Weitere Ableitungsregeln. Kapitel 4

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1 Weitere Ableitungsregeln Kapitel

2 . Die Kettenregel L f() = u(v()) g() = v(u()) a) + + b) cos [( + ) ] (cos + ) c) sin ( ) [sin ()] d) e) ( = _ ) _ ( f) cos [π( + )] cos (π) + g) ( ) = h) ( + ) + = + + ) = _ = _ 5. a) f() = u(v()) = ( ) + = 6 + ; g() = v(u()) = ( + ) ; g () = ( + ) = 6 ( + ) ; g () = 6 ( + ) + 6 ( + ) = ( + ) ( ) = ( + ) (0 + 6) u() = + v() = f() = 6 + g() = ( + ) u () = v () = f () = 6 5 g () = 6 ( + ) u () = v () = 6 f () = 0 g () = ( + ) (0 + 6) Smmetrie: u( ) = ( ) + = + = u() v( ) = ( ) = = v() f( ) = ( ) 6 + = 6 + = f() g( ) = [( ) + ] = ( + ) = g() Etrempunkte: u () = = 0; = 0 u (0) = > 0; v () = = 0; = 0 v (0) = 6 0 = 0; f () = 6 5 = 0; = 0 f (0) = 0 0 = 0; g () = 6 ( + ) = 0; = 0 g (0) = 6 = 6 > 0 G u ist smmetrisch zur -Achse G v ist punktsmmetrisch zum Ursprung ist smmetrisch zur -Achse G g ist smmetrisch zur -Achse T (0 ) (Tiefpunkt) W (0 0) (Terrassenpunkt) T (0 ) (Tiefpunkt) T (0 ) (Tiefpunkt) b) ; 0 u() = 5 v() = = 5 ; 0 f() = 5 = g() = ; < 0 5 ; < 0 5 = für > 0 u () = 5 v () = für < 0 u () = 0 v () = 0 für 0 Smmetrie: u( ) = ( ) 5 = 5 = u() v( ) = ( ) = = v() f( ) = ( ) 5 = f() g( ) = ( ) 5 = 5 = 5 = g() 5 für > 0 f () = 5 für < 0 f () = g () = f () 0 für > 0 g () = f () 0 für < 0 5 ; 0 5 ; < 0 G u ist punktsmmetrisch zum Ursprung. G v ist achsensmmetrisch zur -Achse. ist achsensmmetrisch zur -Achse. G g ist achsensmmetrisch zur -Achse.

3 . Die Kettenregel c) d) Etrempunkte: u () = 5 = 0; = 0 u (0) = 0 T (0 0) ist Tiefpunkt von G v, und G g. W (0 0) Terrassenpunkt u() = + v() = f() = g() = u () = v () = f () = g () = u () = 0 v () = f () = g () = Smmetrie: u( ) = + v( ) = ( ) ( ) = + f( ) = ( ) ( ) = + g( ) = ( ) = = g() Von den vier Graphen G u, G v, und G g ist keiner punktsmmetrisch zum Ursprung und nur G g smmetrisch zur -Achse. Etrempunkte: v () = = 0; = v () = > 0; T ( ) (Tiefpunkt) f () = = 0; = f () = > 0; T ( ) (Tiefpunkt) g () = = 0; = 0 g () = > 0; T (0 ) (Tiefpunkt) u() = n v() = n + f() = n + n g() = n + n u () = n n v () = (n + ) n f () = (n + n) n + n g () = f () u () = (n n) n v () = (n + n) n f () = (6n + 6n n) n + n g () = f () Smmetrie: u( ) = ( ) n = n = u() G u ist smmetrisch zur -Achse. v( ) = ( ) n + = n + = v() G v ist punktsmmetrisch zum Ursprung. f( ) = ( ) n + n = ( ) (n + n) = n + n = f() ist smmetrisch zur -Achse. g( ) = ( ) n + n = n + n = g() G g ist smmetrisch zur -Achse. Funktion u v f g < < 0: u () < 0 v () > 0 f () < 0 g () < 0 = 0 u () = 0 v () = 0 f () = 0 g () = 0 0 < < u () > 0 v () > 0 f () > 0 g () > 0 Der Graph hat einen Tiefpunkt T (0 0) Terrassenpunkt W (0 0) Tiefpunkt T (0 0) Es fällt auf, dass sich die Achsensmmetrie bezüglich der -Achse bei der Verkettung durchsetzt a) Nullstellen: f() = ( _ + ) = 0; _ + = 0; + = 0; = Verhalten für 0 bzw. ± : lim ( _ + ) = + 0 besitzt eine senkrechte Asmptote a : = 0. lim ( _ + ) = lim ( + ) = ± ± besitzt eine waagrechte Asmptote a : =.

4 . Die Kettenregel Schnittpunkt S von und a : ( _ + ) = _ + = ± + = ± + = + = = 0 (f) = = ; S ( ) b) Etrempunkte: f () = ( _ + ( + ) ) _ = + _ = _ f () = _ = 0 = 0 = = ; E ( 0) < < = < < 0 f () f () < 0 f () = 0 f () > 0 Vorzeichenwechsel von f () von nach + Der Graph hat einen Tiefpunkt E ( 0) c) Für jeden Wert von X D f gilt f() = ( _ + ) 0: verläuft nicht durch den III. und nicht durch den IV. Quadranten. verläuft durch den I. und den II. Quadranten. 5 Q γ E S α A P β R t Q 5 d) Tangente t Q : Q ( ) allgemein = m + t m = f () = = t Q : = +. Schnittpunkt mit der -Achse: = 0; R = P ( 0); E ( 0); Q ( ); R ( 0) Dreiecksfläche: A = g h = _ ER _ PQ = 6 = Dreiecksumfangslänge: U = _ ER + _ RQ + QE ER = 6 ( _ RQ ) = ( _ QP ) + ( _ PR ) = + 6 = 0 RQ = 0 = 5 ( _ QE ) = ( EP ) + ( _ PQ ) = = QE = = U = , Größe des kleinsten Innenwinkels ϕ:

5 . Die Kettenregel _ QP tan α = _ EP = = ; α = 5 _ QP tan β = _ PR = = ; β 6, α + β + γ = 0 ; γ 7,6 kleinster Innenwinkel: ϕ = α = 5 e) E ( 0), R ( 0), Q ( ) 0 S* = Parabel P: = a( ) + b E X P: 0 = a( ) + b; b + 9a = 0 () Q X P: = a + b b + a = () () () a = ; a = eingesetzt in () b,5 = 0; b =,5 P: = ( ) +,5 S* (,5) 5

6 . Die Ableitung der Sinus- und der Kosinusfunktion Arbeitsaufträge. a). Schritt: Zeichnen der Sinuskurve ( ). Schritt: Verschieben von in Richtung der -Achse um π nach links ( ). Schritt: Spiegeln von an der -Achse ( ). Schritt: Strecken von in Richtung der -Achse mit dem Faktor ( ) 5. Schritt: Verschieben von in Richtung der -Achse um nach oben (5 = ) 5 b). Schritt: Zeichnen der Kosinuskurve (G g ). Schritt: Verschieben von G g in Richtung der -Achse um π 6 nach rechts (G g ). Schritt: Strecken von G g in Richtung der -Achse mit dem Faktor (G g ). Schritt: Verschieben von G g in Richtung der -Achse um nach unten (G g = G g ) G g 5. a b c d Die einzige Funktion mit dem Funktionswert an der Stelle = 0 Die einzige Funktion mit der Periodenlänge π Die einzige Funktion mit dem Funktionswert an der Stelle = 0 Die einzige Funktion mit der Wertemenge [; ]. G g 0 0 _ π π π π 0 6 f ( 0 ),00 0,95 0,7 0,7 0,50 g ( 0 ) 0,00 0, 0,50 0,7 0,7 6

7 . Die Ableitung der Sinus- und der Kosinusfunktion π _ π _ π _ 5π _ 9π π f ( 0 ) 0,00 0,50 0,7 0,7 0,95,00 g ( 0 ),00 0,7 0,7 0,50 0, 0,00 Es fällt auf, dass ähnlich aussieht wie G g und G g ähnlich wie * mit f*() = f(); es könnte also (sin ) = cos und (cos ) = sin sein. G g L 5. a) f() = sin ; f () = cos ; D f = ],6π;,6π[ (k + )π () cos = 0; = ; k X ; = π; = π ; = π ; = π f () = sin f ( π ) = < 0 f ( π ) = > 0 f ( π ) = < 0 f ( π ) = > 0 hat zwei Hochpunkte H ( _ π π π π_ π π G f π ) und H ( π ) sowie zwei Tiefpunkte T ( π ) und T ( π ). () cos = ; = kπ; k X ; 5 = 0: P (0 0) b) f() = cos (); f () = sin (); D f = ] ; [ () sin () = 0; = k π ; k X ; = _ kπ ; = π ; = 0; = π G f () = cos (); f π π_ f ( π ) = > 0; f ( π ) = ; f (0) = < 0; f(0) = f ( π ) = > 0; f ( π ) = hat zwei Tiefpunkte T ( π ) und T ( π ) sowie einen Hochpunkt H (0 ). () sin () = ; sin = ; = _ π ; 5 = _ π + π = _ π An den Stellen _ 5 π und _ π und _ 7 π hat eine Tangente mit der Steigung. 7

8 . Die Ableitung der Sinus- und der Kosinusfunktion c) f() = _ cos sin ; f () = (cos ) ; D f = ] π ; π [ () (cos ) = 0; G f hat keinen Etrempunkt. () (cos ) = ; cos = ± ; = 0 X D f Im Ursprung hat eine Tangente mit der Steigung.,5,5 0,5 π 0,5 π_ d) f() = 0,5 cos ( + π 6 ) ; f () = sin ( + π 6 ) ; D f = ] π; π[ () sin ( + π 6 ) = 0; + π = kπ; k X ; = _ (6k )π ; 6 () sin ( + π 6 ) = ; + π 6 = π ; + π 6 = _ π ; 5 = π ; 6 = _ π an den Stellen 5 = π und 6 = _ π hat eine Tangente mit der Steigung. π,5 0,5 = _ π ; = _ 5 π; = _ 7 π; = _ π f () = cos ( + π 6 ) f ( _ π ) = < 0; f ( _ π ) = 0,5; f ( _ 5 π ) = > 0; f ( _ 5 π ) = 0,5; f ( _ 7 π ) = > 0; f ( _ 7 π ) = 0,5; f ( _ π ) = < 0; f ( _ π ) = 0,5 hat zwei Hochpunkte H ( _ π 0,5) und H ( _ T ( _ 7 π 0,5) und T ( _ 5 π 0,5).. a) F() = cos () Probe: F () = ( sin ) = sin () = f() b) F() = π sin π Probe: F () = π ( cos π ) π = cos π = f() c) F() = + sin Probe: F () = + cos = f() d) F() = _ 0 π cos ( π ) Probe: F () = _ 0 π ( sin ( π ) ) π = 0 sin ( π ) π 0,5 π_ π π 0,5) sowie zwei Tiefpunkte = f()

9 . Die Ableitung der Sinus- und der Kosinusfunktion 5. _ π π π π_ π π G g π π _ π π π_ π π π g() = g () = sin, falls X [kπ; (k + )π[; k X sin, falls X [(k + )π; (k + )π]; k X cos, falls X [kπ; (k + )π[; k X cos, falls X ](k + )π; (k + )π[; k X lim g () = lim (cos ) = = m lim g () = lim ( cos ) = = m 0 0 m m = ; senkrechte Geraden; ϕ = 90 g nicht differenzierbar für = kπ; k X 6. a) -Achsenpunkte: sin() = ; = π ; = _ π ; S ( π 0); S (_ π 0) -Achsenpunkt: U (0 ) Durch Überlegen findet man die Hochpunkte H ( _ π ) und H ( π ) sowie die Tiefpunkte T = S ( π 0) und T = S (_ π 0). H H U S S b) f k () = k cos (k) Tangentensteigungen: f k (0) = k = m A ; f k ( π k ) = k cos π = k = m B Aus m A m B = k ( k) = k = folgt k + = und (wegen k X ) k =. Tangentengleichungen: t A : = + ; t B : = ( π) + ; = + + π. Schnittpunkt der Tangenten t A und t B : + = + + π; = π; C = π C ( π π + ) Flächeninhalt: A ABC = π π = _ π,7 ; C = π + ; 7. a) Die Zeichnung zeigt den Graphen * der Funktion f* mit f*() = f() und Definitionsmenge D f* = [; 65]; der Graph der Funktion f würde aus 65 einzelnen Punkten der Kurve * bestehen. b) Größte Tageslänge (am. 6.): 6,6 h; kürzeste Tageslänge (am..): 7, h. 9

10 . Die Ableitung der Sinus- und der Kosinusfunktion c). März: f(0) =, sin ( π 65 ) +,,;. Juni: f(7), sin,566 +, 6,6;. September: f(66), sin,5 +,,0;. Dezember: f(55), sin,77 +, 7,; 0 Tageslänge Tageszahl. a) k P G g Q a 6 b) F () = + cos + 0 = + cos = f(); D F = = D f G () = cos cos sin ( sin ) = (cos ) + (sin ) = = [ (cos ) ] + (sin ) = = (sin ) + (sin ) = (sin ) = g(); D G = = D g c) Für jeden Wert des Parameters a ist stets P > Q ; deshalb gilt: d(a) = P Q = + cos a (sin a) ; D d = ]0; π[; d (a) = sin a sin a cos a = sin a ( + cos a); d (a) = cos a ( + cos a) sin a ( sin a) = = cos a (cos a) + (sin a) ; 0. 0 min 60 ; min ; t min t π 0 π; _ 0 ; _ π 5 d. h.: In t Minuten dreht sich das Rad um α = _ π 5 t. cos α = _ 6 m ; = 6 m cos α; h = 6 m ; h(t) = 6 m 6 m cos ( _ π 5 t ) 0

11 . Die Ableitung der Sinus- und der Kosinusfunktion a) G h G h t b) h(t) > 0 m; 6 6 cos ( _ π 5 t ) > 0; cos ( _ π 5 t ) < _ 7 6 ; 0,7π < _ π t <, π; 5,7 < t <,; Jede Gondel befindet sich etwa 6,6 min lang über 0 m Höhe. c) Die Geschwindigkeitsbeträge haben die Bennenung m ; angegeben sind ihre Maßzahlen. min v(t) = h (t) = 6 _ π 5 sin _ ( π 5 t ) = 6π 5 sin _ ( π 5 t ) v() = 6π 5 sin _ ( π 5 ),7; v(5) = 6π sin π = 0; 5 v() = 6π 5 sin ( π 5 ),7 Auf (etwa) halber Höhe bewegt sich die Gondel mit (etwa) m aufwärts bzw. min abwärts; ganz oben bewegt sich die Gondel (etwa) waagrecht. v(t) = 6π 5 sin _ ( π 5 t 6π ); v (t) = 5 cos _ ( π 5 t ) ; v (t) = 6π 5 sin _ ( π 5 t ) v (t*) = 0: cos ( _ π 5 t* ) = 0; t,* X [0; 0] _ π 5 t * = π ; * = 7,5 X [0; 0]; t _ π 5 t * = _ π ; t * =,5 X [0; 0]; v (t * ) = 6π 5 < 0; v ( * ) = 6π 5 > 0; Hinweis: Die Zeitpunkte t * und t * lassen sich auch ohne die Ableitungen v (t) und v (t) durch Überlegen finden.

12 Themenseite Ableitung der Sinusfunktion 7 L. a) g( ) = cos ( ) = cos = g() für jeden Wert von X D g : G g ist smmetrisch zur -Achse. sin ( ) f*( ) = = _ sin = sin = f*() für jeden Wert von X D f* : * ist smmetrisch zur -Achse. b) π (im Bogenmaß) _ π_ π_ π f*: f*() = sin ; D f* = \{0} sin ± 0, ± 0,909 ± 0,5 ± 0,79 ± 0,099 ± 0,000 ± 0,000 ± 0,000 f*() = sin 0,070 0,56 0,5 0,959 0,99,000,000,000 Vermutung: lim sin = 0 c) Dreieck AB: _ A = ; zugehörige Höhe: sin ; A Dreieck AB = sin = sin ; A Sektor AB = = ; Dreieck AC: _ A = ; zugehörige Höhe: tan ; A Dreieck AC = tan = tan. k : k () = (tan ) = ( _ cos sin ) cos cos sin ( sin ) = _ (cos ) = _ (cos ) + (sin ) (cos ) = = (cos ) ; D k = D k ; k (0) = (cos 0) = ; k ( π ) = _ ( cos π ) = = * ± ± ± ± 0,5 ± 0, ± 0,0 ± 0,00 ± 0,000

13 . Die Ableitung von Potenzfunktionen mit rationalen Eponenten Arbeitsaufträge. a) 5 5 b) Individuelle Lösungen c) Für 0 > 0 und > 0 gilt f ( 0 ) = lim 0 = lim ( 0 )( + 0 ) 0 ( 0 )( + = ) ( = lim _ 0 ) ( 0 )( = lim 0 ) + = _ 0, also ( ) = Funktion f f f f f 5 a) Abbildung (II) (III) (I) (V) (IV) b) Wertemenge W f + 0 [ ; ] + 0 c) Wird jedem Wert von X W f genau ein Wert von X D f zugeordnet? ja nein ja ja nein. a) Individuelle Lösungen b) ( ) = ( ) = = ; P ( ); f () = = _ ; t P : = _ + t; P X t P : = _ + t; t = ; t P : = _ + t P P 5 0. r π = m ; r = ( π ) m = m, m: π Es müssen mindestens (r ) 7,5 m, also rund 70 m, Baugrund freigehalten werden.

14 . Die Ableitung von Potenzfunktionen mit rationalen Eponenten 0 L P t P* G g S t a) f () = > 0; da X f ist überall in D f streng monoton zunehmend. + b) Falls und G g smmetrisch bezüglich der Winkelhalbierenden w des I. und III. Quadranten sind, müssen sie Umkehrfunktionen voneinander sein. f() = = + + ; D f = ; Wf = ]; [ = ; = _ +, da X ist; + + da D f = _, folgt Wf =, und damit gilt: f () = = g(); D f = D g = W f = ]; [. c) Gleichung der Tangente t : P ( 5); t : = m + b; f () = m = f () = P X t : 5 = + b ; b = t : = + Gleichung der Tangente t : P* (5 ); t : = m + b ; g () = _ () Variante m = g (5) = P* X t : = 5 + b ; b = t : = () Variante Spiegelt man G g an der Winkelhalbierenden w des I. und III. Quadranten, so erhält man : P* ist der Spiegelpunkt zu P an w. Man erhält t durch Spiegelung von t an w: Vertauscht man und, so erhält man t aus = + ; = ; =. Schnittpunkt S von t und t + = ; + 6 = = ; = ( ) = : S ( ) liegt auf der Winkelhalbierenden w.

15 . Die Ableitung von Potenzfunktionen mit rationalen Eponenten. a) D f ma : 0 muss gelten damit f definiert ist. ; ; D f ma = [ ; ] Schnittpunkte _ mit der -Achse: f() = = 0_ = 0 = 0 = = ; = S (0 0); S ( 0); S ( 0) Schnittpunkt mit der -Achse: _ f(0) = 0 0 = 0 T (0 0) = S b) Da für jeden Wert von X D f gilt f( ) = ( ) ( ) = = f(), ist punktsmmetrisch zum Ursprung. _ c) f () = + ( ) _ ( ) = _ f () = 0: = _ = = T = T = f( T ) = ; T ( ) H = H = F( H ) = ; H ( ) ( _ TH ) = _ ( H T ) + ( H T ) = _ ( ) + = = d) H T 5. S Z A * T * f*: f*() = f() = ( ) = ( ) ; D f * = f*() = f(); f*() f() = 0 ( ) ( ) = 0 + = 0 ( ) = 0 = 0; = ; S (0 0); T ( 0) 5 + 0

16 . Die Ableitung von Potenzfunktionen mit rationalen Eponenten A SATZ = A STZ + A SAT ; ST = ; A STZ (b) = g h = f*(b) = ( b) b A SAT (a) = g h = f(a) = ( a) a A STZ (b) = [ ( ) b + ( b) b ] = b + _ b = _ b + = 0; b b b + = 0; b = [für 0 < b < ist A STZ(b) > 0, für < b < ist A STZ(b) < 0: Maimum] A SAT (a) = [ ( ) a + ( a) a ] = _ a + _ a = _ a + = 0; a a a + = 0; a = [Maimum; vgl. A STZ(b)] (A SATZ ) ma = (A STZ ) ma + (A SAT ) ma = f* ( ) + f ( ) = + = Das Viereck SATZ hat maimalen Flächeninhalt für a = b = ; nämlich A ma = = 9 0,. 6. a) D f = ] ; [ -Achsenpunkte: _ 9 _ = 0 = 0 9 = 0 9 = = D f = D f S (0 0) -Achsenpunkt: _ f(0) = = 0 S (0 0) Smmetrie: Für jeden Wert von X D f gilt f( ) = 9 ( ) = 9 = f(), also ist punktsmmetrisch zum Ursprung. Etrempunkte: _ f () = 9 + _ ( ) = 9 = _ = 0 = 9 = 9 = _ = ; = _ Monotonietabelle: = ; < < = < < = < < f () f () < 0 f () = 0 f () > 0 f () = 0 f () < 0 Vorzeichenwechsel von f () von nach + von + nach Graph f ( _ ) = _ f ( _ ) = 9 ; H ( _ W f = [ 9 ; 9 ] streng monoton fallend 9 9 = 9 9 ) Tiefpunkt T( 9 streng monoton ) steigend ; T ( _ 9 ) Hochpunkt H( 9 ) 6

17 . Die Ableitung von Potenzfunktionen mit rationalen Eponenten b) G g _ g() = 9 = _ 9 _ falls 0 < 9 falls < < 0 Beispiele für Gemeinsamkeiten: und G g haben den gleichen -Achsenpunkt; H ( 9 ) ist Hochpunkt von und G g. Beispiele für Unterschiede: ist punktsmmetrisch zum Ursprung. G g ist achsensmmetrisch zur - Achse. f ist an der Stelle = 0 differenzierbar, g ist an der Stelle = 0 nicht differenzierbar. W f = [ 9 ; 9 ] ; W g = [ 0; 9 ] besitzt einen Hochpunkt und einen Tiefpunkt; G g besitzt zwei Hochpunkte. c) F() = 9 (9 ) F () = (9 ) _ ( ) = 9 = f() D F = D f E P R EMIR M I TRE 5 6 T a) f () = ( 5 ) = _ 5 7

18 . Die Ableitung von Potenzfunktionen mit rationalen Eponenten Tangente t an in R ( ): m R = f () = R = R + t R ; = + t R; t R = 5 t : = 5 Berechnung von T : 5 = 0; I = 5 ; I ( 5 0) T ( 0 5 ) X t und T ( 0 5 ) X t : A TRE = _ ER PT = 6 ( +,5) =,5 A EMIR = ( _ ER + _ MI ) _ P = ( 6 + _ 0 ) = 9 Anteil: = 9 = _ 50 69,% Tangente t an in E ( ): m E = f ( ) = E = E + t E ; = ( ) + t E; t E = 5 t : = 5 Berechnung von M : 5 = 0; M = 5 ; M ( 5 0) Die Fläche A EMIR nimmt ca. 69% von A TRE ein. b) V Kegelstumpf = V großer Kegel V kleiner Kegel = R π PT I π _ T = π (9,5 _ ) = π 0 = π 05, c) Es entsteht ein liegender Kreiszlinder, aus dem zwei gerade Kreiskegel herausgeschnitten werden. A gesamt = M Zlinder + M Kegel (A: berflächeninhalt; M: Mantelflächeninhalt) M Zlinder = R π R = π 6 = π M Kegel = R π m = π _ = π 5 9 = _ π A gesamt = π + π = ( + _ ) π 05,6

19 Themenseite Algebraische Kurven und Kunst. π π S π P G B r(ϕ) π 0 6 ϕ π 7π π + = a; P (r cos ϕ r sin ϕ) P in die Gleichung des kartesischen Blattes eingesetzt: (r cos ϕ) + (r sin ϕ) = a (r cos ϕ) + (r sin ϕ) r (cos ϕ) + r (sin ϕ) = a r cos ϕ sin ϕ r [(cos ϕ) + (sin ϕ) ] = r (a cos ϕ sin ϕ) a cos ϕ sin ϕ r = _ (sin ϕ) + (cos ϕ). a) Lemniskate : ( + ) = e ( ) P ( ); F ( e 0); F (e 0) PF = PF = ( e 0 ) ( ) = ( e ) = _ ( e ) + ( ) PF = PF = ( e 0 ) ( ) = ( e ) = (e ) + ( ) PF PF = _ ( e ) + ( ) (e ) + ( ) = = _ (e + e + + ) (e e + + ) = _ e e + e = _ e e ( ) + ( + ) _ e e ( ) + ( + ) = e e e ( ) + ( + ) = e e e ( ) + ( + ) = 0 ( + ) = e ( ) (Gleichung der Lemniskate) b) ( + ) = e ( ) in Polarkoordinaten: = r cos ϕ; = r sin ϕ [(r cos ϕ) + (r sin ϕ) ] = e [r (cos ϕ) r (sin ϕ) ]; [r ((cos ϕ) + (sin ϕ) )] = e [r ((cos ϕ) (sin ϕ) )] r = e r [(cos ϕ) (sin ϕ) ] r = e [(cos ϕ) (sin ϕ) ] r = e (cos ϕ) (sin ϕ) 9

20 . Üben Festigen Vertiefen L. a) f() = ; D f = \{0} g() = ( ) ; D g = \{0} f( ) = ( ) = = f() g( ) = ( _ ) = ( ) = g() Der Graph G u G v G g ist punktsmmetrisch zum Ursprung ist achsensmmetrisch zur -Achse b) _ f() = + ; D f = g() = + ; D g = f( ) = _ + ( ) = + = f() + 0 Der Graph G u G v G g ist punktsmmetrisch zum Ursprung ist achsensmmetrisch zur -Achse c) f() = cos ( ); D f = g() = cos () ; D g = f( ) = cos ( ) = cos ( ) g( ) = cos ( ) = cos () = g() Der Graph G u G v G g ist punktsmmetrisch zum Ursprung ist achsensmmetrisch zur -Achse d) f() = _ ( ) ; D f = \{0} g() = ; D g = \{0} f( ) = _ ( ) = _ ( ) ( ) g( ) = = = g() Der Graph G u G v G g ist punktsmmetrisch zum Ursprung ist achsensmmetrisch zur -Achse 0

21 . Üben Festigen Vertiefen. a) f () = cos(); D f = ] π; π[ (k + )π cos() = 0; Hinweis: = ; k X Koordinaten der Punkte mit horizontaler Tangente: _ 7π _ 5π _ π π + π + _ π + _ 5π + _ 7π + _ 9π + π + π + 5π π b) f () = cos + sin ; D f = ] π ; π[ cos + sin = 0 cos = sin ; tan = ; = _ π f ( _ π ) = ; P ( _ π ) 5 π π_ π c) f (c) = sin (); D f = ]0; π[ sin () = 0; Hinweis: = kπ; k X = k π Koordinaten der Punkte mit horizontaler Tangente: π π _ π π d) f () = cos + sin ; D f = ] π; π[ cos + sin = 0 cos = sin : ( cos ) tan = Koordinaten der Punkte mit horizontaler Tangente: 0,6,6,, π 0 π

22 . Üben Festigen Vertiefen 6. a) -Achsenpunkte: f() = sin = 0; D f = ] _ π ; π [; sin = 0; = kπ; k X ; S (0 0); S (π 0) -Achsenpunkt: f(0) = sin 0 = 0; T (0 0) = S b) f () = cos = 0; D f = ] _ π ; π [; (k + )π cos = 0; = ; k X Monotonietabelle: _ π < < π = π π < < π f () f () > 0 f () = 0 f () < 0 f f () = sin ; streng monoton zunehmend streng monoton steigend Hochpunkt H ( π ) f ( π ) = > 0; f ( π ) = < 0; f ( _ π ) = > 0 f ( _ 5π ) = < 0; f ( _ 7π ) = > 0; f ( _ 9π ) = < 0; f ( π ) = > 0 c) H P = A B streng monoton abnehmend streng monoton fallend f() = p(); p() = _ ( π); π sin = _ ( π); π f () = cos ; p () = _ ( π) π Gemeinsame Punkte: Man erkennt: p(0) = 0 und f(0) = 0; A (0 0) p(π) = 0 und f(π) = 0; B (π 0) Bei Berührung von und P müssen beide Graphen in A die gleiche Steigung besitzen und in B ebenfalls. f (0) = ; p (0) = π : A ist Schnittpunkt; f (π) = ; p (π) = π : B ist Schnittpunkt. d) F () = a sin = f(); D F = ] _ π ; π [; a sin = sin ; a = ; F() = cos + b F(0) = cos 0 + b = + b = 0; b = F: F() = cos + ; D F = D f

23 . Üben Festigen Vertiefen. = ; D f = \{0}; W f = \{0} = = ; f () = ; D f = \{0} Die beiden Funktionen f und f sind identisch; ihre Graphen sind smmetrisch zur Winkelhalbierenden des I. und III. Quadranten. 6 = S π π H π_ π B π π T 0 P T B p() = a + b + c; f() = sin ; D f = ] π; π[ p () = a + b; f () = cos (0 0): p(0) = f(0); p (0) = f (0) c = 0 (); b = () B (π 0): p(π) = f(π); p (π) = f (π) a π + b π c = 0 (); a π + b = () () und () in () und (): a π + π = 0; a π + = a π + π = 0; a π = π (aπ + ) = 0; aπ = aπ = a = π (5) Gleichung der Parabel: P: p() = π + Tangenten t 0 und t B : f () = cos t 0 : m = f (0) = ; t B : m = f (π) = = + t ; = + t 0 = 0 + t ; 0 = π + t t = 0; t = π t 0 : = ; t B : = + π

24 . Üben Festigen Vertiefen Schnittpunkt der Tangenten t 0 und t B : = + π = π = π S ( π π ) eingesetzt in t 0 : = π Flächeninhalte der Dreiecke: A BS = _ B S = π π = _ π Hochpunkt der Parabel: p () = π + = 0 π = 0 π = = π p( π ) = π _ π + π H ( π π ) A BH = _ = π B H = π π = _ π _ π A BH = _ = A BS _ π = 50% Das Dreieck BH nimmt 50% der Fläche des Dreiecks BS ein. 5. G g δ R π V α π α S γ I β I γ E π_ π a) Für jeden Wert von X D f gilt: f( ) = [sin( )] = ( sin ) = (sin ) = f(); g( ) = _ [sin( )] = _ ( sin ) = (sin ) = g(): und G g sind smmetrisch zur -Achse. b) f() = (sin ) ; f () = sin cos = sin cos ; D f = D f ; f () = (cos ) (sin ) ; f () = 0; sin = 0; = π D f ; = 0 D f und = π D f cos = 0; = π X D f; = π X D f;

25 . Üben Festigen Vertiefen f( π ) = = ; f ( π ) = < 0 f( π ) = = ; f ( π ) = < 0 hat zwei Hochpunkte: H ( π ) und H ( π ). g() = (sin ) ; g () = _ sin cos (sin ) = cos (sin ) ; g () = (sin ) sin + cos (sin ) cos (sin ) = _ (sin ) + 6(cos ) = 6 (sin ) 6 (sin ) (sin ) ; g () = 0; cos = 0; = π X D g; = π X D g; g(± π ) = ; g ( π ) = = > 0; g ( π ) = > 0 G g hat zwei Tiefpunkte, T ( π ) und T ( π ). Die Etrempunkte von und G g fallen zusammen. Gemeinsame Punkte von und G g : (sin ) = (sin ) ; (sin ) (sin ) = 0; (sin ) = z; z z = _ 0 z, = _ ± + = _ ± z = ; (sin ) = ; = π X D f = D g = π z = < 0 keine Lösung H = T und H = T Die gemeinsamen Punkte sind Etrempunkte beider Graphen. c) V ( π ); I ( π ); E (0 ); R ( π ); S ( π ) A VIER = A VIE + A VER = _ VE ( SI + _ SR ) = π ( + ) = π,7 Innenwinkel: α = α + α ; β = β + β ; γ = γ + γ ; δ = δ + δ ; VIE: tan α = _ SI = π ; α, = γ ; SV = π β = 0 _ α γ 5,0 ; SR tan α = _ SV = π δ = 0 α γ 76,9 Im Viereck VIER gilt demnach: α = α + α, = γ; β 5,0 ; δ 76,9 = π ; α 5,5 = γ ; 6. a) ( + ) wahre Aussage für alle X 5 G + G ( + ) 5

26 . Üben Festigen Vertiefen _ b) + + quad. + ( + ) wahre Aussage für alle X ] ; [ 5 G + 0,5 G ( + ) _ 5 6

27 Kann ich das? L. a) f: f() = u(v()) = ( ) = ; g: g() = v(u()) = ( ) = 6 = ; D f = b) f: f() = u(v()) = sin(cos ); g: g() = v(u()) = cos (sin ); D f = = D g. f() = _ ; zu D f ma = \[ ; ] gehören 0; ; und 0. g() = ( _ ) = ; zu D g ma gehören ± ; ± und ± 0.. a) f () = cos ; f (π ) = _ π cos π = _ π 0,0 b) f () = = _ = ( ) ; f () = _ 0,707 c) f () = _ ( + ) + ( ) = + ( ) = + ( ) ; f () = _ = _ 6 0, cos e) f () = _ ; f ( π sin ) = 0 f) f () = ( + ) ( ) ; f () = 0. = sin () (schwarz); = cos () (blau); = sin () (rot) = D g 6 5. Es ist f () = _ < 0 für jeden Wert von X D f = streng monoton abnehmend. Wertmenge: W f = ] ; [ + = Df. Also ist f überall Umkehrfunktion: = = ( ) ; = ( ), da X f : f () = ( ) ; D f = W f = ] ; [. ; = ; hoch + ; und vertauschen: 7

28 Kann ich das? _ 6. a) = ; = ; + + = b) () P X : P = f() = ; P ( ); m P =. Die Tangente t P steht senkrecht auf P; also ist m tp = m = _ P. _ () f() = ; f () = _ = _ ; m t P = f () = = _. c) t P : = _ + t; P X t P : = _ + t; t = + _ = ; t P : = _ + Schnittpunkt S von t P mit der -Achse: 0 = _ + ; = ; S ( 0) Schnittpunkt T von t P mit der -Achse: T (0 ) Flächeninhalt des Dreiecks ST: A ST = FE = FE,6 FE 7. a) V(r) = r π r π = 7 r π b) r = _ V 7π ; r(v) = V 7π T P r A ϕ R t p ε S. G g = s Q S B P A B* t f = r t g A* Die Graphen und G g haben den Punkt S ( ) gemeinsam. Tangente t an in Punkt S: f () = r r ; f () = r; t : = r + t; S X t : = r + t; t = r; t : = r + r Schnittpunkt von t mit der -Achse: A ( r 0) Schnittpunkt von t mit der -Achse A* (0 r) Tangente t am G g im Punkt S: g () = s s ; g () = s; t : = s + t*; S X t : = s + t*; t* = s; t : = s + s Schnittpunkt von t mit der -Achse: B ( s 0) Schnittpunkt von t mit der -Achse: B* (0 s) Flächeninhalt des Dreiecks BAS: A BAS = ( r + s ) = r s rs Flächeninhalt des Dreiecks B*A*S: A B *A*S = ( s + r) = r s A B *A*S = rs A BAS

29 Kann ich das? 9. π π π_ π π π G F π π π_ π π π a) hat den Punkt T (0 ) mit der -Achse gemeinsam. Gemeinsame Punkte von mit der -Achse: f() = sin + cos = 0 : ( cos ) tan = _ ; = π 6 ; = _ 5π 6 ; = π 6 S ( π 6 0); S (_ 5π 6 0); S ( π 6 0) Etrempunkte: f () = cos sin = 0; : ( cos ) tan = ; = _ π ; 5 = π ; 6 = _ π f ( _ π ) = f () = sin cos f ( ) = sin ( _ π ) cos ( _ π ) = > 0: Der Punkt T ( _ π ) ist ein Tiefpunkt von. f ( 5 ) = sin π cos π = < 0: f ( _ p ) = Der Punkt H ( π ) ist ein Hochpunkt von. f ( 6 ) = sin _ π cos _ π = > 0: Der Punkt T (_ π ) ist ein Tiefpunkt von. b) F () = sin + cos = f(); D F = D f f ( π ) = sin ( π ) + cos ( π ) = cos + sin = F() 9