4 Matrizenrechnung. Beide Operationen geschehen also koeffizientenweise. Daher übertragen sich die Rechenregeln von K(m n, k).

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1 4 Matrizenrechnung Der Vektorraum der m n Matrizen über K Sei K ein Körper und m, n N\{0} A sei eine m n Matrix über K: a a 2 a n a 2 a 22 a 2n A = = (a ij) mit a ij K a m a m2 a mn Die a ij heißen die Koeffizienten von K M(m n, K) bezeichnet die Menge aller m n Matrizen über K Addition: von m n Matrizen: Seien (a ij ) und (b ij ) m n Matrizen über K (a ij ) + (b ij ) ist die m n Matrix (c ij ) mit den Koeffizienten Skalarmultiplikation: c ij = a ij + b ij, i =,, m, j =,, n λ (a ij ) := (d ij ), wobei d ij = λa ij, i =,, m, j =,, n Beide Operationen geschehen also koeffizientenweise Daher übertragen sich die Rechenregeln von K(m n, k) Man erhält (4) Bemerkung: M(m n, K) wird mit diesen Verknüpfungen zu einem K Vektorraum mit 0 0 Null = (0-Matrix) und A = ( ) A = ( a ij ) 0 0 Es gilt: dim M(m n, K) = m n Beweis: der letzten Tatsache Sei E j i die m n Matrix, welche ein an der Kreuzung von i ter Zeile und j ter Spalte hat und sonst lauter Nullen j E j i = i

2 Dann ist E = (E, E 2,, E n, E 2,, E m,, E n m) eine Basis von V = M(m n, K) als K Vektorraum: Sei A = (a ij ) eine beliebige m n Matrix Dann ist a ij E j i = j a ij und V wird von E erzeugt Aus m λ ij E j i = (λ ij) = 0 Matrix folgt i= i und A = m i= a ij E j i λ ij = 0 für i =,, n, j =,, m, also ist E linear unabhängig ( ) ( ) ( ) Beispiel: + = ( 3 2 ) ( 4 ) = Definition: Die Transponierte der m n Matrix A ist die n m Matrix A t, deren Spalten die Zeilen von A sind: A t = (b kl ) k=,,n mit b kl = a lk l=,,m Beispiele: a = (a,, a n ) a t = b) t 2 3 = a a n M(n, K) = K n c) Ist A quadratisch so entsteht A t aus A durch Spiegelung an der Diagonalen 2

3 t 2 3 = Spiegelungsachse (42) Regel: (Beweis: Übungsaufgabe) Seien A und B m n Matrizen und λ K a) (A + B) t = A t + B t b) (λa) t = λ A t c) (A t ) t = A Multiplikation von Matrizen Definition: Sei A = (a ij ) eine m n Matrix und B = (b jk ) eine n r Matrix Dann ist A B die folgende m r Matrix: AB = (c ik ), wobei c ik := a ij b jk, i =,, m, k =,, r Merkregel für die Matrizenmultiplikation x Definition: Für x = x n und y = y y n aus K n setzen wir x, y := x y + x 2 y x n y n ( Skalarprodukt von x und y) Fasse x und y als n Matrizen auf Dann ist x t = (x,, x n ) = b y b 2 (a, a 2,, a n ) eine n Matrix und y = = eine y n b n 3

4 n Matrix Daher ist x t y definiert und x t y = (c ) mit c = a b + a 2 b a n b n = n x j y j = x, y Allgemeiner: Sei wie oben A eine m n und B eine n r Matrix a i = (a i,, a in ) sei die i te Zeile von A und b k = von B Dann ist definitionsgemäß AB = C = (c ik ) mit c ik = a i2 b 2k + + a in b nk = a t i, b k Also gilt Merkschema AB = ( a t i, b k ) i=,,m k=,,r b k b nk die k te Spalte n a ij b jk = a i b k + B b b k b r A b n b nk b nr a a n a i a in c ik a m a mn AB = C (i) Nehme die k te Spalte b k von B und lege sie über die i te Zeile a i von A (ii) Multipliziere übereinanderliegende Elemente miteinander: (iii) Bilde die Summe dieser n Zahlen: a i b k, a i2 b 2k,, a in b nk a i b k + a i2 b 2k + + a in b nk 4

5 (iv) Das Resultat ist der Koeffizient c ik in der i ten Zeile und k-ten Spalte von C = AB Beispiel B A AB Ist m = n = r, so kann man AB und BA bilden: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = 0; = Hier ist AB BA! x Spezialfall r = : B = x = x n a a n x A x = a m a mn x n A = (a ij ) i=,,m =,,n a x + a 2 x a n x n a 2 x + a 22 x a 2n x n a m x + a m2 x a mn x n = = x a + x 2 a x n a n Damit hat man die folgende Kurzschreibweise für das lineare Gleichungssystem a x + a 2 x a n x n = b a 2 x + a 22 x a 2n x n = b 2 a m x + a m2 x a mn x n = b m, wenn b t = (b,, b m ) : A x = b oder x a + x 2 a x n a n = b 5

6 Aus den Rechenregeln für K ergeben sich analoge Regeln für das Rechnen mit Matrizen: (43) Regel: Seien A, A M(m n, k); B, B M(n r, K); D M(r s, K); λ K Dann gilt: a) AE n = A = E m A b) A(B + B ) = AB + AB ; (A + A )B = AB + A B c) A(λB) = (λa)b = λ(a B) d) A(BD) = (AB)D e) (AB) t = B t A t Beweis: a) E n = (δ jk ), wobei δ jk = { fürj = k 0 fürj k AE n = (c ik ), wobei c ik = a i δ k + a i2 δ 2k + + a in δ nk = a ik δ kk = a ik Analog zeigt man, dass E m A = A b) Zeige A(B + B ) = AB + AB (andere Regel folgt analog) A = (a ij ), B = (b jk ), B = (b jk ), B + B = (b jk + b jk ) (a ij )(b jk + b jk ) = (d ik) wobei d ik = n a ij (b jk + b jk ) = = n a ij b jk + n a ij b jk = c ik + c ik, wenn AB = (c ik) und AB = (c ik ) Daher gilt: A(B + B ) = AB + AB ( ) ( ) c) λb = (λb jk )A(λB) = a ij (λb jk ) = λ a ij b jk = = λ(ab) Analog: (λa)b = λ (AB) 6

7 d) Sei D = (d kl ); AB = (c ik ) mit c ik = n a ij b jk und BD = (e jl ) mit e) e jl = r k= b jk d kl Es folgt ( ) ( ( r )) A(BD) = (a ij )(e jl ) = a ij e jl = a ij b jk d kl k= ( r ) ( r ( ) ) (AB)D = (c ik )(d kl ) = c ik d kl = a ij b jk d kl k= Da man bei einer Doppelsumme die Summationsreihenfolge vertauschen darf, gilt A(BD) = (AB)D } A t = (a ji) mit a ji = a ij B t = (b kj ) mit b kj = b () jk AB = (c ik ) mit c ik = n a ij b jk (2) k= (AB) t = c ki mit c ki = c ik(k =,, r, i =,, m)(3) Es folgt B t A t = (d ki ) mit d ki = n b kj a ji = b jk a ij a ij b jk = c ik = c ki für k =,, r i =,, m Es folgt B t A t = (d ki ) = (c ki ) = (AB)t (44) Bemerkung: Sind b,, b r die Spalten von B M(n r, k) und a,, a m die Zeilen von A M(m n, k), so gilt: Ab,, Ab r sind die Spalten von AB a B,, a m B sind die Zeilen von AB Dies folgt sofort aus der Definition der Matrizenmultiplikation Insbesondere gilt wegen AE n = A (B = E n ) Ae = a,, Ae n = a n sind die Spalten von A, wenn e,, e n die Einheitsvektoren von K n sind Entsprechend: e t ia = a i, i =,, n sind die Zeilen von A 7