Thermodynamik I PVK - Tag 2. Nicolas Lanzetti

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1 Thermodynamik I PVK - Tag 2 Nicolas Lanzetti Nicolas Lanzetti

2 Heutige Themen Carnot; Wirkungsgrad/Leistungsziffer; Entropie; Erzeugte Entropie; Isentroper Wirkungsgrad; Isentrope Prozesse für ideale Gase. Nicolas Lanzetti

3 Richtung von Prozessen Prozesse laufen spontan nur in einer bestimmten Richtung ab. Nicolas Lanzetti

4 Formulierungen des zweiten Hauptsatz Kelvin-Plank Formulierung: Es ist unmöglich eine Maschine zu bauen, welche in einem thermischen Kreisprozess kontinuierlich Arbeit an die Umgebung abgibt und dabei nur in Kontakt mit einem einzigen Wärmereservoir steht, aus welchem diese Wärme bezieht. Nicolas Lanzetti

5 Formulierungen des zweiten Hauptsatz Clausius Formulierung: Wärme kann nicht von selbst von einem Körper mit tieferer Temperatur auf einen Körper mit höherer Temperatur übertragen werden. Kurz: Wärme kann nicht vollständig in Arbeit umgewandelt werden. Nicolas Lanzetti

6 Reversible und irreversible Reversibel = umkehrbar; Ein Prozess ist reversibel, falls der Ausgangszustand im System und allen Teilen der Umgebung wiederhergestellt werden kann, ohne dass eine Veränderung zürückbleibt. Aber alle reale Prozesse sind irreversibel (Reibung, spontane chemische Reaktion,... ). Irreversibilitäten verursachen Verluste. Nicolas Lanzetti

7 Beispiel: Expansion Nicolas Lanzetti

8 Der Kreisprozess nach Carnot Mit dem 2. Hauptsatz haben wir gesehen, dass Wärme kann nicht vollständig in Arbeit umgewandelt werden (Formulierung von Kelvin-Plank). Die Frage ist also: Welcher Anteil kann maximal in Wärme umgewandelt werden? Antwort: Betrachte den Carnotprozess. Nicolas Lanzetti

9 Der Kreisprozess nach Carnot Der Carnot Prozess ist ein idealisierter reversibler Prozess, der zwischen die Temperaturen T H und T C arbeitet. Nicolas Lanzetti

10 Der Kreisprozess nach Carnot Der Carnot Prozess ist ein idealisierter reversibler Prozess, der zwischen die Temperaturen T H und T C arbeitet. Nicolas Lanzetti

11 Erinnerung: Kreisprozesse p 1 2 p Arbeit 3 4 Arbeit 3 Wärmekraftmaschine: V W KP > 0, Q KP > 0. V Wärmepumpe/Kältemaschine: W KP < 0, Q KP < 0. Nicolas Lanzetti

12 Der thermische Wirkungsgrad (bei Wärmekraft.) Der thermische Wirkungsgrad ist definiert als η th = W KP Q zu = W KP Q H = Q H Q C Q H = 1 Q C Q H. (1) Bei dem Carnot Prozess gilt: Q H Q C = T H T C. (2) Der thermische Wirkungsgrad eines Carnot Prozesses ist somit: η th = 1 T C T H = T H T C T H. (3) Nicolas Lanzetti

13 Die Leistungsziffer (bei Wärmepumpen/Wärmekalt.) Zuerst: Was ist eine Wärmepumpe? Was ist eine Wärmekraftmaschine? Kältemaschine: Nutzen ist dem kalten Reservoir abgefuhrte Warme (z.b. Kühlschrank). Wärmepumpe: Nutzen ist dem warmen Reservoir zugefuhre Wärme (z.b. Heitzung). Nicolas Lanzetti

14 Die Leistungsziffer (bei Wärmepumpen/Kälte.) Der Leistungsziffer ist definiert als: Wärmepumpe: Carnot: Wärmekaltmaschine: ε WP = Q H W KP = ε WP = Q H Q H Q C (4) T H T H T C. (5) Carnot: ε KM = Q C W KP = ε KM = Q C Q H Q C (6) T C T H T C. (7) Nicolas Lanzetti

15 Bemerkungen zu dem Carnot Prozess Es ist unmöglich, Wärme vollständig in Arbeit umzuwandeln. Alle reversible Maschinen, die zwischen T H und T C arbeiten haben denselben Wirkungsgrad. Das ist der theoretische maximale Wirkungsgrad. Der Carnot Prozess sagt also, wie viel Wärme in Arbeit umgewandelt werden kann. Irreversibilitäten verursachen immer eine Verkleinerung ders Wirkungsgrades. Nicolas Lanzetti

16 Die Entropie Die Entropie ist ein Mass für: Irreversibilität; Richtung eines Prozesses. In anderen Worten stellt die Entropie ein Mass für die verlorenen Arbeitsmöglichkeiten einer thermischen Energiemenge dar. Nicolas Lanzetti

17 Die Entropie Die Entropie ist eine Zustandsgrösse. Die Entropie wird S genannt und hat Einheit: [ J K]. Die ist definiert als ds = δq rev T. (8) Analog zu u und h kann man auch die massenspezifische Entropie und die molenspezifische Entropie. Nicolas Lanzetti

18 Das T s Diagramm Nicolas Lanzetti

19 Die T ds Gleichungen Die T ds Gleichungen lauten: T ds = du + p dv, T ds = dh V dp, (9) T ds = du + p dv, T ds = dh v dp, (10) T d s = dū + p d v, T dū = d h v dp. (11) Wichtig: Die T ds Gleichungen werden im Skript (Kapitel ) für einen reversiblen Prozess hergeleitet. Die gelten aber auch für irreversible Prozesse. Nicolas Lanzetti

20 Bestimmen von Entropiedifferenzen Wie bestimmt man S = S 2 S 1 (12) d.h. die Entropiedifferenz zwischen Zustand 1 und 2? Drei Möglichkeiten: Wenn möglich: Tabellen; Ideale Gase: Siehe Formeln (nächste Folie); Mit den T ds Gleichung, aber aufpassen. Nicolas Lanzetti

21 Entropiedifferenzen bei idealen Gasen Im Allgemeien benutzt man auch für ideale Gasen die Tabellen: ( ) s(t 2, p 2 ) s(t 1, p 1 ) = s 0 (T 2 ) s 0 p2 (T 1 ) R ln, (13) p ( 1 ) s(t 2, p 2 ) s(t 1, p 1 ) = s 0 (T 2 ) s 0 p2 (T 1 ) R 0 ln. (14) Bei perfekten Gasen (c p und c v konstant) gilt: ( ) T2 s(t 2, v 2 ) s(t 1, v 1 ) = c v ln + R ln T ( 1 ) T2 s(t 2, p 2 ) s(t 1, p 1 ) = c p ln R ln T 1 p 1 ( ) v2 v ( 1 p2 p 1, (15) ). (16) Achtung: Einheit von R muss mit der Einheit von s 0,c v oder c p übereinstimmen! Nicolas Lanzetti

22 Beispiel mit einer T ds Gleichung Aus T ds = dh v dp (17) folgt T ds = dh v dp. (18) Sind T und v konstant bekommt man T ds = dh v dp (19) T s = h v p. (20) Nicolas Lanzetti

23 Erzeugte Entropie Die erzeugte Entropie S erz ist ein Mass dafür, wie irreversibel/verlustsreich ein Prozess ist. Es gilt S erz 0. (21) Achtung: S erz und S nicht vermischen: S ist eine Zustandsgrösse: Jeder Zustand hat eine Entropie; S erz ist keine Zustandsgrösse: Sie ist mit dem Prozess verbunden! Nicolas Lanzetti

24 Erzeugte Entropie für geschlossene Systeme S erz = S 2 S 1 i Q i T G,i (22) mit T G Temperatur am Systemgrenze. Es gilt: S erz = 0: Q = 0: S 2 S 1 = 0: Reversibel; Adiabat; Isentrop; Kreisprozesse: S 2 S 1 = 0. Adiabat + Reversibel Isentrop. Nicolas Lanzetti

25 Erzeugte Entropie für offene Systeme Ṡ erz = d dt S i Q i T G,i + i mit T G Temperatur am Systemgrenze. Es gilt: Ṡ erz = 0: Reversibel; Q = 0: Adiabat; ṁ i,a s i,a i d dt S = 0: Stationär. Spezialfall: Stationär mit einem Massenstrom: ṁ i,e s i,e (23) Ṡ erz = i Q i T G,i + ṁ (s a s e ). (24) Nicolas Lanzetti

26 Erzeugte Entropie für halboffene Systeme S erz = S 2 S 1 i Q i T G,i + i m i,a s i,a i m i,e s i,e (25) mit T G Temperatur am Systemgrenze. Es gilt: S erz = 0: Q = 0: S 2 S 1 = 0: Reversibel; Adiabat; Isentrop. Spezialfall: Stationär mit einem Massenstrom: Ṡ erz = i Q i T G,i + ṁ (s a s e ). (26) Nicolas Lanzetti

27 Aufgabe (Sommer 09, Aufgabe 4) Nicolas Lanzetti

28 Aufgabe (Sommer 10, Aufgabe 2) Nicolas Lanzetti

29 Isentroper Wirkungsgrad Der isentrope Wirkungsgrad vergleicht die reale Leistungsfähigkeit eines Elements (Turbine, Pumpe,... ) zur Leistungsfähigkeit desselben Elements, falls es ideal/verlustfrei (bei den selben Einund Austrittsbedingungen) arbeiten würde. Nicolas Lanzetti

30 Isentroper Wirkungsgrad einer Turbine Für eine stationäre und adiabate Turbine gilt: Ẇ = ṁ (h 2 h 1 ), Ṡ erz = ṁ (s 2 s 1 ). (27) Nicolas Lanzetti

31 Isentroper Wirkungsgrad einer Turbine Ideale Turbine: Reale Turbine: s 1 = s 2 Ẇ rev = ṁ (h 2,s h 1 ). (28) s 2 > s 1 Ẇ = ṁ (h 2 h 1 ). (29) Da h 2,s > h 2 ist (wie erwartet) W rev = W max > W. (30) Der isentrope Wirkungsgrad für eine Turbine ist also definiert als η T,s = Ẇ Ẇ rev = h 2 h 1 h 2,s h 1. (31) Nicolas Lanzetti

32 Isentroper Wirkungsgrad eines Kompressors Für eine stationäre und adiabate Turbine gilt: Ẇ = ṁ (h 2 h 1 ), Ṡ erz = ṁ (s 2 s 1 ). (32) Nicolas Lanzetti

33 Isentroper Wirkungsgrad eines Kompressors Idealer Kompressor: s 1 = s 2 Ẇ rev = ṁ (h 2,s h 1 ). (33) Realer Kompressor: s 2 > s 1 Ẇ = ṁ (h 2 h 1 ). (34) Jetzt ist h 2 > h 2,s, also ist Ẇ > W rev = W min. (35) Der isentrope Wirkungsgrad eines Kompressors ist also definiert als η K,s = Ẇrev Ẇ = h 2,s h 1 h 2 h 1. (36) Nicolas Lanzetti

34 Düsenwirkungsgrad Analog zu der Turbine und dem Kompressor kann man auch den Wirkungsgrad einer (adiabaten) Düse definieren: η D,s = w 2 wmax 2 = h 2 h 1, h 2,s h 1 (37) wobei w eine Geschwindigkeit ist. Nicolas Lanzetti

35 Aufgabe (Winter 11, Aufgabe 2) Nicolas Lanzetti

36 Isentrope Prozesse für ideale Gase Polytrope Zustandsänderung: Bei isentropen Prozessen gilt: κ wird auch Isentropenkoeffizient genannt. Es gilt (nur bei idealen Gasen): p V n = konst. (38) n = κ = c p c v, (39) Isentrop Adiabat + Reversibel. Nicolas Lanzetti

37 Isentrope Prozesse für ideale Gase Die Entropieänderung eines idealen Gases ist gegeben durch ( ) s = s2 0 s1 0 p2 R ln. (40) p 1 Für isentrope Prozesse ist s = 0, d.h. s 0 2 s 0 1 = R ln ( ) p2 p 1 (41) und, nach p 2 p 1 aufgelöst, ( p 2 s 0 = exp 2 s 0 ) 1 = exp(s0 2 /R) p 1 R exp(s1 0/R) = p r2. (42) p r1 Nicolas Lanzetti

38 Isentrope Prozesse für ideale Gase Analog kann man auch eine Formel für die Volumina herleiten: v 2 v 1 = v r2 v r1. (43) Wichtig: p r und v r sind nur für die Luft tabelliert (A-22). Also wenn der v 2 v 1, v r1 bekannt sind und der Prozess isentrop ist, kann man v r2 bestimmen, und daraus (Tabelle A-22) alle Zustandsgrössen (h, T, u, p r ). Nicolas Lanzetti

39 Isentrope Prozesse für ideale Gase Nicolas Lanzetti

40 Isentrope Prozesse für perfekte Gase Was passiert wenn das Gas konstante c p und c v hat? s = c p ln ( T2 T 1 ) R ln ( ) p2 p 1 (44) Für isentrope Prozesse ( s = 0, c p = R κ κ 1 ) gilt: ( ) κ R κ 1 ln T2 R ln T 1 ( ) p2 bekommt man nicht anders als die isentrope Beziehung: T 2 T 1 = ( p2 p 1 p 1 = 0 (45) ) κ 1 κ. (46) Nicolas Lanzetti

41 Isentrope Prozesse für perfekte Gase Was passiert wenn das Gas konstante c p und c v hat? s = c v ln ( T2 T 1 ) + R ln ( ) v2 v 1 (47) Für isentrope Prozesse ( s = 0, c v = R κ 1 ) gilt: ( ) ( ) R κ 1 ln T2 v2 + R ln = 0 (48) T 1 v 1 bekommt man nicht anders als die isentrope Beziehung: T 2 T 1 = ( v1 v 2 ) κ 1. (49) Nicolas Lanzetti

42 Aufgabe (Serie 10, Aufgabe 4) Nicolas Lanzetti

43 Aufgabe (Klausur 13, Aufgabe 1) Nicolas Lanzetti

44 Aufgabe (Klausur 15, Aufgabe 2) Nicolas Lanzetti

45 Aufgabe (Serie 11, Aufgabe 2) Nicolas Lanzetti

46 Fragen? Nicolas Lanzetti