Vektoren und Matrizen

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1 Universität Basel Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum Vektoren und Matrizen Dr. Thomas Zehrt Inhalt: 1. Vektoren (a) Einführung (b) Linearkombinationen (c) Länge eines Vektors (d) Skalarprodukt (e) Geraden und Ebenen 2. Matrizen (a) Einführung (b) Invertierbare (quadratische) Matrizen (c) Die Transponierte einer Matrix (d) Determinanten

2 2 Vektoren: Einführung

3 Ein Vektor mit zwei oder drei (oder auch mehr) Komponenten ( ) v u1 1 v = u = v u 2 2 v 3 kann geometrisch gedeutet werden: 3 als Punkt P in der Ebene bzw. im 3- dimensonalen Raum als,,pfeil vom Ursprung 0 nach P als Klasse der,,pfeile der entsprechenden Länge und Richtung (freie Vektoren)

4 4 P

5 Vektoren: Linearkombinationen 5

6 6 k R, u = ( u1 u 2 ) ku = ( ku1 ku 2 ) k 1 u k2u u u k 1 > 1 Streckung 0 < k 2 < 1 Stauchung k = 1 Spiegelung

7 Addition von zwei Vektoren 7 u = ( u1 u 2 ), v = ( v1 v 2 ), u+v = ( u1 + v 1 u 2 + v 2 ) u+v v u

8 8 Linearkombinationen gegeben: u, v Vektoren und a,b R w = au + bv heisst Linearkombination der Vektoren u und v. v au u w bv

9 Aufgabe 1 Es seien a = und b = Berechnen Sie a + b, 3a und 3a 2b. 9 Lösungen: 3 3 1, 6 9 3,

10 10 Verallgemeinerung: gegeben: Vektoren u 1,u 2,...,u k und reelle Zahlen a 1,a 2,...,a k z = k i=1 a i u i = a 1 u 1 + a 2 u a k u k heisst Linearkombination der Vektoren u 1,u 2,...,u k.

11 Vektoren: Länge eines Vektors 11

12 12 Durch u sei die Länge oder der Betrag des Vektors u bezeichnet. u = ( u1 u 2 ) y u 2 u u 1 x u 2 = u u2 2 u = u u2 2

13 u = u 1 u 2 u 3 13 z u u 3 d u 1 y u 2 x d 2 = u u2 2 u 2 = u u2 2 + u2 3 u = u 2 = u d2 u u2 2 + u2 3

14 14 Analog u = u 1 u 2. u n u 2 = u u u2 n u = u u u2 n

15 Aufgabe 2 Es sei a = Bestimmen Sie die Länge des Vektors a. 2. Bestimmen Sie einen Vektor a 0 der Länge 1, der die selbe Richtung wie a hat. Der Übergang von a zu a 0 heisst Normierung von a. 15 Lösung: 3, a 0 = 2/3 1/3 2/3.

16 16 Vektoren: Das Skalarprodukt

17 u = ( u1 u 2 ), v = ( v1 v 2 ) 17 u v = u 1 v 1 + u 2 v 2 Mit dem Winkel γ zwischen den beiden Vektoren u und v gilt: u v = u v cos(γ)

18 18 Beweis u 2 y u γ v 2 v u 1 v 1 x α β cos(γ) = cos(α β) = cos(α) cos(β) + sin(α) sin(β) u v cos(γ) = u 1 {}}{ u cos(α) v 1 {}}{ v cos(β) + u sin(α) }{{} u 2 v sin(β) }{{} v 2

19 Aufgabe 3 Bestimmen Sie den Winkel zwischen den beiden 2 1 Vektoren a = 1 und b = Lösung:

20 20 Orthogonalität von Vektoren Für zwei Vektoren u 0 und v 0 gilt u v u v = 0 cos(γ) = 0 u γ v

21 Vektoren: Geraden und Ebenen 21

22 22 Vektorielle Darstellung einer Geraden g u Ortsvektor eines Punktes auf g v Vektor in Richtung von g g : z = u + tv t R z g u v y x

23 Aufgabe 4 1 Liegen die Punkte P 1 = 2 und P 2 = auf der Geraden g : z = 0 + t 4? Lösung: nein, ja

24 24 Vektorielle Darstellung einer Ebene E u Ortsvektor eines Punktes auf E v, w zwei nicht in einer Geraden liegende Vektoren der Ebene E E : z = u + t 1 v + t 2 w t 1,t 2 R z u v y w x

25 Aufgabe 4 Liegen der Punkt P = g : z = t t 2 25 auf der Ebene 0 1 2? Lösung: nein

26 26 Matrizen: Einführung

27 Definition 27 Ein rechteckiges Schema von reellen Zahlen a 11 a a 1n a 21 a a 2n A = a ij a m1 a m2... a mn heisst Matrix. Eintrag a ij Index i: Zeilennummer Index j: Kolonnen- oder Spaltennummer Bezeichnungen: A = A mn = A m n = (a ij )

28 28 Spezialfälle: A m 1 = x = x 1 x 2. x m 1 x m Kolonnen- oder Spaltenvektor. A 1 n = y T = (y 1,y 2,...,y n 1,y n ) Zeilenvektor.

29 Gleichheit zweier Matrizen 29 Zwei Matrizen A und B heissen gleich, wenn folgendes gilt: sie haben gleiche Zeilenzahl, sie haben gleiche Kolonnenzahl und die entsprechenden Elemente sind gleich: A m n = B m n wenn a ij = b ij für alle i und alle j.

30 30 Addition und Subtraktion Zwei Matrizen gleicher Dimension (d.h. mit gleicher Zeilen- und Kolonnenzahl) können addiert und subtrahiert werden: A m n ± B m n = a 11 ± b 11 a 12 ± b a 1n ± b 1n a 21 ± b 21 a 22 ± b a 2n ± b 2n a ij ± b ij a m1 ± b m1 a m2 ± b m2... a mn ± b mn

31 Multiplikation mit einer reellen Zahl 31 Jede Matrix kann (von links) mit einer reellen Zahl (einem sogenannten Skalar ) multipliziert werden: c A m n = c a 11 c a c a 1n c a 21 c a c a 2n c a ij c a m1 c a m2... c a mn Distributives Gesetz (Skalar mal Matrix) c (A ± B) = c A ± c B

32 32 Skalarprodukt zweier Vektoren Das Skalarprodukt zweier Vektoren mit gleich vielen Komponenten a = a 1 a 2. a n b = ist definiert als b 1 b 2. b n a b := a T b = n i=1 a i b i = a 1 b 1 + a 2 b a n b n R.

33 Produkt einer Matrix mit einem Vektor 33 Seien A = A m n eine (m n)-matrix x = x n 1 ein (n 1)-Vektor. Dann ist das Produkt Ax ein (m 1)-Vektor Ax = = a 11 a a 1n a 21. a a 2n..... a m1 a m2... a mn x 1 x 2. x n a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n. a m1 x 1 + a m2 x a mn x n

34 34 Produkt zweier Matrizen Das Produkt AB zweier Matrizen kann gebildet werden, wenn die Anzahl der Kolonnen der ersten gleich der Anzahl der Zeilen der zweiten ist. A m n B n p = C m p wobei für alle i = 1,...,m und alle j = 1,...,p gilt: c ij = n k=1 a ik b kj = a i1 b 1j + a i2 b 2j a in b nj

35 Multiplikationsschema 35 b b b b 1j 2j b b 1p 2p b n1 b nj b np a 11 a a 12 1n a i1 a i2 a in c ij a a a m1 m2 mn

36 36 Die Matrizenmultiplikation ist nicht kommutativ Beispiel: A = AB = ( ) ( B = ) ( ) BA = ( ) Im Allgemeinen: AB BA

37 Die Matrizenmultiplikation ist assoziativ 37 Beispiel: A 2 2 = AB = BC = ( ( ( C 3 2 = ) ) ) B 2 3 = (AB)C = A(BC) = ( ( ( ) ) ) Im Allgemeinen: (AB)C = A(BC)

38 38 Die Nullmatrix Die (m n)-matrix 0 m n, deren sämtliche Einträge 0 sind, heisst Nullmatrix. 0 m n = Im Allgemeinen: A m n + 0 m n = 0 m n + A m n = A m n

39 Die Einheitsmatrix 39 Gibt es eine quadratische Matrix, die die Rolle der Eins übernimmt, d.h. eine Matrix I, so dass AI = A und IA = A für alle quadratischen Matrizen A gilt? Ja! I = I heisst Einheitsmatrix.

40 40 Es gibt Nullteiler! Für reelle Zahlen a und b gilt die Regel: ab = 0 a = 0 oder b = 0 Diese Regel gilt im Allgemeinen nicht für Matrizen! A = ( ) B = ( ) AB = ( ) = 0 A und B heissen Nullteiler. Im Allgemeinen: AB = 0 A = 0 oder B = 0

41 41 Für reelle Zahlen gilt die Regel: Aus cd = ce,c 0 d = e Diese Regel gilt im Allgemeinen nicht für Matrizen! C = ( ) D = ( ) E = ( ) CD = CE = ( ) aber D E! Im Allgemeinen: CD = CE D = E

42 42 Matrizen: Invertierbare Matrizen

43 Definition 43 Es sei eine (quadratische) (n n)-matrix A gegeben. Falls es eine (n n)-matrix A 1 mit der Eigenschaft AA 1 = A 1 A = I gibt, so nennt man A 1 die Inverse von A und A heisst invertierbar. Achtung: Nicht jede quadratische Matrix besitzt eine Inverse!

44 44 Die Inverse einer (2 2)-Matrix Die (2 2)-Matrix A = ( a b c d besitzt eine Inverse, falls ) ad bc 0 und diese ist dann gegeben durch A 1 = 1 ad bc ( d b c a )

45 Eigenschaften invertierbarer Matrizen (A 1 ) 1 = A 2. (AB) 1 = B 1 A 1 Beweis von 2. Sei C die gesuchte Inverse von AB. Dann gilt CAB = I B 1 A 1 v. rechts CABB }{{ 1 } A 1 = IB 1 A 1 =I = B 1 A 1 C } AA{{ 1 } = B 1 A 1 =I C = B 1 A 1

46 46 Matrizen: Die Transponierte einer Matrix

47 Definition 47 Die Transponierte einer (m n)-matrix A = A m n = a a 1n a a 2n a m1... a mn ist die (n m)-matrix A T = A T n m = a 11 a a m a 1n a 2n... a mn Erfüllt eine (quadratische) Matrix A die Bedingung A = A T, so heisst A symmetrisch.

48 48 Eigenschaften transponierter Matrizen 1. (A T ) T = A 2. (A + B) T = A T + B T 3. (AB) T = B T A T 4. (A T ) 1 = (A 1 ) T

49 Matrizen: Determinanten 49

50 50 Die Determinante Jeder quadratischen Matrix A = A n n soll eine reelle Zahl zugeordnet werden, die Determinante von A. Bezeichnung: det(a) oder A n=2 A = ( ) a11 a 12 a 21 a 22 det(a) = A = a 11 a 22 a 21 a 12 Neue Formulierung für (2 2)-Matrizen: A 1 existiert det(a) 0

51 51 n=3 A = a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 det(a) = A = a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 a 31 a 22 a 13 a 32 a 23 a 11 a 33 a 21 a 12

52 52 n > 3 A = a 11 a a 1n a 21 a a 2n a n1 a n2... a nn Abkürzung: Durch A ij sei die Teilmatrix von A bezeichnet, die durch Weglassen der i-ten Zeile und der j-ten Kolonne aus A entsteht. Rekursive Definition (Entwicklung nach der 1-ten Zeile): A = a 11 A 11 a 12 A ( 1) n+1 a 1n A 1n

53 Bemerkungen 53 Die Determinante einer (n n)-matrix wird auf n Determinanten von (n 1 n 1)-Matrizen zurückgeführt. Die Determinante kann auch nach einer beliebigen Zeile entwickelt werden: n A = ( 1) i+j a ij A ij j=1 Die reelle Zahl ( 1) i+j A ij heisst Kofaktor von a ij.

54 54 Eigenschaften der Determinanten 1. AB = A B 2. A invertierbar A 0 3. A 1 = 1 A 4. A T = A

55 5. Die Determinantenentwicklung kann auch nach einer beliebigen Spalte erfolgen Falls eine Zeile oder Spalte einer Matrix aus Nullen besteht, so ist die Determinante Die Determinante einer Matrix ändert sich nicht, wenn zu einer Spalte (Zeile) ein beliebiges Vielfaches einer anderen Spalte (Zeile) addiert wird. 8. Wird eine Spalte (Zeile) mit einer Zahl u multipliziert, so resultiert die u-fache Determinante.

56 A = ( a11 a 12 a 21 a 22 ) = (a 1,a 2 ) det(a) = a 11 a 22 a 12 a 21 Fläche, des von den Spaltenvektoren aufgespannten Parallelogramms det

57 Bemerkung Für eine beliebige (n n)-matrix A entspricht det(a) dem Volumen des von den Spalten aufgespannten Parallelepipeds.