Mathematik-Vorkurs für Informatiker Formale Sprachen 1

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1 Christian Eisentraut & Julia Krämer Mathematik-Vorkurs für Informatiker Formale Sprachen 1 Aufgabe 1. (Wiederholung wichtiger Begriffe) Kategorie 1 Notieren Sie die Definitionen der folgenden Begriffe aus dem Kopf ohne im Skript nachzuschlagen und korrigieren Sie dann ihre Lösungen: (a) Unterschied zwischen natürlichen und formalen Sprachen (b) Syntax (c) Semantik (d) Sprache der binären Bäume in Backus-Naur-Form (e) Sprache der arithmetischen Ausdrücke in Backus-Naur-Form (f) die (inhaltlich) korrekte Semantikabbildung zu arithmetischen Ausdrücken Aufgabe 2. (Metavariablen) Kategorie 2 Erklären Sie den Unterschied zwischen Metavariablen und Variablen der Menge V. Beantworten Sie dabei auch die folgenden Fragen: Weshalb brauchen wir Variablen in arithmetischen Ausdrücken? Benötigen wir Metavariablen unbedingt, um arithmetische Ausdrücke bzw. binäre Bäume zu definieren? Metavariablen sind im Gegensatz zu den Variablen der Menge V kein Teil der Sprache der arithmetischen Ausdrücke, d.h. egal welchen Ausdruck wir bilden, die Metavariablen φ und ψ werden nie darin auftauchen. Dahingegen taucht die Variable x, die für eine (natürliche Zahl) und nicht direkt für einen arithmetischen Ausdruck steht, in einem arithmetischen Ausdruck auf, da sie selbst ein arithmetischer Ausdruck ist. Da wir unendliche Mengen von Wörter definieren brauchen wir Metavariablen. Sie erlauben es uns, Bildungsregeln anzugeben anstatt alle Wörter der Sprache auflisten zu müssen. Aufgabe 3. (Wiederholung - einmal anders) Kategorie 2 Versuchen Sie, Ihren Großeltern zu erklären, was eine informatische Sprache ist. 1 Die vorlegende Sammlung an Übungsaufgaben erstellt von Christian Eisentraut und Julia Krämer ( ist inklusive aller darin vorkommenden Texte und Bilder lizenziert unter einer Creative Commons Namensnennung - Nicht-kommerziell - Weitergabe unter gleichen Bedingungen 4.0 International Lizenz. Weitere Hinweise finden Sie unter http: //creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/. 1

2 Ein möglicher Ansatz: Eine informatische Sprache hat wie jede andere Sprache auch Wörter, aus denen sie besteht und die eine Bedeutung haben. Aber während z.b. Wörter wie Bank im Deutschen viele verschiedene Bedeutungen haben können, hat jedes Wort einer informatischen Sprache nur genau eine Bedeutung. Auch ist jeder grammatikalisch korrekte Satz einer informatischen Sprache auch gültig das ist im Deutschen ja nicht der Fall, z.b. Die Bank ist ein Baum ist ein grammatikalisch korrekter Satz, hat jedoch keine sinnvolle Bedeutung. Aufgabe 4. (Sinn einer Grammatik) Kategorie 2 Diskutieren Sie die folgende Frage: Wozu ist eine Grammatik gedacht und wie verwendet man Sie? Überlegen Sie sich dazu: Wie würden Sie die Sprache der Aussagenlogik notieren ohne die Definition der Vorlesung zu verwenden? Wie bestimmen Sie, ob ein Ausdruck zu einer Sprache gehört oder nicht? Gruppenaufgabe Eine Grammatik dient dazu die korrekten Wörter bzw. Sätze einer Sprache vollständig und korrekt zu beschreiben. Die Sprache, die im Vorkurs betrachtet wird, ist die Sprache der aussagenlogischen Ausdrücke, d.h. eine Grammatik muss keine natürliche Sprache wie Deutsch oder Englisch beschreiben. Die Grammatiken, die in der Informatik betrachtet werden, können dies für natürliche Sprachen gar nicht leisten. Vollständig und korrekt heißt hier, wie sehr häufig in der Informatik, dass alle Ausdrücke, die es in der Aussagenlogik gibt, mit Hilfe der Grammatik ableitbar sind und dass man keine Ausdrücke ableiten kann, die nicht in der Aussagenlogik zu finden sind. Das Wort Ableiten beschreibt den Vorgang, wie man eine Grammatik benutzt. Grob gesagt ist eine Grammatik ein Ersetzungsystem, man fängt auf der obersten Ebene an, bei den aussagenlogischen Formeln z.b. mit φ, dann entscheidet man sich φ z.b. durch eine Ausdruck mit einem und zu ersetzen, d.h. man hat nun φ ψ und kann nun sowohl für φ als auch für ψ so verfahren, also die beiden Metavariablen rekursiv so lange weiterersetzen bis man bei, oder einer Aussagenvariable angelangt ist. Aufgabe 5. (Backus-Naur-Form (1)) Benutzen Sie eine Grammatik in Backus-Naur-Form, um die induktiv definierte Sprache Listen über den Zeichen o und zu definieren. Die Sprache Liste enthält Wörter, die nach folgendem Schema aufgebaut sind: o, o. o, φ ::= o φ 2

3 Aufgabe 6. (Backus-Naur-Form (2)) Benutzen Sie eine Grammatik in Backus-Naur-Form, um die induktiv definierte Sprache N über dem Zeichen zu definieren. Die Sprache N enthält Wörter, die nach folgendem Schema aufgebaut sind:, { }, {{ }}, φ ::= {φ} Aufgabe 7. (Backus-Naur-Form umgekehrt) Welche Sprache B beschreibt die folgende Backus-Naur-Form? Entwicklen Sie eine aussagekräftige Aufzählung von Wörten, d.h. geben Sie so viele Wörter der Sprache an, wie notwendig sind, damit man das Schema, welches hinter der Sprache steht, vollständig erkennen kann. B φ ::= ab aφb Die Backus-Naur-Form beschreibt die Sprache {a n b n n N}, wobei a n die n-fache Wiederholung des Buchstaben a beschreibt. Hinweis: Wir greifen hier eine bestimmte Schreibweise für Mengen die prädikative Schreibweise voraus. Aufgabe 8. (Arithmetische Ausdrücke - nicht korrekt geklammert) Dieser Aufgabe liegt die folgende Grammatik arithmetischer Ausdrücke zugrunde: C φ, ψ ::= φ + ψ φ ψ φ ψ phi ψ n wobei n N, also n eine natürliche Zahl ist. Welche der folgenden Ausdrücke gehören zur Sprache der arithmetischen Ausdrücke C? Erkären Sie für alle inkorrekten Ausdrücke, warum diese inkorrekt sind, und finden Sie für alle korrekten Ausdrücke einen entsprechenden Syntaxbaum. (a) (4 + (3 (2 9))) (b) ( 2) (c) (7 + ((1 (3 9)) 9)) (d) ((2 0) + 7 2) 3

4 (a) Dieser Ausdruck ist gültig (b) Dieser Ausdruck ist nicht gültig, da Minus nur als binärer Operator (also als Opertor mit zwei Unterknoten) in unserer Grammatik vorkommt. (c) Der gültige Ableitungsbaum ist: : (d) Dieser Ausdruck ist ebenfalls nicht gültig aber nicht, weil durch 0 geteilt wird, sondern weil er nicht ausreichend geklammert ist. Aufgabe 9. (Verwenden von Semantikklammern) Verwenden Sie die (inhaltlich) korrekte Definition der Semantik arithmetischer Ausdrücke, um die Semantik der folgenden Ausdrücke zu berechnen. Achten Sie dabei auf die korrekte Klammerung und lassen Sie keinen Zwischenschritt aus. Beispiel = = = = 1 6 (a) (4 + 7) (3 4) (b) (c)

5 (a) (4 + 7) (3 4) = = ( ) ( 3 4 ) = (4 + 7) (3 4) = 11 ( 1) = 11 (b) = = ( ) 6 = (( 3 4 ) 5) 6 = ((3 4) 5) 6 = 360 (c) = = = 3 + ( 4 5 ) 6 7 = 3 + (4 5) 6 7 = Aufgabe 10. (Modellieren mit Sprachen (1)) Kategorie 4 Bestimmen Sie die Sprache aller ternären Bäume, d.h. der Bäume, deren Knoten entweder genau drei oder keine Kinder haben. Geben Sie dazu eine Backus-Naur-Form an, die die Menge aller ternären Bäume beschreibt. Der folgende Baum ist zum Beispiel ein ternärer Baum. Eine mögliche korrekte Grammatik in Backus-Naur-Form ist die folgende: T phi, ψ, χ ::= φ ψ χ Als Semantik können wir z.b. wieder die Größe oder eine lineare Darstellung angeben: Sei T die Menge aller ternären Bäume. Seien φ, ψ und χ Elemente von T. Dann ist die Abbildung T induktiv wie folgt definiert: (a) T = 1 (b) Hier definieren wir die Semantikabbildung mit sich selbst. Da die Bäume, die betrachtet werden, aber kleiner werden, bekommen wir insgesamt ein Ergebnis: T = φ T + ψ T + χ T + 1 φ ψ χ Sei T die Menge aller ternären Bäume. Seien φ, ψ und χ Elemente von T. Dann ist die Abbildung T induktiv wie folgt definiert: 5

6 (a) = [ ] (b) Hier definieren wir die Semantikabbildung mit sich selbst. Da die Bäume, die betrachtet werden, aber kleiner werden, bekommen wir insgesamt ein Ergebnis: T = [ φ T, ψ T, χ T ] φ ψ χ Aufgabe 11. (Modellieren mit Sprachen (2)) Kategorie 4, 5, 6 Stellen Sie sich vor, Sie sind nicht nur Informatiker, sondern auch Gärtner. Um sich schon dem eigentlichen Aussähen sicher sein zu können, dass Ihr Blumenbeet so aussieht, wie Sie sich das vorstellen, möchten Sie ein Blumenbeet als Sprache modellieren. (a) Geben Sie eine Sprache an, die eine einzelne Blumenbeetreihe beschreibt. Berücksichtigen Sie dabei Gänseblümchen, Tulpen und Narzissen. (b) Nun möchten Sie ein Beet mit beliebig vielen Blumenbeetreihen modellieren. Erweitern Sie Ihre Definitionen dazu um eine weitere Backus-Naur-Form, die auf der Definition für Blumenbeetreihen aufbaut. (c) Entwerfen Sie sich eine Semantik für Blumenbeete (Möglichkeiten: Gesamtgröße, Wasserverbrauch Anzahl an verschiedenen Blumen, ) Aufgabe 12. (Über den Tellerrand) Kategorie 5 Beurteilen Sie, ob Sie mithilfe einer oder mehrerer Backus-Naur-Formen die Sprache aufschreiben können, bei der auf jedes a ein b oder ein e folgt, auf jedes b die Zeichenkette ef, auf e entweder b, f oder a und auf f ein a folgt. Wie sieht Ihre Beurteilung aus, wenn auf jeden der Buchstaben auch nichts folgen darf? Erläutern Sie jeweils, warum es nicht möglich ist, solch eine Sprache mit Hilfe von BNFs zu modellieren bzw. geben Sie eine BNF an, die genau diese Sprache beschreibt. Im Folgenden wir Tulpe mit T, Gänseblümchen mit G und Narzisse mit N abgekürzt. Es gibt viele Möglichkeiten zur Modellierung, wir geben hier nur eine an. (a) R φ ::= T N G φt φn φg (b) Sei φ, ψ R. B χ ::= φ ψ Zäunchen χ (c) Eine Tulpe nimmt 4 Größeneinheiten ein, ein Gänsebümchen 2 und eine Narzisse 3, pro fertiger Reihe mit einem Zäunchen braucht man nochmals 5 Größeneinheiten. Dann sieht unsere Semantik einer Reihe von Blumen wie folgt aus (für φ R): (i) T R = 4 (ii) N R = 3 (iii) G R = 2 (iv) φg R = φ R + 2 (v) φn R = φ R + 3 (vi) φt R = φ R + 4 6

7 Und für Blumenreihen: (i) φ B = φ R (ii) φ Zäunchen χ = φ R χ B Aufgabe 13. (Über den Tellerrand) Kategorie 6 Wählen Sie einen geeigneten Ausschnitt der realen Welt aus und entwerfen Sie ein Modell davon mithilfe von formalen Sprachen. Ja, wenn man mehr als eine Grammatik verwendet: A φ ::= b ψ e χ B ψ ::= ef ρ E χ ::= b ψ f ρ a φ F ρ ::= a φ Auch, wenn nach jedem Buchstaben nichts folgen darf, gibt es kein Problem: A φ ::= b ψ e χ b e B ψ ::= ef ρ ef E χ ::= b ψ f ρ a φ b f a F ρ ::= a φ a 7