Einführung in Quantitative Methoden
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- Reinhold Grosser
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1 5. Vorlesung Einführung in Quantitative Methoden Karin Waldherr & Pantelis Christodoulides 30. April 2014 Waldherr / Christodoulides Einführung in Quantitative Methoden- 5.VO 1/54
2 Zusammenhangsmaß für rangskalierte Variablen Rangkorrelation nach Spearman Zumindest eine der Variablen ordinalskaliert Produkt-Moment-Korrelation zwischen Rangplätzen R(x i ) und R(y i ) Berechnung: Falls nicht bereits Rangplätze angegeben, den Ausprägungen der Beobachtungspaare Rangzahlen zuordnen: der kleinste Wert erhält Rangplatz 1, usw., getrennt für X und Y Tritt eine Ausprägung x j mehrmals auf (Bindung), erhalten alle Personen mit dem entsprechenden Messwert als Rangplatz das arithmetische Mittel der zu vergebenden Rangplätze Beispiel: geordnete Urliste: 10, 12, 12, 13, 15 Rangplätze: 1, 2.5, 2.5, 4, 5 Waldherr / Christodoulides Einführung in Quantitative Methoden- 5.VO 2/54
3 Zusammenhangsmaß für rangskalierte Variablen Vereinfachte Berechnungsformel: mit d i = R(x i ) R(y i ) r sp = 1 6 n i = 1 d i 2 n(n 2 1) Kontrolle der Rangplatzvergabe: n R(x i ) = i=1 1 r sp 1 n(n + 1) 2 bzw. n d i = 0 i=1 n R(y i ) = i=1 n(n + 1) 2 Waldherr / Christodoulides Einführung in Quantitative Methoden- 5.VO 3/54
4 Zusammenhangsmaß für rangskalierte Variablen Beispiel für Rangkorrelation nach Spearman Gibt es einen Zusammenhang zwischen den Bewertungen des Preis-Leistungs-Verhältnisses von 15 Produkten durch NutzerInnen und eine Expertin? durchschnittliche Bewertung von NutzerInnen auf einer Skala mit Minimum 1 und Maximum 5 (1 = sehr schlecht, 5 = sehr gut) und Expertin (Rangreihung; 1=schlechtestes Preis-Leistungs-Verhältnis) Waldherr / Christodoulides Einführung in Quantitative Methoden- 5.VO 4/54
5 Zusammenhangsmaß für rangskalierte Variablen Beispiel für Rangkorrelation nach Spearman X = durchschnittliche Bewertung von NutzerInnen, Y = Expertin Waldherr / Christodoulides Einführung in Quantitative Methoden- 5.VO 5/54
6 Zusammenhangsmaß für rangskalierte Variablen Punkt-biseriale Korrelation für Zusammenhang einer dichotomen mit einer metrischen Variable Abgeleitet aus Produkt-Moment-Korrelation r pb = x 1 x 0 n1 n 0 s x n(n 1) Berechnung in SPSS mittels Produkt-Moment-Korrelation Waldherr / Christodoulides Einführung in Quantitative Methoden- 5.VO 6/54
7 Zusammenhangsmaß für rangskalierte Variablen Beispiel ALLBUS (2006): Zufallsstichprobe n = 22, Zusammenhang zwischen Geschlecht und Alter der Befragten; 1 = Mann, 0 = Frau Person Geschlecht Alter Person Geschlecht Alter Waldherr / Christodoulides Einführung in Quantitative Methoden- 5.VO 7/54
8 Zusammenhangsmaß für rangskalierte Variablen n 1 i=1 n 0 i=1 x i = 518, n 1 = 10, x 1 = x i = 593, n 0 = 12, x 0 = N N x i = 1111, xi 2 = 61285, s X = i=1 i= r pb = 0.26 = kein Zusammenhang zwischen Geschlecht und Alter Waldherr / Christodoulides Einführung in Quantitative Methoden- 5.VO 8/54
9 Zusammenhangsmaß für rangskalierte Variablen Zusammenhangsmaß für zwei dichotome Variablen - Vierfelderkorrelation Zwei dichotome Variablen (z.b. richtig/falsch, ja/nein, Geschlecht, etc.) Vierfeldertafel Y + X + f ++ f + f +. f + f f. f.+ f. f.. Y + X + a b a + b c d c + d a + c b + d n Waldherr / Christodoulides Einführung in Quantitative Methoden- 5.VO 9/54
10 Zusammenhangsmaß für rangskalierte Variablen Vierfelderkorrelation Y + X + a b a + b c d c + d a + c b + d n Bei zwei dichotomen Variablen ergibt sich als Spezialfall der Produkt-Moment-Korrelation der Phi-Koeffizient: r φ = ad bc (a + b)(a + c)(b + d)(c + d) Vorzeichen von r φ ist abhängig vom Vorzeichen der Determinante ad bc (positives Vorzeichen bei Überwiegen der Kombinationen ++ und, negatives Vorzeichen bei Überwiegen von +- und -+) Waldherr / Christodoulides Einführung in Quantitative Methoden- 5.VO 10/54
11 Zusammenhangsmaß für rangskalierte Variablen Beispiel Zusammenhang zwischen zwei Fragen in einem Test, die mit richtig (+) und falsch ( ) bewertet werden Personen haben an dem Test teilgenommen, 542 Personen haben Frage 1 richtig beantwortet, 860 Personen haben Frage 2 richtig beantwortet und 446 Personen haben beide Fragen richtig beantwortet, Frage 2 + Frage r φ = = = 0.13 nur sehr geringer positiver Zusammenhang zwischen den zwei Fragen Waldherr / Christodoulides Einführung in Quantitative Methoden- 5.VO 11/54
12 Zusammenhangsmaß für rangskalierte Variablen Kontingenztafel - Zusammenhangsmaß Chi-Quadrat (χ 2 ) mit Zusammenhang zweier nominalskalierter Variablen vergleicht beobachtete Häufigkeiten, f jl, mit den unter empirischer Unabhängigkeit erwarteten Häufigkeiten, e jl χ 2 = k j=1 l=1 m (f jl e jl ) 2 e jl e jl = f j.f.l n, f j., f.l > 0 Waldherr / Christodoulides Einführung in Quantitative Methoden- 5.VO 12/54
13 Zusammenhangsmaß für rangskalierte Variablen Eigenschaften von χ 2 Quadratisches Maß analog zu Varianz daher stets χ 2 0 Kann nur mit absoluten Häufigkeiten ermittelt werden! χ 2 = 0 X und Y empirisch unabhängig Maximaler Wert bei vollständiger Abhängigkeit χ 2 n min{k 1, m 1} mit k = Zahl der Zeilen, m = Zahl der Spalten; min bedeutet, die kleinere der beiden Zahlen χ 2 abhängig vom Stichprobenumfang n und daher nach oben unbeschränkt Waldherr / Christodoulides Einführung in Quantitative Methoden- 5.VO 13/54
14 Zusammenhangsmaß für rangskalierte Variablen Kontingenzkoeffizient nach Pearson χ C = 2 n + χ 2 Untere und obere Schranke: min{k 1, m 1} 0 C < 1 min{k, m} mit k = Zahl d. Zeilen, m = Zahl d. Spalten Wertebereich abhängig von Dimension der betrachteten Kontingenztafel Waldherr / Christodoulides Einführung in Quantitative Methoden- 5.VO 14/54
15 Zusammenhangsmaß für rangskalierte Variablen Korrigierter Kontingenzkoeffizient min{k, m} C k = C min{k, m} 1 0 C k 1 Waldherr / Christodoulides Einführung in Quantitative Methoden- 5.VO 15/54
16 Zusammenhangsmaß für rangskalierte Variablen Beispiel Kontingenzkoeffizient Zusammenhang zwischen Wohngebiet (Ost- vs. Westdeutschland) und Konfession Konfession Erhebungs- Röm.- andere gebiet Evang. Kath. andere keine Gesamt Ostd. f jl e jl Westd. f jl e jl Gesamt Waldherr / Christodoulides Einführung in Quantitative Methoden- 5.VO 16/54
17 Zusammenhangsmaß für rangskalierte Variablen χ 2 = ( ) (Max. möglich: 3404 x 1) ( ) ( )2 375 = (Max. möglich: C = = = 0.707) 2 C k = = 0.66 Waldherr / Christodoulides Einführung in Quantitative Methoden- 5.VO 17/54
18 Zufallsexperiment und Ereignisraum Inferenzstatistik Schluss von Zufallsstichprobe auf Population Grundlage: Wahrscheinlichkeitsrechnung Zentral: Zufallsprozesse (Ausgang unsicher, nicht mit Sicherheit vorhersagbar) Waldherr / Christodoulides Einführung in Quantitative Methoden- 5.VO 18/54
19 Zufallsexperiment und Ereignisraum Stochastik die Kunst des Vermutens (altgriechisch) Statistischer Wahrscheinlichkeitsbegriff geht zurück auf 17. Jahrhundert (Frankreich): Wirksamkeit von Zufallsgesetzen bei Glücksspielen. Mathematik setzt Vorstellung von Zufall voraus (= Modelle von Situationen, deren Ausgang unsicher ist). Keine Einzelereignisse vorhersagbar, aber: Erkennen von Regelmäßigkeiten bei Vorgängen, deren Ergebnisse vom Zufall abhängen. Zentraler Begriff: Zufallsexperiment Waldherr / Christodoulides Einführung in Quantitative Methoden- 5.VO 19/54
20 Zufallsexperiment und Ereignisraum Zufallsexperiment (Im Prinzip) Beliebig oft wiederholbarer Vorgang, der nach bestimmter Vorschrift ausgeführt wird, wobei das Ergebnis vom Zufall abhängt, d.h. der Ausgang kann nicht eindeutig im voraus bestimmt werden. Folge von gleichartigen, voneinander unabhängigen Versuchen möglich. Entweder Folge voneinander unabhängiger Versuche mit einem Objekt oder jeweils einmaliger Versuche mit gleichartigen (unabhängigen) Objekten. Beispiel 1: Ein Würfel wird wiederholte Male geworfen und es wird beobachtet, wie oft jede Zahl kommt. Beispiel 2: Parteipräferenz bei weiblichen Jugendlichen zwischen 16 und 18 Jahren. Waldherr / Christodoulides Einführung in Quantitative Methoden- 5.VO 20/54
21 Zufallsexperiment und Ereignisraum Die Menge aller möglichen Ergebnisse eines Zufallsexperimentes bezeichnet man als Ergebnisraum Ω. Die Teilmengen, die nur ein Ergebnis eines Zufallsexperimentes enthalten, heißen Elementarereignisse ω Beispiel: Einmaliges Würfeln : Elementarereignisse sind {1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6}. Ergebnisraum Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Ereignis A: Zusammengefasste Ergebnisse, z.b. alle geraden Augenzahlen beim Würfeln. A Ω Waldherr / Christodoulides Einführung in Quantitative Methoden- 5.VO 21/54
22 Zufallsexperiment und Ereignisraum Sicheres Ereignis und Unmögliches Ereignis Sicheres Ereignis: Jenes Ereignis, welches unter gegebenen Bedingungen immer eintritt. Unmögliches Ereignis: Jenes Ereignis, welches unter gegebenen Bedingungen nie eintritt. Waldherr / Christodoulides Einführung in Quantitative Methoden- 5.VO 22/54
23 Zufallsexperiment und Ereignisraum Einander ausschließende Ereignisse Zwei Ereignisse A und B heißen einander ausschließend, wenn sie niemals gemeinsam auftreten. Waldherr / Christodoulides Einführung in Quantitative Methoden- 5.VO 23/54
24 Zufallsexperiment und Ereignisraum Zusammengesetzte Ereignisse A B (Durchschnitt - und ) Unter dem Ereignis A B versteht man jene Ergebnisse, die sowohl zu A als auch zu B gehören (d.h. sowohl A als auch B treten ein). Waldherr / Christodoulides Einführung in Quantitative Methoden- 5.VO 24/54
25 Zufallsexperiment und Ereignisraum Zusammengesetzte Ereignisse A B (Vereinigung - oder ) Unter dem Ereignis A B versteht man jene Ergebnisse, die entweder zu A, oder zu B, oder zu beiden gehören (d.h. mindestens eines der Ereignisse A oder B tritt ein). Waldherr / Christodoulides Einführung in Quantitative Methoden- 5.VO 25/54
26 Zufallsexperiment und Ereignisraum A ohne B, A\B Unter dem Ereignis A\B versteht man jene Ergebnisse, die zu A gehören, aber nicht gleichzeitig zu B. Waldherr / Christodoulides Einführung in Quantitative Methoden- 5.VO 26/54
27 Zufallsexperiment und Ereignisraum Komplementäres Ereignis Komplementärereignis A: Jenes Ereignis, welches genau dann eintritt, wenn A nicht eintritt (Ω\A). Waldherr / Christodoulides Einführung in Quantitative Methoden- 5.VO 27/54
28 Zufallsexperiment und Ereignisraum Komplementärereignis zu A B (A B) Unter dem komplementären Ereignis A B versteht man jene Ergebnisse, die nicht zu A B gehören. Waldherr / Christodoulides Einführung in Quantitative Methoden- 5.VO 28/54
29 Kombinatorik Hinderer (1980): Statistischer Wahrscheinlichkeitsbegriff dient der Beschreibung von beobachteten Häufigkeiten bei beliebig oft wiederholbaren Vorgängen, deren Ausgang nicht vorhersehbar ist. Würde man (theoretisch) unendlich oft eine faire Münze werfen, könnte man beobachten, dass sich mit wachsender Anzahl n der Münzwürfe die relativen Häufigkeiten der beiden Elementarereignisse {Kopf} und {Zahl} stabilisieren, und zwar bei 0.5. D.h. die relativen Häufigkeiten streben einem Grenzwert zu = empirisches Gesetz der großen Zahlen. Waldherr / Christodoulides Einführung in Quantitative Methoden- 5.VO 29/54
30 Kombinatorik Definition der statistischen Wahrscheinlichkeit Die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten eines Ereignisses A, P(A), ist jener Wert, bei dem sich die relative Häufigkeit r n (A) bei n Versuchen unter gleichen Bedingungen stabilisiert. P(A) = lim n r n(a) Waldherr / Christodoulides Einführung in Quantitative Methoden- 5.VO 30/54
31 Kombinatorik Laplace-Wahrscheinlichkeit Zufallsexperimente mit endlich vielen Ergebnissen alle Elementarereignisse gleich wahrscheinlich Wahrscheinlichkeit für ein beliebiges Ereignis A P(A) = Anzahl der für A günstigen Ergebnisse Anzahl aller möglichen Ergebnisse Beispiele: P(K) bei Münzwürfen = 1 2 = lim n r n (K) P(1) beim Würfeln = 1 6 = lim n r n (1) Waldherr / Christodoulides Einführung in Quantitative Methoden- 5.VO 31/54
32 Kombinatorik Beispiele Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei Lotto 6 aus 45 sechs Richtige zu haben? In der Sendung Millionenshow müssen zu Beginn 10 TeilnehmerInnen eine Auswahlfrage beantworten, bei der jeweils 4 Objekte den Buchstaben A bis D zuzuordnen sind. Sei die Frage z.b. Ordnen Sie folgende Seen nach ihrer Größe, beginnend beim kleinsten: 1) Titicacasee, 2) Chiemsee, 3) Michigansee, 4) Bodensee. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit durch reines Raten die richtige Reihenfolge zu finden? Waldherr / Christodoulides Einführung in Quantitative Methoden- 5.VO 32/54
33 Kombinatorik Kombinatorik Grundlage für Wahrscheinlichkeitsrechnung Rechenregeln zur Berechnung von: In wie vielen unterschiedlichen Reihenfolgen können n Elemente angeordnet werden? = Permutationen Wieviele Möglichkeiten gibt es, aus n Elementen eine Teilmenge von k Elementen auszuwählen? = Kombinationen 1. mit oder ohne Wiederholung (= mit oder ohne Zurücklegen) 2. mit oder ohne Berücksichtigung der Reihenfolge Waldherr / Christodoulides Einführung in Quantitative Methoden- 5.VO 33/54
34 Kombinatorik Permutationen ohne Wiederholung Permutation = jede Anordnung einer endlichen Anzahl von Elementen, bei der alle Elemente verwendet werden Beispiel: 3 verschiedene Geschenke sollen auf 3 Kinder aufgeteilt werden 1. Geschenk: 3 Möglichkeiten (allgemein:n) 2. Geschenk: 2 Möglichkeiten (allgemein: n 1) 3. Geschenk: 1 Möglichkeit allgemein: n(n 1)(n 2)... 1 = n! Möglichkeiten Anmerkung: n! = n Fakultät = n (z.b. 4! = = 24); 0! = 1 Waldherr / Christodoulides Einführung in Quantitative Methoden- 5.VO 34/54
35 Kombinatorik Permutationen mit Wiederholung Wie viele Möglichkeiten gibt es, n Elemente, die sich in m verschiedene Typen (Klassen) mit je k Elementen unterscheiden lassen, anzuordnen? Z.B. n = 4 Geschenke, m = 2 Klassen, k 1 = 2, k 2 = 2, (d.h. je 2 Geschenke sind gleich) n Elemente n! verschiedene Anordnungsmöglichkeiten m verschiedene Klassen mit k 1, k 2..., k m nicht unterscheidbaren Elementen k 1!k 2!... k m! Anordnungsmöglichkeiten nicht unterscheidbar n! k 1!k 2!... k m! verschiedene Anordnungsmöglichkeiten Waldherr / Christodoulides Einführung in Quantitative Methoden- 5.VO 35/54
36 Kombinatorik Spezialfall m = 2 Klassen Hier gilt: n! k!(n k)! =: ( n k) = Binomialkoeffizient, n k ( ) n k Beispiel: 2 blaue Luftballons, 2 rote Luftballons ( ) 4 = 4! 2 2!2! = (2 1)(2 1) = 6 Waldherr / Christodoulides Einführung in Quantitative Methoden- 5.VO 36/54
37 Kombinatorik Rechenregeln für Binomialkoeffizienten Es gilt: ( ) ( ) n n = = 1 n 1 ) ( ) n = = n 2 ( n 2 ( ) ( ) n n! n = n k (n k)!k! = k ( ) n = n! ( ) n 0 0!n! = = 1 n n! n(n 1)(n 2)... 1 = 1!(n 1)! (n 1)(n 2)... 1 = n n! n(n 1)(n 2)... 1 n(n 1) = = 2!(n 2)! 2(n 2) Waldherr / Christodoulides Einführung in Quantitative Methoden- 5.VO 37/54
38 Kombinatorik Kombinationen mit Zurücklegen mit Berücksichtigung der Reihenfolge k Elemente sollen aus n Elementen ausgewählt werden (k Versuche oder Ziehungen), wobei sich jedes der n Elemente beliebig oft wiederholen kann (d.h. zurückgelegt wird). Beispiel: Ziehen von k = 2 aus n = 3 Kugeln, wobei die gezogene Kugel wieder zurückgelegt wird n k verschiedene Reihenfolgen Waldherr / Christodoulides Einführung in Quantitative Methoden- 5.VO 38/54
39 Kombinatorik Beispiel Ein Zahlencode besteht aus 4 voneinander unabhängigen, nacheinander einzugebenden Ziffern von 0 bis 9. Wie viele Möglichkeiten gibt es? n = 10, k = 4 n k = 10 4 = Waldherr / Christodoulides Einführung in Quantitative Methoden- 5.VO 39/54
40 Kombinatorik Kombinationen ohne Zurücklegen mit Berücksichtigung der Reihenfolge Ziehen von k Elementen aus insgesamt n Elementen, wobei jedes der n Elemente nur einmal gewählt werden kann (d.h. nicht zurückgelegt wird) Beispiel: Ziehen von k = 2 aus n = 4 Kugeln, wobei die gezogene Kugel nicht wieder zurückgelegt wird n! (n k)! = 4! (4 2)! = 12 Waldherr / Christodoulides Einführung in Quantitative Methoden- 5.VO 40/54
41 Kombinatorik Beispiel Bei einem Pferderennen sind 8 Pferde am Start. Wie viele Möglichkeiten gibt es für die Belegung der ersten drei Plätze? n = 8, k = 3 n! (n k)! = 8! = 336 Möglichkeiten (8 3)! Waldherr / Christodoulides Einführung in Quantitative Methoden- 5.VO 41/54
42 Kombinatorik Kombinationen ohne Zurücklegen ohne Berücksichtigung der Reihenfolge Wie viele Möglichkeiten gibt es k Elemente aus n Elementen in beliebiger Reihenfolge auszuwählen, wobei jedes der n Elemente nur ein Mal gewählt werden kann? Beispiel: Ziehen von k = 2 aus n = 3 Kugeln, Reihenfolge egal ( ) n k = n! k!(n k)! Waldherr / Christodoulides Einführung in Quantitative Methoden- 5.VO 42/54
43 Kombinatorik Beispiel Lotto 6 aus 45 n = 45, k = 6 ( ) ( ) n 45 = = 45! = = k 6 6!39! Waldherr / Christodoulides Einführung in Quantitative Methoden- 5.VO 43/54
44 Kombinatorik Kombinationen mit Zurücklegen ohne Berücksichtigung der Reihenfolge Aus n Elementen sollen k Elemente in beliebiger Reihenfolge ausgewählt werden, wobei sich jedes der n Elemente beliebig oft wiederholen kann. Beispiel: Ziehen von k = 2 aus n = 3 Kugeln, wobei die gezogene Kugel jeweils zurückgelegt wird und die Reihenfolge egal ist ( ) n + k 1 = k (n + k 1)! k!(n 1)! = 4! 2!2! = 6 Waldherr / Christodoulides Einführung in Quantitative Methoden- 5.VO 44/54
45 Kombinatorik Beispiel Gummibärchenorakel: Man wählt k = 5 Gummibärchen aus n = 5 Farben. Wieviele verschiedene Farbkombinationen sind möglich? ( ) ( ) ( ) n + k = = = 9! k 5 5 5!4! = 126 Waldherr / Christodoulides Einführung in Quantitative Methoden- 5.VO 45/54
46 Kombinatorik Kombinationen - Zusammenfassende Übersicht Berücksichtigung ja d. Reihenfolge nein Wiederholung (= Zurücklegen) nein ja n! n k (n ( ) k)! ( ) n n + k 1 k k Variationen Waldherr / Christodoulides Einführung in Quantitative Methoden- 5.VO 46/54
47 Kombinatorik Beispiele Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei Lotto 6 aus 45 sechs Richtige zu haben? 1 ( 45 6 ) = = Waldherr / Christodoulides Einführung in Quantitative Methoden- 5.VO 47/54
48 Kombinatorik Beispiele In der Sendung Millionenshow müssen zu Beginn 10 TeilnehmerInnen eine Auswahlfrage beantworten, bei der jeweils 4 Objekte den Buchstaben A bis D zuzuordnen sind. Sei die Frage z.b. Ordnen Sie folgende Seen nach ihrer Größe, beginnend beim kleinsten: 1) Titicacasee, 2) Chiemsee, 3) Michigansee, 4) Bodensee. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit durch reines Raten die richtige Reihenfolge zu finden? n! Reihenfolgen = 4! = = Waldherr / Christodoulides Einführung in Quantitative Methoden- 5.VO 48/54
49 Axiome der Wahrscheinlichkeitsrechnung nach Kolmogoroff Wahrscheinlichkeiten lassen sich durch drei Eigenschaften, die auch für relative Häufigkeiten gelten, und aus denen sich alle Rechenregeln für Wahrscheinlichkeiten ableiten lassen, charakterisieren: 1. Für die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses gilt stets: 0 P(A) Die Wahrscheinlichkeit eines sicheren Ereignisses beträgt P(Ω) = Additionsregel der Wahrscheinlichkeit: Die Wahrscheinlichkeit, dass eines von k einander ausschließenden Ereignissen auftritt, ist die Summe der einzelnen Wahrscheinlichkeiten P(A 1 ), P(A 2 ),..., P(A k ). P(A 1 A 2... A k ) = P(A 1 ) + P(A 2 ) P(A k ) Waldherr / Christodoulides Einführung in Quantitative Methoden- 5.VO 49/54
50 Rechenregeln Die Wahrscheinlichkeit des unmöglichen Ereignisses B beträgt P(B) = 0. Wenn B ein unmögliches Ereignis ist, kann es nie eintreten r n (B) = 0 P(B) = 0. Achtung: Aus P(B) = 0 folgt aber nicht, dass B ein unmögliches Ereignis ist. Das bedeutet nur, dass der Grenzwert der relativen Häufigkeit für n Null ist, woraus aber nicht folgt, dass B nie eintreten kann! (Analoges gilt für P(A) = 1). Waldherr / Christodoulides Einführung in Quantitative Methoden- 5.VO 50/54
51 Rechenregeln P(A) + P(A) = 1, P(A) = 1 P(A) A tritt immer dann ein, wenn A nicht eintritt r n (A) + r n (A) = 1 Beispiel: Münzwurf: P(K) + P(Z) = = 1 Waldherr / Christodoulides Einführung in Quantitative Methoden- 5.VO 51/54
52 Rechenregeln P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) Waldherr / Christodoulides Einführung in Quantitative Methoden- 5.VO 52/54
53 Beispiele 52 Spielkarten, 4 Farben je 13 Karten: P(Herz Dame) =? P(Herz) = 13 52, P(Dame) = 4 1, P(Herz Dame) = P(Herz Dame) = = 0.31 Wahrscheinlichkeit, dass bei einem Münzwurf das Ergebnis Zahl ist: P(Z) = 1 P(K) = 0.5 Wahrscheinlichkeit, dass bei einem Münzwurf das Ergebnis Zahl oder Kopf ist: P(Z K) = P(Z) + P(K) = 1 Waldherr / Christodoulides Einführung in Quantitative Methoden- 5.VO 53/54
54 Beispiele Ein Kraftwerk besitzt für den Fall eines Maschinenausfalles zwei Sicherheitssysteme. System A wird im Falle eines Maschinenausfalles mit einer Wahrscheinlichkeit von 95% aktiviert, System B mit einer Wahrscheinlichkeit von 91%. Mit 86.45%iger Wahrscheinlichkeit reagieren beide Systeme gleichzeitig. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei einem Maschinenausfall zumindest eines der beiden Systeme aktiviert wird? P(A) = 0.95, P(B) = 0.91, P(A B) = P(A B) = P(A)+P(B) P(A B) = = Waldherr / Christodoulides Einführung in Quantitative Methoden- 5.VO 54/54
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