Skript zur Vorlesung Topologie I
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1 Skript zur Vorlesung Topologie I Carsten Lange, Heike Siebert Richard-Sebastian Kroll Faszikel 2 Fehler und Kommentare bitte an clange@math.fu-berlin.de Stand: 9. Juli 2010 Fachbereich Mathematik und Informatik Freie Universität Berlin Sommersemester 2010
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3 Inhaltsverzeichnis I. Grundbegriffe der mengetheoretischen Topologie 1 I.1. Topologische Räume I.2. Stetigkeit I.3. Abgeschlossene Mengen I.4. Unterräume & endliche Produkte I.5. Konstruktion weiterer topologischer Räume: Initialtopologie I.6. Erste Eigenschaften: Zusammenhangsbegriffe I.7. Weitere Eigenschaften: hausdorffsch & kompakt I.8. Ein Beispiel für Vieles: Cantorsches Diskontinuum I.9. Folgen I.10. Filter I.11. Trennungseigenschaften I.12. T 4 -Räume und Stetigkeit I.13. Kompaktheit I.14. Finaltopologie I.15. Quotientenräume I.16. Projektive Räume I.17. Verkleben und CW-Komplexe I.A. Bemerkungen und Ausblicke
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5 Topologie I I.9. Folgen I.9.0 Motivation: Für eine Metrik d auf R n und x M R n, sowie eine Abbildung f : R n R n, sind uns die folgenden Eigenschaften bereits aus Analysis 1 bekannt: k (I) x M (x k ) k N Folge in M mit x k x. k (II) f stetig (x k ) k N mit x k x folgt f(x k ) k f(x). k (III) x Häufungspunkt von (x k ) k N (x kn ) kn N Teilfolge mit x n kn x. Ist solch eine Charakterisierung von Abschluss, Stetigkeit und Häufungspunkt auch in topologischen Räumen möglich? Wir werden schnell feststellen, dass wir im Allgemeinen auf Schwierigkeiten stoßen. Zunächst übertragen wir die essentiellen Begriffe auf allgemeine topologische Räume. Zur Vereinfachung der Notation bezeichnen wir im Folgenden eine Folge (x n ) n N oft einfach nur mit k (x n )undschreibenx k x statt x k x. I.9.1 Definition: Seien (X, O) ein topologischer Raum, x 0 X und (x n ) eine n Folge in X. Dann heißt (x n )(O )konvergent gegen x 0 (in Zeichen x n x), wenn gilt: U U(x 0 ) n 0 N n n 0 : x n U. Ein Element x X heißt Häufungspunkt von (x n ), wenn gilt: U U(x 0 ) n 0 N n n 0 : x n U. Aus der Definition eines Häufungspunkts ist sofort zu ersehen, dass x genau dann ein Häufungspunkt der Folge (x n ) ist, wenn jede Umgebung U von x unendlich viele Folgenglieder von (x n )enthält. I.9.2 Satz: Seien (X, O X ), (Y,O Y ) topologische Räume, M X, x X und f : X Y eine Abbildung. (a) Existiert eine Folge (x n ) in M mit x n x, so gilt x M. (b) Ist f stetig in x, so gilt für jede Folge (x n ) in X mit x n x auch f(x n ) f(x). (c) Ist (x n ) eine Folge in X und existiert eine Teilfolge von (x n ), die gegen x konvergiert, so ist x ein Häufungspunkt von (x n ). Beweis: zu (a): Sei U eine Umgebung von x. Nach Voraussetzung existiert eine Folge (x n )inm so, dass x n x, d.h.esexistiertn 0 N mit x n U für alle n n 0. Folglich ist U M =, d.h.x M. zu (b): Sei (x n ) eine Folge in X mit x n x, undseiu eine Umgebung von f(x) iny. Dann ist f 1 [U] eine Umgebung von x. Also existiert n 0 N mit x n f 1 [U] für alle n n 0, insbesondere gilt f(x n ) U für alle n n 0. zu (c): Folgt direkt aus der Definition von Konvergenz. 30
6 I. Grundbegriffe der mengetheoretischen Topologie Die Umkehrungen der drei obigen Aussagen gelten i.a. nicht, wie die folgenden Beispiele zeigen. I.9.3 Beispiele: Sei eine überabzählbare Menge X mit der koabzählbaren Topologie O koabz versehen. Es ist leicht zu sehen, dass für Folgen (x n ) in X und x X gilt: x n x n 0 N : n n 0 : x n = x. (a) Sei x X und M := X \{x}. Dann ist x M, denn: für jede Umgebung U von x existiert eine offene Menge Q mit x Q U, d.h.x \ U X \ Q ist höchstens abzählbar. Insbesondere existiert y U mit x = y, d.h.u M =. Also gilt x M. Angenommen es gäbe eine Folge (x n ) in M mit x n x. Dann existiert n N mit x n = x, d.h.x M. (b) Sei x X und (x n ) eine Folge in X mit x n x. Dann existiert n 0 N, so dass x n = x für alle n n 0 gilt. Insbesondere gilt dann f(x n )=f(x), also f(x n ) f(x), für eine beliebige Abbildung f : X Y. Betrachte f := id X :(X, O koabz ) (X, O dis ). Dann ist f offensichtlich nicht stetig. (c) Ein Gegenbeispiel für die Umkehrung von Satz I.9.2(c) ist in Aufgabe 1 auf Blatt 5 zu finden. Die Beispiele zeigen, dass der Umgebungsbegriff in topologischen Räumen so allgemein ist, dass mehr kleine Umgebungen als Folgenglieder vorhanden sein können. Besser ausgedrückt: im Allgemeinen sind die Umgebungsbasen zu gross. I.9.4 Satz: Seien (X, O X ), (Y,O Y ) topologische Räume, M X, x X und f : X Y eine Abbildung. Besitzt x eine abzählbare Umgebungsbasis, dann gelten: (a) Ist x M, so existiert eine Folge (x n ) in M mit x n x. (b) Gilt für jede Folge (x n ) in X mit x n x auch f(x n ) f(x), soistf stetig in x. (c) Ist x Häufungspunkt einer Folge (x n ), so existiert eine Teilfolge von (x n ), die gegen x konvergiert. Um den Satz beweisen zu können benötigen wir das folgende Lemma. I.9.5 Lemma: Seien (X, O X ) ein topologischer Raum und (x n ) eine Folge in X. Weiter sei B eine Umgebungsbasis von x. (a) x n x B B n 0 N n n 0 : x n B. (b) Ist B abzählbar, so existiert eine Umgebungsbasis {V n n N} mit V n+1 V n für alle n N. Beweis: zu (a): Folgt aus den Definitionen von Konvergenz und Umgebungsbasis. zu (b): Sei B = {U n n N}. SetzeV n := n i=1 U i für alle n N. Offensichtlich ist V n U(x) für alle n N. DaV n U n für alle n N gilt, ist 31
7 Topologie I {V n n N} eine Umgebungsbasis. Nach Konstruktion gilt V n+1 V n für alle n N. Beweis von Satz I.9.4: Wähle eine Umgebungsbasis {V n n N} von x mit V n+m V n für alle n, m N. zu (a): Da x M, gilt V n M = für alle n N. Wähle x n V n M für alle n N, also eine Folge (x n )inm. Für alle n, m N gilt nun x n+m V n+m V n. Also x n x nach Lemma I.9.5. zu (b): Angenommen f ist nicht stetig in x. Dann existiert eine Umgebung W von f(x), so dass f 1 [W ] keine Umgebung von x ist. Es folgt V n f 1 [W ] für alle n N, d.h.esexistiertx n V n \ f 1 [W ]für alle n N. Da x n+m V n+m V n für alle n, m N gilt, folgt x n x. Weiter gilt f(x n ) / W für alle n N, d.h.(f(x n )) konvergiert nicht gegen f(x). zu (c): Definiere induktiv eine streng monoton wachsende Funktion ν : N N mit x ν(n) V n für alle n N. 1. Sei n = 1. Nach Definition eines Häufungspunktes gilt, dass für alle U U(x) undfür alle n 0 N ein m N n0 derart existiert, dass x m U gilt. Also existiert m N mit x m V 1.Setzenunν(n) =ν(1) = m. 2. Sei n N und ν(k) definiertfür alle k n. Dax ein Häufungspunkt ist, existiert m N mit m ν(n)+1 und x m V n+1.setzeν(n + 1) := m. Nach Lemma I.9.5 (a) gilt dann x ν(n) x. I.9.6 Folgerung: Erfüllt ein topologischer Raum X das 1.Abzählbarkeitsaxiom, so gelten (I) (III) aus I.9.0. Insbesondere gilt dies für metrisierbare Räume. 32
8 I. Grundbegriffe der mengetheoretischen Topologie I.10. Filter Wir haben gesehen, dass der Begriff der Folge/Folgenkonvergenz Probleme bereitet, wenn es mehr Umgebungsbasiselemente als Folgenglieder gibt. Hier setzen Ideen zur Verallgemeinerung des Folgenbegriffs an. Eine Möglichkeit ist, die Indexmenge einer Folge zu vergrössern, d.h. statt N allgemeine Mengen I (versehen mit einer Relation) zuzulassen. Dieser Ansatz führt zum Begriff Netz (oder Moore-Smith Folge ), für den sich der Konvergenzbegriff direkt übertragen lässt. Ein anderer Verallgemeinerungsansatz erschliesst sich, wenn man den Konvergenzbegriff direkt an durch Inklusion gerichtete Teilmengensysteme (wie es die Umgebungssysteme und -basen sind) anpasst. Diese Idee führt zum Begriff des Filters. I.10.1 Definition: Sei X eine Menge. (a) Ein Filter auf X ist eine nicht-leere Teilmenge F von P(X) mit (F1) F F G X mit F G G F, (F2) F 1,F 2 F F 1 F 2 F, (F3) / F. (b) Eine nicht-leere Teilmenge B von P(X) heißt Filterbasis auf X, wenn gelten (FB1) F 1,F 2 B F 3 B mit F 3 F 1 F 2, (FB2) / B. (c) Ein Filter F heißt frei, wenn F F F =, andernfalls heißt er fixiert. I.10.2 Beispiele: 1. Sei M eine nicht-leere Teilmenge der Menge X. Dann ist {M} eine Filterbasis und F = {Q X M Q} ein Filter auf X. Offensichtlich ist F fixiert. 2. Sei X ein topologischer Raum und x X. Dann ist U(x) ein Filter, der sogenannte Umgebungsfilter von x, und eine Filterbasis auf X. Eine Umgebungsbasis ist auch eine Filterbasis, jedoch im Allgemeinen kein Filter. 3. Sei (x n ) eine Folge in X und E n := {x m m n}. Die Mengen E n heißen die Endstücke der Folge (x n ). Dann ist B((x n ) n N ):={E n n N} eine Filterbasis, die sogenannte Endstück-Filterbasis von (x n ). Die Menge F B((xn)) := {F X B B((x n )) : B F } ist ein Filter. Man nennt ihn den von (x n ) erzeugten Filter. Zwei Folgen, die sich nur in endlich vielen Folgengliedern unterscheiden, erzeugen den selben Filter. Die Beispiele zeigen einige einfache Eingenschaften von Filtern und Filterbasen auf. I.10.3 Satz und Definition: Seien X eine Menge und B, F P(X). (a) Ist B eine Filterbasis, so ist F B := {F X B B : B F } ein Filter. Man nennt F B den durch B erzeugten Filter. (b) Ist F ein Filter auf X, soistf auch eine Filterbasis auf X mit F F = F. (c) F ist genau dann ein Filter, wenn F eine Filterbasis ist, die (F1) erfüllt. 33
9 Topologie I Beweis: Folgt direkt aus den Definitionen für Filter und Filterbasis. Filter und Filterbasen stellen eine Verallgemeinerung des Folgenbegriffs für topologische Räume dar. Wir übertragen nun die Begriffe Konvergenz und Häufungspunkt auf Filter und Filterbasen. I.10.4 Definition: Seien (X, O) ein topologischer Raum und x X. (a) Eine Filterbasis B auf X konvergiert gegen x (in Zeichen B x), wenn es zu jeder Umgebung U von x ein F B mit F U gibt. Man nennt x Grenzwert oder Limespunkt von B. (b) Der Punkt x heißt Häufungspunkt (oder Berührpunkt) von B, wenn x B für alle B B gilt, d.h. wenn x B B B. I.10.5 Bemerkung: Da jeder Filter auch eine Filterbasis ist, sind die Begriffe Konvergenz und Häufungspunkt auch für Filter erklärt. Offensichtlich gilt für eine Filterbasis B und den von ihr erzeugten Filter F B : B x F B x. I.10.6 Beispiele: Sei (X, O) ein topologischer Raum. 1. Ist O die triviale Topologie auf X, so gilt {M} x für alle M X, M =,x X. Für einen beliebigen topologischen Raum (X, O) und = M X ist M die Menge der Häufungspunkte sowohl von {M} als auch von dem von {M} erzeugtem Filter. 2. Ist B eine Umgebungsbasis von x X, so gilt B x. Insbesondere gilt U(x) x. 3. Ist (x n ) eine Folge in X und B((x n )) die entsprechende Endstück-Filterbasis, so konvergiert B((x n )) gegen x genau dann, wenn (x n ) gegen x konvergiert. Dies folgt aus den Definitionen der Folgenkonvergenz, der Folgen Endstücke und der Filterkonvergenz. Desweiteren ist x Häufungspunkt von (x n ) genau dann, wenn x Häufungspunkt von B((x n )) ist. Auch dies folgt unmittelbar aus den entsprechenden Definitionen. Es besteht eine enge Beziehung zwischen Filterkonvergenz und Umgebungssystemen, wie es in Beispiel I.10.6(2) schon angedeutet ist. I.10.7 Lemma: Seien (X, O) ein topologischer Raum und x X. Sei B eine Filterbasis und F ein Filter auf X. Dann gilt: F x U(x) F U B Umgebungsbasis von x : U B F. Existiert eine Umgebungsbasis U B von x mit U B B, so konvergiert B gegen x. Die Umkehrung gilt nicht. Beweis: Konvergiert F gegen x, so existiert zu jeder Umgebung U U(x) ein F F mit F U. Nach (F1) ist dann auch U F. Gilt umgekehrt U(x) F, so erfüllt F die Konvergenzbedingung trivialerweise. Die weiteren Implikationen folgen analog. Betrachte nun den Fall X = R und O = O nat. Dann ist B := {(0, 1 n ) n N} 34
10 I. Grundbegriffe der mengetheoretischen Topologie eine Filterbasis auf X, die gegen 0 konvergiert. Weiter gilt U Umgebungen U von 0. / B für alle I.10.8 Bemerkung: Sei X eine Menge. (a) Ist M X und B Filterbasis auf M, soistb insbesondere eine Filterbasis auf X. Achtung : Diese Aussage gilt wegen (F1) nicht für Filter, d.h. Filter auf M sind Filterbasen auf X, aber nicht notwendigerweise Filter auf X. (b) Ist M X, F Filter auf X, F := {F M F F}. Dann ist F ein Filter auf M genau dann, wenn F M = für alle F F gilt. Vergleiche dazu Aufgabe 2 auf Übungsblatt 5. (c) Ist X ein topologischer Raum, M X, x X und B eine Filterbasis auf M, so verstehen wir Filterkonvergenz auf M als Filterkonvergenz bezüglich des Unterraums M. I.10.9 Satz: Seien (X, O) ein topologischer Raum, M X und x X. Dann sind äquivalent: (a) x M, (b) es existiert eine Filterbasis B auf M mit B x, (c) es existiert ein Filter F M auf M mit F M x, (d) es existiert ein Filter F X auf X mit M F X und F X x. Beweis: (a) (b) :Sei x M. SetzteB := {U M U U(x)}. Es gilt U M = für alle U U(x), da x M, also gilt (FB2). Für U 1,U 2 U(x) gilt (U 1 M) (U 2 M) =(U 1 U 2 ) M B, d.h. es gilt (FB1). Damit ist B eine Filterbasis auf M. Für U U(x) gilt U M U und U M B, also B x. (b) (c) :Sei B eine Filterbasis auf M, die gegen x konvergiert, und sei F M der von B erzeugte Filter auf M. DaB gegen x konvergiert, konvergiert auch F M gegen x. (c) (d) :Sei F M ein Filter auf M, der gegen x konvergiert. Dann ist F M eine Filterbasis auf X. SeiF X der von F M erzeugte Filter auf X. Dann konvergiert F X offensichtlich ebenfalls gegen x. Dafür eine beliebige Umgebung U von x ein F F M F X so existiert, dass F U M M gilt, folgt M F X nach (F1). (d) (a) :Sei F X ein gegen x konvergierender Filter auf X, derm enthält. Sei U eine Umgebung von x. Dann existiert F F X mit F U. Weiterist F M =, dam F X gilt. Also gilt U M =. Der Beweis zeigt noch einmal, dass man Konvergenzaussagen über Filterbasen und die entsprechenden erzeugten Filter leicht ineinander überführen kann, wie schon in Bemerkung I.10.5 festgehalten wurde. Im Folgenden führen wir die 35
11 Topologie I entsprechenden Äquivalenzen nicht mehr explizit an. Bildet man einen Filter mittels einer Abbildung f : X Y zwischen den Mengen X und Y ab, so ist das Bild des Filters im Allgemeinen kein Filter. Aus der Definition für Filterbasen und den Eigenschaften von Abbildungen folgt jedoch sofort das folgende Lemma. I Lemma und Definition: Seien X und Y Mengen, f : X Y eine Abbildung und B eine Filterbasis auf X. Dann ist f(b) :={f[b] B B} eine Filterbasis auf Y, die sogenannte Bildfilterbasis von B unter f. Der von f(b) erzeugte Filter heißt Bildfilter von B unter f. Wir können nun ein Stetigkeitskriterium mittels Filtern formulieren. I Satz: Seien (X, O X ), (Y,O Y ) topologische Räume, f : X Y eine Abbildung und x X. Die Abbildung f ist genau dann stetig in x, wenn für jede gegen x konvergierende Filterbasis B auf X die Bildfilterbasis f(b) auf Y gegen f(x) konvergiert. Beweis: : Sei V eine Umgebung von f(x) iny. Dann ist f 1 [V ] eine Umgebung von x in X.DaB gegen x konvergiert, existiert B B mit B f 1 [V ], also f[b] V. Es folgt f(b) f(x). : Sei V eine Umgebung von f(x) iny. Nach Lemma I.10.7 gilt U(x) x und somit nach Voraussetzung f(u(x)) f(x). Also existiert U U(x) mit f[u] V. Es folgt U f 1 [V ]. Da U U(x), folgt f 1 [V ] U(x), also ist f stetig in x. Wenn wir Folgen betrachten, so ist der Begriff der Teilfolge oft hilfreich. Wir wollen dieses Konzept nun auf Filter übertragen. I Definition: Seien X eine Menge und F, F 1, F 2 Filter auf X. (a) Gilt F 1 F 2, so heißt F 2 feiner als F 1 und F 1 gröber als F 2. (b) F heißt Ultrafilter, wenn für alle Filter F mit F F schon F = F gilt. I Beispiele: 1. Für jedes x X ist F x := {F X x F } ein Ultrafilter, denn: F x ist ein Filter (vgl. Beispiel I.10.2, 1.). Angenommen es existiert ein Filter F mit F x F, dann existiert G F\F x,d.h.x / G. Weiter ist {x} F x F, also nach (F2) = F G F. 2. Sei (x n ) eine Folge in X, (x nl ) eine Teilfolge von (x n ),sowief B(xn) und F B(xnl ) die entsprechenden erzeugten Filter. Dann gilt F B(xn) F B(xnl ), denn ist F F B(xn), so existiert ein n N mit {x m m n} F. Dann existiert auch ein k N derart, dass {x nm m k} F und somit F F B(xnl ). Es gilt also: Teilfolgen erzeugen feinere Filter. I Satz: Sei X eine Menge. (a) Jeder Filter F 0 auf X ist in einem Ultrafilter enthalten. 36
12 I. Grundbegriffe der mengetheoretischen Topologie (b) Ist F ein Ultrafilter auf X, so gilt: F F F = x X : F = F x := {F X x F }. (c) Eine Filterbasis F ist ein Ultrafilter auf X genau dann, wenn M F oder X \ M F für alle M X gilt. Beweis: zu (a) : Wir zeigen die Aussage mit Hilfe des Zornschen Lemmas. Sei F 0 ein Filter auf X und M := {F P(X) F Filter, F 0 F}. Dann ist (M, ) telweise geordnet (d.h. ist eine Halbordnung auf M). Wegen F 0 M gilt M =. SeiK eine nicht-leere total geordnete (d.h. linear geordnete) Teilmenge von M. Setze G := F K F = {F X F K : F F}. Dann gilt F G für alle F K. Damit ist G ein Filter, denn: (F1) Für G G gilt G F für ein F K. DaF ein Filter ist, ist auch jede Menge G G Element von F, also von G. (F2) Seien G 1,G 2 G,d.h.esexistierenF 1, F 2 K mit G 1 F 1,G 2 F 2. Da K total geordnet ist, können wir o.b.d.a. F 1 F 2 annehmen. Also gilt G 1,G 2 F 2 und somit G 1 G 2 F 2 G. (F3) klar. Nach dem Zornschen Lemma existiert dann ein maximales Element F M. Insbesondere gelten: F ist ein Filter auf X, F 0 F und für alle Filter F auf X mit F F gilt F M und somit F = F. Also ist F ein Ultrafilter. zu (b) : Sei F ein Ultrafilter auf X. : Wähle x F F =, also x F für alle F F, d.h.f F x.da F ein Ultrafilter ist, gilt somit schon F = F x. : Sei x X mit F = F x, also x F für alle F F, also x F F F. zu (c) : : Sei F ein Ultrafilter auf X, M X. Angenommen es existieren F 1,F 2 mit F 1 M,F 2 X \ M. Dann gilt F F 1 F 2 =, was zu einem Widerspruch führt. Also gilt entweder F M = für alle F F oder F X \M = für alle F F. O.B.d.A. gelte F M = für alle F F. Dann ist B := {B X F F : B = F M} eine Filterbasis und F = {F X G F : F G M} der von B erzeugte Filter. Es gilt insbesondere M F,F F für alle F F wegen (F1). Somit ist F feiner als der Ultrafilter F, d.h.f = F und somit M F. : Angenommen G ist ein echt feinerer Filter als F. Dann existiert ein G G\F. Nach Voraussetzung ist dann X \ G F G. Es folgt, dass = G X \ G G. I Bemerkung: Zu jeder Filterbasis B existiert ein Ultrafilter, der B enthält, da der von B erzeugte Filter in einem Ultrafilter enthalten ist. Wir können nun eine Entsprechung zu I.9.0 (III) formulieren. 37
13 Topologie I I Satz: Seien (X, O) ein toplogischer Raum, F ein Filter auf X und x X. Dann ist x ein Häufungspunkt von F genau dann, wenn es einen Filter G auf X gibt, der feiner als F ist und gegen x konvergiert. Beweis: : Setze B := {U F U U(x),F F}.EsistF B, dax U(x). Weiter ist B eine Filterbasis, denn: (FB1) Für (U 1 F 1 ), (U 2 F 2 ) B gilt U 1 U 2 U(x),F 1 F 2 F, also (U 1 F 1 ) (U 2 F 2 )=(U 1 U 2 ) (F 1 F 2 ) B. (FB2) Es ist x F für alle F F, also U F = für alle U U(x),F F, also / B. Sei G der von B erzeugte Filter. Dann ist F G. Weiter gilt U(x) G wegen (F1). Es folgt G x nach Lemma I : Sei G ein Filter auf X mit F G und G x. Dann gilt U(x) G nach Lemma I Für alle U U(x) undf F gilt U, F G, also U F G, also U F =. Damit ist x F für alle F F und somit ein Häufungspunkt von F. I Korollar: Ein Ultrafilter konvergiert gegen jeden seiner Häufungspunkte. Zum Abschluss wollen wir das Verhalten von Filtern auf Räumen betrachten, die die Initialtopologie tragen. Insbesondere interessieren wir uns auch hier wieder für Produkträume. I Satz: Seien X eine Menge, I eine Indexmenge, (X i, O i ) topologische Räume und f i : X X i Abbildungen für alle i I. Weiter sei O X die Initialtopologie auf X bzgl. der f i,i I, undf eine Filterbasis auf X, sowiex X. Dann konvergiert F genau dann gegen x, wenn für alle i I die Bildfilterbasis f i (F) gegen f i (x) konvergiert. Beweis: : Konvergiert F gegen x, so konvergiert nach Satz I auch f i (F) gegen f i (x), da f i für alle i I bzgl. der Initialtopologie stetig ist. : Betrachte B := k K f 1 k [U k] K I endlich, U k U(f k (x)). Wir zeigen: (a) B ist eine Umgebungsbasis von x, (b) B B F F : F B. Daraus folgt sofort F x nach den Definitionen von Konvergenz und Umgebungsbasis. zu(a) : Sei U X eine Umgebung von x. Nach Satz I.5.4 ist durch die Menge S = f 1 [O] O O i eine Subbasis von OX gegeben. Also existieren k N und Q ij O ij, j {1,...,k} so, dass x Q := k l=1 f i 1 l [Q il ] U. Weiter gilt f ij (x) Q ij für alle j {1,...,k}, dh. Q ij U(f ij (x)). Damit ist nach Definition Q B, und es gilt 38
14 I. Grundbegriffe der mengetheoretischen Topologie x Q U. Somit ist B eine Umgebungsbasis von x. zu(b) : Sei B B, also B = k K f 1 k (U k)für eine endliche Teilmenge K von I und U k U(f k (x)) für alle k K. Nach Voraussetzung konvergiert f k (F) gegen f k (x) für alle k K, also existieren F k F mit f k (F k ) U k für all k K. Nach (FB1) finden wir ein F F mit F k K F k. Dann gilt F k K f 1 k (U k)=b. I Korollar: Seien (X i, O i ) topologische Räume für alle i aus einer Indexmenge I, und sei X := i I X i versehen mit der Produkttopologie, weiter sei x X. Eine Filterbasis F auf X konvergiert genau dann gegen x, wenn p i (F) gegen p i (x) konvergiert für alle i I gilt. 39
15 Topologie I I.11. Trennungseigenschaften I.11.0 Vorbemerkung: Sei (X, d) ein metrischer Raum, und seien A 1,A 2 abgeschlossene, disjunkte Teilmengen von X. Dann existieren disjunkte Umgebungen U 1 von A 1 und U 2 von A 2. Beweisskizze: Es gilt A 1 X \ A 2,undX \ A 2 ist offen. Wähle für alle a A 1 ein ε a > 0 mit B d (a, 2ε a ) X \ A 2.SetzeU 1 := a A 1 B d (a, ε a ). Konstruiere U 2 analog, dann erfüllen U 1 und U 2 die gewünschte Bedingung. Hier haben wir ausgenutzt, dass wir in metrischen Räumen beliebig kleine offene Mengen zur Verfügung haben. Trägt X die triviale Topologie, so scheitern solche Argumente. Für beliebige topopgische Räume betrachtet man daher unterschiedlich starke Trennungseigenschaften. I.11.1 Definition: Sei (X, O) ein topologischer Raum. Der Raum X heißt T 0 -Raum, wenn von je zwei verschiedene Punkten aus X einer eine Umgebung besitzt, die den anderen nicht enthält, T 1 -Raum, wenn von je zwei verschiedene Punkten aus X jeder eine Umgebung besitzt, die den anderen nicht enthält, T 2 -Raum (oder Hausdorff-Raum), wenn je zwei Punkte disjunkte Umgebungen besitzen, T 3 -Raum, wenn jede abgeschlossene Teilmenge A von X und jedes x X \ A disjunkte Umgebungen besitzen, T 3 1 -Raum (oder auch T 3a -Raum), wenn es zu jeder abgeschlossenen Teilmenge A von X und jedem x X \A eine stetige Abbildung f : X [0; 1] 2 gibt mit f(x) =1und f A 0, d.h.f[a] {0}, T 4 -Raum, wenn je zwei disjunkte abgeschlossene Teilmengen von X disjunkte Umgebungen besitzen. Die aufgelisteten Eigenschaften nennt man Trennungseigenschaften oder Trennungsaxiome. Man spricht oft auch davon, dass Punkte bzw. Mengen durch Umgebungen bzw. Funktionen getrennt werden, wenn die entsprechenden Trennungseigenschaften erfüllt sind. Die verschiedenen Trennungsaxiome sind oft uneinheitlich definiert, und es gibt durchaus noch weitere Trennungseigenschaften. Es ist also Vorsicht geboten, wenn man verschiedene Quellen nutzt. Wir haben T 2 -Räume schon in Abschnitt I.7 kennen gelernt. Die dortige Definition betrachtet nur offene Umgebungen, was uns Anlass für die folgende Bemerkung gibt. I.11.2 Bemerkung: 1. Wir erhalten äquivalente Bedingungen für die Trennungseigenschaften, wenn wir statt Umgebungen nur offene Umgebungen betrachten. 2. I.11.0 zeigt: metrische Räume sind T 4-Räume. Zwischen den verschiedenen Trennungsaxiomen bestehen diverse Beziehungen. Wir betrachten dazu einige Beispiele. 40
16 I. Grundbegriffe der mengetheoretischen Topologie I.11.3 Beispiele: (a) Sei X := {1, 2} und O := {,X,{1}}. Dann ist (X, O) ein T 0 - aber kein T 1-Raum. (b) Sei X eine nicht endliche Menge versehen mit der kofiniten Topologie. Dann ist X ein T 1 - aber kein T 2 -Raum (vgl. Übung 4/3b). (c) Sei X := {1, 2} und O := {,X}. Dann ist (X, O) ein T 3 -, aber weder ein T 0 - noch ein T 2 -Raum. (d) Der Raum (X, O) mit X = {1, 2, 3, 4} und O = {,X,{1},{1, 2}, {1, 2, 3}} ist ein T 4 -Raum, denn die abgeschlossenen Mengen von X sind,x, {2, 3, 4}, {3, 4}, {4}. D.h. für alle abgeschlossenen und disjunkten Mengen A, B X gilt A = oder B =. Die einzige Umgebung von {4} ist X, alsoistt 1 verletzt (betrachte etwa x := 4,y := 1) undt 3 verletzt (betrachte A := {4},x:= 1). (e) Metrische Räume sind T 0 -,T 1 -,T 2 -,T 3 -,T ( )-undt 4-Räume. Die Beweisidee aus der Vorbemerkung erlaubt die in den entsprechenden Trennungsaxiomen geforderten Umgebungen zu finden. Um T 3 1 zu zeigen, 2 betrachte für A X abgeschlossen, x X \ A die Funktion f : X [0; 1],y 1 2d(x,y) d(x,y)+d(x,a). Wir können nun einige einfache Beobachtungen zusammenfassen. I.11.4 Beobachtung: (1) Jeder T 1 -Raum ist ein T 0 -Raum, aber nicht umgekehrt. (2) Jeder T 2 -Raum ist ein T 1 -Raum, aber nicht umgekehrt. (3) T 3 -Räume sind im Allgemeinen weder T 2 - noch T 1 -Räume (noch T 0 -Räume). (4) T 4 -Räume sind im Allgemeinen weder T 1 - noch T 3 -Räume (noch T 0 -Räume). (5) Jeder T 3 1 -Raum ist ein T 3 -Raum, denn: 2 Seien A X abgeschlossen, x X \ A und f : X [0; 1] stetig mit f(x) =0und f A 1. Setze O 1 := f 1 [[0; 1 2 )]] und O 2 := f 1 [( 1 2 ; 1]]. Die Mengen O 1,O 2 sind offen in X und trennen x und A. Es gilt also: T 0 T 1 T 2 und T 3 T Wir werden später noch Kombinationen von Trennungseigenschaften sehen, die weitere Implikationen erlauben. Zunächst betrachten wir äquivalente Bedingungen für die Trennungseigenschaften. I.11.5 Satz: Sei (X, O) ein topologischer Raum. Dann sind folgende Aussagen äquivalent: (i) X ist ein T 1 -Raum. (ii) Jede 1-elementige Teilmenge von X ist abgeschlossen. (iii) Jede Teilmenge M von X ist der Schnitt aller ihrer Umgebungen. Beweis: (i) (ii) : Sei x X. Für jedes y = x existiert eine Umgebung und insbesondere eine offene Menge Q mit y Q und Q X \{x}. Also können wir X \{x} als Vereinigung offener Mengen darstellen, d.h. X \{x} ist offen. Folglich ist {x} abgeschlossen. 41
17 Topologie I (ii) (iii) : Sei M X. Offensichtlich liegt M im Schnitt aller Umgebungen von M. Weiteristfür alle x/ M die Menge X \{x} Umgebung von M, da {x} abgeschlossen ist. Also liegt x nicht im Schnitt aller Umgebungen von M, woraus die Behauptung folgt. (iii) (i) : Sei x X, also ist die Menge {x} der Schnitt aller ihrer Umgebungen. Folglich existiert für y X \{x} eine Umgebung U U(x) mit y/ U. Der folgende Satz fasst Ergebnisse aus vorigen Abschnitten sowie Übungsaufgaben zusammen. I.11.6 Satz: Sei (X, O) ein topologischer Raum. Dann sind äquivalent: (a) X ist hausdorffsch. (b) Für jedes x X ist die Menge {x} der Durchschnitt aller ihrer abgeschlossenen Umgebungen. (c) Ist B eine Filterbasis auf X, die gegen ein x X konvergiert, so ist x der einzige Häufungspunkt von B. (d) Keine Filterbasis auf X hat mehr als einen Grenzwert. (e) Kein Filter auf X hat mehr als einen Grenzwert. (f) Die Diagonale {(x, x) x X} ist abgeschlossen im Produktraum X X. Beweis: Siehe Satz I.7.4 und Übungsaufgaben 4/4 und 6/2. I.11.7 Bemerkung: Die Aussagen für Filter gelten im Allgemeinen nicht für Folgen. Ein topologischer Raum muss kein T 2 -Raum sein, wenn jede konvergente Folge genau einen Grenzwert hat. Betrachte dazu (X, O), wobei X eine überabzählbare Menge und O die koabzählbare Topologie ist. Die konvergenten Folgen sind bis auf endlich viele Folgenglieder konstant (vgl. Beispiel I.9.3). Insbesondere hat jede konvergente Folge genau einen Grenzwert. Sind x, y X mit x = y und sind U x,u y Umgebungen von x bzw. y, dann existieren offene Mengen Q x U x und Q y U y,d.h.x \ Q x und X \ Q y sind abzählbar. Insbesondere gilt Q y X \ Q x,daq y überabzählbar ist, d.h. Q y Q x = und somit U x U y =. Der Raum (X, O) ist also kein T 2 -Raum. I.11.8 Satz: Sei (X, O) ein topologischer Raum. Dann ist X genau dann ein T 3 -Raum, wenn für jeden Punkt aus X die abgeschlossenen Umgebungen eine Umgebungsbasis bilden. Beweis: : Seien x X, U U(x) undq O mit x Q U. Insbesondere gilt x/ X \ Q, undx \ Q ist abgeschlossen. Dann existieren offene, disjunkte Mengen Q 1,Q 2 O mit x Q 1 und X \ Q Q 2. Also gilt x Q 1 X \ Q 2 X \ (X \ Q) =Q U, d.h. die abgeschlossene Umgebung X \ Q 2 von x ist in U enthalten. : Sei x X und A X abgeschlossen mit x/ A. Dann ist X \A eine Umge- 42
18 I. Grundbegriffe der mengetheoretischen Topologie bung von x. Nach Voraussetzung existiert eine abgeschlossene Umgebung V U(x) mitx V X \ A. Somit ist X \ V eine offene Umgebung von A. DaV eine Umgebung von x ist und V (X \ V )= gilt, folgt die Behauptung. I.11.9 Satz: Sei (X, O) ein topologischer Raum. Dann ist X genau dann ein T 3 1 -Raum, wenn B = f 1 [U] U R offen bzgl. O nat,f: X R stetig 2 eine Basis von O ist. Beweis: : Es gilt offensichtlich B O. Wir zeigen nun: für alle x X enthält B eine Umgebungsbasis von x. Die Behauptung folgt dann, da jede offene Menge Umgebung aller ihrer Punkte ist. Sei x X und V eine offene Umgebung von x, d.h.x \ V ist abgeschlossen und x / X \ V. Nach Voraussetzung existiert eine stetige Funktion f : X [0; 1] R mit f[x \ V ] {0} und f(x) = 1. Da f stetig ist, ist f 1 [R \{0}] eineoffene Umgebung von x und f 1 [R \{0}] V.Da f 1 [R \{0}] B gilt, folgt die Behauptung. : Sei A X abgeschlossen, und sei x X mit x / A. Die Menge X \ A ist offen, also existiert nach Voraussetzung eine Indexmenge I und offene Mengen U i R für alle i I, sowie stetige Abbildungen f i : X R für alle i I mit X \ A = i I f i 1 [U i ]. Insbesondere existiert k I mit x f 1 [U k]. k Der topologische Raum (R, O nat ) ist metrisierbar, also insbesondere ein -Raum. Folglich existiert eine stetige Abbildung g : R [0; 1] mit T g(f k (x)) = 1 und g[r \ U k ] {0}. Dann ist g f k : X [0; 1] stetig, und es gilt g f k [A] g f k [X \ f 1 k [U k]] g[r \ U k ] {0} und g f k (x) = 1. I Satz: Sei (X, O) ein topologischer Raum. Dann ist X genau dann ein T 4 -Raum, wenn für alle abgeschlossenen Mengen A X und für alle offenen Mengen Q X mit A Q eine offene Menge U so existiert, dass A U U Q gilt. Beweis: Übungsaufgabe 7/2. Wir betrachten nun topologische Räume, die eine Kombination von Trennungseigenschaften erfüllen. Auch hier unterscheiden sich die Definitionen wieder von Autor zu Autor. I Definition: Sei (X, O) ein topologischer Raum. Dann heißt X regulär, falls X ein T 3 -undt 1 -Raum ist, vollständig regulär, wenn X ein T 3 1 -undt
19 Topologie I Raum ist und normal, falls X ein T 4 -undt 1 -Raum ist. I Bemerkung: (a) Ein regulärer Raum ist hausdorffsch, denn in T 1 -Räumen sind die einelementigen Teilmengen abgeschlossen und in T 3 -Räumen können abgeschlossene Mengen von Punkten in ihrem Komplement getrennt werden. (b) Da T 3 1 -Räume immer T 3 -Räume sind, sind vollständig reguläre Räume 2 auch regulär. (c) In normalen Räumen sind ein-elementige Mengen abgeschlossen, und disjunkte, abgeschlossene Mengen können getrennt werden, also sind normale Räume regulär. Wir werden später sehen, dass sie sogar vollständig regulär sind. Es gelten also folgende Beziehungen: vollst. regulär normal regulär T 0 T 1 T 2 T 3 T 3 1 T 4 Im Folgenden befassen wir uns mit Vererbbarkeit von Trennungseigenschaften. I Satz: (a) Für i =0, 1, 2, 3, ist jeder Teilraum eines T i-raumes ein T i -Raum. (b) Jeder abgeschlossene Unterraum eines T 4 -Raumes ist ein T 4 -Raum. Insbesondere ist jeder abgeschlossene Unterraum eines normalen Raumes normal. Beweis: zu(a) Wir zeigen die Aussage nur exemplarisch für i = 3. Seien (X, O) eint 3 -Raum, M X, x M, A M abgeschlossen in M und x / A. Dann existiert eine abgeschlossene Menge B X mit B M = A und x / B. DaX ein T 3 -Raum ist, existieren disjunkte Umgebungen U von x und V von B. Dann sind M V und U V disjunkte Umgebungen von A bzw. x in M. zu(b) Für einen topologischen Raum (X, O), eine abgeschlossene Menge M X und in M abgeschlossene Mengen A, B M gilt, dass A und B auch abgeschlossen in X sind. Ist X ein T 4 -Raum, können wir die Behauptung analog zu Teil (a) zeigen. 2 I Bemerkung: Satz I.11.13(b) ist im Allgemeinen falsch für nicht abgeschlossene Teilräume. Betrachte dazu X = {1, 2, 3, 4} und O = {,X,{1}, {1, 2}, {1, 3}, {1, 2, 3}}. Die abgeschlossenen Mengen sind,x,{4}, {2, 4}, {3, 4}, {2, 3, 4}. SindA, B 44
20 I. Grundbegriffe der mengetheoretischen Topologie X abgeschlossen und disjunkt, gilt also schon A = oder B =. SomitistX ein T 4 -Raum. Betrachte nun M = {1, 2, 3}, d.h.o M = O\{X} und M,,{2, 3},{3},{2} sind die in M abgeschlossenen Mengen. Zu A := {2} und B := {3} existieren keine disjunkten Umgebungen in M, d.h.(m,o M ) ist kein T 4 -Raum. I Satz: Seien J eine Indexmenge, (X j, O j ) topologische nicht-leere Räume für alle j J und (X, O) ihr Produktraum. (a) Für i =0, 1, 2, 3, ist X ein T i-raum genau dann, wenn X j T i -Raum für alle j J gilt. (b) Produkte von T 4 -Räumen sind im Allgemeinen keine T 4 -Räume. Beweis: zu(a) : Sei i {0, 1, 2, 3, }, X ein T i-raum und j J. Wie in Aufgabe 2/4 gezeigt ist X j homöomorph zu einem Teilraum von X, nämlich zu k J Y X j falls k = j k mit Y k = für ein beliebiges x k X k. Nach {x k } sonst Satz I ist jeder Teilraum eines T i -Raumes ein T i -Raum, also ist auch X j ein T i -Raum. : Wir zeigen zunächst exemplarisch für i =0, 1, 2, 3 den Fall i = 3. Seien also alle X j, j J, T 3 -Räume. Wir zeigen: Für alle x X und U x U(x) existiert eine abgeschlossene Umgebung A von x mit A U x. Dann ist X nach Satz I.11.8 ein T 3 -Raum. Sei x =(x j ) j J X. Für jede Umgebung U x von x existiert eine Umgebung U U x von x mit U := k K p 1 k [U k], wobei K I endlich und U k Umgebung von x k in X k für alle k K ist. Da X k ein T 3 -Raum für alle k K ist, existieren nach Satz I.11.8 abgeschlossene Umgebungen A k von x k mit x k A k U k für alle k K. Dann ist A := k K p 1[A k] eine abgeschlossene Umgebung von x, dadie k Projektionen stetig sind. Es gilt x A U. Sei nun X j ein T 3 1 -Raum für alle j J. SeienA eine abgeschlossene 2 Teilmenge von X und x =(x j ) j J X \ A. IstA =, so folgt die Behauptung sofort. Nehmen wir also an, dass A nicht leer ist. Da X \A offen ist, existieren offene Mengen Q j X j so, dass Q j = X j für fast alle j J und x Q := j J Q j X \ A gilt. Sei K := {j J Q j = X j }. Die Menge K ist endlich und nicht leer. Sei k K, d.h.x k liegt nicht in der abgeschlossenen Menge X k \ Q k. Da X k ein T Raum ist, existiert eine stetige Abbildung f k : X k [0; 1] mit f k (x k )=1undf k [X k \ Q k ] {0}. Wirdefinierennundie Abbildung f : X [0; 1] durch f((y j ) j J )=min{f l (y l ) l K}. Da K endlich ist, ist f wohldefiniert und stetig. Es gilt weiter f(x) = 1. Für ein a =(a j ) j J A existiert ein l K mit a l / Q l und somit gilt f(a) = 0. zu(b) Wir geben ein Beispiel nach dem folgenden Lemma an. 45
21 Topologie I I Bemerkung: Für das nächste Lemma erinnern wir kurz an grundlegende Definitionen aus der Mengenlehre. Sind A und B Mengen dann ist (a) A B, falls es eine injektive Abbildung f : A B gibt, (b) A < B, falls es eine injektive Abbildung f : A B gibt, aber keine injektive Abbildung g : B A, (c) A < P(A). I Lemma: Sei (X, O) ein topologischer Raum. Enthält X eine dichte Teilmenge D und einen abgeschlossenen diskreten Unterraum S mit S P(D), dann ist X nicht normal. Beweis: Angenommen, X ist ein T 4-Raum. Da S diskret ist, sind alle Teilmengen von S sowohl offen, als auch abgeschlossen in S. Da S abgeschlossen in X ist, sind alle Teilmengen von S auch in X abgeschlossen. Für alle A S existieren offene Mengen V A und V S\A in X mit A V A, S \ A V S\A und V A V S\A =, dax ein T 4-Raum ist. Definiere f : P(S) P(D), A V A D. Wir zeigen, dass f injektiv ist. Seien dazu A, B S mit A = B. O.B.d.A. sei A \ B =. Seix A \ B, also x S \ B, also x V A V S\B.DaV A V S\B offen und D dicht in X ist, gilt V A V S\B D =, aber V B V S\B D =. Es folgt V A D = V B D, also f[a] = f[b], d.h. f ist injektiv. Damit gilt P(S) P(D) S < P(S). I Beispiel (und Beweis von I.11.15(b)): Sei (R, O) die Sorgenfrey -Gerade, d.h. O ist die Topologie, die von den Umgebungssystemen U(x) :={U R ε > 0:(x ε; x] U} erzeugt wird. Nach Aufgabe 6/3 ist (R, O) normal und O feiner als die euklidische Topologie. Behauptung : (X, O X )=(R, O) (R, O) ist nicht normal. Setze D := {(a, b) a, b Q} X und S := {(x, x) x R} X. Dann ist D dicht in X. Die Menge S ist abgeschlossen bzgl. der euklidischen Topologie, also auch bzgl. O X.Für alle x R ist (x 1,x] ( x 1, x] S = {(x, x)} offen in S, also ist S diskret. Weiter ist D abzählbar, also P(D) = P(N) R = S. Tatsächlich gilt P(N) = R (siehe beispielsweise Kapitel 17 Mengen, Funktionen und die Kontinuumshypothese [1]). Nach Lemma I ist X nicht normal. Wir werden später noch einen weiteren wichtigen Typ topologischer Räume kennenlernen, nämlich Quotientenräume. An dieser Stelle sei nur schon die Warnung ausgesprochen, dass sich Trennungseigenschaften im Allgemeinen nicht auf Quotientenräume vererben. 46
22 I. Grundbegriffe der mengetheoretischen Topologie I.12. T 4 -Räume und Stetigkeit Sei (X, O X ) ein topologischer Raum. Die Wahl der Topologie auf X schränkt die Vielfältigkeit der stetigen Funktionen f : X (R, O nat )ein.isto X etwa die triviale Topologie, so sind nur die konstanten Funktionen stetig. In T 4 - Räumen gibt es starke Aussagen die Existenz stetiger Funktionen f : X R betreffend. I.12.1 Satz (Lemma von Urysohn): Sei (X, O) ein topologischer Raum. Dann ist X ein T 4-Raum genau dann, wenn zu je zwei disjunkten, nicht-leeren, abgeschlossenen Teilmengen A, B von X eine stetige Funktion f : X [0; 1] derart existiert, dass f[a] ={0} und f[b] ={1} gilt. Beweis: : Seien A, B X disjunkt, nicht-leer und abgeschlossen, und sei f : X [0; 1] stetig mit f[a] ={0} und f[b] ={1}. SetzeQ 1 := f 1 [[0; 1 2 )] und Q 2 := f 1 [( 1 2 ; 1]]. Dann sind Q 1 und Q 2 offen in X, A Q 1, B Q 2 und Q 1 Q 2 =. Also ist X ein T 4 -Raum. : Oft wird auch nur diese Richtung als Lemma von Urysohn bezeichnet. Wir konstruieren zunächst eine Folge geschachtelter Mengen von A nach B, die möglichst fein ist. Dazu benutzen wir wiederholt die Charakterisierung von T 4 -Räumen aus Satz I Dazu definieren wir D := x [0; 1] n N k {0, 1,...,2 n } : x = k Die Menge D ist eine Teilmenge der dyadischen rationalen Zahlen des Einheitsintervalls und ist dicht in [0; 1] (vergleiche hierzu auch die Definition I.8.1 folgenden Bemerkungen zu p-adischen Brüchen). Wir konstruieren nun eine Abbildung ν : D O mit (i) A ν(0), (ii) Q := X \ B = ν(1), (iii) d, d D : d<d ν(d) ν(d ). Für all n N 0 setzen wir D n := {0, 1 2, 2 n 2,..., n 2n 1 2, 1} ist, d.h. n n N 0 D n = D und D n D n+1 für alle n N 0. Wir definieren nun induktiv Abbildungen ν n : D n O, n N 0, wobei folgende Eigenschaften erfüllt sein sollen: (a) A ν 0 (0), ν 0 (1) = Q, (b) d, d D n : d<d ν n (d) ν n (d ), (c) ν n Dn 1 = ν n 1. n =0: Nach Satz I existiert Q 0 O mit A Q o Q Q. Setze ν 0 (0) := Q 0 und ν 0 (1) = Q. Dann gelten (a)-(c) (mit D 1 := ). n n +1: Die Abbildung ν n erfülle (a)-(c). Setze dann ν n+1 (d) :=ν n (d) für alle d D n. Somit gelten (a) und (c). Für d D n+1 \ D n existiert k N ungerade mit d = k, insbesondere gilt d 2 n+1 1 := k 1,d 2 n+1 2 := k+1 D 2 n+1 n. Dann gilt ν n+1 (d 1 )=ν n (d 1 ) ν n (d 1 ) ν n (d 2 )=ν n+1 (d 2 ). Nach Satz I existiert Q k O mit ν n+1 (d 1 ) Q k Q k ν n+1 (d 2 ). 2 n. 47
23 Topologie I Setzte ν n+1 ( k ):=Q 2 n+1 k. Dann gilt auch (a). Für die Definition der Funktion ν wählen wir für alle d D ein n d N so, dass d D nd gilt. Setze nun ν : D O, d ν nd (d). Dann ist ν wohldefiniert wegen (c) und erfüllt (i)-(iii) wegen (a) und (b). Wir definieren weiter f : X [0; 1], 1 falls x B x inf {d D x ν(d)} falls x Q = X \ B. Da x ν(1) für alle x X \ B ist f wohldefiniert. Es bleibt zu zeigen, dass f stetig ist. Sei also x X und U eine Umgebung von f(x). Dann existiert ε > 0 mit ]f(x) ε; f(x)+ε[ [0; 1] U. Betrachte zunächst den Fall f(x) / {0, 1} und o.b.d.a. U ε :=]f(x) ε; f(x)+ε[ [0; 1]. Dann existieren d 1,d 2 U ε D mit d 1 <f(x) <d 2, insbesondere gilt d 1 <d 2 und x ν(d 2 ) \ ν(d 1 ) wegen (iii) und da D dicht in [0; 1] ist. Es ist außerdem ν(d 2 ) \ ν(d 1 )offen in X und ν(d 2 ) \ ν(d 1 ) f 1 [U], da d 1 f(y) d 2 für alle y ν(d 2 ) \ ν(d 1 ). Damit ist f 1 [U] U(x). Sei nun f(x) = 0. Dann existiert ε > 0 mit [0; ε[ U, insbesondere existiert d D mit 0 <d<ε. Dann ist x ν(d) wegen (iii), also ν(d) U(x) und ν(d) f 1 [U]. Sei letztlich f(x) = 1. Dann existiert ε > 0 mit ]1 ε; 1] U und d D mit 1 ε < d < 1. Dann ist x X \ ν(d), da andernfalls x ν(d ) für ein d<d < 1, also f(x) < 1wäre. Somit ist X \ ν(d) U(x) und X \ ν(d) f 1 [U]. Das Lemma von Urysohn erlaubt uns nun den Zusatz zu Bemerkung I (c) zu verifizieren. I.12.2 Korollar: Jeder normale Raum ist vollständig regulär. Beweis: Seien (X, O) ein normaler topologischer Raum, A X abgeschlossen und x X \ A. Dann ist B := {x} abgeschlossen, da X insbesondere ein T 1 - Raum ist. Für A = ist nichts zu zeigen, andernfalls liefert das Lemma von Urysohn die gesuchte stetige Abbildung. Das Ergebnis aus dem Satz von Urysohn lässt sich noch verallgemeinern, wie der nächste Satz zeigt. 48
24 I. Grundbegriffe der mengetheoretischen Topologie I.12.3 Satz (Tietze): Sei (X, O) ein topologischer Raum. Es ist X genau dann ein T 4 -Raum, wenn jede auf einer abgeschlossenen Teilmenge M von X definierte stetige Abbildung f : M [a; b], a, b R, a b, eine stetige Fortsetzung F : X [a; b] besitzt. Für den Beweis brauchen wir zwei Lemmata. I.12.4 Lemma: Seien (X, O) ein T 4 -Raum, M X abgeschlossen, r R >0 und u: M [ r; r] eine stetige Abbildung. Dann existiert eine stetige Abbildung ν : X [ r 3 ; r 3 ] mit u(x) ν(x) 2 3 r für alle x M. Beweis: Wir setzen A := u 1 ([ r; r 3 ]) und B := u 1 ([ r 3 ; r]). Dann sind A und B abgeschlossen, da u stetig ist, und es gilt A B =. Zunächst nehmen wir an, dass A = = B. Nach dem Lemma von Urysohn existiert eine stetige Abbildung f : X [0; 1] mit f[a] = {0} und f[b] = {1}. Definierenun ν : X R durch ν(x) := 2 3 r f(x) r 3. Dann ist ν stetig und ν[x] [ r 3 ; r 3 ]. Ist x A, so gilt ν(x) = r 3 und u(x) [ r; r 3 ], also u(x) ν(x) [ 2 3r; 0], d.h. u(x) ν(x) 2 3 r. Ist x B, so gilt ν(x) = r 3 und u(x) [ r 3 ; r], also u(x) ν(x) 2 3 r. Ist x M \(A B), so gilt r 3 x r 3 und r 3 ν(x) r 3, also u(x) ν(x) 2 3 r. Falls A = und B =, wähle f 1, d.h. ν r 3. Falls A = und B =, wähle f 0, d.h. ν r 3. Falls A = = B wähle ν 0. In allen Fällen folgt die Behauptung. I.12.5 Lemma: Seien (X, O) ein T 4 -Raum, M X abgeschlossen und g : M [ 1; 1] eine stetige Abbildung. Dann existiert eine Folge (g n ) n N0 von stetigen Abbildung g n : X [ 1+( 2 3 )n ;1 ( 2 3 )n ] so, dass für alle n N gilt: (i) g(x) g n (x) ( 2 3 )n für alle x M, (ii) g(x) g n 1 (x) 1 3 ( 2 3 )n 1 für alle x X. Beweis: Wir definieren eine Funktionenfolge mit den gewünschten Eigenschaften induktiv. n =0, 1: Setze g 0 0. Nach Lemma I.12.4 (für r = 1, u = g) existierteine stetige Funktion g 1 : X [ 1 3 ; 1 3 ]mit g(x) g 1(x) 2 3 für alle x M. Dann erfüllt g 1 die Bedingungen (i) und (ii). n n +1: Sei n N, undseieng 1,...,g n Funktionen mit den gewünschten Eigenschaften. Nach (i) ist g g n M eine Abbildung von M nach [ ( 2 3 )n ;( 2 3 )n ]. Weiter ist g g n M stetig. Nach Lemma I.12.4 (für u = g g n M, r =( 2 3 )n+1 ) existiert eine stetige Abbildungen ν n : X [ 1 3 ( 2 3 )n ; 1 3 ( 2 3 )n ]mit g(x) g n (x) ν n (x) ( 2 3 )n+1. Setze nun g n+1 := g n + ν n. Dann ist g n+1 stetig, es gilt (i) und für alle 49
25 Topologie I x M gilt: g n+1 (x) =g n (x)+ν n (x) [ 1+( 2 3 )n 1 3 (2 3 )n ;1 ( 2 3 )n (2 3 )n ] =[ 1+( 2 3 )n+1 ;1 ( 2 3 )n+1 ]. Letztendlich gilt g n+1 (x) g n (x) = ν n (x) 1 3 ( 2 3 )n für alle x X, somit ist Bedingung (ii) erfüllt. Beweis (Satz von Tietze): Seien A, B X abgeschlossen, nicht-leer und disjunkt. Setze M := A B und definiere g : M [0; 1], 0 falls x A x 1 falls x B. Da der Schnitt von A und B leer ist, ist g wohldefiniert. Weiter sind g A und g B konstant, also stetig. Dann ist auch g stetig (es ist einfach zu zeigen, dass Urbilder abgeschlossener Mengen abgeschlossen sind) und nach Voraussetzung existiert eine stetige Fortsetzung von g auf X. Nach dem Lemma von Urysohn ist X damit ein T 4 -Raum. Seien M X abgeschlossen, a, b R, a b und f : M [a; b] eine stetige Abbildung. Ist a = b, sowähle F a. Sei also a<b.wirkönnen o.b.d.a. annehmen, dass a = 1 und b =1ist,da[a; b] homöomorph zu [ 1; 1] ist. Wähle nun eine Folge (f n ) n N0 gemäß Lemma I.12.5 (für g = f). Wir zeigen zunächst, dass (f n ) n N0 konvergiert. Dazu seien n, m N, n<m. Dann gilt für alle x X: m 1 ( ) f n (x) f m (x) = m 1 k=n 1 3 k=n 2 k f k+1 (x) f k (x) n k=0 m 1 k=n 2 k = f k+1 (x) f k (x) 2 3 n = 3 2 n. 3 Somit konvergiert (f n (x)) für alle x X nach dem Cauchy-Kriterium. Setze F (x) :=lim n f n (x) für alle x X. Es gilt F (x) [ 1; 1] für alle x X, daf n (x) [ 1; 1] für alle x X. Also F : X [ 1; 1]. Weiter gilt für alle n N und x X: F (x) f n (x) = lim f m(x) f n (x) m = lim f m(x) f n (x) ( ) 2 n, m 3 50
26 I. Grundbegriffe der mengetheoretischen Topologie d.h. (f n ) konvergiert gleichmäßig gegen F. Dann ist F stetig, da f n stetig ist für alle n N. Letztlich ist F M = f nach Konstruktion und (i) aus Lemma I Damit ist F eine stetige Fortsetzung von f. 51
27 Topologie I I.13. Kompaktheit In diesem Abschnitt werden wir den Begriff der Kompaktheit, der schon in I.7 eingeführt wurde, etwas genauer unter die Lupe nehmen. Wir erinnern zunächst an die Definition. I.13.0 Definition: Sei (X, O) ein topologischer Raum. X heißt quasikompakt, falls jede offene Überdeckung von X eine endliche Teilüberdeckung enthält. X heißt kompakt, falls X quasikompakt und hausdorffsch ist. Kompakte Räume haben eine Reihe schöner Eigenschaften. I.13.1 Satz: Sei (X, O) ein kompakter topologischer Raum. Dann ist X normal. Beweis: Da X ein T 2 -Raum ist, ist X auch ein T 1 -Raum. Seien A, B X abgeschlossen mit A B =. Nach Satz I.7.9 und Satz I (a) sind A und B kompakt. Nach Satz I.7.10 existieren für alle x A offene disjunkte Umgebungen U x von x und V x von B.DaA kompakt ist, existiert K A endlich mit A x K U x =: U. Dann sind U und x K V x disjunkte Umgebungen von A und B. I.13.2 Satz: Sei (X, O) ein topologischer Raum. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent: (a) X ist quasikompakt. (b) Jede Menge {A i i I} abgeschlossener Teilmengen von X mit i I A i = enthält eine endliche Teilmenge {A i i I I} mit i I A i =. (c) Jede Filterbasis auf X besitzt einen Häufungspunkt in X. (d) Jeder Ultrafilter auf X konvergiert gegen einen Punkt aus X. Beweis: (a) (b) : Sei {A i i I} eine Menge abgeschlossener Teilmengen von X mit i I A i =. Dann ist {X \ A i i I} eine offene Überdeckung von X. Da X kompakt ist, existiert eine endliche Menge I I mit i I X \A i = X, d.h. i I A i =. (b) (c) : Sei B eine Filterbasis auf X. Angenommen, B hat keinen Häufungspunkt, d.h. B B B =. Nach (b) existiert eine endliche Teilmenge B von B mit B B B =. Wegen (FB1) existiert ein B B mit B B B B B B B =, im Widerspruch zu (FB2). (c) (d) : Jeder Ultrafilter ist insbesondere eine Filterbasis. Die Behauptung folgt mit Korollar I (d) (a) : Angenommen, es existiert eine offene Überdeckung {Q i i I} von X, so dass i I Q i = X für jede endliche Teilmenge I I gilt. Setze B := X \ i K Q i K I endlich,d.h. / B. SeienK, M I endlich. Dann ist K M endlich, und es gilt (X \ k K Q k) (X \ m M Q m)= X \ l K M Q l B, also gilt (FB1), d.h. B ist eine Filterbasis. 52
28 I. Grundbegriffe der mengetheoretischen Topologie Nach Satz I (bzw. Bemerkung I.10.15) existiert ein Ultrafilter F auf X mit F B. Nach Voraussetzung existiert x X mit F x. Dann existiert i I mit x Q i und weiter existiert F F mit F Q i, d.h. Q i F. Nach Definition von B gilt dann X \ Q i B F, also = Q i X \ Q i F. I.13.3 Korollar: Sei (X, O) ein quasikompakter topologischer Raum. Dann hat jede Folge in X einen Häufungspunkt. Beweis: Zu jeder Folge (x n ) in X hat die Endstückfilterbasis B((x n )) (vgl. Beispiel I ) nach Satz I.13.2 (c) einen Häufungspunkt, der dann auch Häufungspunkt von (x n ) ist (vgl. Beispiel I ). I.13.4 Bemerkung: Sei (X, O) ein topologischer Raum. X muss nicht quasikompakt sein, wenn jede Folge in X einen Häufungspunkt besitzt. (s. Übung 9, Aufgabe 3) I.13.5 Satz (Alexander): Seien (X, O) ein topologischer Raum und S eine Subbasis von O. Der Raum X ist genau dann quasikompakt, wenn jede offene Überdeckung von X mit Mengen aus S eine endliche Teilüberdeckung besitzt. Beweis: klar. Angenomen, X ist nicht quasikompakt. Dann existiert ein Ultrafilter F auf X, der nicht konvergiert, d.h. für alle x X existiert eine Umgebungen U x S von x mit U x / F. Das Mengensystem U := {U x x X} ist eine offene Überdeckung von X bestehend aus Elementen der Subbasis. Nach Voraussetzung existiert eine endliche Menge Y X mit X = y Y U y.da F ein Ultrafilter ist und U y / F für all y Y gilt, folgt X \ U y F und somit auch y Y (X \U y) F. Weiterist y Y (X \U y)=x \( y Y U y)=. I.13.6 Satz (Tychonoff): Seien I eine Indexmenge, (X i, O i ) für alle i I topologische Räume und (X, O) ihr topologisches Produkt. Der Raum X ist genau dann (quasi-)kompakt, wenn X i (quasi-)kompakt ist für alle i I. Beweis: Sobald wir die Aussage für quasikompakte Räume gezeigt haben folgt das Ergebnis für kompakte Räume aus Satz I Sei X quasikompakt und sei i I. Da die Projektion p i stetig ist und X i = p i [X] gilt, folgt mit Satz I.7.13, dass X i quasikompakt ist. Sei X i für alle i I quasikompakt. Sei F ein Ultrafilter auf X und i I. Da p i surjektiv ist, ist p i [F] ein Ultrafilter auf X i, was man wie folgt 53
29 Topologie I einsieht. Angenommen, p i [F] ist kein Ultrafilter auf X i. Dann existiert ein Ultrafilter G p i [F], also existiert auch G G\p i [F]. Dann muss p 1 i [G] / F gelten, da p i surjektiv ist. Es folgt X \ p 1 i [G] F, also p i [X \ p 1 i [G]] = X i \ G G. Dap i [F] G gilt, folgt G, X i \ G G. Da X i quasikompakt ist, konvergiert p i [F] und somit konvergiert nach Korollar I auch F. Nach Satz I.13.2 ist X dann quasikompakt. Wir können nun leicht einen aus der Analysis wohlbekannten Satz beweisen. I.13.7 Satz (Heine-Borel): Sei K R n. Dann ist K genau dann kompakt, wenn K beschränkt und abgeschlossen ist. Beweis: Sei K kompakt. Da R n ein T 2 -Raum ist, ist K abgeschlossen. Weiter gilt K k N B k(0). Also existiert n N mit K k n B k(0), und somit ist K beschränkt. Sei K R n beschränkt und abgeschlossen, also existiert k N mit K B k (0). Abgeschlossene Intervalle [a; b], a, b R, a b sind kompakt bzgl. der natürlichen Topologie auf R (vgl. Aufgabe 4/1, O nat = O Ord auf R). Dann ist nach Satz I.13.6 X := [ k; k] n kompakt. Die Behauptung folgt jetzt aus Satz I und Satz I.7.9. Eine Abschwächung des Kompaktheitbegriffs führt uns zu der folgenden Definition. I.13.8 Definition: Sei (X, O) ein topologischer Raum. X heißt lokalkompakt, wenn X hausdorffsch ist und jeder Punkt aus X eine kompakte Umgebung besitzt. Eine Teilmenge M von X heißt lokalkompakt, wenn der Unterraum M lokalkompakt ist. I.13.9 Beispiele: (1) R n ist lokalkompakt aber nicht kompakt. (2) Jeder diskrete Raum X ist lokalkompakt, da für alle x X die Menge {x} eine kompakte Umgebung von x ist. (3) Die Sorgenfrey-Gerade ist nicht lokalkompakt (vergleiche Aufgabe 9/3). (4) Jeder kompakte Raum ist lokalkompakt. I Satz: Jeder lokalkompakte Raum ist regulär. Beweis: Sei (X, O) ein lokalkompakter Raum. Dann ist X ein T 2 -undinsbesondere ein T 1 -Raum. Wir zeigen, dass jedes x X eine Umgebungsbasis aus abgeschlossenen Mengen 54
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