3.3 Konvergenzkriterien für reelle Folgen

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1 3.3 Konvergenzkriterien für reelle Folgen Satz: Eine monoton wachsende, nach oben beschränkte reelle Folge a n ) n N ist konvergent mit Grenzwert lim a n = sup{a n n N} Beweis: Sei a n ) n N nach oben beschränkt. Dann gilt s := sup{a n n N} < Sei nun ε > 0 gegeben. Dann existiert ein N = Nε) mit s ε < a N s Die Folge a n ) n N ist monoton wachsend, also folgt s ε < a N a n s n N d.h. s a n < ε n Nε) Jens Struckmeier Mathematik, UniHH) Analysis I für Ingenieure 79 / 108 Folgerung: Prinzip der Intervallschachtelung. Sei a n ) n N eine monoton wachsende reelle Folge und b n ) n N eine monoton fallende reelle Folge mit a n b n für alle n N Intervallschachtelung) Dann sind beide Folgen konvergent. Gilt weiterhin lim a n b n ) = 0 so haben a n ) n N und b n ) n N denselben Grenzwert, d.h. es gibt ein ξ R mit ξ = lim a n = lim b n Weiterhin gelten in diesem Fall die Fehlerabschätzungen a n ξ b n a n b n ξ b n a n Jens Struckmeier Mathematik, UniHH) Analysis I für Ingenieure 80 / 108

2 Beispiel: Prinzip der Intervallschachtelung. Definiere für 0 < a < b zwei Folgen a n ) und b n ) rekursiv durch a 0 := a a n+1 := a n b n b 0 := b b n+1 := a n + b n 2 Die Folgen a n ) und b n ) bilden eine Intervallschachtelung, und es gilt b n+1 a n+1 ) 1 2 b n a n ) Der gemeinsame Grenzwert von a n ) und b n ) agma, b) := lim a n = lim b n heißt arithmetisch geometrisches Mittel von a und b. Jens Struckmeier Mathematik, UniHH) Analysis I für Ingenieure 81 / 108 Bernoullische Ungleichung und die geometrische Folge. Es gilt x 1, n N : 1 + x) n 1 + nx wobei Gleichheit nur bei n = 1 oder x = 0 gilt. Die Geometrische Folge. Sei a n ) n N relle Folge mit a n = q n für q R. Dann gilt q > 1 : lim qn = + q n = 1 + q 1)) n 1 + nq 1)) q = 1 : lim qn = 1 0 < q < 1 : lim qn = 0 1 < q 0 : lim qn = 0 q n = q n ) ) q n 1 1 = 1+1/q 1)) n 1+n1/q 1) q = 1 : q n ) beschränkt, aber nicht konvergent q n { 1, 1}) q < 1 : q n ) divergent, kein uneigentlicher Grenzwert Jens Struckmeier Mathematik, UniHH) Analysis I für Ingenieure 82 / 108

3 Weitere Rechenregeln für konvergente Folgen. Satz: Seien a n ) n N und b n ) n N konvergente reelle Folgen. Dann gilt a) lim a nb n ) = lim a n) lim b n) b) n : b n 0 lim b n 0 lim an b n ) = c) n : a n 0 m N lim m an = m lim Beweis zu a): Für hinreichend große n gilt a n b n ab = a n b n a n b + a n b ab a n b n b + b a n a a n lim a n lim b n C a b n b + b a n a < C a + b )ε Für b) und c) siehe Textbuch von Ansorge/Oberle. Jens Struckmeier Mathematik, UniHH) Analysis I für Ingenieure 83 / 108 Beispiele für die Rechenregeln konvergenter Folgen. Gegeben sei die Folge a n ) n N mit a n := n 2 + 5n + 1 n Es gilt n 2 + 5n + 1) n 2 = n 2 + 5n + 1 n) n 2 + 5n n) woraus folgt a n = n2 + 5n + 1) n 2 n 2 + 5n n = n n + 1 n und somit lim a n = = 5 2 Jens Struckmeier Mathematik, UniHH) Analysis I für Ingenieure 84 / 108

4 Beispiele für die Rechenregeln konvergenter Folgen. Gegeben sei die Folge a n ) n N mit a n := 1 + p ) n n Kapitalverzinsung: Anfangskapital K 0, Jahreszinssatz p K 1 = K p) jährlich K 2 = K p ) 2 halbjährlich 2 K 4 = K p ) 4 vierteljährlich 4 K 10 = K ) p 10 monatlich K 360 = K p ) 360 täglich 360 Untersuche die Konvergenz der Folge a n ), also lim a n =? Jens Struckmeier Mathematik, UniHH) Analysis I für Ingenieure 85 / 108 Beispiele für die Rechenregeln konvergenter Folgen. Für p > 0 zeigt man, dass a) die Folge a n ) n N streng monoton wachsend ist, a n+1 a n > 1 b) die Folge a n ) n N nach oben beschränkt ist, 1 + p ) n 4 l wobei l N mit l p) n Damit konvergiert die Folge und für den Grenzwert erhält man lim lim a n = e p Die Grenzwertformel gilt auch für negative p und als Spezialfall erhalten wir die Eulersche Zahl, ) n = e = n Jens Struckmeier Mathematik, UniHH) Analysis I für Ingenieure 86 / 108

5 Das Cauchysche Konvergenzkriterium. Satz: Cauchysches Konvergenzkriterium) Der Vektorraum R ist vollständig, d.h. jede reelle Cauchyfolge ist konvergent. Zur Erinnerung: Sei a n ) n N eine Folge in einem normierten Vektorraum V. Dann heißt die Folge a n ) n N Cauchy Folge, falls ε > 0 : N = Nε) N : n, m N : a n a m < ε Für den Beweis des Cauchyschen Konvergenzkriteriums benötigen wir a) das Prinzip der Häufungspunkte von Folgen, b) den Satz von Bolzano und Weierstraß. Jens Struckmeier Mathematik, UniHH) Analysis I für Ingenieure 87 / 108 Häufungspunkte und Satz von Bolzano und Weierstraß. Definition: Sei a nk ) k N eine konvergente Teilfolge der Folge a n ) n N. Dann wird der Grenzwert der Teilfolge a nk ) k N als Häufungspunkt der Folge a n ) n N bezeichnet. Beispiel: Sei a n ) n N die komplexe Folge mit a n = i n. Dann besitzt a n ) die vier Häufungspunkte {i, i, 1, 1}. Satz: Satz von Bolzano und Weierstraß) Jede reelle beschränkte Folge a n ) n N besitzt eine konvergente Teilfolge, d.h. die Folge a n ) n N hat mindestens einen Häufungspunkt. Beweisidee: Verknüpfe das Bisektionsverfahren mit einer Intervallschachtelung: Ist die Folge a n ) beschränkt, so liegen alle Folgenglieder in einem endlichen Intervall [A, B] und man kann rekursiv Teilintervalle [A k, B k ] definieren mit A k und B k. Jens Struckmeier Mathematik, UniHH) Analysis I für Ingenieure 88 / 108

6 Das Cauchysche Konvergenzkriterium. Satz: Cauchysches Konvergenzkriterium) Der Vektorraum R ist vollständig, d.h. jede reelle Cauchyfolge ist konvergent. Beweis: Zeige, dass jede Cauchyfolge beschränkt ist: für n und N = Nε) gilt a n = a n a N + a N a n a N + a N < ε + a N Nach dem Satz von Bolzano und Weierstraß besitzt a n ) einen Häufungspunkt ξ. Dann gilt für m, n k Nε/2) a m ξ = a m a nk + a nk ξ a m a nk + a nk ξ < ε }{{}}{{} 2 + ε 2 = ε Cauchyfolge Häufungspunkt Notation: lim inf a n = kleinster Häufungspunkt, lim sup a n = größter Häufungspunkt Jens Struckmeier Mathematik, UniHH) Analysis I für Ingenieure 89 / 108 Kapitel 3. Konvergenz von Folgen und Reihen 3.4. Konvergenz in normierten Vektorräumen Im letzten Abschnitt 3.3. haben wir uns mit Konvergenzkriterien für reelle Folgen a n ) n N beschäftigt. Sei nun V, ) wieder allgemein ein normierter Vektorraum. Wiederholung aus Abschnitt 3.2: Definition: Sei a n ) n N eine Folge in einem normierten Vektorraum V. Dann heißt die Folge a n ) n N konvergent mit Grenzwert Limes) a V, falls ε > 0 : N = Nε) N : n N : a n a < ε Beispiel: Betrachte den Vektorraum C[0, 1] aller stetigen Funktionen auf [0, 1]. Jens Struckmeier Mathematik, UniHH) Analysis I für Ingenieure 90 / 108