Kapitel 4: Nutzen. moodle.tu-dortmund.de. Wirtschaftstheorie I: Mikroökonomie SoSe 2017, Lars Metzger 1 / 46

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1 Wirtschaftstheorie I: Mikroökonomie SoSe 2017, Lars Metzger 1 / 46 Kapitel 4: Nutzen moodle.tu-dortmund.de

2 Wirtschaftstheorie I: Mikroökonomie SoSe 2017, Lars Metzger 2 / 46 Outline Rangnummern und ordinale Nutzenfunktionen Multiplizität monotone & konvexe Präferenzen Grenzrate der Substitution Eindeutigkeit Verschiedenartige Nutzenfunktionen

3 Wirtschaftstheorie I: Mikroökonomie SoSe 2017, Lars Metzger 3 / 46 Rangnummern und ordinale Nutzenfunktionen Multiplizität monotone & konvexe Präferenzen Grenzrate der Substitution Eindeutigkeit Verschiedenartige Nutzenfunktionen

4 Wirtschaftstheorie I: Mikroökonomie SoSe 2017, Lars Metzger 4 / 46 Henriettes TOP 10: Rangnummern als Nutzenzahlen Henriette hat ihre zehn Lieblingsgerichte aufgeschrieben: Nr. Gericht Nr. Gericht 01 Lasagne 06 Milchreis 02 Pellkartoffeln mit Quark 07 Tortellini mit Erbsen 03 Pizza 08 Käsebrot mit Gurke 04 Penne mit Tomatensoße 09 Kürbis-Möhrensuppe 05 Döner 10 Risotto Wir können an den Rangnummern zweier Gerichte erkennen, was Henriette besser schmeckt: je niedriger die Rangnummer, desto besser das Gericht.

5 Wirtschaftstheorie I: Mikroökonomie SoSe 2017, Lars Metzger 5 / 46 Von Rangzahlen zur Funktion Bei Henriettes TOP 10 galt es endlich viele Alternativen zu ordnen. Für unendlich viele verschiedene Güterbündel bräuchten wir unendlich viele Rangzahlen. Deswegen denieren wir eine Rangfunktion oder auch Nutzenfunktion, welche die ordnende Eigenschaft von Rangzahlen übernehmen soll: u : {Menge aller Alternativen} R. Konvention: ein höherer Nutzenfunktionswert entspricht einer niedrigeren Rangzahl.

6 Wirtschaftstheorie I: Mikroökonomie SoSe 2017, Lars Metzger 6 / 46 Interpretation des Nutzenkonzeptes als Möglichkeit, die Präferenzen zu beschreiben Eine Nutzenfunktion u( ) weist jedem Güterbündel eine Zahl zu. Bessere Güterbündel erhalten höhere Zahlen. u(x) > u(y) x y u(x) = u(y) x y Ordinaler Nutzen: ( relevant für diese Vorlesung) Es zählt nur die Reihenfolge der Güterbündel. Kardinaler Nutzen: ( nicht relevant für diese Vorlesung) Die Nutzendierenz zwischen zwei Güterbündeln ist von Bedeutung.

7 Wirtschaftstheorie I: Mikroökonomie SoSe 2017, Lars Metzger 7 / 46 Existenz einer ordinalen Nutzenfunktion u( ) für (Nur für Leute, denen Mathe wichtig ist.) Falls die Präferenzen rational sind (also vollständig und transitiv), und falls die Mengen { y R 2 + y x } (Bessermenge von x) und { z R 2 + x z } (Schlechtermenge von x) für jedes x abgeschlossen sind, dann existiert für eine stetige ordinale Nutzenfunktion u : R 2 + R.

8 Wirtschaftstheorie I: Mikroökonomie SoSe 2017, Lars Metzger 8 / 46 Rangnummern und Ordinale Nutzenfunktionen Multiplizität monotone & konvexe Präferenzen Grenzrate der Substitution Eindeutigkeit Verschiedenartige Nutzenfunktionen

9 Wirtschaftstheorie I: Mikroökonomie SoSe 2017, Lars Metzger 9 / 46 Beispiel: Nutzenfunktion für Präferenzordnung x y z Gut 2 y Nutzenfunktion: u(x) > u(y) > u(z) x oder u(x) = z u(y) = 2 u(z) = Gut 1 Für die Präferenzordnung gibt es mehrere Nutzenfunktionen!

10 Wirtschaftstheorie I: Mikroökonomie SoSe 2017, Lars Metzger 10 / 46 Multiple Nutzenfunktionen für eine Präferenzordnung Falls u( ) ist eine Nutzenfunktion für die Präferenzen. & Die Funktion f : R R ist streng monoton steigend. Dann f u ist eine Nutzenfunktion für die Präferenzen. Warum? x y u(x) > u(y) f (u(x)) > f (u(y))

11 Wirtschaftstheorie I: Mikroökonomie SoSe 2017, Lars Metzger 11 / 46 Mehrere Nutzenfunktionen für eine Präferenzordnung Falls u( ) eine Nutzenfunktion für die Präferenzen ist, dann repräsentiert jede beliebige streng monoton steigende Transformation von u( ) ebenfalls die Präferenzen. Der Vergleich von Maltes Nutzen aus Güterbündel x mit Biancas Nutzen aus x ist sinnlos! Der Vergleich der Nutzenzuwächse verschiedener Personen ist ebenfalls sinnlos!

12 Wirtschaftstheorie I: Mikroökonomie SoSe 2017, Lars Metzger 12 / 46 Mehrere Nutzenfunktionen für eine Präferenzordnung Generelles Problem von ordinalen Nutzenkonzepten: Kein interpersoneller Nutzenvergleich möglich!

13 Wirtschaftstheorie I: Mikroökonomie SoSe 2017, Lars Metzger 13 / 46 Ordinale Nutzenfunktionen Multiplizität monotone & konvexe Präferenzen Grenzrate der Substitution Eindeutigkeit Verschiedenartige Nutzenfunktionen

14 Wirtschaftstheorie I: Mikroökonomie SoSe 2017, Lars Metzger 14 / 46 Nutzenfunktionen für normale Präferenzen Wie wirken sich die Eigenschaften und Monotonie Konvexität der Präferenzen auf die Eigenschaften von Nutzenfunktionen aus?

15 Wirtschaftstheorie I: Mikroökonomie SoSe 2017, Lars Metzger 15 / 46 Nutzenfunktionen von monotonen Präferenzen schwach monoton (mehr ist nicht schlechter): Falls y 1 > x 1 und y 2 x 2, dann y x. Für die Nutzenfunktion bedeutet dies: Falls y 1 > x 1 und y 2 x 2, dann u(y) u(x).

16 Wirtschaftstheorie I: Mikroökonomie SoSe 2017, Lars Metzger 16 / 46 Nutzenfunktionen von streng monotonen streng monoton (mehr ist besser): Falls y 1 > x 1 und y 2 x 2, dann y x. Für die Nutzenfunktion bedeutet dies: Falls y 1 > x 1 und y 2 x 2, dann u(y) > u(x).

17 Wirtschaftstheorie I: Mikroökonomie SoSe 2017, Lars Metzger 17 / 46 Nutzenfunktionen von konvexen Präferenzen schwach konvex (Mischungen sind nicht schlechter): Falls y x und λ (0, 1), dann λ x + (1 λ) y x. Für die Nutzenfunktion bedeutet dies: Falls y x und λ (0, 1), dann u (λ x + (1 λ) y) u(x) (u( ) ist `quasikonkav').

18 Wirtschaftstheorie I: Mikroökonomie SoSe 2017, Lars Metzger 18 / 46 Nutzenfunktionen von streng konvexen streng konvex (Mischungen sind besser): Falls y x und λ (0, 1), dann λ x + (1 λ) y x. Für die Nutzenfunktion bedeutet dies: Falls y x und λ (0, 1), dann u (λ x + (1 λ) y) > u(x) (u( ) ist `streng quasikonkav')

20 Wirtschaftstheorie I: Mikroökonomie SoSe 2017, Lars Metzger 20 / 46 Grenznutzen Marginal Utility: MU Partielle Ableitung der Nutzenfunktion u( ) Zusätzlicher Nutzen du pro Einheit dx zusätzlichen Konsums: u(x 1, x 2 ) Nutzenfunktion du dx 1 u(x 1,x 2 ) dx1 x 0 1 du dx 1 x 1 Gut 1

21 Wirtschaftstheorie I: Mikroökonomie SoSe 2017, Lars Metzger 21 / 46 Grenznutzen MU von monotonen Präferenzen streng monoton (mehr ist besser): Falls y 1 > x 1 und y 2 x 2, dann y x, dann u(y) > u(x). MU 1 = u(x) x 1 > 0 (analog: MU 2 > 0) schwach monoton (mehr ist nicht schlechter): Falls y 1 > x 1 und y 2 x 2, dann y x, dann u(y) u(x). MU 1 = u(x) x 1 0 (analog: MU 2 0)

22 Wirtschaftstheorie I: Mikroökonomie SoSe 2017, Lars Metzger 22 / 46 Grenznutzen (MU) interpersoneller Vergleich? Der Grenznutzen hängt von der die Präferenzen repräsentierenden Nutzenfunktion ab. Multipliziert man die Nutzenfunktion zum Beispiel mit 2, so multipliziert man auch den Grenznutzen mit 2: v(x) = 2 u(x) v(x) x 1 = 2 u(x) x 1 Der Grenznutzen ist durch die Präferenzen also nicht eindeutig deniert. Kein interpersoneller Grenznutzenvergleich möglich!

23 Wirtschaftstheorie I: Mikroökonomie SoSe 2017, Lars Metzger 23 / 46 Grenzrate der Substitution MRS(x) Die Steigung der Indierenzkurve im Güterbündel x Gut 2 x Steigung: MRS(x) Gut 1

24 Wirtschaftstheorie I: Mikroökonomie SoSe 2017, Lars Metzger 24 / 46 Grenzrate der Substitution MRS und Grenznutzen MU Anwendung von Satz 6.20 MfÖ (implizite Funktionen) Betrachte Indierenzkurve als Funktion x 2 = I (x 1 ): Gut 2 I (x 1 ) Die Steigung der Funktion ist gegeben durch I (x 1) x 1. (Falls es keine Knicke gibt und die Kurve nicht senkrecht verläuft.) u(x 1, x 2 ) = k Gut 1 Entlang der Kurve gilt: u(x 1, I (x 1 )) = k.

25 Wirtschaftstheorie I: Mikroökonomie SoSe 2017, Lars Metzger 25 / 46 Grenzrate der Substitution MRS und Grenznutzen MU Anwendung von Satz 6.20 MfÖ (implizite Funktionen) `Implizite Denition' der Funktion I (x 1 ): u(x 1, I (x 1 )) = k Leite beide Seiten der Gleichung nach x 1 ab: u(x 1, x 2 ) + u(x 1, x 2 ) I (x 1) = 0 x 1 x 2 x 1 x2 =I (x 1 ) I (x 1 ) x 1 = MU 1 MU 2 Steigung der Indierenzkurve!

26 Wirtschaftstheorie I: Mikroökonomie SoSe 2017, Lars Metzger 26 / 46 Grenznutzen (MU) und Grenzrate der Substitution (MRS) Die Grenzrate der Substitution ist also deniert durch MRS = MU 1 MU 2.

28 Wirtschaftstheorie I: Mikroökonomie SoSe 2017, Lars Metzger 28 / 46 Grenznutzen und Gradient Gradient einer Funktion: Vektor der partiellen Ableitungen. Der Gradient gibt die Richtung an, in die sich der Funktionswert am stärksten erhöht. Gradient von u(x 1, x 2 ): ( MU1 MU 2 )

29 Wirtschaftstheorie I: Mikroökonomie SoSe 2017, Lars Metzger 29 / 46 Gradient von perfekten Substituten u(x 1, x 2 ) = x 1 + x 2 MU 1 = 1, MU 2 = 1 v(x 1, x 2 ) = 1 2 (x 1 + x 2 ) MU 1 = 1 2, MU 2 = 1 2 x 2 ( MU1 ) MU 2 1 MU 2 = 1 2 MU 1 = 1 2 ( MU1 MU 2 ) MU 2 = 1 MU 1 = 1 x 1 + x 2 = 1 1 x 1

30 Wirtschaftstheorie I: Mikroökonomie SoSe 2017, Lars Metzger 30 / 46 Präferenzen und Gradient Alle Gradienten verschiedener Nutzenfunktionen für perfekte Substitute zeigen in die gleiche Richtung! Gilt dies grundsätzlich auch für andere Präferenzen? Sei u(x 1, x 2 ) eine Nutzenfunktion für die Präferenzordnung und sei v(x 1, x 2 ) = f (u(x 1, x 2 )) mit f ( ) streng monoton steigend. Gradient von v(x 1, x 2 ): v(x 1,x 2 ) x 1 v(x 1,x 2 ) x 2 = f (u) u u(x 1,x 2 ) x 1 f (u) u u(x 1,x 2 ) x 2 = f (u) u u(x 1,x 2 ) x 1 u(x 1,x 2 ) x 2 }{{} Gradient von u(x 1,x 2 )!

31 Wirtschaftstheorie I: Mikroökonomie SoSe 2017, Lars Metzger 31 / 46 Präferenzen und Gradient Die Gradienten aller Nutzenfunktionen für eine Präferenzordnung zeigen in die gleiche Richtung!... man könnte also im Prinzip die Präferenzen von verschiedenen Personen vergleichen, indem man die Gradienten der Nutzenfunktionen vergleicht...

32 Wirtschaftstheorie I: Mikroökonomie SoSe 2017, Lars Metzger 32 / 46 Grenzrate der Substitution (MRS) und Gradient Für gegebene Präferenzordnung zeigen die Gradienten aller Nutzenfunktionen in die gleiche Richtung: (MU 1, MU 2 ) f (MU 1, MU 2 ) f (MU 1, MU 2 ) Steigung? = Steigung der Indierenzkurve?

33 Wirtschaftstheorie I: Mikroökonomie SoSe 2017, Lars Metzger 33 / 46 Grenzrate der Substition (MRS) Die Steigung der Indierenzkurve: MU 1 MU 2. ( MU1 Ist der Gradient MU 2 Indierenzkurve? ) senkrecht zur Tangente der

34 Wirtschaftstheorie I: Mikroökonomie SoSe 2017, Lars Metzger 34 / 46 Eindeutigkeit der Grenzrate der Substitution MRS Eine Präferenzordnung (ohne Knicke) hat viele Nutzenfunktionen die keinen interpersonellen Vergleich zulassen... aber für jedes Güterbündel x eine einzige MRS. Wir können die MRS als Kriterium bei Tauschentscheidungen zwischen verschiedenen Personen benutzen! Die MRS ist das Bindeglied, wenn es darum geht verschiedene Interessen zu vereinbaren.

36 Wirtschaftstheorie I: Mikroökonomie SoSe 2017, Lars Metzger 36 / 46 Verschiedenartige Nutzenfunktionen Lineare Nutzenfunktion: u(x 1, x 2 ) = a x 1 + b x 2 Leontief Nutzenfunktion: u(x 1, x 2 ) = min{a x 1, b x 2 } Quasilineare Nutzenfunktion: u(x 1, x 2 ) = v(x 1 ) + x 2 Cobb-Douglas-Nutzenfunktion: u(x 1, x 2 ) = x c 1 x d 2 Es gelte a, b, c, d 0, v ( ) > 0 und v ( ) < 0.

37 Wirtschaftstheorie I: Mikroökonomie SoSe 2017, Lars Metzger 37 / 46 Cobb Douglas Nutzenfunktion u(x 1, x 2 ) = x c 1 x d 2 x c 1 x d 2 Gut 2 Gut 1

38 Cobb Douglas Nutzenfunktion u(x 1, x 2 ) = x c 1 x d 2 Zunächst: c = d = 1 u(x 1, x 2 ) = x 1 x 2 x 1 x 2 = ū x 2 = ū x 1 Indierenzkurve: Menge der Güterbündel (x 1, x 2 ), in denen der Nutzen konstant ist. Gut 2 10 u(x 1, x 2 ) = 1 x 2 = 1 x u(x 1, x 2 ) = 6 u(x 1, x 2 ) = 4 u(x 1, x 2 ) = 2 u(x 1, x 2 ) = 1 Gut 1 Wirtschaftstheorie I: Mikroökonomie SoSe 2017, Lars Metzger 38 / 46

39 Wirtschaftstheorie I: Mikroökonomie SoSe 2017, Lars Metzger 39 / 46 Cobb Douglas Nutzenfunktion u(x 1, x 2 ) = x c 1 x d 2 Grenznutzen und Grenzrate der Substitution Grenznutzen: MU 1 = c x c 1 1 x d 2 = c x 1 x c 1 x d 2 MU 2 = d x c 1 x d 1 2 = d x 2 x c 1 x d 2 Grenzrate der Substitution: MRS = c x 1 x c 1 x d 2 d x 2 x c 1 x d 2 = c d x2 x 1

40 Wirtschaftstheorie I: Mikroökonomie SoSe 2017, Lars Metzger 40 / 46 Cobb Douglas Nutzenfunktion u(x 1, x 2 ) = x c 1 x d 2 Grenzrate der Substitution Gut 2 y 2 x 2 x y Steigung: k MRS = c d x2 x 1 = k (konstant) x 2 = k d c x 1 Steigung: k x 1 y 1 Gut 1 Entlang der gepunkteten Linie ist die MRS konstant.

41 Wirtschaftstheorie I: Mikroökonomie SoSe 2017, Lars Metzger 41 / 46 Verschiedenartige Nutzenfunktionen Lineare Nutzenfunktion: u(x 1, x 2 ) = a x 1 + b x 2 Leontief Nutzenfunktion: u(x 1, x 2 ) = min{a x 1, b x 2 } Quasilineare Nutzenfunktion: u(x 1, x 2 ) = v(x 1 ) + x 2 Cobb-Douglas-Nutzenfunktion: u(x 1, x 2 ) = x c 1 x d 2 Es gelte a, b, c, d 0, v ( ) > 0 und v ( ) < 0. Repräsentieren all diese Nutzenfunktionen monotone und konvexe Präferenzen?

42 Wirtschaftstheorie I: Mikroökonomie SoSe 2017, Lars Metzger 42 / 46 Indierenzkurven von konvexen Präferenzen Präferenzen sind konvex, falls die Bessermenge konvex ist. Dies bedeutet, dass auch die Indierenzkurven konvex sind: Gut 2 da I (x 1) x 1 = MRS(x): y I (x 1 ) 2 I (x 1 ) ( x 1 ) 2 = MRS(x) x 1 0! x Indierenzkurve Gut 1

43 Wirtschaftstheorie I: Mikroökonomie SoSe 2017, Lars Metzger 43 / 46 Repräsentiert die Nutzenfunktion konvexe Präferenzen? Mehrere alternative Prüfungswege Analytische Prüfung: Leite I (x 1 ) her und prüfe, ob I (x 1 ) 0. funktioniert nicht bei Leontief Nutzenfunktionen. Rechenweg bei Cobb Douglas Nutzenfunktionen aufwendig. Grasche Prüfung: Zeichne Indierenzkurve und prüfe ob Verbindungslinie zweier indierenter Güterbündel in der Bessermenge liegt. schwierig, falls Indierenzkurven nicht bekannt.

44 Wirtschaftstheorie I: Mikroökonomie SoSe 2017, Lars Metzger 44 / 46 Cobb Douglas Nutzenfunktion u(x 1, x 2 ) = x c 1 x d 2 I (x 1), MRS(x) und Konvexität: analytische Prüfung Steigung der Indierenzkurve für x 2 = I (x 1 ): MRS(x 1, I (x 1 )) = c d I (x 1) x 1 MRS(x) x 1 = c d I (x 1 ) x 1 I (x 1 ) x 2 1 Vorzeichen von I (x 1 ) (Steigung der Indierenzkurve): negativ! MRS(x) x 1 > 0

45 Cobb Douglas Nutzenfunktion u(x 1, x 2 ) = x c 1 x d 2 Grasche Überprüfung der Konvexität der Präferenzen Gut 2 y streng konvex x Gut 1 Wirtschaftstheorie I: Mikroökonomie SoSe 2017, Lars Metzger 45 / 46

46 Wirtschaftstheorie I: Mikroökonomie SoSe 2017, Lars Metzger 46 / 46 Summary Anhand einer Nutzenfunktion können Präferenzen einfach dargestellt werden. Die Zahlen der Funktionswerte haben keine eigene Bedeutung. Es gibt für jede Präferenzordnung viele Nutzenfunktionen ( monotone Transformationen). Die Höhenlinien der Nutzenfunktion entsprechen den Indierenzkurven. Die Steigung der Höhenlinien die MRS kann anhand der Formel ausgerechnet werden. MRS(x 1, x 2 ) = MU 1(x 1, x 2 ) MU 2 (x 1, x 2 ) Die MRS ist eindeutig durch die Präferenzen deniert.