3 Definition: 1. Übungsblatt zur Vorlesung Lineare Algebra I. im WS 2003/2004 bei Prof. Dr. S. Goette

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1 1. Übungsblatt zur Vorlesung Abgabe Donnerstag, den Finden 2 Sei Sie reelle Zahlen a, b, c, so dass a (2, 3, 1) + b (1, 2, 2) + c (2, 5, 3) = (3, 7, 5). (V,, ) ein euklidischer Vektorraum. Zeigen Sie, dass für alle x, y V gilt a) Parallelogramm-Identität: x + y 2 + x y 2 = 2 x y 2 ; b) Polarisationsformel: x + y 2 x y 2 = 4 x, y. 3 Definition: Ein Untervektorraum des R n ist eine Teilmenge U R n, so dass (1) (0,..., 0) U ; (2) x + y U für alle x, y U ; (3) a x U für alle x U und alle a R. 4 Seien Zeigen Sie, dass jeder Untervektorraum U R n (mit +, und 0 U = (0,..., 0) wie (1) (3)) ein Vektorraum ist. Überprüfen Sie dazu, dass alle Vektorraumaxiome erfüllt sind. u, v R 3 fest vorgegebene Vektoren. Welche der folgenden Teilmengen des R 3 sind Untervektorräume? a) {a u + b v a, b R} b) S 2 = {x x R 3, x 2 = 1} c) v = {x v, x = 0}

2 2. Übungsblatt zur Vorlesung Abgabe Donnerstag, den Bestimmen 2 Ergänzen 3 Stellen Sie die Seitenlängen und Winkel im Dreieck mit den Ecken x = (1, 0, 1, 2), y = (1, 1, 0, 1), z = (0, 0, 1, 2) R 4 bezüglich des Standard-Skalarproduktes. Sie den Vektor x = ( 1 3, 2 3, 2 ) 3 durch Vektoren y, z R 3 zu einer Orthonormalbasis (x, y, z) des R 3 mit dem Standard- Skalarprodukt. Sie die folgenden Zahlen als x + iy mit x, y R dar. a) ( 1 + 2i) 3, b) i k für alle k Z, c) i, d) 2 + 3i 1 + 4i. 4 Seien (a, b) R 2. Finden Sie alle Paare (c, d) R 2, so dass a + bi = (c + di) 2. Ihre Lösung sollte nur Grundrechenarten und Wurzeln nicht-negativer reeller Zahlen verwenden.

3 3. Übungsblatt zur Vorlesung Abgabe Donnerstag, den Zeigen Sie: g : R 2 R 2 R mit g((x 1, x 2 ), (y 1, y 2 )) = αx 1 y 1 + βx 1 y 2 + γx 2 y 1 + δx 2 y 2 2 Berechnen 3 Zeigen 4 Wir ist ein Skalarprodukt genau dann, wenn α > 0, δ > 0, β = γ und α δ β γ > 0 gilt. Sie den Flächeninhalt der Seiten des von den Vektoren x = (2, 0, 0), y = (1, 2, 0), z = (0, 1, 1) aufgespannten Parallelotops und dessen Volumen. Sie, dass die Quaternionenmultiplikation assoziativ ist. definieren die quaternionale Konjugation durch q = (a, x) für alle q = (a, x) H = R R 3. Seien q, r H. Zeigen Sie a) (q r) = r q b) q q = q 2 R H bezüglich des Standard-Skalarproduktes; c) Ist q 0, so existiert ein w H mit q w = 1; d) q r = q r.

4 4. Übungsblatt zur Vorlesung Abgabe Donnerstag, den Stellen 2 Sei Sie die folgenden Elemente des Körpers F 7 = Z/7 als [k] dar mit k {0, 1,..., 6} M = {0, 1, a, b}. [4] + [5], [4] [5], [3] 1, [5]/[4] a) Bestimmen Sie eine Verknüpfung + : M M M, so dass (M, +, 0) eine Gruppe wird, in der m + m = 0 für alle m M gilt. Wieviele Möglichkeiten gibt es? b) Bestimmen Sie eine Verknüpfung : M M M, so dass (M, +,, 0, 1) ein Körper wird. Wieviele Möglichkeiten gibt es? c) Finden Sie alle Lösungen von x 2 + x + 1 = 0 in F 2 = Z/2 und in F 4 = (M, +,, 0, 1). 3 Sei (G,, e) eine Gruppe. a) Es sei g G. Zeigen Sie: Die Abbildung f g : G G, h ghg 1 ist ein Gruppenautomorphismus. b) Die Abbildung G Aut G, g f g ist ein Gruppenhomomorphismus. ( ) ( ) c) Berechnen Sie f g (h) für g = und h = G = S(3) Für q S 3 = {q H qq = 1} sei f q : H H gegeben durch f q (w) = q w q. a) Zeigen Sie: f q ist ein Schiefkörperautomorphismus und orthogonal, d.h., es gilt f q (w) = w für alle w H. b) Folgern Sie mit Aufgabe 2b) von Blatt 1, dass f q (v), f q (w) = v, w gilt für alle v, w H = R 4 mit dem Standardskalarprodukt. c) Beweisen Sie: f q bildet reelle Quaternionen auf reelle ab und imaginäre auf imaginäre.

5 5. Übungsblatt zur Vorlesung Abgabe Donnerstag, den Sei Q( 2) = {a + b 2 a, b Q} R. Zeigen Sie: a) Q( 2) ist ein Unterkörper von R. b) Die Abbildung ϕ : Q( 2) Q( 2) mit ϕ(a + b 2) = a b 2 ist ein Körperautomorphismus. 2 Bilden 3 Welche 4 Sei Sie alle möglichen Produkte A B von reellen Matrizen mit ( ) ( ) A, B,, der folgenden Abbildungen F, G, H zwischen K-Vektorräumen sind linear? (( )) ( ) z w a) K = C, F : C 2 C 2 mit F = ; w z (( )) a b) K = F 3 = Z/3, G : F3 2 F 3 mit G = [2] b a; b (( )) x y x c) K = R, H : R 2 R 3 mit H = y 2 ; y 2 x x = x 1 x 2 x 3 R 3 mit x = 1 bzgl. des Standard-Skalarproduktes. Wir betrachten R x : R 3 R 3 mit R x (y) = x y + x, y x. a) Beweisen Sie die Linearität von R x und geben Sie die zugehörige Matrix an. b) Wie wirkt R x auf Vielfache von x und auf Vektoren senkrecht zu x? c) Was ist die geometrische Bedeutung von R x?

6 6. Übungsblatt zur Vorlesung Abgabe Donnerstag, den Finden x 1 Sie x = x 2 R 3 mit x x = Sei 3 Sei V ein K-Vektorraum. Eine Abbildung p End V heißt Projektion, wenn p p = p gilt. Zeigen Sie, dass für jede Projektion p gilt a) id V p ist auch eine Projektion, b) V = ker p im p. Wie sieht die Zerlegung aus b) für die Projektion id V p aus? K ein Körper und sei V = {(a i ) i N a i K und es existiert n N mit a i = 0 für alle i n} die Menge der endlichen K-wertigen Folgen. a) Zeigen Sie, dass V mit (a i ) i N + (b i ) i N = (a i + b i ) i N und k (a i ) i N = (k a i ) i N einen K-Vektorraum bildet. b) Finden Sie Isomorphismen F : V K V und G : V V V. 4 Sei x R 3 mit x = 1. Wir betrachten q = (cos ϕ, sin ϕ x) H. a) Zeigen Sie qq = 1. (Sie können die Formel cos(ϕ) 2 + sin(ϕ) 2 = 1 verwenden.) b) Sei f q : R 3 R 3 die Abbildung aus Aufgabe 4 von Blatt 4, d.h. f q (y) = q (0, y) q im H = R 3. Wie wirkt f q auf Vielfache von x, und wie auf Vektoren senkrecht zu x? c) Versuchen Sie, f q geometrisch zu beschreiben.

7 7. Übungsblatt zur Vorlesung Abgabe Donnerstag, den Ist 2 Welche A = (a ij ) M m,n (K) eine Matrix, so wird deren transponierte Matrix A t M n,m (K) definiert durch A t = (k ij ) i=1,...,n mit k ij = a ji. j=1,...,m Zeigen Sie: Für alle A M m,n (K), B M n,p (K) gilt (A B) t = B t A t. der folgenden Relationen sind Äquivalenzrelationen? a) {(x, y) x y} R R; b) {(x, y) es existieren n, m N mit x n = y m } Z Z; c) {(A, B) B = QAQ 1 für ein Q GL(n, K)} M n (K) M n (K), wobei n N ist und K ein beliebiger Körper; d) {(p, q) p q < 1} Q Q. 3 Bestimmen Sie den Kern und das Bild der linearen Abbildung F A : Q 3 Q 4, die beschrieben wird durch die Matrix A = M 4,3(Q) Versuchen Sie dazu, jeweils möglichst wenige Vektoren v 1,..., v k Q 3 bzw. w 1,..., w l Q 4 zu finden, so dass gilt ker F = {a 1 v a k v k a 1,..., a k Q} im F = {b 1 w b l w l b 1,..., b l Q}. und 4 Wir wissen bereits aus der Vorlesung, dass F 3 = Z/3Z ein Körper ist. Welche Untervektorräume hat der F 3 -Vektorraum F 2 3 = F 3 F 3?

8 8. Übungsblatt zur Vorlesung Abgabe Donnerstag, den Sei 2 Sei 3 Sei 4 a) V der Vektorraum der endlichen Folgen in R aus Aufgabe 3, Blatt 6. Auf der Menge W = R N = {(w i ) i N w i R} aller reellen Folgen definieren wir eine Vektorraumstruktur durch Zeigen Sie: (w i ) i N + (w i) i N = (w i + w i) i N für (w i ) i N, (w i) i N W, k (w i ) i N = (k w i ) i N für k R und (w i ) i N W. a) Die Folgen e j = (δ ij ) i N bilden eine Basis von V (δ ij ist das Kroneckersymbol). b) Jedes (w i ) i N W definiert eine lineare Abbildung V R durch (v i ) i N w i v i. c) Die in b) gegebene Abbildung W V ist ein Isomorphismus. V ein Vektorraum über R und, ein Skalarprodukt auf V. Beweisen Sie, dass die folgende Abbildung ϕ : V V linear und injektiv ist: ϕ(x) = α mit α(v) = x, v. V der Vektorraum der endlichen reellen Folgen wie in Aufgabe 1. Für zwei Elemente (v i ) i N und (v i) i N von V setzen wir (v i ) i N, (v i) i N = v i v i. Zeigen Sie, dass dadurch ein Skalarprodukt auf V definiert wird. Ist die Abbildung ϕ : V V aus Aufgabe 2 in diesem Beispiel surjektiv? Überprüfen Sie, dass die folgenden Vektoren eine Orthonormalbasis des R 3 bezüglich des Standard-Skalarprodukts bilden: 1/2 1/2 2/2 b 1 = 1/2, b 2 = 1/2, b 3 = 2/2. 2/2 2/2 0 b) Sei x = 1/2 1/2 2/2 i=1. In Aufgabe 4 auf Blatt 5 wurde die Drehung R x um x um den i=1 Winkel π/2 = 90 eingeführt. Welche Matrix hat R x bezüglich der Basis (b 1, b 2, b 3 ) aus Teil a)?

9 9. Übungsblatt zur Vorlesung Abgabe Donnerstag, den Bestimmen 2 Wir 3 Seien Vier der acht Aufgaben auf diesem Blatt sind Zusatzaufgaben. Sie alle x 1, x 2, x 3 Q und alle u 1, u 2, u 3 Z/5Z mit x 1 2 x 2 = 1, x 3 0 [1] [2] [0] [2] [1] [3] [3] [2] [1] definieren die Ebenen E 1, E 2 R 3 durch E 1 = 2 + λ λ λ 1, λ 2 R, E 2 = 0 + µ µ µ 1, µ 2 R. u 1 [4] u 2 = [2]. u 3 [3] Bestimmen Sie die Schnittmenge E 1 E 2 mit Hilfe eines Gleichungssystems. V und W K-Vektorräume mit dim V = n und dim W = m. Beweisen Sie: a) Gilt n m, so gibt es eine surjektive lineare Abbildung F : V W. b) Ist n m, so existiert eine injektive lineare Abbildung F : V W. 4 Zeigen 5 Sei Sie, dass es keine Unterräume im R 3 außer denen gibt, die in Beispiel 1.59 der Vorlesung aufgezählt wurden. V ein K-Vektorraum und U V ein Unterraum. a) Zeigen Sie (V/U) = { α V α U = 0 }. b) Es sei U R 3 die Gerade {λ (3, 1, 1) λ R}. Finden Sie eine Basis von (R 3 /U).

10 6 Beweisen 7 Sei ( ) a b Sie, dass eine Matrix A = M c d 2 (R) genau dann invertierbar ist, wenn gilt ad bc 0. Berechnen Sie die inverse Matrix A 1. V = K n mit einer Basis (v 1,..., v n ), und sei (α 1,..., α n ) die dazu duale Basis von V. Sei (ε 1,, ε n ) die zur Standardbasis (e 1,..., e n ) duale Basis von V. Wir definieren einen Isomorphismus Φ : V V durch Φ(α i ) = v i für alle i = 1,..., n. a) Bestimmen Sie die Matrix B von Φ bezüglich (e 1,..., e n ) und (ε 1,..., ε n ) aus der Matrix A = (a ij ) i,j, wobei A definiert ist durch v j =. a 1j a nj. b) Unter welcher Bedingung an A ist B die Einheitsmatrix? 8 a) Beweisen Sie: Ein Vektorraum V ist genau dann nicht endlich erzeugt, wenn es zu jedem n N ein n-tupel linear unabhängiger Vektoren gibt. b) Der Raum der polynomialen Funktionen { x k i=0 } a i x i k N0 ; a 0,..., a k R {f : R R f stetig } ist nicht endlich erzeugt. Hinweis: Zeigen Sie, dass 1, x, x 2,..., x n für alle n N 0 linear unabhängig sind.

11 10. Übungsblatt zur Vorlesung Abgabe Donnerstag, den Gegeben seien k Vektoren x 1,..., x k K n. Um eine Basis des Unterraums x 1,..., x k zu finden, schreiben Sie die Vektoren als Spalten in eine Matrix. Diese bringen Sie durch Zeilenumformungen auf (nicht notwendig strenge) Zeilenstufenform wie in Definition 2.25 mit den Stufen 1 j 1 < < j r k. 1. Zeigen Sie, dass die Vektoren x j1,..., x jr eine Basis von x 1,..., x k bilden. 2. Finden Sie eine Basis des von den Vektoren v ij = e i e j K n aufgespannten Unterraums, wobei 1 i < j n. 2 Welche 3 Sei 4 Zeigen Dimension hat der Unterraum U = u 1, u 2, u 3, u 4 R 4, der von den unten angegebenen Vektoren aufgespannt wird? Wählen Sie Elemente in {u 1, u 2, u 3, u 4 }, die eine Basis von U bilden u 1 = 1 3, u 2 = 0 2, u 3 = 2 0, u 4 = K = F 2 der Körper mit zwei Elementen, und sei V = K 2. Konstruieren Sie eine Abbildung ω : V 2 K, die bilinear ist und antisymmetrisch, aber nicht alternierend. Sie, dass die Abbildung ω : (K 2 ) 2 K mit ω (( a1 a 2 ), ( b1 b 2 )) = k (a 1 b 2 a 2 b 1 ) für k K eine Determinantenfunktion ist, und dass jede Determinantenfunktion auf K 2 von dieser Form ist (ohne zu verwenden, dass der Raum aller Determinantenfunktionen eindimensional ist).

12 11. Übungsblatt zur Vorlesung Abgabe Donnerstag, den Eine Basis (v 1, v 2, v 3 ) des R 3, eine Basis (w 1, w 2 ) des R 2 und zwei Matrizen A, B M 2,3 (R) seien gegeben durch ( ) ( ) v 1 = 1, v 2 = 2, v 3 = 0 1 0, w 1 =, w 4 2 =, ( ) ( ) A =, B = a) Sei F : R 3 R 2 die lineare Abbildung, die bzgl. der Standardbasen durch A beschrieben wird. Bestimmen Sie die Matrix von F bzgl. der Basen (v 1, v 2, v 3 ) und (w 1, w 2 ). b) Die Abbildung G : R 3 R 2 habe bzgl. der Basen (v 1, v 2, v 3 ) und (w 1, w 2 ) die Matrix B. Welche Matrix hat G bzgl. der Standardbasen? 2 Berechnen 3 Sei Sie die Determinante der rationalen Matrix n N. Für i, j n mit i j ist die Transposition τ i,j S(n) die Permutation mit j für k = i, τ i,j (k) = i für k = j, k sonst.. Beweisen Sie: a) Jede Permutation σ S(n) lässt sich für ein geeignetes l als Produkt σ = id σ 1 σ 2 σ l schreiben, wobei jedes der σ i eine Transposition ist. b) Zu jedem σ S(n) lässt sich eine Produktdarstellung wie in a) finden, bei der jedes σ i eine Transposition τ ki,k i +1 benachbarter Elemente ist. c) Für das Signum von σ S(n) gilt sign(σ) = ( 1) #{(i,j) {1,...,n}2 i<j, σ(i)>σ(j)}. BITTE WENDEN!

13 4 a) Sei K ein Körper und seien x 0,..., x n K. Als Vandermonde-Matrix bezeichnen wir die Matrix 1 x 0 x x n 0 1 x 1 x x n 1 V =. M n+1(k). 1 x n x 2 n... x n n Zeigen Sie det V = i<j(x j x i ). Hinweis: Sie können die Matrix durch Zeilen- oder Spaltenumformungen so verändern, dass sich ihre Determinante mit Hilfe der Determinante einer kleineren Vandermonde- Matrix berechnen lässt. Das führt also auf einen Beweis durch vollständige Induktion über n. b) Sei n N 0 und K ein Körper mit mehr als n Elementen. Beweisen Sie, dass die n + 1 Funktionen K K, x x k für k = 0,..., n linear unabhängig sind.

14 12. Übungsblatt zur Vorlesung Abgabe Donnerstag, den Invertieren 2 Sei Sie die Matrix 1 1/2 1/3 1/4 1/2 1/3 1/4 1/5 1/3 1/4 1/5 1/6. 1/4 1/5 1/6 1/7 n N \ {1, 2}. Auf Blatt 11 wurde gezeigt, dass V n = {f C[X] deg f n} ein C- Vektorraum der Dimension n + 1 ist und W n = {f R[X] deg f n} ein R-Vektorraum der Dimension n + 1. In ein Polynom f C[X] können wir die komplexe Zahl i einsetzen und erhalten so eine Zahl f(i) C. Wir können aber auch für jedes reelle Polynom f die Zahl f(i) C definieren, denn die Inklusion R C induziert eine Inklusion R[X] C[X]. Beweisen Sie (etwa mit Hilfe von Division mit Rest): a) Der C-Vektorraum {f V n f(i) = 0} ist isomorph zu V n 1. b) Der R-Vektorraum {f W n f(i) = 0} ist isomorph zu W n 2. 3 Für 4 Sei jeden Körper K können wir das Polynom P = X 3 X 2 +X 1 als Element des Polynomrings K[X] betrachten. Zerlegen Sie P sowohl in C[X] als auch in F 17 [X] in Linearfaktoren, wobei F 17 den Körper Z/17Z bezeichne. K ein Körper und A M n (K). a) Als Adjunkte von A bezeichnen wir die Matrix à = (c ij) M n (K) mit c ij = ( 1) i+j det A ji, wobei A ji M n 1,n 1 (K) die Matrix ist, die aus A durch Streichen von Zeile j und Spalte i entsteht. Beweisen Sie A à = det(a) E n. b) Sei A GL(n, K), b K n und sei x K n die Lösung von A x = b. Beweisen Sie die Cramersche Regel, die besagt, dass sich die k-te Komponente x k von x auf folgende Weise bestimmen lässt: Die Matrix A k gehe aus A hervor, indem man die k-te Spalte durch den Spaltenvektor b ersetzt. Dann ist x k = (det A) 1 det A k.

15 13. Übungsblatt zur Vorlesung Abgabe Donnerstag, den Berechnen 2 Wir 3 Ein 4 Seien Sie das charakteristische Polynom, die Eigenwerte und die dazugehörigen Eigenräume in C 3 zu der Matrix Hinweis: Einer der Eigenwerte ist 1. erinnern daran, dass die Spur tr(c) einer quadratischen Matrix C die Summe ihrer Diagonaleinträge ist. Seien m, n N, und es seien Matrizen A M m,n (K) und B M n,m (K) gegeben. Zeigen Sie: a) Es gilt tr(ab) = tr(ba). b) Die Abbildung, : M m,n (R) 2 R mit S, T = tr(st t ) definiert ein Skalarprodukt auf M m,n (R) im Sinne von Definition 0.14 der Vorlesung. Endomorphismus F eines n-dimensionalen K-Vektorraums V heißt zyklisch mit Erzeuger v V, wenn es ein N N 0 gibt, so dass F 0 (v) = v, F 1 (v) = F (v), F 2 (v) = F (F (v)),..., F N (v) ein Erzeugendensystem von V bilden. a) Zeigen Sie, dass bereits F 0 (v),..., F n 1 (v) den Raum V erzeugen und sogar eine Basis bilden. b) Welche Gestalt hat die Matrix A von F bezüglich dieser Basis? Bestimmen Sie das charakteristische Polynom χ F = χ A. c) Wie hängt die Matrix A von der Wahl des Erzeugers v V ab? Die Gestalt der obigen Matrix A heißt auch zyklische Normalform. ( ) a b a > b > 0, d > c > 0 und A =. Finden Sie eine lineare Abbildung c d R 4 C (R, R 2 ), x 1 x 2 y 1 y 2 f = ( f1 f 2 ) mit f = A f und f i (0) = x i, f i(0) = y i für i = 1, 2. Anleitung: Diagonalisieren Sie A, und verfahren Sie weiter wie in Beispiel 3.45 der Vorlesung. Verwenden Sie die Funktionen c λ und s λ aus Beispiel 3.38(3).

16 14. Übungsblatt zur Vorlesung Abgabe Donnerstag, den Diese Aufgaben sind Bonusaufgaben und gehen nicht in die Mindestpunktzahl für die Scheinvergabe ein. 1 Führen 2 Sei 3 Beweisen 4 Auf Sie das Gram-Schmidt-Verfahren mit den Vektoren v 1, v 2, v 3 R 3 in der vorgegebenen Reihenfolge durch für 2/3 0 1 v 1 = 2/3, v 2 = 0 und v 3 = 0. 1/3 1 0 B eine symmetrische Bilinearform auf V. Die Teilmenge ker B V wird definiert durch ker B = {v V B(v, w) = 0 für alle w V }. Zeigen Sie: a) ker B ist ein Untervektorraum, b) B induziert eine symmetrische Bilinearform B auf V/ ker B durch B([v], [w]) = B(v, w), c) die Bilinearform B ist nicht ausgeartet. Sie: a) Wenn P (λ) = 0 für ein λ C gilt mit P R[X] C[X], dann gilt auch P ( λ) = 0. b) Für jede Matrix A M 3 (R) hat das charakteristische Polynom χ A eine reelle Nullstelle. c) Sei A SL(3, R) = {G M 3 (R) det G = 1}, dann hat A einen positiven reellen Eigenwert. d) Sei A O(3), d.h. für alle v, w R 3 gilt v, w = Av, Aw, dann hat A einen Eigenwert ±1. Ist A SO(3) = O(3) SL(3, R), so ist 1 ein Eigenwert von A. Blatt 4 und Blatt 6 wurde für jedes q S 3 = Sp(1) H eine Drehung f q SO(3) definiert. Zeigen Sie: a) f q = f w q = ±w. b) Jedes A SO(3) ist eine Drehung um einen Eigenvektor zum Eigenwert 1 (verwenden Sie Aufgabe 3). c) Jedes A SO(3) ist von der Gestalt A = f q, q Sp(1). Fazit: Es gilt SO(3) = Sp(1)/ ± 1.

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