5 Eigenwerte und die Jordansche Normalform

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1 Mathematik für Ingenieure II, SS 9 Freitag 6 $Id: jordantex,v 7 9/6/ :8:5 hk Exp $ 5 Eigenwerte und die Jordansche Normalform 5 Die Jordansche Normalform Nachdem wir bisher das Vorgehen zur Berechnung der Jordanschen Normalform an einigen Beispielen gesehen haben, wollen wir jetzt den Algorithmus im allgemeinen Fall beschreiben Gegeben: Eine komplexe n n Matrix A (die Einträge von A dürfen natürlich auch alle reell sein) Gesucht: Eine Basis u,, u n des C n bezüglich derer A in Jordan Normalform ist, beziehungsweise äquivalent eine invertierbare, komplexe n n Matrix S so, dass S AS in Jordan Normalform ist Die Spalten solch einer Matrix sind gerade die Basis u,, u n und ungekehrt Verfahren: Wir führen die folgenden Rechenschritte durch: () Berechne die verschiedenen komplexen Eigenwerte λ,, λ t von A und ihre algebraischen Vielfachheiten a,, a t Dies kann man beispielsweise durch Berechnung des charakteristischen Polynoms mit anschließender Nullstellensuche tun () Gehe der Reihe nach die Eigenwerte λ = λ i (i =,, t) durch, und führe für jeden von diesen die folgenden Schritte (3) bis (33) durch (3) Bilde die Matrix N = A λ, und führe auf ihr das Gaußsche Eliminationsverfahren mit unbestimmter rechter Seite (y,, y n ) durch (3) Verwende die nicht verschwindenden r oberen Zeilen der in Schritt (3) erhaltenen Stufenform um die allgemeine Lösung der Gleichung Nx = y zu berechnen Die unteren Zeilen bei denen alle Matrixeinträge Null sind und wir nur eine rechte Seite haben werden dabei ignoriert (33) Verwende das Ergebnis von (3) um eine Basis v,, v di des Eigenraums E λ (A) zu berechnen, dieser ist ja der Lösungsraum des homogenen linearen Gleichungssystems Nx = Die Zahl d i ist dabei die geometrische Vielfachheit des Eigenwerts λ = λ i (3) Ist die in (33) berechnete geometrische Vielfachheit d i von λ gleich der algebraischen Vielfachheit a i, so nehme die Vektoren v,, v di als Ergebnis von Schritt (3) 7-

2 Mathematik für Ingenieure II, SS 9 Freitag 6 (35) Andernfalls bilde den Vektor u := t v + + t di v di und bezeichne seine Einträge als y,, y n Setze diese Werte in die rechten Seiten der unteren n r Zeilen der in (3) erhaltenen Stufenform ein Dies gibt ein homogenes lineares Gleichungssystem mit n r Gleichungen für die d i Unbekannten t,, t di (36) Löse das Gleichungssystem aus (35) Ist dann T,, T s eine Basis des Lösungsraums, so bilde für jedes T j = (t,, t n ) den zugehörigen Vektor u j = t v + +t di v di Weiter wähle unter den v,, v di genau l := d i s Vektoren aus, so dass keine von Null verschiedene Linearkombination der ausgewählten Vektoren eine Lösung des Gleichungssystem aus (35) ist Dies ist immer möglich (37) Die in (36) gewählten Vektoren sind dann genau die Basiselemente die den Jordankästchen zum Eigenwert λ entsprechen Die restlichen s Jordankästchen zu λ haben alle eine Größe mindestens Für jedes j s benutze jetzt das Ergebnis von (3) um einen Vektor v j mit Nv j = u j zu berechnen (38) Haben wir jetzt genug Vektoren beisammen, ist also s + l = a i, so füge die Vektoren v, u,, v s, u s zu den in (36) gewählten Vektoren hinzu, und diese alle sind dann das Ergebnis von Schritt (3) (39) Andernfalls bilde wie in (35) den Vektor u := t v + + t s v s und bezeichne seine Einträge als y,, y n Einsetzen in die unteren n r rechten Seiten in (3) gibt ein homogenes lineares Gleichungssystem mit n r Gleichungen für die s Unbekannten t,, t s (3) Löse das Gleichungssystem aus (39) und berechne eine Basis T,, T s seines Lösungsraums Für jedes T j = (t,, t s ) bilde den Vektor u j = t v + + t s v s Weiter wähle unter den Vektoren v,, v s genau l := s s Vektoren aus so, dass keine von Null verschiedene Linearkombination der ausgewählten Vektoren eine Lösung des Gleichungssystems aus (39) ist (3) Für jeden der in (3) gewählten l Vektoren v k füge v k und Nv k zu den bisher in (37) zusammengestellten Basisvektoren hinzu Diese entsprechen dann den l Jordankästchen der Größe Die restlichen s Jordankästchen zu λ haben alle eine Größe mindestens 3 Für jedes j s benutze jetzt das Ergebnis von (3) um einen Vektor v 3j mit Nv 3j = u j zu berechnen (3) Haben wir jetzt genug Vektoren beisammen, ist also 3s + l + l = a i, so füge die Vektoren v 3, u, Nu,, v 3s, u s, Nu s zu den bisher gewählten Basisvektoren hinzu, und dies ist das Ergebnis von Schritt (3) 7-

3 Mathematik für Ingenieure II, SS 9 Freitag 6 (33) Andernfalls wiederhole die Schritte (39) bis (3) entsprechend bis wir a i Vektoren beisammen haben Die in (3) und (3) hinzuzufügenden Ketten werden dabei bei jedem Schritt um eins länger, da wir ja die Basiselemente zu immer größeren Jordankästhen zusammenstellen Die Abbruchbedingung in (3) hat auf Stufe q die Form qs q + (q )l q + + l + l = a i () Fasse alle in Schritt (3) für i =,, t gefundenen Vektoren zu einer Basis zusammen, und ordne diese noch nach Eigenwerten und Größe der jeweiligen Jordankästchen Als ein letztes Beispiel zur Jordanschen Normalform betrachten wir nun die Matrix A := Wir werden hier das obige Verfahren durchführen, und der Deutlichkeit halber immer angeben bei welchem Schritt wir gerade sind Schritt Zuerst müssen wir die Eigenwerte von A und ihre algebraischen Vielfachheiten bestimmen Die Berechnung des charakteristisches Polynom haben wir schon an mehreren Beispielen gesehen so, dass wir diesmal nur das Ergebnis χ A (x) = x 6 x 5 + 6x 6x 3 + x 9x + 6 = (x ) 6 angeben Mit den Bezeichungen des Algorithmus ist also t =, λ = und a = 6 Wir haben also wieder nur Jordankästchen zum Eigenwert λ = Schritt 3 Nun bilden wir wieder die Matrix N := A und führen die Gauß- Elimination mit allgemeiner rechter Seite durch Da wir dies inzwischen oft genug gemacht haben, geben wir hier nur das Ergebnis an: 5 y 3 y 3 y + 3y y + y 3 + y y y 5 y 3 y y 6 + y 3 + y Schritt 3 Wir haben hier r = 3 Zeilen, die nicht nur aus Nullen bestehen Die Lösung 7-3

4 Mathematik für Ingenieure II, SS 9 Freitag 6 des aus den oberen drei Zeilen bestehenden Systems wird x 3 = (y + 3y + x 3x 6 ) = y + 3 y + x 3 x 6, x = (y + x + x 5 x 6 ) = y x x 5 + x 6, x = (y 3 + x + 3x 3 5x + x 5 + x 6 ) = y 3 + y + x + x 5 x 6 3 y 9 y 6x + 9 x 6 + 5x x 5 x 6 = 3 y 5 y y 3 + 3x + x 5 3 x 6 Dabei sind x, x 5, x 6 die frei bleibenden Variablen Schritt 33 Als nächster Schritt wird dann wieder der Eigenraum E (A) bestimmt Dieser ist die Lösungsmenge von Nx = wir müssen also nur y = y = y 3 = y = y 5 = y 6 = in die Formel aus (3) einsetzen, und erhalten die Basis v := 3, v :=, v 3 := Diese drei Vektoren sind dabei gerade durch die Festlegungen x =, x 5 = x 6 = für v, x 5 =, x = x 6 = für v und x 6 =, x = x 5 = für v 3 entstanden Die geometrische Vielfachheit ist hier also d = 3, und wir haben somit drei Jordankästchen Da d = 3 < 6 = a ist, sind wir mit Schritt 3 noch nicht fertig Schritt 35 Als nächstes müssen wir die Vektoren zweiter Stufe berechnen, und bilden den Vektor 3t + t 3t 3 t t + t 3 u := t v + t v + t 3 v 3 = t 3t 3 t t t 3 Setzen wir für y bis y 6 die sechs Einträge dieses Vektors ein, also y = 3t + t 3t 3, y = t t + t 3, y 3 = t 3t 3, y = t, y 5 = t und y 6 = t 3, so wird unsere Stufenform damit zu 5 t 3t 3 t t + t 3 3 t t + 3t 3 t 3 t t + t 3 t 3 t 7-

5 Mathematik für Ingenieure II, SS 9 Freitag 6 Das durch die rechten Seiten der drei unteren Zeilen gegeben homogene lineare Gleichungssystem besteht hier also effektiv nur aus der einen Gleichung t 3 = t da die anderen Zeilen nur Vielfache hiervon sind Schritt 36 Die Dimension des Lösungsraums des homogenen linearen Gleichungssystems aus (35) ist hier also s =, und eine Basis des Lösungsraums bilden die beiden Vektoren T = (,, ) und T = (,, ) Wir haben l = d s = Jordankästchen der Größe Wir müssen also nur einen unter den drei Vektoren v, v, v 3 auswählen Der Vektor v entspricht dabei t =, t = t 3 =, er löst also t 3 = t und darf daher nicht gewählt werden Wir entscheiden uns für den Vektor v Dieser ist also der Basisvektor zu einem Jordan Kästchen, und wir setzen u 6 := v = Wir nennen diesen Basisvektor gleich u 6 um uns das abschließende Sortieren in Schritt () zu sparen Das ist in diesen Rechnungen immer möglich, da man zu jedem Zeitpunkt die Anzahlen der jeweiligen Jordankästchen kennt Schritt 37 Es verbleiben s = Jordankästchen von Größe mindestens Wir bilden jetzt die Vektoren u := v = und u := v v 3 = 6 Die beiden Vektoren zweiter Stufe kriegen wir indem wir die Gleichungen Nv = u und Nv = u lösen Dies geschieht wieder durch Einsetzen in die Lösungsformel aus Schritt 3, und wir notieren hier nur die Ergebnisse v := und v := 5 Die drei freien Parameter x, x 5, x 6 haben wir dabei alle auf Null gesetzt Schritt 38 Es ist jetzt s + l = 5 < 6 = a, wir müssen also noch weiter machen 7-5

6 Mathematik für Ingenieure II, SS 9 Freitag 6 Schritt 39 Wir brauchen noch einen Vektor dritter Stufe, und hierzu setzen wir wieder Einsetzen in die Stufenform gibt u := t v + t v = t t t + 5t t t 5 t t t + 5t 3 9t + t t + t t t t + t Wir haben also erwartungsgemäß eine Bedingung t = t Schritt 3 Der Lösungsraum von t = t hat die Dimension s = mit Basisvektor T = (, ) Damit wird u := v v = Weiter müssen wir l := s s = der Vektoren v, v auswählen, wobei beide Vektoren möglich sind Wir entscheiden uns für v Schritt 3 Mit dem in (3) gewählten Basisvektor können wir nun das Jordan Kästchen angeben Wie oben numerieren wir gleich korrekt und setzen u 5 := v = und u := Nu 5 = Nv = u = Das Kästchen haben wir damit fertig gestellt Es verbleiben s = Kästchen der Größe mindestens 3 Mit der Lösungsformel aus (3) erhalten wir eine Lösung von 7-6 6

7 Mathematik für Ingenieure II, SS 9 Freitag 6 Nv 3 = u als v 3 = Schritt 3 Jetzt ist 3s + l + l = 6 = a, wir sind also am letzten Schritt angekommen Damit können wir die Basis vervollständigen u 3 := v 3 =, u := Nu 3 = Nv 3 = u = und u := Nu = Nu = Nv Nv = u u = Damit ist Schritt (3) abgeschlossen und in Schritt () ist nichts mehr zu tun da wir die Basisvektoren schon passend durchnumeriert haben Insgesamt haben wir damit die gesuchte Basis u, u, u 3, u, u 5, u 6 konstruiert Beispiele in denen mehr als nur ein Eigenwert auftaucht werden als Übungsaufgaben behandelt Diese stellen rechnerisch keinerlei neue Probleme, man führt die obige Rechnung nur so oft durch wie es verschiedene Eigenwerte gibt, und fasst alle erhaltenen Teilbasen in einer Gesamtbasis zusammen Zum Abschluß dieses Abschnitts wollen wir noch eine gelegentlich nützliche Eigenschaft der Eigenwerte einer Matrix festhalten Satz 56 (Summe und Produkt der Eigenwerte) Sei A eine komplexe n n Matrix und bezeichne λ,, λ n seine Eigenwerte, wobei jeder Eigenwert so oft aufgelistet sei wie es seiner algebraischen Vielfachheit entspricht Dann gelten λ + + λ n = tr(a) und λ λ n = det(a) Die Summe aller Eigenwerte ist also die Spur der Matrix und ihr Produkt ist die Determinante der Matrix Für eine Matrix in Jordan Normalform ist dies klar, denn die 7-7

8 Mathematik für Ingenieure II, SS 9 Freitag 6 Spur einer Matrix ist die Summe der Matrixeinträge auf der Diagonalen und bei einer Matrix in Jordan Normalform stehen dort gerade die Eigenwerte λ,, λ n Außerdem ist die Matrix eine obere Dreiecksmatrix, ihre Determinante ist also das Produkt der Diagonaleinträge, also das Produkt der Eigenwerte Für allgemeinere Matrizen sind diese Aussagen weiterhin wahr, aber dies wollen wir nicht weiter begründen 55 Matrixgleichungen und Matrixfunktionen Die Diagonalisierbarkeit einer Matrix erlaubt es viele sonst sehr komplizierte Rechnungen auf viel einfacherere Probleme zurückzuführen Wir wollen dies an einigen Beispielen vorführen Vor einiger Zeit haben wir bereits nachgerechnet, dass die Matrix A = diagonalisierbar ist und die Eigenwerte λ =, λ = und λ 3 = 3 hat Wir hatten auch eine passende Transformationsmatrix S = mit der Inversen S = 5 und S AS = berechnet Wir wollen jetzt die Matrixgleichung 3 6B 5B = 7A nach B auflösen, wir suchen also eine Matrix B die diese Gleichung erfüllt Derartige Matrixgleichung sind, wenn sie überhaupt lösbar sind, so gut wie nie eindeutig lösbar Aber wir wollen auch nicht alle Lösungen B berechnen, wir suchen nur irgendeine passende Matrix Um dies zu tun denken wir uns die Matrix A bezüglich der aus den Spalten von S gebildeten Matrix geschrieben, und bezüglich dieser Basis wird unsere Gleichung zu B 5B = 7 3 = 7 Als Ansatz bietet sich eine Diagonalmatrix x B = y z 7-8

9 Mathematik für Ingenieure II, SS 9 Freitag 6 an Dann wird B 5B = x 5x y 5y z 5z =! 7, und es sind einfach nur drei quadratische Gleichungen zu lösen Dies können wir wie üblich mit der pq-formel tun, und erhalten x =, y = und z = 5 Um das gesuchte B zu erhalten, müssen wir die aus x, y, z gebildete Diagonalmatrix nur noch auf die kanonische Basis des R 3 zurücktransformieren Die Transformationsmatrix hierzu ist S, dh wir haben B = S = 5 S = = In diesem Stil lassen sich Matrixgleichungen für diagonalisierbare Matrizen als rechte Seite sehr häufig über entsprechende Gleichungen für die Eigenwerte lösen Die Lösungen solcher Gleichungen sind in der Regel hochgradig nicht eindeutig, man kriegt also keinesfalls alle Lösungen über diese Methode 7-9