3. Erzwungene Schwingungen

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1 3. Erzwungene Schwingungen 3.1 Grundlagen 3.2 Tilger 3.3 Kragbalken 3.4 Fahrbahnanregung 3.3-1

2 3.1 Grundlagen Untersucht wird die Antwort des Systems auf eine Anregung mit harmonischem Zeitverlauf. Bewegungsgleichung: Harmonische Last: [ M ] [ü ] [ D ] [ u ] [ K ] [ u ]=[ f t ] An jedem Freiheitsgrad des Systems kann eine harmonische Last angreifen: f k t =F 0k cos t k =R F 0 k e i k e i t Mit der komplexen Lastamplitude F k =F 0k e i k gilt: f k t =R F k e i t 3.3-2

3 3.1 Grundlagen Die Lasten an den einzelnen Freiheitsgraden werden im komplexen Lastvektor zusammengefasst: F 1 n] F [ f t ]=R [ F ] e i t mit [ F ]=[ Lösungsansatz für den eingeschwungenen Zustand: Wie bei Systemen mit einem Freiheitsgrad hat die Antwort für jeden Freiheitsgrad einen harmonischen Zeitverlauf, wobei die Frequenz gleich der Erregerfrequenz ist: u k t =u 0 k cos t k =R U k e i t mit U k =u 0 k e i k 3.3-3

4 3.1 Grundlagen Mit der komplexen Verschiebungsamplitude [U ]=[U 1 U n] lautet der Ansatz für den Verschiebungsvektor: [u t ]=R [U ] e i t Für die Ableitungen folgt wie bei Systemen mit einem Freiheitsgrad: [ u t ]=R i [U ] e i t, [ü t ]= 2 R [U ] e i t 3.3-4

5 3.1 Grundlagen Lösung: Einsetzen des Lösungsansatzes in die Bewegungsgleichung führt auf R [ 2 [ M ] i [ D ] [ K ] [U ] e i t ]=R [ F ] e i t Die Gleichung ist erfüllt für 2 [ M ] i [ D ] [ K ] [U ]=[ F ] Für jede Erregerfrequenz Ω kann die komplexe Verschiebung [U ] durch Lösen eines komplexen linearen Gleichungssystems berechnet werden

6 Frequenzganganalyse: 3.1 Grundlagen Die Ermittlung der Antwort [U ] als Funktion der Erregerfrequenz Ω wird als Frequenzganganalyse bezeichnet. Direkte Frequenzganganalyse: Für jede Erregerfrequenz wird das komplexe Gleichungssystem gelöst. Die direkte Frequenzganganalyse ist effizient, wenn nur wenige Erregerfrequenzen untersucht werden müssen. Modale Frequenzganganalyse: Das komplexe Gleichungssystem wird vor dem Lösen mithilfe der Eigenvektoren auf modale Koordinaten transformiert

7 3.1 Grundlagen Die modale Frequenzganganalyse ist effizient, wenn viele Erregerfrequenzen untersucht werden müssen und modale Dämpfung vorliegt. Modale Reduktion: Bei Systemen mit einer großen Anzahl von Freiheitsgraden werden nur die Eigenvektoren zu den niedrigsten Eigenfrequenzen für die Transformation auf modale Koordinaten benutzt. Diese Näherung ergibt gute Ergebnisse, wenn die Antwort der weggelassenen Eigenschwingungen quasi-statisch ist. Dazu müssen alle Eigenschwingungen berücksichtigt werden, deren Eigenfrequenz unterhalb des dreifachen Wertes der höchsten Erregerfrequenz liegt

8 3.2 Tilger Als Beispiel für eine direkte Frequenzganganalyse wird ein ungedämpftes System mit zwei Freiheitsgraden betrachtet. Matrizen: Verschiebungsvektor: m 1 f(t) =[ U V 1 2] c 1 /2 c 1 /2 V c 2 m 2 v 1 Lastvektor: v 2 f t =F 0 cos t =R F 0 e i t [ F ]=[ F 0 0 ] 3.3-8

9 3.2 Tilger Aufstellen der Steifigkeitsmatrix: F 1 v 1 F 1 c 2 c 1 /2 c 1 /2 c 2 c 1 /2 c 1 /2 F 2 F 2 v 2 [ F 1 F 2] = [ c 1 c 2 c 2 ] v 1 [ F 1 2] F = [ c 2 v 2 c 2 ] 3.3-9

10 3.2 Tilger Steifigkeits- und Massenmatrix: ]=[ [ K c 1 c 2 c 2 ] c 2 c, [ M ]= [ m 1 0 2] 2 0 m Bewegungsgleichung im Frequenzbereich: 2 [ M ] [ K ] [U ]=[ F ] [ 2 m 1 c 1 c 2 c 2 c 2 2 m 2 c 2][ V 1 V 2] = [ F 0 0 ]

11 3.2 Tilger Lösung mit Cramerscher Regel: = F 0 V 1 c m 2 c, V 2 = 2 m 1 c 1 c 2 F 0 c 2 0 = 2 m 1 c 1 c 2 c 2 2 c 2 2 m 2 c

12 3.2 Tilger Ergebnis: V 1 = F 0 c 2 2 m 2, V 2 = F 0c 2 Der Nenner ist null, wenn Ω mit einer der beiden Resonanzfrequenzen ω 1 oder ω 2 übereinstimmt. Die Verschiebung V 1 der Masse m 1 ist null, wenn die Erregerfrequenz Ω mit der Tilgerfrequenz T = c 2 /m 2 übereinstimmt. Dieser Effekt wird technisch ausgenutzt, um die Amplitude der angeregten Struktur bei einer bestimmten Frequenz klein zu halten

13 3.2 Tilger Deutung: Für Ω = Ω T berechnet sich die Determinante zu T = c 2 m 2 m 1 c 1 c 2 c 2 Damit gilt für die Verschiebung V 2 : Die Kraft, die die Feder 2 auf die Masse m 1 ausübt, ist im Gleichgewicht mit der Anregung. c 2 c 2 m 2 m 2 c 2 = c2 2 V 2 T = F 0 c

14 3.3 Kragbalken Aufgabenstellung: v 1 v 2 EI m EI L L f 1 (t) f 2 (t) m Der Kragbalken wird durch die harmonischen Kräfte f 1 (t) und f 2 (t) angeregt. Gesucht sind die Verschiebungen V 1 und V 2 in Abhängigkeit von der Erregerfrequenz Ω für den eingeschwungenen Zustand

15 3.3 Kragbalken Balkendaten: Länge L = 1m Biegesteifigkeit EI = 700Nm 2 Masse m = 6kg Modale Dämpfung mit D 1 = D 2 = 5% Verschiebungsvektor: [U ]=[ V 1 V 2] Belastung: f 1 t =F 01 cos t f 2 t =F 02 cos t Amplituden: F 01 = 20N F 02 = 10N Phase: φ =

16 Komplexer Lastvektor: 3.3 Kragbalken [ F ]=[ F 01 e i F 02 ] = [ 10 17,32i 10 ] N Die Verschiebungsantwort wird über eine modale Frequenzganganalyse ermittelt: 1. Bestimmung der Eigenschwingungen 2. Transformation auf modale Koordinaten 3. Lösung in modalen Koordinaten 4. Rücktransformation auf physikalische Koordinaten

17 3.3 Kragbalken Die Eigenschwingungen wurden bereits ermittelt: Eigenfrequenzen: ω 2 0 = 6 EI Nm2 =6 700 =10 7 L 3 m 7m 3 s 2 6 kg 1 =6,306 1 s f 1=1,004 Hz, 2 =41,96 1 s f 2=6,678 Hz Eigenvektoren: ]=[ [ x 0,32 m ] 1 1 m [ x 2 ]=[ 1m 0,32m]

18 3.3 Kragbalken Transformation auf modale Koordinaten: Einsetzen von [U ]=[ x 1 ]Q 1 [ x 2 ]Q 2 in die Schwingungsgleichung 2 [ M ] i [ D ] [ K ] [U ]=[ F ] führt auf Q 1 und Q 2 sind die komplexen modalen Koordinaten. Projektion auf ergibt 2 [ M ] i [ D ] [ K ] [ x 1 ]Q 1 [ x 2 ]Q 2 =[ F ] [ x 1 ] 2 [ x 1 ] T [ M ] [ x 1 ] i [ x 1 ] T [ D ] [ x 1 ] [ x 1 ] T [ K ] [ x 1 ] Q 1 =[ x 1 ] T [ F ]

19 3.3 Kragbalken Mit 1 2 = [ x 1 ] T [ K ] [ x 1 ] [ x 1 ] T [ M ] [ x 1 ], 2 1 D 1 = [ x 1 ] T [ D ] [ x 1 ] [ x 1 ] T [ M ] [ x 1 ], P 1= [ x 1 ] T [ F ] [ x 1 ] T [ M ] [ x 1 ] folgt daraus: 1 2 2i 1 D 1 2 Q 1 =P 1 [ x 2 ] Entsprechend führt die Projektion auf auf 2 2 2i 2 D 2 2 Q 2 =P

20 3.3 Kragbalken Lösung in modalen Koordinaten: Das transformierte Gleichungssystem ist entkoppelt: Es hat die Lösung: Q 1 = Q 2 = 1 2 2i 1 D 1 2 Q 1 =P i 2 D 2 2 Q 2 =P 2 P i 1 D 1 2=P 1 P i 2 D 2 2 =P i 1 D D i 2 D D

21 3.3 Kragbalken Modale Lasten: Die Lasten P 1 und P 2 werden als modale Lasten bezeichnet: P 1 = [ x 1 ] T [ F ] [ x 1 ] T [ M ] [ x 1 ], P 2= [ x 2 ] T [ F ] [ x 2 ] T [ M ] [ x 2 ] Sie hängen von den physikalischen Lasten und den Eigenformen ab. Mit den angegebenen Zahlenwerten folgt: [ M ]=[ 6 kg kg] [ x 1 ] T [ M ] [ x 1 ]=6,615 kgm 2 [ x 2 ] T [ M ] [ x 2 ]=6,614 kgm

22 3.3 Kragbalken [ x 1 ] T [ F ]=[0,32m 1 m ] [ 10 17,32i] N = 6,80 5,542i Nm 10 [ x 2 ] T [ F ]=[1 m 0,32 m ] [ 10 17,32i] N = 13,20 17,32i Nm 10 Ergebnis: P 1 = P 2 = 6,80 5,542 i Nm 6,615 kgm 2 = 1,028 0,8379 i 1 s 2 13,20 17,32i Nm 6,614 kgm 2 = 1,996 2,619i 1 s

23 3.3 Kragbalken Q 1 (f ):

24 3.3 Kragbalken Q 2 (f ):

25 3.3 Kragbalken Rücktransformation auf physikalische Koordinaten: [U ]=[ x 1 ]Q 1 [ x 2 ]Q 2 [ V 1 V 2 ] = [ 0,32 m 1 m ] Q 1 [ 1m 0,32 m] Q 2 Beitrag der 1. Eigenschwingung Beitrag der 2. Eigenschwingung Die Beiträge der einzelnen Eigenschwingungen werden als modale Partizipationsfaktoren bezeichnet

26 3.3 Kragbalken V 1 (f ): v

27 3.3 Kragbalken V 2 (f ): v

28 3.3 Kragbalken

29 3.4 Fahrbahnanregung Aufgabenstellung: L A L B z x Das Fahrzeug fährt mit konstanter Geschwindigkeit v über eine unebene Straße. Die Unebenheit wird beschrieben durch S v h x =h 0 cos 2 x h(x) Wie groß sind die Amplituden der Hubbewegung und der Nickbewegung?

30 3.4 Fahrbahnanregung Ersatzmodell: Das Fahrzeug wird durch einen starren Körper mit Masse m und Trägheitsradius i S beschrieben. L A L B Radaufhängung und Reifen werden durch Ersatzfedern mit den Steifigkeiten c A und c B beschrie- c A A m, i S S c B B ben

31 3.4 Fahrbahnanregung Zahlenwerte: Masse m = 1500kg, Trägheitsradius i S = 1,4m Steifigkeiten c A = 100kN/m, c B = 200kN/m Abstände L A = 1,5m, L B = 0,8m Amplitude der Unebenheit: h 0 = 3cm Wellenlänge der Unebenheit: λ = 8m Fahrgeschwindigkeit: 10m/s v 25m/s Dämpfung: d A = αc A, d B = αc B mit α = 0,005s

32 3.4 Fahrbahnanregung Freiheitsgrade: w S [u]=[ w S w A w B]=[ [u f ] [ u p ]] A θ S B Gegeben: ]=[ [u w B] A p w w A w B Gesucht: [u f ]=[ w S ]

33 Steifigkeitsmatrix: 3.4 Fahrbahnanregung F S F S M S S M S θ S A w S B A B [ F S M S F A F B F A ]=[ c A c B L B c B L A c A c A c B F B ] w S [ F F A ]=[ S M S F A F B F B LBc B LA c A L 2 B c B L 2 A c A ] L A c A L B c B

34 3.4 Fahrbahnanregung F S F S F A M S S M S S F B A w A F B B A w B B [ F S M S F A F B ]=[ c A L A c A c A 0 ]w A [ F S M S F A F B ]=[ c B L B c B ]w B 0 c B F A

35 3.4 Fahrbahnanregung [ K ]=[ c A c B L B c B L A c A c A c B L B c B L A c A L 2 B c B L 2 A c A L A c A L B c B c A L A c A c A 0 c B L B c B 0 c B [ K ff ] [ K fp ] ]=[ [ K fp ] T [ K pp ]] mit ]=[ c [ K A c B L B c B L A c A A] ff L B c B L A c A L 2 B c B L 2 A c ]=[ [ K c A c B B] ]=[ fp L A c A L B c, [ K c A 0 B] pp 0 c

36 3.4 Fahrbahnanregung Massenmatrix: m i [ M ]=[m S i S 2 ] 0]=[ [ M ff ] [0]] [0 ] mit [ M ff ]=m[ Dämpfungsmatrix: [ D ]= [ K ]

37 3.4 Fahrbahnanregung Anregung: Punkt B: Punkt A: w B t =h v t =h 0 cos 2 v =h 0 R e i t t =h 0cos t w A t =h v t L A L B =h 0 cos t =h 0 R e i e i t Erregerkreisfrequenz: Phasenwinkel: =2 v =2 L A L B

38 3.4 Fahrbahnanregung Komplexe Verschiebungsamplitude: ]=[ [U W B] A p W =h 0[ e i ] 1 = [ 0,007 0,02917i ] 0,03 m Eingeschwungener Zustand: Verschiebung: Bewegungsgleichung im Frequenzbereich: 2[ [ M ff ] [0] [u t ]=R [U ] e i t [ K fp ] T [ K pp ]] [ [0 ] [0]] i 1 [ [ K ff ] [ K fp ] [ U f ]] ] [U p = [ [0] [ F p ]]

39 3.4 Fahrbahnanregung Die komplexe Verschiebungsamplitude [U f ] kann aus 2 [ M ff ] 1 i [ K ff ] [U f ]= 1 i [ K fp ] [U p ] bestimmt werden. Anschließend kann die komplexe Amplitude der an den Rädern angreifenden Kräfte aus berechnet werden. [ F p ] [ F p ]= 1 i [ K fp ] T [U f ] [ K pp ] [U p ]

40 3.4 Fahrbahnanregung Modale Frequenzganganalyse: Matrizen: [ K ff ]=[ N /m N N Nm] ]=[ N /m N /m [ ] K fp N N [ M ff ]=[ 1500 kg 0 kg m 2] 0 kg m 2940 kgm

41 3.4 Fahrbahnanregung Eigenschwingungen: [ K ff ] 2 [ M ff ] [ x ]=[0 ] 1 =10,94 1 s, f ]=[ 1=1,742 Hz, [ x 0,08311m 1 1 ] 2 =14,15 1 s, f ]=[ 1 m 2=2,252 Hz, [ x 2 0,04240] [ x 1 ] T [ M ff ] [ x 1 ]=2950 kgm 2, [ x 2 ] T [ M ff ] [ x 2 ]=1505kgm

42 3.4 Fahrbahnanregung Transformation auf modale Koordinaten: [U f ]=[ x 1 ]Q 1 [ x 2 ]Q 2 Die modalen Koordinaten berechnen sich aus 2 1 i 12 Q 1 = 1 i [ x 1 ] T [ K fp ] [U p ] [ x 1 ] T [ M ff ] [ x 1 ] 2 1 i 22 Q 2 = 1 i [ x 2 ] T [ K fp ] [U p ] [ x 2 ] T [ M ff ] [ x 2 ]

43 3.4 Fahrbahnanregung Modale Lasten: [ K fp ] [U p ]= N /m[ 150 m 160m][ 0,007 0,02917i ] 0,03 m =10 3 [ 5,3 2,917i N 5,85 4,376i m] [ x 1 ] T [ K fp ] [U p ]=10 3 N [ 0,08311m 1 ] [ 5,3 2,917i 5,85 4,376 i m] = i Nm [ x 2 ] T [ K fp ] [U p ]=10 3 N [1m 0,04240 ] [ 5,3 2,917i 5,85 4,376 i m] = i Nm

44 3.4 Fahrbahnanregung [ x 1 ] T [ K fp ] [U p ] [ x 1 ] T [ M ff ] [ x 1 ] = i 2950 Nm kgm 2= 1,834 1,565i 1 s 2 [ x 2 ] T [ K fp ] [U p ] [ x 2 ] T [ M ff ] [ x 2 ] = i 1505 Nm kgm 2= 3,686 1,815i 1 s 2 P 1 = 1 0,005 s i 1,834 1,565i P 2 = 1 0,005 s i 3,686 1,815i 1 s 2 1 s

45 3.4 Fahrbahnanregung Ergebnisse: Q 1 (v) :

46 3.4 Fahrbahnanregung: Q 2 (v) :

47 Hubbewegung: 3.4 Fahrbahnanregung

48 Nickbewegung: 3.4 Fahrbahnanregung

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