Bonus Malus Systeme und Markov Ketten

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1 / 5 onus Malus Systeme und Markov Ketten Klaus D. Schmidt Lehrstuhl für Versicherungsmathematik Technische Universität Dresden 6. Dresdner Kolloquium zur Mathematik und ihrer Didaktik 8. Februar 2

2 2 / 5 Übersicht Struktur und Dynamik eines onus Malus Systems Invarianz und Ergodizität Markov Ketten onus Malus Systeme für Schadenzahlen Kalkulation der Grundprämie nwendung auf einen inhomogenen estand Probleme

4 eispiel () onus Malus System mit vier Klassen i 2 f; 2; 3; 4g und den Prämienniveaus h(i) bezogen auf die Grundprämie : Klasse i Prämienniveau h(i) 25% 2 % 3 8% 4 64% Interpretation der Klassen des onus Malus Systems: I Malus Klasse: I Einstiegsklasse: 2 I onus Klassen: 3 und 4 Prämienstruktur des onus Malus Systems: h := ; 25 ; ; 8 ; 64 4 / 5

5 5 / 5 eispiel (2) Übergangsregeln: I Jeder Versicherungsnehmer wird zunächst in Klasse 2 eingestuft. I Meldet der Versicherungsnehmer keinen Schaden, so wird er im folgenden Jahr eine Klasse höher eingestuft (oder bleibt in Klasse 4). I Meldet der Versicherungsnehmer einen Schaden, so wird er im folgenden Jahr eine Klasse niedriger eingestuft (oder bleibt in Klasse ). I Meldet der Versicherungsnehmer mindestens zwei Schäden, so wird er im folgenden Jahr zwei Klassen niedriger (oder in Klasse ) eingestuft. Möglicher Verlauf: Jahr Klasse 2! 3!! 2! 3! 4 % % % % % Schäden 2...

6 6 / 5 eispiel (3) Mögliche Übergänge: neue alte Klasse Klasse Übergangsmatrix Q (egründung durch zusätzliche Modellannahmen wird später gegeben) und nfangsverteilung q (begründet durch die Übergangsregeln): Q := ; 3 ; 3 ; ; 7 ; 2 ; ; 7 ; 2 ; 7 ; 7 q :=

7 7 / 5 eispiel (4) Die Koordinaten der Übergangsmatrix und der nfangsverteilung Q = (q i ;j ) i ;j2f;2;3;4g q = (q i ) i2f;2;3;4g werden wie folgt interpretiert: I q i ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Versicherungsnehmer sich im Jahr in der Klasse i befindet. I q i ;j ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Versicherungsnehmer nach blauf des Versicherungsjahres von Klasse j nach Klasse i wechselt.

8 eispiel (5) Im Jahr k 2 N ist die Verteilung auf die Klassen f; 2; 3; 4g durch den Vektor q [k] := Q k q und das erwartete Prämienniveau durch h q [k] = 4X i= h i q [k] i P gegeben. Es gilt q [k] 4 = i= q[k] i =. Dabei bezeichnet I der Vektor die Summe der Einheitsvektoren e i und I die Matrix Q k die k te Potenz der Matrix Q mit Q := I, wobei I die Einheitsmatrix bezeichnet (deren Spaltenvektoren die Einheitsvektoren sind). Interpretation der Koordinaten von q [k] analog zu der der Koordinaten von q [] = q. 8 / 5

9 eispiel (6) Dynamik: k 2 4 q [k ] ; 3 ; 7 ; 6 ; 35 ; 49 ; 29 ; 2 ; 8 ; 48 h q [k ] ; 935 ; 8636 ; 823 k 8 6 : : : q [k ] ; 6 ; 7 ; 29 ; 54 ; 3 ; 67 ; 29 ; 5 : : : ; 3 ; 67 ; 29 ; 5 h q [k ] ; 83 ; 7979 : : : ; 7979 Das erwartete Prämienniveau stabilisiert sich bei 79; 79%. 9 / 5

10 / 5 Übersicht Struktur und Dynamik eines onus Malus Systems Invarianz und Ergodizität Markov Ketten onus Malus Systeme für Schadenzahlen Kalkulation der Grundprämie nwendung auf einen inhomogenen estand Probleme

11 / 5 Stochastische Vektoren und Matrizen Ein Vektor q 2 R m heißt stochastischer Vektor, wenn q und q = gilt. Eine Matrix Q 2 R m m heißt stochastische Matrix, wenn für alle j 2 f; : : : ; mg der j te Spaltenvektor Qe j von Q ein stochastischer Vektor ist. Lemma. Sei Q 2 R m m eine stochastische Matrix und sei q 2 R m ein stochastischer Vektor. Dann gilt: I Q =. I Qq ist ein stochastischer Vektor. I Für alle k 2 N ist Q k eine stochastische Matrix. I Für alle k 2 N ist Q k q ein stochastischer Vektor.

12 2 / 5 Invarianz () Sei Q eine stochastische Matrix. Ein stochastischer Vektor q heißt invariant unter Q, wenn Qq = q gilt. Offenbar ist jeder unter Q invariante stochastische Vektor ein Eigenvektor von Q zum Eigenwert. Lemma. Sei q ein stochastischer Vektor, für den die Folge fq k qg k2n konvergent ist. Dann ist der stochastische Vektor q := lim Q k q k! invariant unter Q. Problem: Finde edingungen an Q, die die Existenz eines invarianten stochastischen Vektors gewährleisten.

13 3 / 5 Invarianz (2) Der stochastische Vektor q := ist invariant unter der stochastischen Matrix Q := ; 3 ; 67 ; 29 ; 5 ; 3 ; 3 ; ; 7 ; 2 ; ; 7 ; 2 ; 7 ; 7

14 Ergodizität () Eine stochastische Matrix Q heißt I schwach ergodisch, wenn es einen stochastischen Vektor q gibt mit lim k! Qk e j = q für alle j 2 f; : : : ; mg. I (stark) ergodisch, wenn es einen stochastischen Vektor q gibt mit lim k! Qk e j = q und e i q > für alle i; j 2 f; : : : ; mg. Die Einheitsmatrix ist nicht schwach ergodisch. 4 / 5

15 5 / 5 Ergodizität (2) Lemma. Sei Q schwach ergodisch. Dann gibt es genau einen (unter Q invarianten) stochastischen Vektor q derart, dass für jeden stochastischen Vektor q lim k! Qk q = q und gilt. X n lim Q k q = q n! n k=

16 6 / 5 Ergodizität (3) Satz. Sei Q eine stochastische Matrix. Dann sind äquivalent: I Q ist stark ergodisch. I Es gibt ein k 2 N mit e i Qk e j > für alle i; j 2 f; : : : ; mg.

17 7 / 5 Ergodizität (4) Folgerung. Sei Q eine stochastische Matrix mit q ; > q i ;i+ > für i 2 f; : : : ; m g q i ;i > für i 2 f2; : : : ; mg Dann ist Q stark ergodisch. eispiel. Die stochastische Matrix Q := ist stark ergodisch. ; 3 ; 3 ; ; 7 ; 2 ; ; 7 ; 2 ; 7 ; 7

19 9 / 5 Markov Ketten () Sei M := f; : : : ; mg N eine endliche Menge mit m 2. Wir bezeichnen M als Zustandsraum. Sei ferner fy k g k2n eine Folge von Zufallsvariablen mit P[fY k 2 Mg] = für alle k 2 N. Die Verteilung von Y k ist durch die Wahrscheinlichkeiten q (k) i := P[fY k = ig] mit i 2 M und damit durch den stochastischen Vektor bestimmt. q (k) := q (k). q (k) m

20 2 / 5 Markov Ketten (2) Die Folge fy k g k2n heißt (homogene) Markov Kette, wenn es I eine stochastische Matrix Q 2 R m m und I einen stochastischen Vektor q 2 R m gibt derart, dass für alle n 2 N und i ; i ; : : : ; i n 2 M gilt. P " n\ k= fy k = i k g # = ny k= In diesem Fall gilt q () = q und wir nennen I Q die Übergangsmatrix und I q die nfangsverteilung der Markov Kette fy k g k2n. q ik ;i k! q i

21 2 / 5 Markov Ketten (3) Lemma. Sei fy k g k2n eine Markov Kette mit Übergangsmatrix Q und nfangsverteilung q. I Für alle k 2 N gilt q (k) = Q k q Insbesondere gilt q () = q. I Für alle k 2 N und i; j 2 M gilt P[fY k+ = ig \ fy k = jg] = q i ;j P[fY k = jg] Insbesondere gilt im Fall P[fY k = jg] > P[fY k+ = igjfy k = jg] = q i ;j

22 Markov Ketten (4) Satz. Für die Folge fy k g k2n sind äquivalent: I fy k g k2n ist eine Markov Kette. I Es gibt eine stochastische Matrix Q derart; dass für alle n 2 N T n und i ; i ; : : : ; i n ; i n+ 2 M mit P " # n\ P fy n+ = i n+ g fy k = i k g = q in+ ;in gilt. k= k= fy k = i k g > In T diesem Fall gilt für alle n 2 N und i ; i ; : : : ; i n ; i n+ 2 M mit n P k= fy k = i k g > " # n\ P fy n+ = i n+ g fy k = i k g k= (Markov Eigenschaft). = P[fY n+ = i n+ gjfy n = i n g] 22 / 5

23 23 / 5 Markov Ketten (5) Ist fy k g k2n eine Markov Kette mit Übergangsmatrix Q, so heißt eine Verteilung q stationär unter Q, wenn gilt. Qq = q eispiel. Sei fy k g k2n eine Markov Kette mit Übergangsmatrix Q mit q ; > q i ;i+ > für i 2 f; : : : ; m g q i ;i > für i 2 f2; : : : ; mg Dann besitzt die Markov Kette eine stationäre Verteilung.

25 25 / 5 Konstruktion () Zur Konstruktion eines onus Malus Systems auf der Grundlage von Schadenzahlen für einen homogenen estand betrachten wir I eine Folge von Zufallsvariablen fn k g k2n mit P[fN k 2 N g] =, I einen Zustandsraum M := f; : : : ; mg N mit m 2, I eine bbildung ' : M N! M und I eine bbildung h : M! (; ). Wir interpretieren I N k als die zufällige nzahl der Schäden im Jahr k, I M als die Menge der möglichen onus Malus Klassen und I h(m) als die Menge der möglichen Prämienniveaus und bezeichnen ' als Übergangsfunktion.

26 26 / 5 Konstruktion (2) Wir betrachten ferner eine Zufallsvariable Y mit P[fY 2 Mg] = und setzen für k 2 N Y k := '(Y k ; N k ) Wir interpretieren I Y k als zufällige onus Malus Klasse im Jahr k (die für k von der nzahl der Schäden und der onus Malus Klasse im Jahr k abhängt) und I h(y k ) als zufälliges Prämienniveau im Jahr k. Wir nehmen an, dass die Folge fn k g k2n I unabhängig und identisch verteilt und I unabhängig von Y ist. Wir bezeichnen eine beliebige Zufallsvariable der Folge fn k g k2n mit N und setzen := E[N]

27 Konstruktion (3) I Der Vektor q 2 R m + mit q i := P[fY = ig] ist ein stochastischer Vektor. I Für alle r 2 N ist die Matrix Q (r ) mit := q (r ) i ;j falls '(j; r ) = i sonst eine stochastische Matrix. I Für r 2 N sei := P[fN = rg] p r Dann ist auch die Matrix Q := eine stochastische Matrix. X r = p r Q (r ) 27 / 5

28 28 / 5 Konstruktion (4) Satz. Die Folge fy k g k2n ist eine Markov Kette mit Übergangsmatrix Q und nfangsverteilung q. ufgrund des Satzes ist für alle k 2 N der Vektor q [k] := Q k q ein stochastischer Vektor mit q [k] i = P[fY k = ig] = q (k).

29 29 / 5 eispiel (7) Wir betrachten ein onus Malus System mit vier Klassen. Der Wechsel der Klasse nach blauf eines Versicherungsjahres sei durch die folgenden Ein und Umstufungsregeln bestimmt: I Jeder Versicherungsnehmer wird zunächst in die Einstiegsklasse 2 eingestuft. I Meldet der Versicherungsnehmer keinen Schaden, so wird er im folgenden Jahr eine Klasse höher eingestuft (oder bleibt in der höchsten Klasse 4). I Meldet der Versicherungsnehmer einen Schaden, so wird er im folgenden Jahr eine Klasse niedriger eingestuft (oder bleibt in der niedrigsten Klasse ). I Meldet der Versicherungsnehmer zwei (oder mehr) Schäden, so wird er im folgenden Jahr zwei Klassen niedriger (oder in die Klasse ) eingestuft. Wir wählen also M := f; 2; 3; 4g.

30 eispiel (8) Des weiteren sei die Verteilung der nzahl der Schäden N k im Versicherungsjahr k 2 N durch r p r,7,2 2, gegeben. Dann gilt = E[N k ] = ; 4. ufgrund der Einstufungsregel für das Versicherungsjahr setzen wir q 2 = P[fY = 2g] := und erhalten damit die nfangsverteilung q = 3 / 5

31 3 / 5 eispiel (9) ufgrund der Umstufungsregel definieren wir die Übergangsfunktion ' : M N! M durch '(j; ) := minfj + ; 4g '(j; ) := maxfj ; g '(j; 2) := maxfj 2; g mit j 2 M und erhalten zunächst Q () = Q () =

32 32 / 5 eispiel () Q (2) = und sodann die Übergangsmatrix Q = p Q () + p Q () + p 2 Q (2) = der Markov Kette fy k g k2n. ; 3 ; 3 ; ; 7 ; 2 ; ; 7 ; 2 ; 7 ; 7

33 eispiel () SD IE MK M GP I PR Darstellung der Daten im Standard Tableau: Schadenzahl Klasse i Wahrscheinlichkeit r p r ,7 2 3,2 2 2, q i 33 / 5

35 35 / 5 Kollektives Modell Wir verfeinern nun unsere nnahmen an die Folge der Schadenzahlen fn k g k2n und beziehen die Schadenhöhen mit ein. Wir nehmen nun an, I dass für jedes Jahr k 2 N ein kollektives Modell hn k ; fx k ;sg s2n i vorliegt, also die Folge der Schadenhöhen fx k ;sg s2n unabhängig und identisch verteilt und unabhängig von N k ist, I dass die kollektiven Modelle voneinander unabhängig sind, I dass die Folge fn k g k2n identisch verteilt und unabhängig von Y ist, und I dass die Familie fx k ;sg k2n ; s2n identisch verteilt ist. Wir setzen := E[N] und := E[X ].

36 36 / 5 Erwarteter Gesamtschaden Der Gesamtschaden in Jahr k 2 N ist definiert als S k := XN k X k ;s s= Für den erwarteten Gesamtschaden gilt dann E[S k ] = E[N] E[X ] = Wir können daher zur Vereinfachung annehmen, dass die erwarteten Schadenhöhen alle gleich sind ( = ), und erhalten E[S k ] =

37 37 / 5 Erwartete Prämie () Wir bezeichnen die noch zu bestimmende Grundprämie pro Jahr mit ufgrund des zufälligen Prämienniveaus ist auch die Prämie h(y k ) Z k := h(y k ) im Versicherungsjahr k 2 N zufällig. Für die erwartete Prämie gilt E[Z k ] = E[ h(y k )] = E[h(Y k )] = mx i= h(i) P[fY k = ig]

38 38 / 5 Erwartete Prämie (2) Mit h = h(). h(m) ergibt sich aus der letzten Gleichung E[Z k ] = mx i= h(i) P[fY k = ig] = h q [k] = h Q k q Zu bestimmen ist die Grundprämie in bhängigkeit von der Laufzeit des Versicherungsvertrages.

39 39 / 5 Äquivalenzprinzip für Jahr k Das Äquivalenzprinzip für Jahr k 2 N besteht in der Forderung E[Z k ] = E[S k ] Für die Grundprämie gilt daher h Q k q = und damit = (h Q k q)

40 4 / 5 Äquivalenzprinzip auf der asis der ersten n Jahre () Das Äquivalenzprinzip auf der asis der ersten n Jahre besteht in der Forderung Xn k= E[Z k ] = Xn k= E[S k ] Für die Grundprämie [n] auf der asis der ersten n Jahre gilt daher und damit X [n] n k= h Q k q = [n] = n Xn k= Xn k= [n] h Q k q = n h Q k q!

41 4 / 5 Äquivalenzprinzip auf der asis der ersten n Jahre (2) Spezialfälle: I Ist q invariant unter Q, so gilt Q k q = q und damit [n] = h q für alle n 2 N. I Ist Q schwach ergodisch und q invariant unter Q, so gilt lim n! [n] = h q Daher kann in diesem Fall für einen hinreichend langen Planungshorizont n 2 N die Grundprämie [n] näherungsweise durch =h q bestimmt werden.

42 42 / 5 eispiel (2) Mit q [] := q gilt k 2 4 q [k ] ; 3 ; 7 ; 6 ; 35 ; 49 ; 29 ; 2 ; 8 ; 48 h q [k ] ; 935 ; 8636 ; 823 k 8 6 : : : q [k ] ; 6 ; 7 ; 29 ; 54 ; 3 ; 67 ; 29 ; 5 : : : ; 3 ; 67 ; 29 ; 5 h q [k ] ; 83 ; 7979 : : : ; 7979

43 eispiel (3) ußerdem gilt = E[N] = ; 4 Für die Grundprämien [n] und mit ergibt sich daraus [] := lim n! [n] = =h q n [n] ; 4 ; 434 ; 4288 ; 4477 n [n] ; 4679 ; 4825 : : : ; 53 Die pproximation ist nicht besonders gut. 43 / 5

45 eispiel (4) Wir wenden das bisher betrachtete onus Malus System auf einen estand mit zwei rten von Risiken an, die sich in der Schadenneigung unterscheiden. Für die Risiken vom Typ bzw. sei die Verteilung der nzahl der Schäden N k im Versicherungsjahr k 2 N durch r p r,7,2 2, bzw. r p r,5,3 2,2 gegeben. Die erwartete nzahl der Schäden ist dann ; 4 bzw. ; 7 Daher besitzen die Risiken vom Typ eine geringere Schadenneigung als die Risiken vom Typ. 45 / 5

46 46 / 5 eispiel (5) Die unterschiedlichen Verteilungen der nzahl der Schäden führen auf unterschiedliche Standardtableaus p r ,7 2 3,2 2 2, q i bzw p r ,5 2 3,3 2 2,2 q i und damit auf unterschiedliche Übergangsmatrizen ; 3 ; 3 ; ; 7 ; 2 ; ; 7 ; 2 ; 7 ; 7 bzw. ; 5 ; 5 ; 2 ; 5 ; 3 ; 2 ; 5 ; 3 ; 5 ; 5

47 47 / 5 eispiel (5) mit unterschiedlichen invarianten stochastischen Vektoren ; 3 ; 67 ; 29 ; 5 bzw. ; 3462 ; 2692 ; 923 ; 923 und unterschiedlichen asymptotischen Prämienniveaus Daher ergeben sich mit ; 7979 bzw. ; 9788 ; 53 bzw. ; 725 auch unterschiedliche asymptotische Grundprämien für die Risiken vom Typ bzw..

48 eispiel (6) Von einem Risiko ist im allgemeinen nicht bekannt, ob es ein Risiko vom Typ oder ein Risiko vom Typ ist. Daher muss eine einheitliche Grundprämie für alle Risiken des estandes bestimmt werden. Dies geschieht natürlicherweise durch die Wahl der Grundprämie wobei := # + # # bzw. # mit # ; # 2 (; ) und # + # = den nteil und bzw. die Grundprämie der Risiken vom Typ bzw. bezeichnet. uch die nteile der Risiken vom Typ bzw. sind im allgemeinen nicht bekannt und müssen geschätzt werden. 48 / 5

49 49 / 5 emerkung Die nwendung eines onus Malus Systems auf einen inhomogenen estand dient der Risikoselektion: I Risiken mit niedriger Schadenneigung zahlen im Mittel niedrige Prämien und werden dadurch angelockt. I Risiken mit hoher Schadenneigung zahlen im Mittel hohe Prämien und werden dadurch aus dem estand herausgedrängt.

51 5 / 5 Probleme Die Konstruktion eines onus Malus Systems wirft zahlreiche Probleme auf: I Wahl der nzahl der Klassen. I Wahl der Übergangsregeln. I Wahl der Prämienniveaus der einzelnen Klassen. I Wahl des Planungshorizontes. Darüber hinaus ergeben sich Probleme der Statistik: I Überprüfung der Unabhängigkeitsannahmen. I Schätzung der Verteilung der Schadenzahlen. I Schätzung der Verteilung der Schadenhöhen. I Schätzung der unterschiedlichen rten von Risiken in einem inhomogenen estand.