Beispiel: Zufallsvariable

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1 Beispiel: Zufallsvariable 3 Münzen werden unabhängig voneinander geworfen. Jede Münze kann entweder Kopf oder Zahl zeigen. Man ist nur an der Zahl der Köpfe interessiert. Anzahl Kopf Elementarereignis Wahrscheinlichkeit KKK 3 1/8 KKZ 2 1/8 KZK 2 1/8 ZKK 2 1/8 KZZ 1 1/8 ZKZ 1 1/8 ZZK 1 1/8 ZZZ 0 1/8 Statistik für SoziologInnen 1 Diskrete Zufallsvariable

2 Beispiel: Zufallsvariable 3 Münzen werden unabhängig voneinander geworfen. Jede Münze kann entweder Kopf oder Zahl zeigen. Man ist nur an der Zahl der Köpfe interessiert. Anzahl Kopf Elementarereignis Wahrscheinlichkeit KKK 3 1/8 KKZ 2 1/8 KZK 2 1/8 ZKK 2 1/8 KZZ 1 1/8 ZKZ 1 1/8 ZZK 1 1/8 ZZZ 0 1/8 Statistik für SoziologInnen 2 Diskrete Zufallsvariable

3 Beispiel: Zufallsvariable Jedem Elementarereignis wird eine Zahl zugeordnet (Anzahl der beobachteten Köpfe) Die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten einer Zahl ergibt sich durch Summation der Wahrscheinlichkeiten der Elementarereignisse, die mit dieser Zahl verknüpft sind: Anzahl Kopf Wahrscheinlichkeit 1/8 3/8 3/8 1/8 Statistik für SoziologInnen 3 Diskrete Zufallsvariable

4 Zufallsvariable Eine Variable X, die jedem möglichen Ereignis e E eines Zufallsexperimentes eine Zahl X(e) zuordnet, wird als Zufallsvariable bezeichnet. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsvariablen X ist die Zuordnung von Wahrscheinlichkeiten zu allen von X beschriebenen Ereignissen Statistik für SoziologInnen 4 Diskrete Zufallsvariable

5 Wahrscheinlichkeitsfunktion Die Funktion f(x), die jeder Zahl x die Wahrscheinlichkeit P(X=x) zuordnet, heißt Wahrscheinlichkeitsfunktion der diskreten 0,4 Zufallsvariablen X: 0,3 f(x) = P(X = x) 0,2 0 Seien x 1, x 2,..., x i,... die Realisationsmöglichkeiten der diskreten Zufallsvariablen X, so wird die Wahrscheinlichkeitsfunktion oft kurz als p i geschrieben: f(x i ) = P(X = x i ) = p i i=1, 2,... Statistik für SoziologInnen 5 Diskrete Zufallsvariable 0,1 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5

6 Beispiel: Zufallsvariable Jedem Elementarereignis wird eine Zahl zugeordnet (Anzahl der beobachteten Köpfe) Anzahl Kopf Wahrscheinlichkeit 1/8 3/8 3/8 1/8 P{X=2} = 3/8 P{X 2} = 1 - P{X > 2} = 1/8 + 3/8 + 3/8 = 1-1/8 =7/8 P{0 < X 1} = 3/8 P{X > 1} = 1 - P{X 1} = 3/8 + 1/8 = 1-1/8-3/8 = 4/8 Statistik für SoziologInnen 6 Diskrete Zufallsvariable

7 Verteilungsfunktion Um die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsvariablen X zu definieren, genügt es Ereignissen des Typs {X x} Wahrscheinlichkeiten zuzuordnen. Daraus lassen sich bereits für alle anderen durch X definierten Ereignisse die Wahrscheinlichkeiten ermitteln. Die Funktion F(x), die jedem x die Wahrscheinlichkeit P(X x) zuordnet nennt man die theoretische Verteilungsfunktion der Zufallsvariablen X: F(x) = P(X x) Statistik für SoziologInnen 7 Diskrete Zufallsvariable

8 Beispiel: Zufallsvariable Anzahl Kopf Wahrscheinlichkeitsfunktion 1/8 3/8 3/8 1/8 Verteilungsfunktion 1/8 4/8 7/8 8/8 P{X 0} = 1/8 P{X 1} = 4/8 P{X 2} = 7/8 P{X 3} = 8/8 1,2 1 0,8 0,6 0,4 0,2 Verteilungsfunktion Statistik für SoziologInnen 8 Diskrete Zufallsvariable

9 Eigenschaften der Verteilungsfunktion F(x) nimmt nur Werte zwischen 0 und 1 an, d.h. es gilt 0 F(x) 1 F(x) steigt für wachsendes x monoton an x 1 < x 2 F(x 1 ) F(x 2 ) F(x) 1 für x F(x) 0für x - Statistik für SoziologInnen 9 Diskrete Zufallsvariable

10 f(x) F(x) im diskreten Fall Zwischen der Wahrscheinlichkeitsfunktion f(x) und der Verteilungsfunktion F(x) gelten im Fall der diskreten Zufallsvariable X mit den Realisationsmöglichkeiten x 1, x 2,..., x i,...: xi x Fx) ( = fx ( i ) F(x i ) - F(x i-1 ) = f(x i ) F(x i ) = P(X x i ) = P(X < x i ) + P(X = x i ) = = F(x i-1 ) + P(X = x i ) Statistik für SoziologInnen 10 Diskrete Zufallsvariable

11 Beispiel: Diskrete Zufallsvariable Bei einem Wissenstest muss ein Kandidat bei jeder Frage ein Zuordnungsproblem der folgenden Art lösen: 1) Erste Türkenbelagerung 2) Schlacht von Hastings 3) Entdeckung Amerikas a) 1066 b) 1492 c) 1529 Der Ereignisraum kann wie folgt dargestellt werden: a b c a c b b a c b c a c a b c b a Die Anzahl der richtigen Antworten bei dieser Frage ist, da die korrekte Lösung (c a b) lautet, wie folgt: Statistik für SoziologInnen 11 Diskrete Zufallsvariable

12 Beispiel: Diskrete Zufallsvariable Geht man davon aus, dass der Kandidat die Fragen nach einem Zufallsprinzip beantwortet (jede der 6 Antworten mit gleicher Wahrscheinlichkeit wählt), ergibt sich für die Wahrscheinlichkeitsfunktion der richtigen Antworten folgendes: Anzahl richtige Antworten Wahrscheinlichkeit /6 3/6 0 1/6 Statistik für SoziologInnen 12 Diskrete Zufallsvariable

13 Beispiel: Diskrete Zufallsvariable Stellt man den Kandidaten wiederholt eine Problemstellung des obigen Typs, kann man wohl davon ausgehen, dass der Kandidat im Mittel pro Problem eine richtige Antwort treffen wird: x i p i x i p i 0 2/ /6 3/ /6 3/6 Summe 1 1 Dieses gewogene Mittel nennt man den Erwartungswert einer Zufallsvariablen Statistik für SoziologInnen 13 Diskrete Zufallsvariable

14 Erwartungswert Sei X eine diskrete Zufallsvariable mit den Realisationsmöglichkeiten x i und der zugehörigen Wahrscheinlichkeitsfunktion p i =P(X=x i ), i=1,2,... Dann heißt E(X) der Erwartungswert von X. EX ( ) = μ = i xp i i Gewichtete Summe der Merkmalsausprägungen, wobei die Gewichte die Wahrscheinlichkeiten sind. Statistik für SoziologInnen 14 Diskrete Zufallsvariable

15 Beispiel Würfelwurf Wir betrachten einen idealen (unverfälschten) Würfel, welcher folgende Wahrscheinlichkeitsfunktion besitzt: Würfel x i p i x i p i 1 1/6 1/6 2 1/6 2/6 3 1/6 3/6 4 1/6 4/6 5 1/6 5/6 6 1/6 6/6 Summe 1 3,5 E(X) = 3,5 Statistik für SoziologInnen 15 Diskrete Zufallsvariable

16 Arithmetisches Mittel Bei 12 Würfen mit dem Würfel wurde folgendes Ergebnis beobachtet: 5, 3, 4, 5, 5, 2, 6, 1, 4, 1, 3, 6 Der Durchschnitt (das Arithmetische Mittel) dieser 12 Augenzahlen ist 3,75. Das arithmetische Mittel (oder der Durchschnitt) x der Zahlen x 1,..., x n ist definiert als: x = 1 ( n x + x + + x n = K ) n n i= 1 x i Statistik für SoziologInnen 16 Diskrete Zufallsvariable

17 Beispiel Würfelwurf Das Ergebnis des Würfelwurfs lässt sich auch in einer Häufigkeitstabelle zusammenfassen: x i n i h i x i h i x i n i 1 2 2/12 2/ /12 2/ /12 6/ /12 8/ /12 15/ /12 12/12 12 Summe / /12 = 3,75 Statistik für SoziologInnen 17 Diskrete Zufallsvariable

18 Arithmetisches Mittel bei tabellierten Daten Aus vorigem Beispiel ergeben sich folgende Formeln: k... Anzahl der verschiedenen Ausprägungen x k 1 = nx i i = n i k = = 1 i 1 hx i i Statistik für SoziologInnen 18 Diskrete Zufallsvariable

19 Arithm. Mittel versus Erwartungswert Erwartungswert ist ein theoretischer Wert (theoretischer Lageparameter), der die zentrale Tendenz einer diskreten Zufallsvariable charakterisiert, indem die Merkmalsausprägungen mit ihrer Wahrscheinlichkeit multipliziert und dann summiert werden. Das arithmetische Mittel ist ein empirischer Wert (empirischer Lageparameter), der die zentrale Tendenz einer realen Beobachtung (Stichprobe) charakterisiert, indem die Merkmalsausprägungen mit ihrer relativen Häufigkeit multipliziert und dann summiert werden. Statistik für SoziologInnen 19 Diskrete Zufallsvariable

20 Inferenzstatistisches Prinzip In der Inferenzstatistik (schließenden Statistik) versucht man durch den systematischen Vergleich von empirischen Häufigkeitsverteilungen mit hypothetischen theoretischen Modellen Schlussfolgerungen über den datengenerierenden Prozess ziehen zu können. Dieser Vergleich kann entweder auf dem Vergleich der theoretischen und der empirischen Verteilung oder auf dem Vergleich daraus abgeleiteter Maßzahlen beruhen. Statistik für SoziologInnen 20 Diskrete Zufallsvariable

21 Anwendung beim Zuordnungstest In 3 Schulklassen (A, B, C) von je 30 Schülern wird der zuvor beschriebene Zuordnungstest durchgeführt: Korrekt Prob Theorie A B C 0 2/ / / Erwartungswert: 1 richtige Lösung pro Schüler bei zufälligem Antwortverhalten Mittel(A): 1/3 Mittel(B): 9/10 Mittel(C): 22/10 Statistik für SoziologInnen 21 Diskrete Zufallsvariable

22 Vergleich der Verteilungen Theorie A Theorie B Theorie C Statistik für SoziologInnen 22 Diskrete Zufallsvariable

23 Eigenschaften des Erwartungswertes EaX ( + b) = aex ( ) + b EX ( + Y) = EX ( ) + EY ( ) Beachte: EX ( + X) = E( 2X) aber X+ X 2X Statistik für SoziologInnen 23 Diskrete Zufallsvariable

24 Zufallsvariable Augenzahl Augenzahl (X) P(X=x) x.p(x=x) 1 0,167 0, ,167 0, ,167 0, ,167 0, ,167 0, ,167 1,000 3,5 Statistik für SoziologInnen 24 Diskrete Zufallsvariable

25 Zufallsvariable Doppelte Augenzahl (2X) Augenzahl (2X) P(X=x) x.p(x=x) 2 0,167 0, ,167 0, ,167 1, ,167 1, ,167 1, ,167 2,000 7 Statistik für SoziologInnen 25 Diskrete Zufallsvariable

26 Zufallsvariable Augenzahl von 2 Würfen (X+X) ,028 0,028 0,028 0,028 0,028 0, ,028 0,028 0,028 0,028 0,028 0, ,028 0,028 0,028 0,028 0,028 0, ,028 0,028 0,028 0,028 0,028 0, ,028 0,028 0,028 0,028 0,028 0, ,028 0,028 0,028 0,028 0,028 0,028 Statistik für SoziologInnen 26 Diskrete Zufallsvariable

27 Zufallsvariable Augenzahl von 2 Würfen Y= X+X Augenzahl Y=X+X P(Y=y) y.p(y=y) 2 0,028 0, ,056 0, ,083 0, ,111 0, ,139 0, ,167 1, ,139 1, ,111 1, ,083 0, ,056 0, ,028 0,333 7,000 0,180 0,160 0,140 0,120 0,100 0,080 0,060 0,040 0,020 0,000 P(Y=y) Statistik für SoziologInnen 27 Diskrete Zufallsvariable

28 Statistik für SoziologInnen 28 Diskrete Zufallsvariable Varianz einer ZV ) ( ² ) ( ) ( )]² ( [ ) ( )² ( ²) ( ) ( X V b Y V bx a Y x p X E x X V X E X E X V i i i = + = = =

29 Varianz beim Roulette Spiel auf Dutzend Gewinn Prob Erwartung Gewinn^2 E(X^2) +2 0,324 0, , ,676-0, ,6757 Varianz 1,000-0,027 1,973 1,97 Spiel auf eine Zahl Gewinn Prob Erwartung Gewinn^2 E(X^2) +35 0,027 0, , ,973-0, ,973 Varianz 1,000-0,027 34,081 34,08 Statistik für SoziologInnen 29 Diskrete Zufallsvariable

30 Varianz beim Roulette Statistik für SoziologInnen 30 Diskrete Zufallsvariable

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