Bericht zur Prüfung im Oktober 2009 über Grundprinzipien der Versicherungs- und Finanzmathematik (Grundwissen)

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1 Berich zur Prüfung i Okober 9 über Grundrinziien der Versicherungs- und Finanzaheaik (Grundwissen Peer lbrech (Mannhei 6 Okober 9 wurde zu vieren Mal eine Prüfung i Fach Grundrinziien der Versicherungs- und Finanzaheaik nach PO III (Grundwissen Teil durchgeführ Es waren 85 Teilneherinnen und Teilneher zu verzeichnen Die Prüfung besand aus einer 9-inüigen Klausur, in der vier ufgaben gesell wurden, die sälich zu bearbeien waren U die Klausur zu besehen, ussen indesens 45 von 9 öglichen Punken erziel werden ufgabe : (5 Minuen Unersellen Sie für den Basisiel einer Terinosiion einen eineriodigen Binoialrozess i Sarwer s = und einer rozenualen ufwärsbewegung von % bzw einer rozenualen bwärsbewegung von % Der eineriodige Zinssaz für eine sichere Kaialanlage bzw Kaialaufnahe berage 5% a Weisen Sie nach, dass der Modellark arbiragefrei is! b Wie laue die risikoneurale Wahrscheinlichkeisbelegung? c Besien Sie auf dieser Grundlage den arbiragefreien Preis einer eineriodigen Calloion auf die kie, die einen usübungsreis von X = 9 besiz d Besien Sie alernaiv den Wer der Calloion auf der Grundlage des Dulikaionsrinzis e Besien Sie den Wer eines eineriodigen Forwards auf den Basisiel auf der Grundlage des Dulikaionsrinzis Lösungsskizze: a Zu berachen is das Gleichungssyse V T w, Seie von 9

2 C wobei in diese Falle 5 V, w 5 8 Es gil de(v T = de(v = = -35 Das Gleichungssyse is dai eindeuig lösbar Es bezeichne des Weieren w * = (w, w T die Lösung des Gleichungssyses V T = w, dh es gil 5 5 w 8 w Nach der Craerschen Regel folg: w w Es lieg eine eindeuige und srik osiive Lösung des Gleichungssyses vor Dai is der Modellark arbiragefrei b Die risikoneurale Wahrscheinlichkeisbelegung ergib sich aus T (, ( r w Mi r 5 folg: 5w w , 6 c Für die Calloion gil aus Sich des Invesors allgeein C = a (S X,, dh i vorliegenden Falle: Es gil (5 E (C, wobei C Q Seie von 9

3 C Hieraus folg: C d Die Dulikaionsbedingungen sowie die Law of One Price-Beziehung lauen: (I + 5 y = (II y = (III + y = P us (I (II folg = /3 und dai y = 5794 us (III folg hieraus P = = 5873 e Für die Forwardosiion gil aus Sich des Invesors: F 8 F = = Dabei is F der zu besiende Forwardreis Erwirb der Invesor Einheien des Basisiels und y der sicheren nlage, so gelen für die Dulikaionsosiion dai die folgenden Bedingungen: +y = ( = + 5 y = F ( =, Fall a y = 8 F ( =, Fall b us (II (III folg = und dai y = - us (II und (III folg dai jeweils F = 5, dh der Forwardreis ensrich de zu sicheren Zins aufgezinsen heuigen Wer des Basisiels (Cos-of-Carry-Preis Seie 3 von 9

4 ufgabe : ( Minuen a Gegeben sei ein beliebiger Zinsiel i Barwer P (r uner der zu Zeiunk besehenden flachen Zinssrukur der Höhe r Sei > ein beliebiger Zeiunk Welche Beziehung beseh zwischen der odifizieren Duraion in und der odifizieren Duraion in? Hinweis: P (r = P (r (+r, wobei P (r den Wer des Zinsiels zu Zeiunk bezeichne b Gegeben sei eine nleihe i Perioden Reslaufzei, eine Kuon von 6% und eine Nennwer von N = Mark besehe eine flache Zinssrukurkurve i eine Zinsniveau von 5% Wie hoch is der faire Kurs der nleihe uner diesen Bedingungen? Wie veränder sich der faire Kurs der nleihe aroiaiv, wenn das Zinsniveau auf 55% seig? Verwenden Sie zur roiaion einerseis die (absolue Duraion alleine und andererseis (absolue Duraion und (absolue Konveiä Welche Höhe ni der korreke faire Kurs der nleihe uner der veränderen Zinssrukur an? Inerreieren Sie die Ergebnisse c Besien Sie die Konveiä eines Zerobonds i Rückzahlungsberag N und Laufzei T Lösungsskizze: a Geäß der Definiion der odifizieren Duraion gil: M D (r P '(r / P (r bzw D M (r P '(r / P (r Nun gil P '(r ( r P (r P '(r( r und dai: D M ( r (r P (r ( r ( r P (r P '(r P '(r D r P (r M (r r b Die Zahlungsreihe des Bonds is gegeben durch {6,6} i P(,5 6(5-6( ii Korreker neuer Kurs: P(,55 6(55-6( Seie 4 von 9

5 iii roiaion durch Duraion: P(r + r P(r D (rr, wobei r = 5, D (r = -P'(r P(r = 6( + r - + 6( + r - P'(r = -6( + r - - ( + r -3 D (5 = -P'(5 = P(55 P(5 D (5 5 = = 965 iv roiaion durch Duraion und Konveiä: P(r + r P(r D (rr + C (r(r, wobei C (r = P"(r P"(r = ( + r ( + r -4 C (5 = P"(5 = P(55 P(5 D (5 5 + C (5 (5 = = 93 Folgerung (Vergleich i wahre Kurs: Deuliche Verbesserung der roiaionsualiä durch Verwendung von Duraion und Konveiä c Die Konveiä einer Zahlungsreihe {Z,, Z T } is allgeein definier durch T ( Z ( r P' '(r C (r T P(r ( r Z ( r I Falle des beracheen Zerobonds gil Z = Z T- = und Z T = N Dai reduzier sich der usdruck für die Konveiä auf C(r T T(T N ( r T ( r N( r Die Konveiä des Zerobonds is soi gegeben durch C(r T(T ( r Seie 5 von 9

6 ufgabe 3: ( Minuen Gegeben sei die folgende Verlusvereilung L : TG S eines Schadenversicherungsorfolios: P(L 8 P(L 5 P(L 5 P(L 5 4 P(L 5 6 P(L 4 a Besien Sie den Value a Risk von L zu Konfidenzniveau α b Besien Sie den Condiional Value a Risk von L zu de Konfidenzniveau α 5 Hinweis: Der Value a Risk zu Konfidenzniveau α 5 is gegeben durch VaR 5 c Besien Sie den Value a Risk zu Konfidenzniveau einer noralvereilen Verlusvariablen, dh L ~ N(, Hinweis: N is das ( -Quanil einer sandardnoralvereilen Zufallsvariable Z, dh Z ~ N(, Lösungsskizze: a Es gil P (L 5 99 bzw P(L 5 Dai folg VaR (L Q 99(L 5 b Vorüberlegung: Für die Besiung des CVaR benöig an die bedingen Wahrscheinlichkeien P(L = L > y Diese sind wie folg zu erieln llgeein gil P( B := P ( B/P(B Soi gil P (L L y P (L, L y / P(L y Für > y reduzier sich dies auf P (L / P (L y Hier also: y =, P(L > = 5 Soi gil: P(L 5 4 P(L 5 L 8, P(L 5 Seie 6 von 9

7 6 P (L 5 L, 5 4 P (L L 8 5 Insgesa gil dai: CVaR 5 (L = E (L L > VaR 5 = E (L L > = 5 P(L = 5 L > + 5 P(L = 5 L > + P(L = L > = 5 (8 + 5 ( + (8 = = 5 c Forderung an VaR: P (L VaR Dai gil und soi P (L L VaR - VaR P L VaR P Nun is Z : (L -/ sandardnoralvereil und es gil P (Z N Durch Vergleich folg VaR N und dai schließlich VaR N ufgabe 4: (5 Minuen Gehen Sie aus von der gesuzen Lebensdauer CT = CT einer -jährigen Person Gehen Sie dabei (auch i Weieren aus von eine unendlichen Werebereich von CT Seie 7 von 9

8 a Besien Sie den Leisungsbarwer einer lebenslänglichen Todesfallversicherung i einer Versicherungssue der Höhe in Teren von CT! b Besien Sie auf dieser Basis den erwareen Leisungsbarwer (v der lebenslänglichen Todesfallversicherung uner Benuzung von aufgeschobenen Serbewahrscheinlichkeien und besien Sie die Varianz des Leisungsbarweres in Teren von (v c Weisen Sie nach, dass für w gil: d Besien Sie den Leisungsbarwer einer u Jahre aufgeschobenen lebenslänglichen Todesfallversicherung (dh, bei Tod i ufschubzeirau erfolg keine Leisung i einer Versicherungssue der Höhe in Teren von CT! e Besien Sie den erwareen Leisungsbarwer (v der aufgeschobenen lebenslänglichen Todesfallversicherung und besien Sie die Varianz des Leisungsbarweres in Teren von (v! f Sellen Sie nun den erwareen Leisungsbarwer der aufgeschobenen lebenslänglichen Todesfallversicherung geäß e durch Uforung in Teren des erwareen Leisungsbarweres der lebenslänglichen Todesfallversicherung geäß b dar! Lösungsskizze: a Es gil LBW LT v CT b E (LBW v Var (LBW LT LT E (v E (v E (v CT CT CT E (v (v (v v CT (v P (CT c Es gil w w w Weier gil w w bzw w w w Da w der (kalkulaorisch lezögliche Lebenszeiunk is, gil aber w Seie 8 von 9

9 Hieraus folg das gewünsche Ergebnis d Es gil LBWLT CT v CT,,, CT,, e (v E (LBWLT v P(CT v Var (LBW LT E (LBWLT E (LBWLT Nun gil LBWLT CT (v CT,,, CT,, ufgrund von (v CT CT (v gil daher E (LBW LT Var (LBW (v und dai insgesa LT (v (v f Es gil v v v Nun gil Dai folg insgesa v v v Seie 9 von 9