7,8. A ` rudern ) früh An. (d). A ` früh Imp.Bes. 9, 86 Vorlesung Diskrete Strukturen WS 9/

87 Wieviele verschiedene Operatoren gibt es? Die Semantik von Operatoren (Konnektoren, Junktoren) kann durch Wahrheitstabellen dargestellt werden. Da die Wahrheitstabelle einer Formel mit n Variablen 2 n Einträge (/) hat, gibt es genau 2 2n verschiedene Wahrheitstabellen für Formeln mit n Variablen. Es gibt also 2 2n Operatoren der Arität n (insbesondere 4 unäre und 6 binäre Operatoren). 87 Vorlesung Diskrete Strukturen WS 9/

88 Vollständige Mengen von Operatoren. 88 Einige Operatoren können durch andere ausgedrückt werden. Z.B. aus p ) q : p Ç q folgt F ) G : F Ç G für beliebige Formeln F und G. Formal: Ein Operator OP der Stelligkeit k kann durch die Operatoren OP_,, OP_n ausgedrückt werden wenn es eine Formel F über OP_,, OP_n gibt mit OP(p,, p k ) F Eine Menge M von Operatoren ist vollständig wenn jeder Operator (egal welcher Arität) durch die Operatoren von M ausgedrückt werden kann. Vorlesung Diskrete Strukturen WS 9/

89 Vollständige Mengen von Operatoren. Theorem: Die Menge {:, Ç, Æ} ist vollständig. Beispiel. Wir betrachten den 3-stelligen Operator ITE mit folgender Wahrheitstabelle: p q r ITE(p,q,r) Es gilt: ITE(p,q,r) (: p Æ : q Æ r) Ç (: p Æ q Æ r) Ç ( p Æ q Æ : r) Ç ( p Æ q Æ r) 89 Vorlesung Diskrete Strukturen WS 9/

90 Vollständige Mengen von Operatoren. Theorem: Die Mengen {:, Ç} und {:, Æ} sind vollständig. Beweisidee. Beobachtung: Sei V eine vollständige Menge und sei M eine Menge von Operatoren. Wenn jeder Operator aus V durch die Operatoren von M ausgedrückt werden kann, dann ist M auch vollständig. Fall {:, Ç}. Es reicht zu zeigen, dass Æ durch : und Ç ausgedrückt werden kann. Das wird mit der De Morgan sche Regel erreicht: p Æ q : (: p Ç : q). Fall {:, Æ}. Symmetrisch. 9 Vorlesung Diskrete Strukturen WS 9/

91 Vollständige Mengen von Operatoren. Wir betrachten die Operatoren nand: (F nand G) ( (F G)) F G F nand G nor: (F nor G) ( (F Ç G)) F G F nor G 9 Vorlesung Diskrete Strukturen WS 9/

92 Vollständige Mengen von Operatoren. Theorem: Die Mengen {nand} und {nor} sind vollständig. Beweisskizze für die Menge {nand}: ( F) (F nand F) (F G) (F nand G) nand (F nand G) (F G) (F nand F) nand (G nand G) 92 Vorlesung Diskrete Strukturen WS 9/

93 Zusammenfassung Boolesche Operatoren 93 Formaler Name Umg.spr. Stelligkeit Symbol Negation NICHT Mon. Konjunktion UND Dyad. Disjunktion ODER Dyad. Exclusives-Oder XOR Dyad. Implikation IMPLIZIERT Dyad. Bikonditional IFF (GDW) Dyad. NAND NAND Dyad. NAND NOR NOR Dyad. NOR Vorlesung Diskrete Strukturen WS 9/

94 Zusammenfassung Aussagenlogik Syntax und Semantik. Operatoren und Wahrheitstabellen. Logische Begriffe. Tautologie, Widerspruch, Erfüllbarkeit, Äquivalenz, Folgerung Äquivalenzregeln, Folgerungsregeln. Formale Beweise Vollständige Operatorenmengen. 94 Vorlesung Diskrete Strukturen WS 9/