4.1 Dezimalzahlen und Intervallschachtelungen. a) Reelle Zahlen werden meist als Dezimalzahlen dargestellt, etwa
|
|
- Kristina Fuhrmann
- vor 6 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 20 I. Zahle, Kovergez ud Stetigkeit 4 Kovergete Folge 4. Dezimalzahle ud Itervallschachteluge. a) Reelle Zahle werde meist als Dezimalzahle dargestellt, etwa 7,304 = Edliche Dezimalzahle sid ur solche Zahle, die als Bruch mit eier Zeherpotez im Neer geschriebe werde köe. Dies trifft etwa auf die ratioalezahl 3 icht zu; die Etwicklug = 0, = 0, 3 () 3 bedeutet, daß für alle N gilt 0, < 0, ( Ziffer). (2) Mit J := [0,3...33,0,3...34] ( Ziffer) gilt also = J = { 3 }. b) Nach dem Satz des Pythagoras sollte x R mit x > 0 ud x 2 = 2 existiere (vgl..8). Ma hat 2 < 2 < 2 2 x [,2].4 2 < 2 <.5 2 x [.4,.5].4 2 < 2 <.42 2 x [.4,.42].44 2 < 2 <.45 2 x [.44,.45] usw. Wie i a) erhält ma eie Folge kompakter Itervalle mit J J 2... J J +... mit J = 0 ud x = J, eie Itervallschachtelug für x. Die Existez vo x = 2 ergibt sich u aus dem folgede Axiom für R, das die Vollstädigkeit oder Lückelosigkeit der Zahlegerade präzisiert: 4.2 Axiom I (Itervallschachtelugsprizip). Es sei (J := [a,b ]) eie Folge kompakter Itervalle mit J J 2... J J (3) Da existiert eie Zahl x R mit x J für alle N. 4.3 Nullfolge. a) Für eie Itervallschachtelug (3) bilde die Itervalläge l := J eie mooto fallede Folge. Gibt es u zwei verschiedee Zahle im Durchschitt der Itervalle J, etwa x < y, so gilt mit ε := y x > 0 die Aussage ε > 0 N : l ε. (4) Die Negatio (5) vo (4) impliziert also, daß es geau eie Zahl im Durchschitt der Itervalle J gibt:
2 4 Kovergete Folge 2 b) Eie mooto fallede Folge (l ) R positiver Zahle heißt Nullfolge, falls folgedes gilt: ε > 0 N : l < ε. (5) c) Bedigug (5) bedeutet also, daß es zu jeder och so kleie, aber positive Zahl ε > 0 eie Idex N gibt, für de 0 l < ε ist. Wege der Mootoie der Folge gilt da sogar 0 l k < ε für alle Idizes k. d) Für eie beliebige Folge (a ) positiver Zahle muß diese Eigeschaft eifach zusätzlich gefordert werde: ε > 0 0 N 0 : a < ε. e) Eie Folge (a ) i R, die positive ud egative Werte aehme ka, heißt Nullfolge, falls ( a ) eie Nullfolge ist, falls also gilt: ε > 0 0 N 0 : a < ε. (6) f) Schließlich heißt eie Folge (a ) i R koverget gege eie Grezwert oder Limes a R, falls (a a) eie Nullfolge ist: 4.4 Defiitio. Eie Folge (a ) i R heißt koverget gege eie Grezwert oder Limes a R, falls folgedes gilt: ε > 0 0 N 0 : a a < ε. (7) Ma schreibt a = lim a oder a a. Nicht kovergete Folge heiße diverget. 4.5 Beispiele ud Bemerkuge. a) Die Kovergez a a bedeutet also, daß für jedes gegebee ε > 0 ab eiem gewisse Idex 0 N alle Folgeglieder i dem Itervall mit Läge 2ε um a liege müsse. Der Idex 0 = 0 (ε) N hägt atürlich vo ε (ud vo der Folge) ab. b) Die Folge (( ) ) ist diverget: Für jedes a R gilt ja a ( ) für alle gerade oder für alle ugerade. 4.6 Das Axiom des Archimedes. Als erstes Beispiel für Kovergez bietet sich atürlich 0 a. Da diese Folge mooto fällt, bedeutet dies ach (5) ε > 0 N : < ε oder, mit C = ε, C > 0 N : > C. Es gilt also 0 geau da, we N ubeschräkt ist. Sicher hat N keie obere Schrake i Q, doch läßt sich mit Hilfe der bisherige Axiome icht beweise, daß es auch i R keie solche obere Schrake gibt. Es wird daher das Axiom des Archimedes postuliert: Axiom A N ist ubeschräkt. Damit ist da also ( ) wirklich eie Nullfolge.
3 22 I. Zahle, Kovergez ud Stetigkeit 4.7 Feststellug. E seie a R sowie (a ) ud (b ) Folge i R mit C > 0 N : a a C b. (8) Aus b 0 folgt da a a. Beweis. Zu ε > 0 gibt es 0 N mit 0 b < ε C für 0. Da folgt sofort a a C b < ε für diese. 4.8 Wurzel. a) Es sei c > 0 gegebe. Wie i 4.b) fidet ma eie Folge kompakter Itervalle J = [a,b ] mit a 2 c b 2 ud J = 0 J 0 C 0 (vgl. 3.2f)). Nach Axiom I ud 4.3a) gibt es geau eie Zahl x J. b) Auch die Itervalle I := [a 2,b2 ] bilde eie Itervallschachtelug, ud offebar liege sowohl x 2 wie auch c im Durchschitt aller I. Wege b 2 a 2 = (b +a )(b a ) 2b J gilt auch I 0. Folglich ka ur eie Zahl im Durchschitt aller I liege, ud das impliziert u x 2 = c. Somit gilt: c) Zu jeder reelle Zahl c 0 gibt es eie eideutig bestimmte Zahl x 0 mit x 2 = c. Diese heißt Quadratwurzel, kurz Wurzel vo c, Notatio: x = c. d) Die Eideutigkeit folgt sofort aus der strege Mootoie der Potezfuktio p 2 : [0, ) [0, ). Diese ist also bijektiv. Ihre Umkehrfuktio ist die auf [0, ) defiierte Wurzelfuktio w 2 : x x. Nach Satz 3.6b) ist auch die Wurzelfuktio streg mooto wachsed. e) Aalog zu a)-d) ka ma auch m-te Wurzel für alle m N kostruiere, vgl. dazu auch Aussage über kovergete Folge. a) Eie Folge (a ) i R hat höchstes eie Limes, Grezwerte sid stets eideutig bestimmt. b) Kovergete Folgea a sid beschräkt. DieUmkehrug gilt atürlich icht, wie etwa das Beispiel (a ) = (( ) ) zeigt. c) Aus a a ud b b folgt stets auch a +b a+b ud a b a b. Ist b 0, so gilt auch b 0 für große, ud ma hat a b a b. d) Aus a a folgt stets auch a a. e) Aus 0 a a folgt stets auch a a. f) Es seie (a ), (b ) Folge mit a b ab eiem 0 N. Aus a a ud b b folgt da a b. Das Beispiel a := < b := + zeigt, daß diese Aussage für < icht richtig ist. 4.0 Beispiele.a)Fürq R betrachtewirdiefolge(q ). Fürq = giltq, für q = ist (q ) = (( ) ) diverget. Für q > schreibt ma q = +h mit h > 0. Es folgt q = q +h ach der Beroullische Ugleichug; (q ) ist also ubeschräkt ud somit diverget. b) Für q < ist, wiederum ach der Beroullische Ugleichug, die Folge( q ) beschräkt (vgl. Beispiel 3.2f)). Ma hat also q C, ud ach Axiom A ud =
4 4 Kovergete Folge ist (q ) eie Nullfolge. c) Allgemeier wird u gezeigt (vgl. [K], 5.7 für eie adere Beweis): k N 0 q (,) : lim k q = 0. (9) Ma hat = +h mit h > 0. Für 2k + gilt die Abschätzug q ) h k+ = ( ) ( k) ud daraus folgt (+h) ( k+ (k+)! h k+ ( hk+ )k+, 2 (k+)! k q = k (+h) 2k+ (k +)! h k+ 0 für. d) Für alle a R gilt lim ud erhält für alle > l: a a! = a a 2 a l! = 0. Zum Beweis wählt ma l N mit l a a l+ a l+2 e) Wege 4.9e) folgt aus 0 auch 0. a a l l! a 0. f) Zur Berechug eies Grezwertes vo Brüche kürzt ma durch de am schellste gege strebede Term: = = ( 2 3) = 3 7, si+5! = (7 ) si+5! = 0. = 0, g) ImFalla = b = 0 kakeie allgemeie Aussage über dasverhalteder Quotiete a / b gemacht werde. Als Beispiel diee etwa b = / 2 0. Für a = / 3 gilt a /b = / 0, für a = c / 2 gilt a /b = c c, ud für a = / ist ( a / b = ) diverget. h) Ma hat = = 2. i) Die Folge (a = ) ist ubeschräkt. Trotzdem gilt für die Differeze der Folgeglieder 0 a + a = + = (+) j) = = = k) Die Folge (si) ist beschräkt ud oszilliert zwische ud i uübersichtlicher Weise. Ma ka zeige, daß die Folgeglieder jeder Zahl x [, ] beliebig ahe komme, d.h. zu jeder Zahl x [,] ud ε > 0 gibt es N mit x si < ε (vgl. dazu [K], Satz 7.5*).
5 24 I. Zahle, Kovergez ud Stetigkeit Aussage (9) bedeutet, daß für jede Zahl a > ud jede Potez k N die Folge (a ) scheller gege strebt als die Folge ( k ) ; i der Tat gilt ja k 0. Nach a 4.0d) strebt die Folge (!) och scheller gege. Die soebe verwedete bequeme Sprechweise für gewisse divergete Folge präzisiere wir so: 4. Defiitio. a) Eie Folge (a ) R strebt gege +, falls a > 0 ab eiem 0 N ist ud a 0 gilt. Ist dies der Fall, so schreibe wir a +. b) Eie Folge (a ) R strebt gege, Notatio a, falls die Folge ( a ) gege + strebt. 4.2 Die Symbole ± sid keie reelle Zahle. Machmal ist es jedoch bequem, R durch sie zur Mege R := R {+, } (0) zu erweiter. Da solle eiige eileuchtede Regel gelte, etwa x < x < +, x± = ±, = 0 für x R, ± x ± = ± für x > 0, x ± = für x < 0. Ma beachte, daß eiige Ausdrücke, wie etwa 0,, oder icht defiiert sid. 4.3 Wachstumsgeschwidigkeit vo Folge. Es ist für die Aalysis sehr wichtig, die Wachstumsgeschwidigkeit vo Folge a + zu erfasse. Eie Folge (b ) strebt scheller gege + als (a ), falls a b 0 gilt. I der folgede Liste strebt jede Folge scheller ach + als die vorhergehede: a) ( k ), k N; b) (a ), a > ; c) (!); d) ( ); e) 2 2. Die beide erste Behauptuge gelte ach 4.0. Weiter hat ma offebar! = 2 0 sowie = ( ) ach (9) Satz. Mootoe beschräkte Folge sid koverget. Der etwas techische Beweis basiert auf de Axiome A ud I (vgl. [K], 6.2). Es ist leicht eizusehe, daß auch umgekehrt Theorem 4.4 diese Axiome impliziert. A Stelle der Axiome A ud I ka ma also auch Satz 4.4 als Formulierug der Vollstädigkeit vo R betrachte. 4.5 Uedliche Reihe. a) Wege 4.9c) ud 4.0b) ergibt sich aus der geometrische Summeformel (2.5) die wichtige Aussage q k := lim k=0 k=0 q k q + = lim q =, q <. () q Die Aufsummierug uedlich vieler positiver Zahle liefert hier also eie edliche Wert, die Summe der geometrische Reihe q k. k=0
6 4 Kovergete Folge 25 b) Für eie Folge (a k ) i R betrachtet ma die uedliche Reihe, kurz: Reihe a k = a +a 2 +a 3 +. (2) k Diese heißt koverget, falls die Folge der Partialsumme (s := a k ) kovergiert. I diesem Fall heißt k= a k := s := lim s (3) die Summe der Reihe. Nicht kovergete Reihe heiße diverget. c) Offebar gilt s s = a, (mit s 0 := 0). (4) Somit ka jede Folge (s ) als Folge der Partialsumme eier Reihe aufgefaßt werde; dazu muß ma ur (a ) gemäß (4) defiiere. d) Ist die Reihe a k koverget, so folgt mit (4) sofort k a = s s s s = 0. (5) Es ist also a k 0 eie otwedige Bedigug für die Kovergez der Reihe. e) Diese Bedigug ist jedoch icht hireiched: Die harmoische Reihe diverget, obwohl k k= 0 gilt. Dies ergibt sich aus der Abschätzug k= k ist k + m für 2 m. (6) k 2 f) Dagege hat ma für alle N die Abschätzug k= k 2 2; (7) ach Satz 4.4 ist daher die Reihe k koverget. k 2 g) Die Etwicklug () = 0, = 0, 3 bedeutet = 3 0 k ; all- 3 3 gemeier bedeutet eie Dezimaletwicklug x = x 0, x x 2 x m mit Ziffer x k {0,,...,9} gerade x = x k 0 m k. (8) k=0 Die Kovergez eier solche Reihe ergibt sich aus a) ud Satz Das babyloische Wurzelziehe. a) Es folgt ei schell kovergetes Verfahre zur Berechug vo Quadratwurzel, das Hero-Verfahre oder Babyloische Wurzelziehe. Dieses ka geometrisch motiviert werde: b) Zu a > 0 wird ei Quadrat mit Seiteläge x > 0 ud Flächeihalt x 2 = a gesucht. Ma startet mit eiem Rechteck R 0 mit Flächeihalt a ud Seiteläge x 0 > 0 ud y 0 = a x 0. Die Seiteläge des gesuchte Quadrats ist das geometrische k=
7 26 I. Zahle, Kovergez ud Stetigkeit Mittel x 0 y 0 = a = x vo x 0 ud y 0. Da ma dieses icht (ohe weiteres) bereche ka, berechet ma statt desse das arithmetische Mittel x = 2 (x 0+y 0 ) vo x 0 ud y 0 ud damit das Rechteck R mit de Seiteläge x ud y = a x. c) Nu hofft ma, daß R eie bessere Aäherug a das gesuchte Quadrat ist als R 0. Dies ist i der Tat der Fall, ud die Iteratio der Methode aus b) führt zum Hero-Verfahre. Das geometrische Mittel ist höchstes so groß wie das arithmetische Mittel: 4.7 Feststellug. Für x,y 0 gilt xy 2 (x+y). Beweis. Aus 0 (x y) 2 = x 2 2xy + y 2 ergibt sich durch Additio vo 4xy sofort 4xy x 2 +2xy +y 2 = (x+y) 2 ud somit xy ( 2 (x+y)) 2. (9) Der Beweis (vgl. [K], 6.5) des folgede Satzes über das Hero-Verfahre liefert auch eie vo 4.8 uabhägige Beweis für die Existez der Quadratwurzel positiver Zahle, da die Ugleichug i Feststellug 4.7 zwische arithmetischem ud geometrischem Mittel ur i der Form (9) verwedet wird. 4.8 Satz. Es sei a > 0 gegebe. Für eie beliebige Startwert x 0 > 0 wird durch x + := (x + a ) (20) 2 x rekursiv eie Folge (x ) i (0, ) defiiert. Die Folge (x ) N ist mooto falled, ud für de Grezwert x := lim x gilt x 2 = a. 4.9 Quadratische Kovergez. Die i (20) defiierte Folge (x ) kovergiert sehr schell gege a. Für a = 2 etwa ergebe sich folgede Werte mit dem Startwert x 0 = 2: x,5 2, , , , , Ma erhält mit jedem Iteratiosschritt etwa doppelt soviele gültige Stelle wie zuvor, d.h. der Fehler d := x a fällt quadratisch. Dies läßt sich auch allgemei beweise: d + = (x + a ) a = ( ) x 2 2 x 2x +a 2x a = ( x a ) 2 2x 2 ( x a ) 2, also a d + 2 a d2. (2)
8 4 Kovergete Folge 27 Ma spricht vo quadratischer Kovergez. Für a (aderfalls berechet ma zuerst / a ) fällt der Fehler sehr schell gege 0, sobald d < erreicht ist (dies ist um so eher der Fall, je äher der Startwert a a lag). Da x 0 > 0 beliebig wählbar ist, spiele evetuelle Rudugsfehler (vgl. Abschitt 9) bei der Rechug keie Rolle. Ist a Q ud wählt ma x 0 Q, so gilt auch x Q für alle N, d. h. ma ka ratioal reche. Aufgabe:. Ist die Reihe k k koverget? k 2. Versuche Sie, das babyloische Wurzelziehe auf die Berechug dritter Wurzel zu erweiter.
Methoden: Heron-Verfahren, Erweiterung von Differenzen von Quadratwurzeln
6 Kovergete Folge Lerziele: Kozepte: Grezwertbegriff bei Folge, Wachstumsgeschwidigkeit vo Folge Resultat: Mootoe beschräkte Folge sid koverget. Methode: Hero-Verfahre, Erweiterug vo Differeze vo Quadratwurzel
Mehr4 Konvergenz von Folgen
4 Kovergez vo Folge Defiitio 4.. Sei M eie Mege. Ist 0 Z ud für jedes Z mit 0 ei a M gegebe, so et ma die Abbildug { Z; 0 } M, a eie Folge i M. Abkürzed schreibt ma für eie solche Abbildug auch a ) 0 oder
MehrZahlenfolgen und Konvergenzkriterien
www.mathematik-etz.de Copyright, Page of 7 Zahlefolge ud Kovergezkriterie Defiitio: (Zahle-Folge, Grezwert) Eie Folge ist eie Abbildug der atürliche Zahle i die Mege A. Es ist also im Fall A: ; f: mit
Mehr6. Übungsblatt Aufgaben mit Lösungen + Selbsttest-Auflösung
6. Übugsblatt Aufgabe mit Lösuge + Selbsttest-Auflösug Aufgabe 6: Utersuche Sie die Folge, dere Glieder ute für N agegebe sid, auf Beschräktheit, Mootoie ud Kovergez bzw. Beschräktheit, Mootoie ud Kovergez
MehrKlausur 1 über Folgen
www.mathe-aufgabe.com Klausur über Folge Hiweis: Der GTR darf für alle Aufgabe eigesetzt werde. Aufgabe : Bestimme eie explizite ud eie rekursive Darstellug! a) für eie arithmetische Folge mit a = 6, ;
MehrDie erste Zeile ("Nummerierung") denkt man sich also dazu. Häufig wird eine Indexschreibweise benutzt um ein Folgenglied zu kennzeichnen.
Folge ud Reihe (Izwische Stoff der Hochschule. ) Stad: 30.03.205. Folge Was sid Zahlefolge? Z.B. oder Das ist die vereifachte Wertetabelle eier Fuktio geschriebe wie üblich bei Fuktioe i eier Wertetabelle.
Mehr1. Zahlenfolgen und Reihen
. Zahlefolge ud Reihe We ma eie edliche Mege vo Zahle hat, ka ma diese i eier bestimmte Reihefolge durchummeriere: {a,a 2,...,a }. Ma spricht vo eier edliche Zahlefolge. Fügt ma immer mehr Zahle hizu,
MehrZahlenfolgen, Grenzwerte und Zahlenreihen
KAPITEL 5 Zahlefolge, Grezwerte ud Zahlereihe. Folge Defiitio 5.. Uter eier Folge reeller Zahle (oder eier reelle Zahlefolge) versteht ma eie auf N 0 erlarte reellwertige Futio, die jedem N 0 ei a R zuordet:
MehrTECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN
TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Zetrum Mathematik PROF. DR.DR. JÜRGEN RICHTER-GEBERT, VANESSA KRUMMECK, MICHAEL PRÄHOFER Höhere Mathematik für Iformatiker II (Sommersemester 004 Lösuge zu Aufgabeblatt 7
Mehr6. Folgen und Grenzwerte
56 Adreas Gathma 6. Folge ud Grezwerte Wie scho am Ede des letzte Kapitels ageküdigt wolle wir u zur eigetliche Aalysis, also zur lokale Utersuchug vo Fuktioe komme. Der zetrale Begriff ist dabei der des
Mehr2 Vollständige Induktion
8 I. Zahle, Kovergez ud Stetigkeit Vollstädige Iduktio Aufgabe: 1. Bereche Sie 1+3, 1+3+5 ud 1+3+5+7, leite Sie eie allgemeie Formel für 1+3+ +( 3)+( 1) her ud versuche Sie, diese zu beweise.. Eizu5% ZiseproJahragelegtes
Mehr1 Lösungen zu Analysis 1/ 12.Übung
Lösuge ausgewählter Beispiele zu Aalysis I, G. Bergauer, Seite Lösuge zu Aalysis / 2.Übug. Eileitug Gleichmäßige Kovergez ist eie starke Eigeschaft eier Fuktioefolge. Formuliert ma sie für Netze, statt
Mehr5.7. Aufgaben zu Folgen
5.7. Aufgabe zu Folge Aufgabe : Lieares ud beschräktes Wachstum Aus eiem Quadrat mit der Seiteläge dm gehe auf die rechts agedeutete Weise eue Figure hervor. Die im -te Schritt agefügte Quadrate sid jeweils
MehrAufgaben zu Kapitel 8
Aufgabe zu Kapitel 8 Aufgabe zu Kapitel 8 Verstädisfrage Aufgabe 8. Ist es möglich, eie divergete Reihe der Form a zu kostruiere, wobei alle a > 0 sid ud a 0 gilt. Beispiel oder Gegebeweis agebe. Aufgabe
Mehr6 Folgen. 6.4 Folgen reeller Zahlen. Mathematik für Informatiker B, SS 2012 Dienstag 5.6. $Id: folgen.tex,v /06/05 11:12:18 hk Exp $
Mathematik für Iformatiker B, SS 0 Diestag 5.6 $Id: folge.tex,v. 0/06/05 ::8 hk Exp $ 6 Folge 6.4 Folge reeller Zahle I der letzte Sitzug habe wir de Begriff des Grezwerts eier Folge i eiem metrische Raum
MehrAufgaben zur Analysis I
Aufgabe zur Aalysis I Es werde folgede Theme behadelt:. Logik, Iduktio, Mege, Abbilduge 2. Supremum, Ifimum 3. Folge, Fuktioefolge 4. Reihe, Potezreihe 5. Mootoie ud Stetigkeit 6. Differetialrechug 7.
MehrHöhere Mathematik für technische Studiengänge Vorbereitungsaufgaben für die Übungen. Reihen reeller Zahlen
Höhere Mathematik für techische Studiegäge Vorereitugsaufgae für die Üuge Reihe reeller Zahle. Utersuche Sie die folgede Reihe mit Hilfe geeigeter Kovergezkriterie otwediges Kovergezkriterium, Quotiete-,
Mehrα : { n Z n l } n a n IR
1 KAPITEL VI. ZAHLENFOLGEN UND REIHEN 1) REELLE ZAHLENFOLGEN: i) Jede Abbildug α : IN a IR heiÿt 'reelle Zahlefolge' bzw. 'Folge i IR'. Ma otiert diese i der Form α = a ) IN = a ) =0 = a 0, a 1, a 2,...)
MehrFolgen und Reihen Glege 03/01
Folge ud Reihe Glege 03/0 I diesem Script werde folgede Theme behadelt: Folge (Eiführug)... Arithmetische Folge... Geometrische Folge...3 Mootoie...4 Kovergez...5 Grezwert...6 Schrake...7 Arithmetische
MehrNennenswertes zur Stetigkeit
Neeswertes zur Stetigkeit.) Puktweise Stetigkeit: Vo Floria Modler Defiitio der pukteweise Stetigkeit: Eie Fuktio f : D R ist geau da i x D stetig, we gilt: ε > δ >, so dass f ( x) f ( x ) < ε x D mit
Mehr1 Funktionen und Flächen
Fuktioe ud Fläche. Fläche Defiitio: Die Ebee R ist defiiert als Mege aller geordete Paare vo reelle Zahle: R = {(,, R} Der erste Eitrag heißt da auch Koordiate ud der zweite Koordiate. Für zwei Pukte (,,
MehrEinführung in die Grenzwerte
Eiführug i die Grezwerte Dieser Text folgt hauptsächlich der Notwedigkeit i sehr kurzer Zeit eie Idee ud Teile ihrer Awedug zu präsetiere, so dass relativ schell mit dieser Idee gerechet werde ka. Der
Mehr3 Konvergenz, Folgen und Reihen
3 Kovergez, Folge ud Reihe Für die Eiführug der reelle Zahle ware Cauchy-Folge vo ratioale Zahle vo großer Bedeutug. Gaz Allgemei lasse sich Folge vo Elemete i eier beliebige Mege A betrachte. Defiitio
MehrAufgaben und Lösungen der Probeklausur zur Analysis I
Fachbereich Mathematik AG 5: Fuktioalaalysis Prof. Dr. K.-H. Neeb Dipl.-Math. Rafael Dahme Dipl.-Math. Stefa Wager ATECHNISCHE UNIVERSITÄT DARMSTADT SS 007 19. Jui 007 Aufgabe ud Lösuge der Probeklausur
MehrMusterlösung zu Blatt 8 der Vorlesung Analysis I WS08/09
Musterlösug zu Blatt 8 der Vorlesug Aalysis I WS08/09 Schriftliche Aufgabe Aufgabe. Voraussetzuge: Für alle N setze a : +2 ud b : ( 2. [Amerkug: I der Aufgabestellug heiÿe die Reihe beide gleich. Es steht
Mehrvon solchen Abbildungen. Eine solche Folge bestimmt für jedes x M die Folge der Werte f n. Schreibt man dies noch einmal formal hin, so erhält man:
Gleichmäßige Kovergez Wir betrachte im Folgede Abbilduge f : M N, wobei M eie Mege ud N ei metrischer Raum ist. Isbesodere iteressiere ud Folge f vo solche Abbilduge. Eie solche Folge bestimmt für jedes
MehrAngabe Analysis 1 - Beweise, Vollständige Induktion, Folgen
Agabe Aalysis - Beweise, Vollstädige Idutio, Folge 4. März 0 Aufgabe : Zum Aufwärme i Zeige durch geschictes Umforme, dass + + gilt. +!!!!!! +!! +! + + + + + ii Zeige durch vollstädige Idutio, dass 6 +
MehrNachklausur - Analysis 1 - Lösungen
Prof. Dr. László Székelyhidi Aalysis I, WS 212 Nachklausur - Aalysis 1 - Lösuge Aufgabe 1 (Folge ud Grezwerte). (i) (1 Pukt) Gebe Sie die Defiitio des Häufugspuktes eier reelle Zahlefolge (a ) N. Lösug:
Mehr(8) FOLGEN und REIHEN
Folge ud Reihe ÜBUNGEN Bestimme die gegeseitige Lage der Ebee ud gib die gemeisame Pukte bzw. Gerade a. x+4y - 6z= x + y - z = 4x - 4y+4z=0 x + y z = 0 x - y+z = x + y + z = x+y -5z= 4x - 7y+z= -x+y -z=8
MehrReihen Arithmetische Reihen Geometrische Reihen. Datei Nr (Neu bearbeitet und erweitert) Juni Friedrich W. Buckel
Zahlefolge Teil 3 Reihe Reihe Arithmetische Reihe Geometrische Reihe Datei Nr. 4003 (Neu bearbeitet ud erweitert) Jui 005 Friedrich W. Buckel Iteretbibliothek für Schulmathematik Ihalt Defiitio eier Reihe
MehrEinführende Beispiele Arithmetische Folgen. Datei Nr SW. Das komplette Manuskript befindet sich auf der Mathematik - CD.
ZAHLENFOLGEN Eiführede Beispiele Arithmetische Folge Datei Nr. 400 SW Das komplette Mauskript befidet sich auf der Mathematik - CD Friedrich Buckel Februar 00 Iteratsgymasium Schloß Torgelow Ihalt Eiführede
MehrIII. Konvergenz von Folgen und Reihen
III.. Die Betragsfuktio metrische Räume 4 III. Kovergez vo Folge ud Reihe Durch die Betragsfuktio erhalte wir auf de reelle Zahle eie Abstadsbegriff ud somit eie metrische Struktur. Wir köe u Kovergez
Mehr18 Exponentialfunktion und Logarithmus
8 Epoetialfuktio u Logarithmus Lerziele: Kozepte: Epoetialfuktio u Logarithmus Resultat: Wachstumshierarchie für Fuktioe u Folge Kompeteze: Berechug weiterer Itegrale I iesem Abschitt führe wir e Logarithmus
MehrMathematik Funktionen Grundwissen und Übungen
Mathematik Fuktioe Grudwisse ud Übuge Potezfuktio Hyperbel Epoetialfuktio Umkehrfuktio Stefa Gärter 004 Gr Mathematik Fuktioe Seite Grudwisse Potezfuktio Defiitio Durch die Zuordugsvorschrift f: Æ mit
MehrFolgen, Reihen und Grenzwert. Vorlesung zur Didaktik der Analysis
Folge, Reihe ud Grezwert Vorlesug zur Didktik der Alysis Ihlt Motivtio Folge Spezielle Folge Grezwertdefiitio Wichtige Zusmmehäge ud Strtegie der Kovergezutersuchug Fuktioegrezwert Reihe Prdoxie ud Zusmmefssug
Mehr6.4. Intervalle und Inhalte
6.4. Itervalle ud Ihalte Vo zetraler Bedeutug für die Igeieurmathematik (ud icht ur dort) ist die Berechug vo Läge, Flächeihalte ud Volumia. Die Grudidee ist dabei, die gesuchte Größe durch Summe vo leicht
Mehr1 Vollständige Induktion
1 Vollstädige Idutio 1.1 Idutiosbeweise Das Beweisprizip der vollstädige Idutio ist eies der wichtigste Hilfsmittel der Mathemati icht ur der Aalysis. Es fidet Verwedug bei pratische alle Aussage, die
MehrSkript zur Analysis 1. Kapitel 2 - Konvergenz
Skript zur Aalysis Kapitel 2 - Kovergez vo Prof. Dr. J. Cleve Fachhochschule Dortmud Fachbereich Iformatik September 2003 2 Ihaltsverzeichis 2 Folge ud Reihe 5 2. Folge.................................
MehrZahlenfolgen und Reihen
Zahlefolge ud Reihe Was ist eie Zahlefolge Bildugsgesetz We wir z. B. vo der Mege N der atürliche Zahle spreche, so sehe wir sozusage eie Sack voller Zahle, es besteht keie Ordug. Wir wede us u dem Fall
Mehr15.4 Diskrete Zufallsvariablen
.4 Diskrete Zufallsvariable Vo besoderem Iteresse sid Zufallsexperimete, bei dee die Ergebismege aus reelle Zahle besteht bzw. jedem Elemetarereigis eie reelle Zahl zugeordet werde ka. Solche Zufallsexperimet
MehrÜbungen zur Vorlesung Funktionentheorie Sommersemester 2012. Musterlösung zu Blatt 11. c n (z a) n,
f : a P UNIVERSIÄ DES SAARLANDES FACHRICHUNG 6. MAHEMAIK Prof. Dr. Rolad Speicher M.Sc. obias Mai Übuge zur Vorlesug Fuktioetheorie Sommersemester 202 Musterlösug zu Blatt Aufgabe. Zeige Sie durch Abwadlug
Mehr2 Folgen. Reihen. Konvergenz
2. FOLGEN. REIHEN. KONVERGENZ 28 2 Folge. Reihe. Kovergez 2. Grudlage 2.. Folge: Defiitio ud erste Beispiele Defiito: Eie (reelle Zahle-)Folge ist eie Zuordug, bei der jeder atürliche Zahl eie reelle Zahl
MehrLösungen der Aufgaben zur Vorbereitung auf die Klausur Mathematik für Informatiker I
Uiversität des Saarlades Fakultät für Mathematik ud Iformatik Witersemester 2003/04 Prof. Dr. Joachim Weickert Dr. Marti Welk Dr. Berhard Burgeth Lösuge der Aufgabe zur Vorbereitug auf die Klausur Mathematik
MehrFOLGEN UND REIHEN. 1. Einführung. Folgen und Reihen 1. Aus einer Rätselzeitschrift:
Folge ud Reihe FOLGEN UND REIHEN. Eiführug Aus eier Rätselzeitschrift: 8? Welche Zahl folgt als ächste? Dieses Rätsel ist gar icht so eifach! De ei logisches Argumet, welche Zahl für das rote Fragezeiche
MehrÜbungsaufgaben zur Vorlesung ANALYSIS I (WS 12/13) Serie 10
Humboldt-Uiversität zu Berli Istitut für Mathematik Prof. A. Griewak Ph.D.; Dr. A. Hoffkamp; Dipl.Math. T.Bosse; Dipl.Math. L. Jase Übugsaufgabe zur Vorlesug ANALYSIS I (WS 2/3) Serie 0 Musterlösug S.
MehrGrenzwert einer Folge
Grezwert eier Folge für GeoGebraCAS Letzte Äderug: 29/ März 2011 1 Überblick 1.1 Zusammefassug Ierhalb vo zwei Uterrichtseiheite solle die Schüler/ie zwei Arbeitsblätter mit GeoGebra erstelle, die das
Mehr7. Potenzreihen und Taylor-Reihen
7. Potezreihe ud Taylor-Reihe 39 7. Potezreihe ud Taylor-Reihe Mit Hilfe der Cauchysche Itegralformel wolle wir u i diesem Kapitel ei weiteres sehr zetrales Resultat der Fuktioetheorie herleite, ämlich
Mehrvon Prof. Dr. Ing. Dirk Rabe FH Emden/Leer
vo Prof. Dr. Ig. Dirk Rbe FH Emde/Leer Überblick: Folge ud Reihe Folge: Zhlefolge ( ) ; ; ; ist eie geordete Liste vo Zhle ( IN) : Glieder der Folge f(): Bildugsgesetz (eplizit i oder rekursiv) z.b.: (
MehrKapitel 4: Stationäre Prozesse
Kapitel 4: Statioäre Prozesse M. Scheutzow Jauary 6, 2010 4.1 Maßerhaltede Trasformatioe I diesem Kapitel führe wir zuächst de Begriff der maßerhaltede Trasformatio auf eiem Wahrscheilichkeitsraum ei ud
MehrAT AB., so bezeichnet man dies als innere Teilung von
Teilverhältisse Aus der Geometrie der Dreiecke ket ma die Aussage, dass der Schwerpukt T eies Dreiecks die Seitehalbierede im Verhältis : teilt. Für die Strecke AT ud TM gilt gemäß der Abbildug AT : TM
Mehr4. Die Menge der Primzahlen. Bertrands Postulat
O. Forster: Eiführug i die Zahletheorie 4. Die Mege der Primzahle. Bertrads Postulat 4.1. Satz (Euklid. Es gibt uedlich viele Primzahle. Beweis. Wir zeige, dass es zu jeder edliche Mege p 1, p 2,..., p
MehrSUCHPROBLEME UND ALPHABETISCHE CODES
SUCHPROBLEME UND ALPHABETISCHE CODES Der Problematik der alphabetische Codes liege Suchprobleme zugrude, dere Lösug dem iformatiostheoretische Problem der Fidug eies (optimale) alphabetische Codes gleich
MehrArithmetische und geometrische Folgen. Die wichtigsten Theorieteile. und ganz ausführliches Training. Datei Nr
DEMO für ZAHLENFOLGEN Teil 2 Arithmetische ud geometrische Folge Die wichtigste Theorieteile ud gz ausführliches Traiig Datei Nr. 40012 Neu geschriebe ud sehr erweitert Std: 4. Februar 2010 INTERNETBIBLIOTHEK
Mehr... a ik) i=1...m, k=1...n A = = ( a mn
Zurück Stad: 4..6 Reche mit Matrize I der Mathematik bezeichet ma mit Matrix im Allgemeie ei rechteckiges Zahleschema. I der allgemeie Darstellug habe die Zahle zwei Idizes, de erste für die Zeileummer,
MehrWir weisen die Gültigkeit der 4Axiome der sigma-algebra für die Potenzmenge einer endlichen Menge A nach!
Lösug zu Übug 4 Prof. Dr. B.Grabowski E-Post: grabowski@htw-saarlad.de Zu Aufgabe ) Wir weise die Gültigkeit der 4Axiome der sigma-algebra für die Potezmege eier edliche Mege A ach! ) Die leere Mege ud
Mehr5.7. Aufgaben zu Folgen und Reihen
5.7. Aufgbe zu Folge ud Reihe Aufgbe : Lieres ud beschrätes Wchstum Aus eiem Qudrt mit der Seiteläge dm gehe uf die rechts gedeutete Weise eue Figure hervor. Die im -te Schritt gefügte Qudrte sid jeweils
MehrWintersemester 2006/2007, Universität Rostock Abgabetermin: spätestens 24.10.2006, 09:00 Uhr. Aufgabe 1.1: (5 P)
Serie Abgabetermi: spätestes 24.0.2006, 09:00 Uhr Aufgabe.: 5 P Zeige Sie, dass das geometrische Mittel icht größer ist als das arithmetische Mittel, d.h., dass für alle Zahle a, b R mit a, b 0 gilt ab
MehrÜbungen mit dem Applet Taylor-Entwickung von Funktionen
Taylor-Etwickug vo Fuktioe Übuge mit dem Applet Taylor-Etwickug vo Fuktioe Ziele des Applets... Mathematischer Hitergrud... 3 Vorschläge für Übuge... 3 3. Siusfuktio si(...3 3. Cosiusfuktio cos(...4 3.3
MehrSpezielle Themen der Mathematik: Reelle Zahlen, Folgen, Reihen, Funktionen
Folge ud Reihe Spezielle Theme der Mthemtik: Reelle Zhle, Folge, Reihe, Fuktioe Folge ud Reihe I diesem Kpitel befsse wir us mit Folge, welche ls spezielle Fuktioe, ämlich solche mit ls Defiitiosbereich,
MehrEinige wichtige Ungleichungen
Eiige wichtige Ugleichuge Has-Gert Gräbe, Leipzig http://www.iformatik.ui-leipzig.de/~graebe 1. Februar 1997 Ziel dieser kurze Note ist es, eiige wichtige Ugleichuge, die i verschiedee Olympiadeaufgabe
MehrEs werden 120 Schüler befragt, ob sie ein Handy besitzen. Das Ergebnis der Umfrage lautet: Von 120 Schülern besitzen 99 ein Handy.
Vo der relative Häufigkeit zur Wahrscheilichkeit Es werde 20 Schüler befragt, ob sie ei Hady besitze. Das Ergebis der Umfrage lautet: Vo 20 Schüler besitze 99 ei Hady. Ereigis E: Schüler besitzt ei Hady
MehrGeometrische Folgen. Auch Wachstumsfolgen Viele Aufgaben. Lösungen nur auf der Mathe-CD Hier nur Ausschnitte. Datei Nr
ZAHLENFOLGEN Teil Geometrische Folge Auch Wachstumsfolge Viele Aufgabe Lösuge ur auf der Mathe-CD Hier ur Ausschitte Datei Nr. 00 Friedrich Buckel März 00 Iteretbibliothek für Schulmathematik 00 Geometrische
MehrKonvergenz von Folgen reeller Zufallsvariablen
Kapitel 4 Kovergez vo Folge reeller Zufallsvariable 4. Fa-sichere ud ochaische Kovergez Seie (Ω, C, ) ei W-Raum, X ( N) eie Folge reeller Zufallsvariable auf Ω ud X eie reelle Zufallsvariable auf Ω. Defiitio
MehrIndizieren Sie die folgenden Summen und Produkte gemäß der Vorgabe um und schreiben Sie sie einmal explizit aus: 5
FU Berli: WiSe 13-14 (Aalysis 1 - Lehr.) Übugsaufgabe Zettel 9 Aufgabe 37 Idiziere Sie die folgede Summe ud Produte gemäß der Vorgabe um ud schreibe Sie sie eimal explizit aus: 5 (a) + 1) 0( Lösug. Die
MehrElementare Beweismethoden - Direkter Beweis, Widerspruchsbeweis, Vollständige Induktion -
Th. Kuschel Prosemiar SS 06 Elemetare Beweismethode Seite vo 7 7.04.06 Elemetare Beweismethode - Direter Beweis, Widerspruchsbeweis, Vollstädige Idutio - 0. Vorbemerug zum Begriff des (allgemeie) Beweises
MehrUngleichungen werden mit Äquivalenzumformungen gelöst. Hierzu werden die sogenannten Monotoniegesetze angegeben.
Floria Häusler Ugleichuge. Grudsätzliches I folgede ist ur vo reelle Zahle die Rede, ohe daß dies im eizele betot wird. Es seie A, B, C,... Terme reeller Zahle, u. U. auch mit Variable. Für Ugleichuge
Mehr-LERNZENTRUM, ETH ZÜRICH
SEQUENZ, LESETEXT. Eie löchrige Gerade Eis ist gaz klar: Es gibt uedlich viele ratioale Zahle, ud es wird icht möglich sei, auf der Zahlgerade irgedei Itervall zu fide, i dem sich keie eizige ratioale
Mehr2. Grundlagen der Differentialrechnung
. Kovergez vo Folge ud Reihe 8. Grudlage der Differetialrechug. Kovergez vo Folge ud Reihe Folge (geauer: uedliche Folge reeller Zahle) sid aschaulich ausgedrückt eie Aeiaderreihug vo Zahle. Diese Be-
MehrInhaltsverzeichnis. 3 Stetigkeit. 3.1 Reelle und komplexe Funktionen
Ihaltsverzeichis 3 Stetigkeit 1 3.1 Reelle ud komplexe Fuktioe........................ 1 3. Grezwerte vo Fuktioe.......................... 3.3 Eiseitige oder ueigetliche Grezwerte................... 3
Mehr1 Grenzwerte und Stetigkeit bei Funktionen mehrerer Variablen
KARLSRUHER INSTITUT FÜR TECHNOLOGIE INSTITUT FÜR ANALYSIS Dr. Christoph Schmoeger Heiko Hoffma SS 204 6.04.204 Höhere Mathematik II für die Fachrichtug Iformatik. Saalübug (6.04.204) Grezwerte ud Stetigkeit
Mehr1 Analysis T1 Übungsblatt 1
Aalysis T Übugsblatt A eier Weggabelug i der Wüste lebe zwei Brüder, die vollkomme gleich aussehe, zwische dee es aber eie gewaltige Uterschied gibt: Der eie sagt immer die Wahrheit, der adere lügt immer.
MehrMathematik Abiturwissen. Script von Michael Telgkamp Vorlesung Dr. Bruder
Mathematik Abiturwisse Script vo Michael Telgkamp Vorlesug Dr. Bruder . Eiführug Abiturwisse Mathematik / 9. Zahlebereiche: N atürliche Zahle Z gaze Zahle Q ratioale Zahle R reelle Zahle C komplee Zahle
MehrEin kleines Einmaleins über Mittelwertbildungen
Vorlesugsergäzug zur Igeieurmathematik R.Brigola Ei kleies Eimaleis über Mittelwertbilduge Grudlage über arithmetische Mittel, geometrische Mittel, harmoische Mittel, quadratische Mittel ud das arithmetisch-geometrische
MehrStreifzug durch die Welt der Binome und darüber hinaus
www.mathemati-etz.de Copyright, Page 1 of 6 Streifzug durch die Welt der Biome ud darüber hiaus Die biomische Formel sid ützliche Istrumete, welche i viele Gebiete der Mathemati gewibriged eigesetzt werde
MehrBitte schicken Sie mir eine E-mail, wenn Sie einen Fehler gefunden haben 1. Moritz Kaßmann
Das folgede Skript zur Vorlesug Spezielle Aspekte der Aalysis für Studierede des Lehramts a Grud, Haupt ud Realschule wird fortlaufed aktualisiert ud verädert werde. Das Skript ethält bei weitem icht alle
Mehr10. FOLGEN, REIHEN, GRENZWERTE
Folge, Reihe, Grezwerte 0. FOLGEN, REIHEN, GRENZWERTE 0.. Folge (a) Defiitio Betrachtet ma bei eier Fuktio ur jee Fuktioswerte, die sich durch Eisetze vo Argumete aus de atürliche Zahle ergebe, so erhält
MehrBINOMIALKOEFFIZIENTEN. Stochastik und ihre Didaktik Referentin: Iris Winkler 10.11.2008
Stochasti ud ihre Didati Refereti: Iris Wiler 10.11.2008 Aufgabe: Führe Sie i der Seudarstufe II die Biomialoeffiziete als ombiatorisches Azahlproblem ei. Erarbeite Sie mit de Schülerie ud Schüler mithilfe
MehrAnalysis I Probeklausur 2
WS /2 Mriescu/ Ert Alysis I Probeklusur 2. Aufgbe Die Folge (x ) N sei rekursiv defiiert durch x =, x + = 2+x. () Beweise, dss die Folge (x ) N streg mooto wchsed ist. (b) Beweise, dss (x ) N durch 2 ch
MehrThema 8 Konvergenz von Funktionen-Folgen und - Reihen
Them 8 Kovergez vo Fuktioe-Folge ud - Reihe Defiitio Sei (f ) eie Folge vo Fuktioe vo D R i R. Wir sge, dß f puktweise gege eie Fuktio f kovergiert, flls gilt: f () f() für jedes D. Dies ist der türliche
Mehr3.2 Potenzreihen und komplexe Taylorentwicklung
40 Kapitel 3. Holomorphe Fuktioe 3.2 Potezreihe ud komplexe Tayloretwicklug Wede wir us u de Reiheetwickluge vo Fuktioe zu. 3.2. Defiitio Uter eier Potezreihe um de Pukt z 0 C versteht ma eie Reihe der
MehrVORKURS MATHEMATIK DRAISMA JAN, ÜBERARBEITET VON BÜHLER IRMGARD UND TURI LUCA
VORKURS MATHEMATIK DRAISMA JAN, ÜBERARBEITET VON BÜHLER IRMGARD UND TURI LUCA Motag: Zahle, Variable, Algebraische Maipulatio Zahlemege. Die atürliche Zahle hat der liebe Gott gemacht. Alles adere ist
MehrGrenzwerte von Folgen und Funktionen
Kapitel 3 Grezwerte vo Folge ud Fuktioe 3. Grezwerte vo Folge Defiitio: Eie Folge ist formal gesehe) eie Abbildug vo N oder N + ach R, d.h. jedem N wird ei a R zugeordet. Abweiched vo der fuktioale Notatio
Mehr1.3 Funktionen. Seien M und N Mengen. f : M N x M : 1 y N : y = f(x) nennt man Funktion oder Abbildung. Beachte: Zuordnung ist eindeutig.
1.3 Fuktioe Seie M ud N Mege f : M N x M : 1 y N : y fx et ma Fuktio oder Abbildug. Beachte: Zuordug ist eideutig. Bezeichuge: M : Defiitiosbereich N : Bildbereich Zielmege vo f Der Graph eier Fuktio:
Mehr2. Diophantische Gleichungen
2. Diophatische Gleichuge [Teschl05, S. 91f] 2.1. Was ist eie diophatische Gleichug ud wozu braucht ma sie? Def D2-1: Eie diophatische Gleichug ist eie Polyomfuktio i x,y,z,, bei der als Lösuge ur gaze
MehrGegebenenfalls heisst die Zahl s. der Reihe, und man schreibt
Prof. Dr. Berd Dreseler 6 Reihe 6.1 Kovergez vo Reihe Gegebe sei eie Folge s 1 1, 2 1 2 3 1 2 3... s s, s..., 1 2 1, wird der Folge eie weitere Folge omplexer Zhle. Durch s zugeordet. www.berd-dreseler.de
Mehr7.1 Einführung Unter der n-ten Wurzel aus a versteht man eine Zahl x, die mit n potenziert a ergibt.
Rdiziere 7 Rdiziere 7.1 Eiführug Uter der -te Wurzel us versteht eie Zhl x, die it poteziert ergibt. x x für 0 9 3 3 9 * : Wurzelexpoet, N ud 1 : Rdikd, 0 x: Wurzel(wer) t Poteziere: Bsis ud Expoet sid
MehrMusterlösung zu Übungsblatt 2
Prof. R. Padharipade J. Schmitt C. Schießl Fuktioetheorie 25. September 15 HS 2015 Musterlösug zu Übugsblatt 2 Aufgabe 1. Reelle Fuktioe g : R R stelle wir us üblicherweise als Graphe {(x, g(x)} R R vor.
Mehr5 Für alle n N sei A n die Menge der natürlichen Zahlen von 1 bis n. Bestimmen Sie die. Übungen zur Vorlesung Analysis I
. Übugsblatt, 0. Oktober 008 Dr. A. Wotzke Zeige Sie für Aussage A, B, C folgede Schlussregel a) ((A B) A) B, der direkte Beweis; b) ((A B) B) A, der idirekte Beweis; c) (A B) (B C) (A C) Ketteschluss;
MehrLogarithmus - Übungsaufgaben. I. Allgemeines
Eie Gleichug höhere Grdes wie z. B. Gymsium / Relschule Logrithmus - Üugsufge Klsse 0 I. Allgemeies k ch ufgelöst werde, idem m die Wurzel zieht. Tritt die Uekte jedoch im Epoete eier Potez uf, spricht
Mehr6. Reihen. 6. Reihen 63
6. Reihe 63 6. Reihe Wir wolle us u mit eiem spezielle Typ vo Folge beschäftige, der i der Praxis sehr häufig vorkommt: ämlich Folge, die i der Form (a 0, a 0 + a, a 0 + a + a 2,... für gewisse a K gegebe
MehrZahlen, Folgen, Reihen. In diesem Kapitel wird nun wirklich der Grundstein der Analysis gelegt, darüber hinaus sollten. Kapitel 2
Kapitel Zahle, Folge, Reihe I diesem Kapitel wird u wirklich der Grudstei der Aalysis gelegt, darüber hiaus sollte wir us och etwas de verschiedee Zahlbereiche widme. Mit atürliche Zahle rechet ma bereits
Mehr8.3. Komplexe Zahlen
8.. Komplee Zhle Wie bereits i 8.. drgestellt, wurde die fortlufede Erweiterug der Zhlbereiche durch die Eiführug immer kompleerer Recheopertioe otwedig:. Auf de türliche Zhle führte der Wusch ch iverse
Mehr2 Vollständige Induktion
2 Vollstädige Iduktio 22 2 Vollstädige Iduktio Die vollstädige Iduktio ist ei Beweisverfahre der Mathematik, das sich vom allgemeie Beweisverfahre abhebt. Prizipiell ka ma beim Beweise zwei Situatioe uterscheide.
MehrKAPITEL 1. Komplexe Zahlen. 1.1 Lernziele im Abschnitt: Komplexe Zahlen Was sind komplexe Zahlen? Komplexe Zahlenebene...
KAPITEL 1 Komplexe Zahle 1.1 Lerziele im Abschitt: Komplexe Zahle...................... 1. Was sid komplexe Zahle?............................. 1. Komplexe Zahleebee............................... 1. Grudrechearte
MehrÜbungsblatt 9 zur Vorlesung. Statistische Methoden
Dr. Christof Luchsiger Übugsblatt 9 zur Vorlesug Statistische Methode Schätztheorie ud Kofidezitervalle Herausgabe des Übugsblattes: Woche 8, Abgabe der Lösuge: Woche 9 (bis Freitag, 65 Uhr), Besprechug:
MehrMengenbegriff und Mengendarstellung
R. Brikma http://brikma-du.de Seite 1 05.10.008 Megebegriff ud Megedarstellug Eie Mege, ist die Zusammefassug bestimmter, wohluterschiedeer Objekte userer Aschauug ud useres Dekes welche Elemete der Mege
MehrWegen der (mit einem Fehler von nur +1,0 recht guten) Näherung an die Kreiszahl
Seite 1 Fiboacci-Wachstum Axel Köig Es werde stetige Wachstumsfuktioe vorgestellt, die diskretes additives Wachstum ach Fiboacci optimal approximiere. Darüber hiaus wird die Vermutug aufgestellt, dass
Mehr1. Übungsblatt zur Analysis I
Haover, de 1 Otober 00 1 Übugsblatt zur Aalysis I Abgabe am 8/9 Otober 00 vor de Studeübuge Mit (* oder Kaci geezeichete Aufgabe sid Zusatzaufgabe, die Etrapute ergebe Aufgabe 1 (5 Pute Ma zeige: Für jedes
Mehr1.2. Taylor-Reihen und endliche Taylorpolynome
1.. aylor-reihe ud edliche aylorpolyome 1..1 aylor-reihe Wir köe eie Fuktio f() i eier Umgebug eies Puktes o gut durch ihre agete i o: t o () = f(o) + f (o) (-o) aäher: Wir sehe: Je weiter wir vo o weg
MehrFehlerrechnung. 3. Genauigkeit von Meßergebnissen am Beispiel der Längenmessung
1 Gie 11/000 Fehlerrechug 1. Physikalische Größe: Zahlewert ud Eiheit. Ursache vo Meßfehler 3. Geauigkeit vo Meßergebisse am Beispiel der Lägemessug 4. Messug eier kostate Größe ud Mittelwert 5. Messug
Mehr