Eingebettete Systeme

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1 Einführung in Eingebettete Systeme Vorlesung 7 Bernd Finkbeiner 03/12/2014 finkbeiner@cs.uni-saarland.de Prof. Bernd Finkbeiner, Ph.D. finkbeiner@cs.uni-saarland.de 1

2 Schaltfunktionen! Schaltfunktion: f: {0,1} n {0,1} m! (n-stellige) Boolesche Funktion: f: {0,1} n {0,1}! Eine Schaltfunktion entspricht m Booleschen Funktionen! Eine Boolesche Funktion kann (unter anderem) ausgedrückt werden durch! einen Booleschen Ausdruck! eine Wahrheitstafel A B A NAND B A NAND B: A B

3 Darstellungen! Alle zweistelligen Booleschen Funktionen können mit Hilfe von! NOT, AND, und OR, oder! NOT und OR, oder! NOT und AND, oder! NAND, oder! NOR! dargestellt werden. 3

4 Binäre Addition! Addition von zwei Binärzahlen x = xn-1... x1x0 und y = yn-1... y1y0! Ziffernweise Addition, so daß in jedem Schritt eine Ziffer si der Summe s = sn-1... s1s0 entsteht.! Dabei werden die in jedem Schritt enstehenden Überträge bei der Addition des nächsten Paares berücksichtigt 4

5 Halbaddierer! Addition zweier bits x0,y0! Summenziffer s0=1 entsteht genau dann wenn entweder x0=1 oder y0=1 s0 = x0 XOR y0! Übertrag u1=1 entsteht genau dann wenn x0=1 und y0=1 u1 = x0 y0 5

6 Volladdierer! Summenziffer si=1 entsteht genau dann wenn entweder (entweder xi=1 oder yi=1) oder ui=1 si = xi XOR yi XOR ui! Übertrag ui+1=1 entsteht genau dann wenn (xi=1 und yi=1) oder ((xi=1 oder yi=1) und ui=1) ui+1 = (xi yi) + ((xi + yi) ui) 6

7 Volladdierer! si = xi XOR yi XOR ui! ui+1 = (xi yi) + ((xi + yi) ui) x i y i u i x i y i u i a u i+1 b s i [H. Liebig: Logischer Entwurf digitaler Systeme, 2006] 7

8 Ausgezeichnete Terme! Produktterm Konjunktion mehrerer (möglicherweise negierter) Variablen z.b. A B C! Summenterm Disjunktion mehrerer (möglicherweise negierter) Variablen z.b. A + B + C 8

9 Ausgezeichnete Terme! Minterm: Produktterm in dem jede Variable genau einmal vorkommt (einfach oder negiert)! Maxterm: Summenterm in dem jede Variable genau einmal vorkommt (einfach oder negiert) 9

10 Normalformen! Disjunktive Normalform (DNF) Disjunktion von Produkttermen! Konjunktive Normalform (KNF) Konjunktion von Summentermen! Kanonische Disjunktive Normalform (KDNF) Eindeutige Darstellung einer Booleschen Funktion als Disjunktion von Mintermen! Kanonische Konjunktive Normalform (KKNF) Eindeutige Darstellung einer Booleschen Funktion als Konjunktion von Maxtermen 10

11 Schaltnetze! Ein Schaltnetz ist eine schaltungstechnische Realisierung einer Schaltfunktion f: {0,1} n {0,1} m! f ist zerlegbar in m Boolesche Funktionen mit den gleichen n Eingangsvariablen f1(x1,...,xn), f2(x1,...,xn),..., fm(x1,...,xn) x1 x2... xn f1(x1,...,xn) f2(x1,...,xn)... fm(x1,...,xn)! Ein Schaltnetz heißt auch kombinatorische Logik. 11

12 Schaltnetze! Schaltnetze können einstufig (eine Gatterebene), zweistufig, oder mehrstufig sein! Aus der Darstellung als kanonische Normalform folgt dass jede Schaltfunktion durch ein zweistufiges Netz realisierbar ist. 12

13 Karnaugh-Veitch-Diagramme! Grafische Darstellung einer Booleschen Funktion! Ziel: Vereinfachung (kleine Realisierung)! Gesucht: Minimaler logischer Ausdruck! Nützlich bei bis zu vier Eingangsvariablen 13

14 Karnaugh-Veitch-Diagramme Beispiel: y = x 2 x 0 x 1 y : x

15 Primimplikanten! Primimplikant (auch: Primterm): Konjunktionsterm minimaler Länge (minimaler Variablenanzahl)! Implizieren die Ursprungsfunktion! So groß wie möglich gewählte Blöcke von Einsen im KV Diagramm! Beispiel: x 0 x 1 x 2 _ x 0 x 1 x 2 _ x 0 x 1 x 2 _ x 0 x 1 x 2! Primterme: x 0 x 1 x 1 x 2 x 0 x 1 x 0 x 2 x

16 Essentielle Primterme! Essentielle Primimplikanten: Primimplikanten die mindestens eine Eins enthalten, die sonst von keinem anderen Block abgedeckt ist! Redundante Primimplikanten: markieren nur von essentiellen Primimplikanten bereits abgedeckte Einsen! Minimale Lösungen enthalten zumindest die essentiellen Primimplikanten, keine redundanten Primimplikanten, und ggf. eine Teilmenge der nicht-essentiellen und nichtredundanten Primimplikanten.! Beispiel: x 0 x 1 Essentiell: x 1 x 2 x 0 x Redundant: x 0 x 2 x

17 Karnaugh-Veitch-Diagramme! Ein Diagramm pro Ausgabevariable! Beispiel: 7-Segmentanzeige y 2 X = x 3 x 2 x 1 x 0 y 5 y 0 y 3? y 6 y 1 a y 4 b Y = y 6 y 5 y 4 y 3 y 2 y 1 y 0 [H. Liebig: Logischer Entwurf digitaler Systeme, 2006] 17

18 9. Synchrone Schaltwerke Ziel:! Entwurf getakteter Schaltwerke

19 Rückgekoppelte Schaltnetze! Schaltnetz vs. Schaltwerk Digitale Schaltung Schaltnetz (kombinatorisch) Schaltwerk Asynchron Synchron (sequentiell) 19

20 Synchrone vs. Asynchrone Schaltwerke! Synchrone Schaltwerke! getaktet: Änderungen der internen Zustände nur zu bestimmten Zeitpunkten zugelassen! Verzögerung für alle Rückkopplungspfade gleich (Taktperiode)! Asynchrone Schaltwerke! unterschiedliche Laufzeiten in verschiedenen Rückkopplungspfaden, Race-Probleme! Vorteil: Geschwindigkeit, Energieverbrauch! Nachteil: aufwändiger zu entwerfen! komplexe Funktionen in der Regel synchron realisiert! im Folgenden: synchrone Schaltwerke (darin aber z.b. Flipflops die intern asynchron arbeiten!) 20

21 Set-Reset Flipflop! Asynchron, pegelgesteuert S R Operation (Q ) R Q 0 0 Zustand halten 1 0 Q setzen S Q 0 1 Q zurücksetzen 1 1 undefiniert 21

22 Set-Reset Flipflop! Asynchron, pegelgesteuert S R Operation (Q ) R Q 0 0 Zustand halten S Q! {S=1,R=0}{S=0,R=0} Q setzen R Q 0 1 Q zurücksetzen S Q 1 1 undefiniert! {S=1,R=0}{S=0,R=0}{S=0,R=1}{S=0,R=0}... 22

23 RS-Flipflop mit Taktpegel! Taktgesteuert, transparent! Operation wie SR-Latch, wenn E aktiviert ist R Q E S Q 23

24 D-Flipflop D Q! Taktflankengesteuert, rückkoppelungsfähig! steigende Flanke: D wird eingelesen! fallende Flanke: D wird abgespeichert Q 24

25 Schieberegister SRG4! In Reihe geschaltete D-Flipflops! Umwandlung seriell/parallel Dser D Qser 25

26 Beispiel: Sequentieller Addierer! Aufwand: 1 Addierer + 1 Flipflop als Carry clk clk a 3 a 2 a 1 a 0 Schieberegister Schieberegister x i y i u i x i y i u i a u s Addierer i+1 b i clk Schieberegister s 3 s 2 s 1 s 0 b 3 b 2 b 1 b 0 clk Flipflop c 26

27 Schaltwerke als Realisierung von Automaten clk x 0 x 1 y 0 Übergangs- Schaltnetz y 1 clk r 0 r 1 Zustandsregister 27

28 Vom Automat zum Schaltwerk x/y x/y x/y x/y x/y x/y x/y s 0 s 1 s 2 s 3 x/y x/y x/y x/y x/y s 0 00 r 2 r 1 x/y x/y x/y s 1 s s 3 11 x/y 28

29 Vom Automat zum Schaltwerk x/y x/y x/y x/y s 0 00 x/y x/y x/y s 1 s s 3 11 x/y r 1 r 2 = r 2 r 1 x _ r 2 r 1 x = r 2 r 1 x _ r 2 r 1 x y = r 2 r 1 x 29

30 KV-Diagramme r 1 = r 2 r 1 x _ r 2 r 1 x r 1 r 2 r 1 : r 1 = xr 1 x

31 Schaltwerk y = r 2 r 1 x r 1 = xr 1 r 2 = r 2 r 1 x _ r 2 r 1 x 31