Forschungsstatistik I

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1 Prof. Dr. G. Meinhardt 2. Stock, Nordflügel R (Persike) R (Meinhardt) Sprechstunde jederzeit nach Vereinbarung Forschungsstatistik I Dr. Malte Persike persike@uni-mainz.de WS 2008/2009 Fachbereich Sozialwissenschaften Psychologisches Institut Johannes Gutenberg Universität Mainz

2 n Multiplikations satz Wechselseitigkeit Gegenereignisse Stochastische Wenn gilt: P(B) = P(B A) werden die Ereignisse A und B stochastisch unabhängig genannt, weil die Wahrscheinlichkeit des Auftretens des Ereignisses B nicht vom Auftreten von A abhängt. Setzen wir die rechte Seite der Gleichung in das Multiplikationstheorem ein, erhalten wir: P(A B) = P(B A) P(A) = P(A) P(B) Kurz: P(A B) = P(A) P(B) Multiplikationssatz für stoch. unabh. Ereignisse

3 n Multiplikations satz Wechselseitigkeit Gegenereignisse Stochastische Wechselseitigkeit Wir haben beim Multiplikationstheorem gesehen, dass P(A B) = P(B A) P(A) = P(A B) P(B) Und beim Multiplikationssatz, dass für ein von A stochastisch unabhängiges Ereignis B [also P(B) = P(B A)] gilt: P(A B) = P(A) P(B) Einsetzen der zweiten Gleichung in die erste führt zu P(A B) P(B) = P(A) P(B) also P(A B)= P(A) Also: Ist B von A unabhängig, so ist es auch A von B.

4 n Multiplikations satz Wechselseitigkeit Gegenereignisse Stochastische Verallgemeinerung des Multiplikationssatzes Wenn die Ereignisse A 1, A 2, A k insgesamt unabhängig sind, so gilt P(A 1 A 2 A k ) = P(A 1 ) P(A 2 ) P(A k ) Achtung: Die Disjunktheit von Ereignissen hat mit der stochastischen nichts zu tun. A und B sind disjunkt (A B = { }). Wenn aber A eingetreten ist, verändert sich P(B) zu P(B) / P(S \ A), wird also größer, solange A { }. A B S

5 n Multiplikations satz Stochastische Gegenereignisse Wechselseitigkeit Nach de Morgans Gesetzen gilt: A B= A B A B= A B Gegenereignisse Damit lässt sich zeigen, dass P( A B) = P( A) P( B) P( A B) = P( A) P( B) A B P( A B) = P( A) P( B) Wenn also die Ereignisse A und B stochastisch unabhängig sind, so sind es auch ihre Gegenereignisse und alle Paarungen daraus.

6 n Zufallsexperimente Stichprobenraum, Messung und Realisation Beispiel: Anzahl korrekter Antworten im Mathekenntnistest Stichprobenraum Ω Y(Ω) Messung von Y(Ω) Realisationen: y 1, y 1, Alle Personen in diesem Raum Mögl. Werte: 0, 1, 2, Test einer Person im Raum Messwerte: 2, 0, 1, 1, 4, 3,

7 n n Definitionen Die Ergebnisse eines Zufallsexperimentes werden als Realisationen bezeichnet Ist Y eine Funktion, die jeder möglichen Realisation aus dem Stichprobenraum Ω eine reelle Zahl zuordnet, so wird diese Variable als bezeichnet. Die Menge der möglichen Funktionswerte Y(Ω) ist damit der Wertebereich von Y Die Zuweisung von Zahlen zu den Realisationen von Y wird als Messung bezeichnet, die gemessenen Realisationen häufig als Messwerte

8 n n Notation n werden mit Großbuchstaben bezeichnet, häufig mit Y oder X. Realisationen von n werden mit Kleinbuchstaben bezeichnet, z.b. y 1, y 2,, y n Hinweis: Häufig werden sowohl die möglichen Realisationen als auch die tatsächlichen Realisationen aus n Messungen mit denselben Kleinbuchstaben bezeichnet. Beispiel beim Münzwurf: {y 1 = 0; y 2 =1} aber auch: y 1 =0, y 2 =0, y 3 =1, y n =1

9 n n Notation für Wahrscheinlichkeiten Auf der können nun Ereignisse definiert werden, z.b. a Y b oder Y = a. Diesen Ereignissen können reelle Zahlen zugewiesen werden, die die Kolmogoroff Axiome erfüllen, z. B. P(a Y b) oder P(Y = a) In der Wahrscheinlichkeitstheorie besonders wichtig ist die Punktwahrscheinlichkeit, also dass die Y eine bestimmte Ausprägung annimmt: Y = y Die Wk für Y = y wird als P(Y = y) geschrieben Werte für diese Wk werden mit p bezeichnet

10 n n Wahrscheinlichkeiten und Vererbung Der Wertebereich Y(Ω) einer n ist wieder ein Stichprobenraum Die Ergebnisse in diesem Raum haben dieselben Wahrscheinlichkeiten P(y) wie die Ergebnisse im ursprünglichen Stichprobenraum P(Y) ( Vererbung ) und erfüllen auch die Kolmogoroff Axiome Die Zuordnungsvorschrift, die den Ergebnissen im Wertebereich die durch die Vererbung vorgegebenen Wahrscheinlichkeiten zuordnet, heißt Wahrscheinlichkeitsverteilung (probability distribution) der n

11 n n Definition Eine, die abzählbar viele Werte annehmen kann (in endlich oder unendlich vielen Ausprägungen), wird als diskrete bezeichnet Das Ereignis, dass die diskrete Y eine bestimmte (die i-te) Ausprägung annimmt, wird bezeichnet als Y = y i Die Wk für Y = y i wird als P(Y = y i ) geschrieben Werte für diese Wk werden mit p i bezeichnet

12 n n Übersicht?

13 n n Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit Die empirische beobachtete Häufigkeit des Auftretens einer Realisation Y = y in einem Zufallsexperiment wird als h(y = y) geschrieben. h(y = y) wird auch als absolute Häufigkeit bezeichnet. Die relative Häufigkeit f(y=y) ist dann definiert als der Quotient aus absoluter Häufigkeit und der Anzahl n aller Versuche, also f(y=y) = h(y=y) / n

14 n Gesetz der großen Zahlen Law of large numbers Bei unabhängigen Wiederholungen eines Zufallsexperiments strebt die mittlere relative Häufigkeit h(a) für Das Auftreten eines Ereignisses A gegen die Wahrscheinlichkeit P(A) P A ( ) : = lim h( A) n

15 n n Übersicht

16 n n Wahrscheinlichkeitsverteilung Die Verteilung der P(Y = y i ) wird als diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung bezeichnet. Sie wird definiert als { } P( Y = y ) = p falls y y y f( y) = 0 sonst i i i 1 k Wert von Y y 1 y 2 y i y k P(Y = y i ) p(y 1 ) p(y 2 ) p(y i ) p(y k )

17 n n Verteilungsfunktion Die Verteilung der P(Y y m ) wird als Verteilungsfunktion der n Y oder kumulierte Wahrscheinlichkeitsverteilung bezeichnet. Sie wird definiert als F( y) = P( Y ym) = p m i= 1 i Wert von Y y 1 Y 2 Y m P(Y y i ) p(y 1 ) p(y 1 ) + p(y 2 ) p(y 1 ) + p(y 2 ) + + p(y m )

18 n n Theoretische und empirische Wk-Verteilung Die empirische relative Häufigkeitsverteilung der f(y) und die Wahrscheinlichkeitsverteilung der P(y) sind konzeptuell strikt zu trennen Die empirische Verteilungsfunktion und die Verteilungsfunktion einer n sind ebenfalls konzeptuell strikt zu trennen Die theoretischen Verteilungen bedürfen keiner Daten, denn sie sind gegeben Die theoretischen Verteilungen bestimmen, was für die empirischen Verteilungen zu erwarten ist