Übungsblatt 9 (25. bis 29. Juni)

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Hermann Bieber
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1 Statistik 2 Dr. Andrea Beccarini Dipl.-Vw. Dipl.-Kffr. Heike Bornewasser-Hermes Sommersemester 2012 Übungsblatt 9 (25. bis 29. Juni) Stetiges Verteilungsmodell und Gemeinsame Verteilung Stetiges Verteilungsmodell - Normalverteilung Aufgabe 1 Die Normalverteilung wird z.b. zur Beschreibung von Meßfehlern verwendet und ist durch die Parameter µ (Erwartungswert) und σ 2 (Varianz) charakteristiert. (a) Welchen Erwartungswert und welche Varianz hat die standardnormalverteilte Zufallsvariable U? (b) Wie lautet die Dichtefunktion der Standardnormalverteilung? (c) Mit welcher Wahrscheinlichkeit nimmt U den Wert 0 an? (d) Wie lautet die Dichte der Standardnormalverteilung an der Stelle u = 0? (e) Mit welcher Wahrscheinlichkeit nimmt U einen negativen Wert an? (f) Mit welcher Wahrscheinlichkeit nimmt U einen Wert 1 an? (g) Welcher Wert wird von U mit einer Wahrscheinlichkeit von 5% überschritten? (h) Welcher Wert wird von U mit einer Wahrscheinlichkeit von 2.5% unterschritten? 1

2 Aufgabe 2 Eine Reifenfirma untersucht die Lebensdauer eines neu entwickelten Reifens. Dabei zeigt sich, dass die ermittelte Lebensdauer der Reifen gut durch eine Normalverteilung mit den Parametern µ = und σ = 4000 angenähert werden kann. (a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein zufällig ausgewählter Reifen höchstens km hält? (b) Welche Lebensdauer wird von 95 Prozent der Reifen nicht überschritten? (c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein zufällig ausgewählter Reifen mehr als km hält? (d) Welche Lebensdauer wird von 90 Prozent der Reifen überschritten? (e) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Reifen länger als km und weniger als km hält? (f) Welches sind die Grenzen des 2-fachen zentralen Schwankungsintervalls? (g) Errechnen Sie das zentrale Schwankungsintervall, in das 95 Prozent der Reifen fallen. Aufgabe 3 Nehmen wir an, dass das Papiergewicht X (in Gramm) einer Klausur mit µ = 90 und σ = 16 normalverteilt ist. (a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Klausur mehr als 95 g wiegt? (b) Berechnen Sie x 0,75. Interpretieren Sie diesen Wert. (c) Berechnen Sie das zentrale Schwankungsintervall, in das das Gewicht von 80 Prozent der Klausuren fällt. (d) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Klausur mehr als 80 g und weniger als 94 g wiegt? (e) Welches Gewicht wird von 99 Prozent der Klausuren nicht überschritten? 2

3 Gemeinsame Verteilung Aufgabe 4 Betrachten Sie die folgende Tabelle mit Wahrscheinlichkeiten der beiden Zufallsvariablen X und Y. Y 0 1 X (a) Ermitteln Sie E(X) und E(Y ). (b) Ermittlen Sie V (X) und V (Y ). (c) Ermitteln Sie E(X Y = 0) und E(X Y = 1). (d) Ermitteln Sie die Kovarianz Cov(X, Y ). (e) Ermitteln Sie den Korrelationskoeffizienten ρ XY. Aufgabe 5 Die nachfolgende Tabelle enthält die Wahrscheinlichkeiten der beiden Zufallsvariablen X: Bildungsabschluss der Mutter und Y : Bildungsabschluss der Tochter mit 1: kein Abitur, 2: Abitur und 3: Studium (P (X = 2, Y = 2) = 0.22: Die Wahrscheinlichkeit, dass sowohl die Mutter als auch die Tochter Abitur haben, beträgt 22%.). 3

4 Y X (a) Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass in einer Familie die Mutter Akademikerin ist und die Tochter kein Abitur hat? (b) Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Tochter einer studierten Mutter kein Abitur hat? (c) Berechnen Sie die folgenden Wahrscheinlichkeiten: (c1) P (X 1, Y 2), (c2) P (X 3, Y 2). (d) Ermitteln Sie die komplette Tabelle der gemeinsamen Verteilungsfunktion P (X x j, Y y k ). (e) Ermitteln Sie die Randwahrscheinlichkeiten von X und Y. (f) Ermitteln Sie die bedingten Wahrscheinlichkeiten für Y = 2. (g) Ermitteln Sie die bedingten Wahrscheinlichkeiten für X = 1. (h) Überprüfen Sie, ob die Zufallsvariablen X und Y stochastisch unabhängig sind. (i) Ermitteln Sie den bedingten Erwartungswert von X gegeben Y = 2. Berechnen Sie auch den bedingten Erwartungswert von Y gegeben X = 1. (j) Vergleichen Sie die von Ihnen berechneten bedingten Erwartungswerte mit den unbedingten Erwartungswerten und interpretieren Sie Ihre Ergebnisse. 4

5 Aufgabe 6 Eine Urne enthält 5 Kugeln, von denen zwei 20g und drei 10g wiegen. Es werden zwei Kugeln ohne Zurücklegen gezogen. Sei X das Gesamtgewicht der beiden Kugeln und Y das Gewicht der leichteren Kugel. (a) Bestimmen Sie die gemeinsame Wahrscheinlichkeitsfunktion von X und Y. (b) Bestimmen Sie die Randverteilung von X und die Randverteilung von Y. (c) Bestimmen Sie die Kovarianz zwischen X und Y. (d) Sind die Zufallsvariablen X und Y unabhängig? Aufgabe 7 Betrachten Sie die gemeinsame stetige Dichtefunktion der beiden Zufallsvariablen X und Y : 4xy für 0 x 1, 0 y 1 f X,Y (x, y) = 0 sonst. (a) Kann es sich bei f X,Y tatsächlich um eine Wahrscheinlichkeitsverteilung zweier Zufallsvariablen handeln? (b) Ermitteln Sie die Randdichten von X und Y. (c) Vergleichen Sie die bedingte und die unbedingte Verteilung von X. (d) Wie lauten f X (0.5), f Y (0.8) und f X,Y (0.5, 0.8)? (e) Was können Sie somit über die stochastische Abhängigkeit sagen? (f) Wie lautet der Erwartungswert von X? 5

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