Serie 5. Lineare Algebra D-MATH, HS Prof. Richard Pink. 1. [Aufgabe] Invertieren Sie folgende Matrizen über Q:

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1 Lineare Algebra D-MATH, HS 214 Prof Richard Pink Serie 5 1 [Aufgabe] Invertieren Sie folgende Matrizen über Q: 1 a) b) c) [Lösung] 1 a) b) c) 4/5 1/5 1/5 1/5 1/5 4/5 1/5 1/5 1/5 1/5 4/5 1/5 1/5 1/5 1/5 4/5 35/11 16/11 13/ /11 3/11 1/ /11 7/11 5/ [Aufgabe] Sei A eine der folgenden Matrizen über R: Bestimmen Sie alle Lösungen der Gleichungen Ax = für x R 3

2 2 [Lösung] Wir geben die Lösungsmenge L = {x R 3 Ax = } in den jeweiligen Fällen an : L = 1 + µ λ, µ R : L = λ R : L = : L = 2 + µ λ, µ R : L = : L = λ R 3 [Aufgabe] Wir fixieren n > l > und schreiben alle n n-matrizen in Blockform A11 A A =, A 21 A wobei A 11 eine l l-matrix und A, A 21, A jeweils eine Matrix in passender Grösse ist (nämlich welcher?) a) Zeige, dass für beliebige Matrizen A11 A A = A 21 A gilt: B11 B und B = B 21 B A11 B A B = 11 + A B 21 A 11 B + A B A 21 B 11 + A B 21 A 21 B + A B b) Sei A eine n n-matrix in oberer Blockdreiecksform bezüglich l, das heisst, mit A 21 gleich der Nullmatrix Zeige, dass A invertierbar ist genau dann, wenn A 11 und A invertierbar sind, und dann ist A 1 = ( A 1 11 A 1 11 A A 1 O A 1 ) Berechnen Sie als Anwendung die inversen Matrizen von D 1 = 5 8 4, D 2 =

3 3 [Lösung] Die Matrizen A, A 21, A haben jeweils die Grössen l (n l), (n l) l und (n l) (n l) a) Der Koeffizient von A B an der Stelle (i, j) ist gegeben durch (A B) ij = n ( l ) ( n a ik b kj = a ik b kj + k=l+1 a ik b kj ) Für 1 k l gilt (A 11 ) ik (B 11 ) kj falls 1 i, j l (A 11 ) ik (B ) k,j l falls 1 i l und l + 1 j n a ik b kj = (A 21 ) i l,k (B 11 ) kj falls l + 1 i n und 1 j l (A 21 ) i l,k (B ) k,j l falls l + 1 i, j n Für l + 1 k n gilt (A ) i,k l (B 21 ) k l,j falls 1 i, j l (A ) i,k l (B ) k l,j l falls 1 i l und l + 1 j n a ik b kj = (A ) i l,k l (B 21 ) k l,j falls l + 1 i n und 1 j l (A ) i l,k l (B ) k l,j l falls l + 1 i, j n Im Fall 1 i, j l erhalten wir deshalb (A B) ij = l (A 11 ) ik (B 11 ) kj + n (A ) i,k l (B 21 ) k l,j k=l+1 n l = (A 11 B 11 ) ij + (A ) ik (B 21 ) kj = (A 11 B 11 ) ij + (A B 21 ) ij Das zeigt die Aussage für den ersten Matrixblock In den anderen Fällen erhält man mit demselben Argument (A 11 B ) i,j l + (A B ) i,j l falls 1 i l und l + 1 j n (A B) ij = (A 21 B 11 ) i l,j + (A B 21 ) i l,j falls l + 1 i n und 1 j l (A 21 B ) i l,j l + (A B ) i l,j l falls l + 1 i, j n Das zeigt die Aussage für die restlichen Blöcke b) Nehme zuerst an, dass A 1 und A 2 invertierbar sind Dann gilt für A 1 11 A 1 11 A B := A 1 O A 1 mit Aufgabenteil a) A11 A 1 11 A A B = 11 ( A 1 11 A A 1 ) + A A 1 Il A A 1 = = I I n n l

4 Es folgt, dass A invertierbar ist und B = A 1 gilt Angenommen A ist invertierbar mit Inverse B := A 1 Schreiben wir B11 B B = B 21 B wie in Aufgabenteil a), so folgt A11 B A B = 11 + A B 21 A 11 B + A B Il = A B 21 A B I n l Wegen A B = I n l ist A invertierbar Aus A B 21 = folgt deshalb B 21 = Da A 11 B 11 + A B 21 = I l und B 21 = ist, gilt A 11 B 11 = I l, also ist auch A 11 invertierbar In den Anwendungen erhalten wir 8 3 D1 1 = 5 2 1/4, 1/2 D 1 2 = [Aufgabe] Zeigen Sie, dass jede invertierbare m m-matrix ein Produkt von Matrizen der Form I m + λe ij für i j und λ K, und Diagonalmatrizen ist 4 [Lösung] Sei A eine beliebige invertierbare Matrix und sei A = L P R eine Zerlegung von A in eine untere Dreiecksmatrix L, eine Permutationsmatrix P und eine obere Dreiecksmatrix R In der Vorlesung wurde gezeigt, dass jede obere Dreiecksmatrix sich als Produkt von Matrizen der Form I m + λi ij für i < j und λ K schreiben lässt Durch Anwenden der Transponierten folgt, dass jede untere Dreiecksmatrix sich als Produkt von Matrizen der Form (I m + λi ij ) T = I m + λi ji für i < j und λ K schreiben lässt Wähle solche Produktdarstellungen für L und R Wegen A = L P R genügt es daher, die folgende Behauptung zu beweisen Behauptung: Jede Permutationsmatrix P lässt sich als Produkt von Matrizen der Form I m + λi ij für i j und λ K, und Diagonalmatrizen schreiben Beweis Wir beweisen die Aussage zuerst für eine beliebige m m Permutationmatrix, bei der auf der Diagonalen genau zwei Einträge nicht gleich 1 sind (eine sogenannte Transpositionsmatrix) Wegen = 1 1 (1)

5 gilt dies im Fall m = 2 Für beliebiges m 2 und für eine solche Matrix T, seien (i, i) und (j, j) mit i < j die Stellen auf der Diagonalen an denen eine Null steht Indem man eine zu (1) analoge Multiplikation bezüglich des Blockes (i, j) ausführt, erhält man die Aussage für alle m Wir verwenden nun Induktion um die Behauptung im allgemeinen Fall zu zeigen Im Basisfall m = ist die -Matrix eine Diagonalmatrix und die Aussage gilt Angenommen, die Aussage gilt für ein beliebiges m und sei eine beliebige Permutationsmatrix P der Grösse (m+1) (m+1) gegeben Sei 1 i m+1 der eindeutige Index, sodass der (i, m+1)-te Eintrag von P gleich 1 ist Sei T = (t ij ) 1 i,j m+1 die Permutationsmatrix mit den nicht-verschwindenen Einträgen t i,m+1 = t m+1,i = 1 und t jj = 1 für alle j i, m + 1 Für i m + 1 ist T eine Transpositionsmatrix und für i = m + 1 ist T die Identität Insbesondere gilt die Aussage der Behauptung für die Matrix T Die Matrix P = T P (2) ist die Matrix die aus P durch Vertauschen der i-ten und (m + 1)-ten Zeile entsteht (siehe pdf zu den Linearen Gleichungssystemen) Insbesondere ist P eine Permutationsmatrix und der Eintrag an Position (m + 1, m + 1) ist 1 Wir schreiben P als Blockmatrix Q P = 1 für eine m m-permutationsmatrix Q und Nullmatrizen geeigneter Grösse Bei Induktionsvoraussetzung lässt sich Q als Produkt von Matrizen der Form I m + λi ij für i j und λ K, und Diagonalmatrizen schreiben Aus der Aufgabe 3 folgt nun, dass dies auch für P mit solchen (m + 1) (m + 1)- Matrizen gilt Da T eine Transpositionsmatrix oder die Identität ist, ist T invertierbar mit Inverse T 1 = T Aus (2) folgt daher P = T P Da T als auch P sich als Produkt von Matrizen der Form I m +λi ij für i j und λ K, und Diagonalmatrizen schreiben lassen, gilt dies auch für P Das zeigt die Aussage für alle Permutationsmatrizen der Grösse (m + 1) (m + 1) 5 [Aufgabe] Zeigen Sie, dass für jede Matrix A eine Permutationsmatrix P und eine untere Dreiecksmatrix U existiert, so dass U P A Zeilenstufenform hat 5 [Lösung] Satz: Für jede Matrix A existieren eine Permutationsmatrix P und eine invertierbare untere Dreiecksmatrix U, so dass U P A Zeilenstufenform hat

6 Beweis: Beim Entwickeln des Beweises stellt sich heraus, dass die geplante Induktion besser funktioniert, wenn man gleich eine stärkere Aussage beweist, nämlich: Satz: Für jede m n-matrix A existieren eine Permutationsmatrix P und eine invertierbare untere Dreiecksmatrix U, so dass U P A Zeilenstufenform hat und für jeden Index 1 i m, für den die i-te Zeile von UP A identisch Null ist, die Matrix U in der i-ten Spalte mit der Einheitsmatrix übereinstimmt Dies beweisen wir durch Induktion nach n Induktionsanfang: n = : Die gesuchte Aussage gilt mit U = P = I m Induktionsvoraussetzung: Es ist n > und die gesuchte Aussage gilt für alle Matrizen der Grösse m (n 1) Induktionsschritt: Sei A eine beliebige m n-matrix Sei A die durch Streichen der letzten Spalte von A entstehende m (n 1)-Matrix Nach Induktionsvoraussetzung existieren dann eine Permutationsmatrix P und eine invertierbare untere Dreiecksmatrix U, so dass UP A Zeilenstufenform hat und für jeden Index 1 i m, für den die i-te Zeile von UP A identisch Null ist, die i-te Spalte von U mit der i-ten Spalte der Einheitsmatrix übereinstimmt Sei 1 k m + 1 minimal, so dass für alle k i m die i-te Zeile von UP A gleich Null ist (Also k := m + 1, wenn alle Zeilen von UP A ungleich Null sind) Dann sind die Zeilen 1,, k 1 von UP A alle ungleich Null, und nach Definition der Zeilenstufenform beginnen die von Null verschiedenen Terme in jeder dieser Zeilen später als in der vorigen Da die Matrix UP A auch durch Streichen der letzten Spalte von U P A entsteht, gelten dieselben beiden Aussagen dann auch für die Zeilen 1,, k 1 von UP A In diesen Zeilen hat U P A also schon die gewünschte Zeilenstufenform Schreibe nun UP A = b ij 1 i m mit Koeffizienten b ij K Wir unterscheiden 1 j n die folgenden beiden Fälle: 1 Fall: k i m: b in = Dies bedeutet, dass die Zeilen k,, m von UP A schon ganz gleich Null sind Dann ist U P A schon insgesamt in Zeilenstufenform, und dieselben Matrizen P und U erfüllen alle geforderten Bedingungen 2 Fall: k i m: b in (Also insbesondere k m) Sei dann k l m minimal mit b ln Wir wenden die folgenden elementaren Zeilenoperationen auf UP A an, in der genannten Reihenfolge: Vertauschen der k-ten und l-ten Zeile, bzw nichts im Fall k = l Sei P die Permutationsmatrix, deren Linksmultiplikation diese Vertauschung induziert Addieren von b in b ln mal der k-ten Zeile zur i-ten Zeile für alle l < i m Diese Zeilenoperation wird durch Linksmultiplikation mit I m b in b ln E ik induziert Der Gesamteffekt dieser Additionen entspricht (Nachrechnen!) der Linksmultiplikation mit der invertierbaren unteren Dreiecksmatrix U := I m m b in i=l+1 b ln E ik

7 Die durch diese Zeilenoperationen entstehende Matrix ist dann U P UP A Da die Zeilen 1,, k 1 von UP A durch die Operationen nicht geändert wurden, ist die Matrix U P UP A dort schon in Zeilenstufenform Ausserdem ist ihre k-te Zeile gleich Null ausser im letzten Eintrag b ln, welcher ungleich Null ist Da im Fall k > 1 die (k 1)-te Zeile schon einen früheren Eintrag ungleich Null hat, gilt auch hier die Bedingung der Zeilenstufenform Schliesslich sind die Zeilen k + 1,, m alle identisch gleich Null Somit ist U P UP A insgesamt in Zeilenstufenform Setze U := P U(P ) 1 Dann gilt P U = U P, und die gefundene Matrix ist gleich U P UP A = U U P P A = (U U ) (P P ) A Hier ist P P ein Produkt zweier Permutationsmatrizen, also nach Aufgabe 5 von Serie 4 selbst eine Permutationsmatrix Andererseits wissen wir von oben, dass U eine invertierbare untere Dreiecksmatrix ist, deren i-te Spalte mit der i-ten Spalte der Einheitsmatrix I m übereinstimmt für alle k i m Da die Linksmultiplikation mit P auf jede Spalte einer Matrix separat wirkt, stimmt für alle k i m also auch die i-te Spalte von P U mit der i-ten Spalte von P I m = P überein Ausserdem ist P ihre eigene Inverse; die Rechtsmultiplikation mit (P ) 1 bewirkt also die Vertauschung der Spalten k und l Da die Indizes k und l beide k sind, stimmt daher für alle k i m die i-te Spalte von U = P U(P ) 1 mit der i-ten Spalte von P (P ) 1 = I m überein Weiter ist U = I m m b in i=l+1 b ln E ik eine invertierbare untere Dreiecksmatrix, die in allen Spalten ausser der k-ten mit I m übereinstimmt Als Produkt zweier invertierbarer unterer Dreiecksmatrizen ist somit auch U U eine invertierbare untere Dreiecksmatrix Ausserdem stimmen für alle k < i m die i-ten Spalten von U und U mit denen der Einheitsmatrix überein Daraus folgt dasselbe auch für das Produkt, nämlich durch direktes Nachrechnen, vorzugsweise mit Blockmatrizen wie in Aufgabe 3 der vorliegenden Serie mit (k, m) anstelle von (l, n) Die Indizes k < i m sind aber genau diejenigen, für welche die i-ten Zeilen von U P UP A = (U U ) (P P ) A gleich Null sind Somit ist also die gesuchte Zusatzbedingung erfüllt für die gegebene Matrix A, die Permutationsmatrix P P, und die untere Dreiecksmatrix U U Der Induktionsschritt ist damit abgeschlossen, und die Aussage in allen Fällen bewiesen