Analysis I. Partielle Integration. f (t)g(t)dt =

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1 Prof. Dr. H. Brenner Osnbrück WS 3/4 Anlysis I Vorlesung 5 Wir besprechen nun die wesentlichen Rechenregeln, mit denen mn Stmmfunktionen finden bzw. bestimmte Integrle berechnen knn. Sie beruhen uf Ableitungsregeln. Prtielle Integrtion Stz 5.. Es seien f,g: [,b] R stetig differenzierbre Funktionen. Dnn gilt f(t)g (t)dt fg b f (t)g(t)dt. Beweis. Aufgrund der Produktregel ist fg eine Stmmfunktion von fg +f g. Dher ist f(t)g (t)dt+ f (t)g(t)dt (fg +f g)(t)dt fg b. Bei der prtiellen Integrtion sind insbesondere zwei Dinge zu bechten. ErstensliegtdiezuintegrierendeFunktionimAllgemeinennichtinderFormfg vor, sondern einfch ls Produkt uv (wenn kein Produkt vorliegt, so kommt mn mit dieser Regel sowieso nicht weiter, wobei llerdings die trivile Produktzerlegung u mnchml helfen knn). Dnn muss mn einen Fktor integrieren und den nderen differenzieren. Wenn V eine Stmmfunktion von v ist, so lutet die Formel uv uv u V. Zweitens führt prtielle Integrtion nur dnn zum Ziel, wenn ds Integrl rechts, lso f (t)g(t)dt, integriert werden knn. Beispiel 5.. Wir bestimmen eine Stmmfunktion des ntürlichen Logrithmus ln mittels prtieller Integrtion, wobei wir ln ln schreiben und die konstnte Funktion integrieren und den Logrithmus bleiten. Dmit ist ln d ( ln ) b d ( ln ) b d ( ln ) b b. Eine Stmmfunktion ist lso ln.

2 Beispiel 5.3. Eine Stmmfunktion der Sinusfunktion sin ist cos. Um Stmmfunktionen zu sin n zu finden, verwenden wir prtielle Integrtion, um eine rekursive Beziehung zu kleineren Potenzen zu erhlten. Um dies präzise zu mchen, rbeiten wir mit Intervllgrenzen, und zwr sollen die Stmmfunktionen von usgehen, lso für den Wert besitzen. Für n ist mittels prtieller Integrtion sin n t dt sin n t sin t dt sin n t ( cos t)dt sin n t dt sin n t dt sinn t n (sin n t cos t) cos t dt cos t ( n Durch Multipliktion mit n und Umstellen erhält mn n sin n t dt (n ) Speziell ergibt sich für n sin n t dt sin n cos. sin t dt ( sin cos ). Die folgende Drstellung von π heißt Wllissches Produkt. ) sin n t dt. John Wllis (66-73) Korollr 5.4. Es gilt die Drstellung π 4k 4k lim m k m k 4k 4k. Beweis. Wir setzen n π sin n t dt.

3 Dies ist eine fllende Folge, für die ufgrund von Beispiel 5.3 die rekursive Beziehung n n n n und die Anfngsbedingungen π und gelten. Ausgeschrieben bedeutet dies für gerdes n und für ungerdes n n (n )(n 3) 3 n(n ) 4 n (n )(n 3) 4 n(n ) 5 3 Mit n m bzw. n m+ schreibt sich dies ls bzw. ls π m (m )(m 3) 3 m(m ) 4 m+ D die Folge fllend ist und n n+ n+ n+ n n+ gegen. Also ist insbesondere lim m m. π m(m ) 4 (m+)(m ) 5 3. m+ (m )(m 3) 3 m(m ) 4 π gilt, konvergieren die Quotienten lim m m(m ) 4 (m+)(m ) 5 3 (m+)(m ) (m 3) 5 3 lim m π (m(m ) 4 ). Hier knn mn den Zähler, indem mn zwei ufeinnder folgende Fktoren usmultipliziert, ls m k (4k ) und den Nenner ls m k 4k schreiben. Dher ist m k 4k m k (4k ) π. lim m 3 Integrtion der Umkehrfunktion Stz 5.5. Es sei f: [,b] [c,d] eine bijektive differenzierbre Funktion und es sei F eine Stmmfunktionvon f. Dnn ist G(y) : yf (y) F(f (y)) eine Stmmfunktion der Umkehrfunktion f.

4 4 Beweis. Ableiten unter Verwendung von Lemm 8.7 und Stz 8.9 ergibt (yf (y) F(f (y)) f (y)+y f (f (y)) f(f (y)) f (f (y)) f (y). Funktionsgrph mit Umkehrfunktion und Flächen zur Berechnung eines Integrls der Umkehrfunktion. Diese Aussge besitzt einen einfchen geometrischen Hintergrund. Wenn f: [,b] R + eine streng wchsende stetige Funktion ist (und dher eine Bijektion zwischen [, b] und [f(), f(b)] induziert), so besteht zwischen den beteiligten Flächeninhlten der Zusmmenhng bzw. f(b) f() f(s)ds+ f(b) f() f (t)dt bf(b) f() f (t)dt bf(b) f() f(s)ds. Für die Stmmfunktion G von f mit dem Strtpunkt f() gilt dher, wenn F die Stmmfunktion zu f bezeichnet, die Beziehung G(y) y f (t)dt f() f(f (y)) f() f (t)dt f (y)f(f (y)) f() f (y) yf (y) f() F(f (y))+f() yf (y) F(f (y)) f()+f(), wobei f() + F() eine Integrtionskonstnte ist. f(s)ds

5 Beispiel 5.6. Wir berechnen eine Stmmfunktion von rctn unter Verwendung von Stz 5.5. Eine Stmmfunktion des Tngens ist tn t dt ln(cos ). Also ist eine Stmmfunktion von rctn. rctn + ln(cos(rctn )) 5 Die Substitutionsregel Stz 5.7. Sei I ein reelles Intervll und sei eine stetige Funktion. Es sei stetig differenzierbr. Dnn gilt f: I R g: [,b] I f(g(t))g (t)dt g(b) g() f(s)ds. Beweis. Wegen der Stetigkeit von f und der vorusgesetzten stetigen Differenzierbrkeit von g eistieren beide Integrle. Es sei F eine Stmmfunktion von f, die ufgrund von Korollr 4.5 eistiert. Nch der Kettenregel ht die zusmmengesetzte Funktion t F(g(t)) (F g)(t) die Ableitung F (g(t))g (t) f(g(t))g (t). Dher gilt insgesmt g(b) f(g(t))g (t)dt (F g) b F(g(b)) F(g()) F g(b) g() f(s)ds. Beispiel 5.8. Typische Beispiele, wo mn sofort erkennen knn, dss mn die Substitutionsregel nwenden knn, sind beispielsweise g n g g() mit der Stmmfunktion n+ gn+ oder g mit der Stmmfunktion g ln g.

6 6 Häufig liegt ein bestimmtes Integrl nicht in einer Form vor, dss mn die vorstehende Regel direkt nwenden könnte. Häufiger kommt die folgende umgekehrte Vrinte zum Zug. Korollr 5.9. Es sei eine stetige Funktion und es sei f: [,b] R ϕ: [c,d] [,b], s ϕ(s), eine bijektive, stetig differenzierbre Funktion. Dnn gilt Beweis. Nch Stz 5.7 ist ϕ (b) ϕ () f(t)dt f(ϕ(s))ϕ (s)ds ϕ (b) ϕ () f(ϕ(s)) ϕ (s)ds ϕ(ϕ (b)) ϕ(ϕ ()) f(t)dt f(t)dt. Bemerkung 5.. Die Substitution wird folgendermßen ngewendet: Es soll ds Integrl f(t)dt berechnet werden. Mn muss dnn eine Idee hben, dss durch die Substitution t ϕ(s) ds Integrl einfcher wird (und zwr unter Berücksichtigung der Ableitung ϕ (t) und unter der Bedingung, dss die Umkehrfunktion ϕ berechenbr ist). Mit c ϕ () und d ϕ (b) liegt insgesmt die Sitution [c,d] ϕ f [,b] R vor. In vielen Fällen kommt mn mit gewissen Stndrdsubstitutionen weiter. Bei einer Substitution werden drei Opertionen durchgeführt. () Ersetze f(t) durch f(ϕ(s)). () Ersetze dt durch ϕ (s)ds. (3) Ersetze die Integrtionsgrenzen und b durch ϕ () und ϕ (b). Für den zweiten Schritt empfiehlt sich die Merkregel dt dϕ(s) ϕ (s)ds, der mn im Rhmen der Theorie der Differentilformen uch eine inhltliche Bedeutung geben knn.

7 Beispiel 5.. Die obere Kreislinie des Einheitskreises ist die Punktmenge { (,y) +y,, y }. Zugegebenem,,gibtesgenueiny,dsdieseBedingungerfüllt, nämlich y. Dher ist der Flächeninhlt des oberen Einheitskreises gleich der Fläche unter dem Grphen der Funktion über dem Intervll [, ], lso gleich Mit der Substitution d. cos t bzw. t rccos (wobei cos : [,π] [,] bijektiv ist), erhält mn d rccos b rccos rccos b rccos cos t( sin t)dt sin t dt b (sin t cos t t) rccos. Insbesondere ist ( sin (rccos ) rccos ) ( rccos ) eine Stmmfunktion zu. Dher ist d (sin + sin π +π) π/. Beispiel 5.. WirbestimmeneineStmmfunktionvon unterverwendung der Hyperbelfunktionen sinh t und cosh t, für die die Beziehung cosh t sinh t gilt. Die Substitution liefert d cosh t mit d sinh tdt rcosh b rcosh cosh t sinh t dt rcosh b rcosh 7 sinh t dt. Eine Stmmfunktion des Sinus hyperbolicus im Qudrt ergibt sich us ( ) sinh t (et e t ) 4 (et +e t ). Dher ist sinh u du 4 ( eu ) e u u 4 sinh u u

8 8 und somit d 4 sinh( rcosh ) rcosh. Beispiel 5.3. Wir wollen eine Stmmfunktion für die Funktion f() ( cos sin ) bestimmen. Als Vorüberlegung berechnen wir die Ableitung von cos sin. Diese ist cos sin cos sin ( cos sin ) ( cos sin ). Wir schreiben dher f ls ein Produkt f() sin ( cos sin ) sin und wenden druf prtielle Integrtion n, wobei wir den ersten Fktor integrieren und den zweiten Fktor bleiten. Die Ableitung des zweiten Fktors ist Dher ist f()d ( ) sin sin cos sin cos sin sin sin cos cos sin sin d cos sin sin + sin d cos sin sin. cot.

9 Abbildungsverzeichnis Quelle John Wllis.jpg, Autor Benutzer Gene.rboit uf Commons, Lizenz CC-by-s 3. Quelle FunktionUmkehrIntegrlOhne.svg, Autor Jonthn Steinbuch ( Benutzer Jonthn.Steinbuch uf Commons), Lizenz CC-BY-SA