Die Slutsky-Gleichung

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1 Mikroökonoie SoSe 2017, Lars Metzger 1 / 1 Kapitel 8: Die Slutsky-Gleichung oodle.tu-dortund.de 27.5.: Korrektur auf Folie 27

2 ikroökonoie SoSe 2017, Lars Metzger 2 / 1 Zwei Wirkungen einer Preisänderung Veränderung des verfügbaren Tauschverhältnisses Substitutionseffekt Veränderung der Kaufkraft der Konsuentin Einkoensseffekt

3 Mikroökonoie SoSe 2017, Lars Metzger 3 / 1 Zerlegung der Konsuanpassung Betrachtet wird eine Preisreduktion für Gut 1 von auf : Gut 2 p 2 x(, p 2, ) x(, p 2, ) Gut 1 Da der Preis p 2 konstant bleibt, verkürzen wir x(, p 2, ) zu x(, ).

4 Mikroökonoie SoSe 2017, Lars Metzger 4 / 1 Substitutionseffekt Veränderung der Konsuentscheidung bei neue Preis und konstanter Kaufkraft. Konstante Kaufkraft: Man kann sich das alte Güterbündel auch zu neuen Preisen gerade so leisten. Anpassung des Einkoens, so dass Kaufkraft bei konstant bleibt. Bei angepasste Einkoen uss gelten: x 1 (, ) + p 2 x 2 (, ) =

5 ikroökonoie SoSe 2017, Lars Metzger 5 / 1 Substitutionseffekt Gut 2 Gut 1 wird billiger: Budgetgerade dreht sich nach außen. Kaufkraft steigt. p 2 p 2 Reduzierung des Einkoens: Budgetgerade verschiebt sich nach innen. Kaufkraft bleibt konstant. x(, ) x(, ): Kaufentscheidung bei und. Gut 1 Substitutionseffekt: Veränderung von x(, ) zu x(, ).

6 Einkoenseffekt Veränderung der Konsuentscheidung, die allein durch die Veränderung der Kaufkraft verursacht wird. Gut 2 p 2 p 2 x(, ) x(, ) x(, ) Gut 1 Einkoenseffekt: Veränderung von x(, ) nach x(, ). Mikroökonoie SoSe 2017, Lars Metzger 6 / 1

7 Mikroökonoie SoSe 2017, Lars Metzger 7 / 1 Slutsky Zerlegung Wir haben nun also die Veränderung der Konsuentscheidung von x(, ) nach x(, ) in zwei Veränderungen zerlegt: Substitutionseffekt: x(, ) x(, ) Verursacht durch Preisveränderung bei konstanter Kaufkraft Einkoenseffekt: x(, ) x(, ) Bei neue Preis, verursacht durch Kaufkraftveränderung

8 Mikroökonoie SoSe 2017, Lars Metzger 8 / 1 Algebraische Darstellung Ursprüngliche Konsuentscheidung: x(, ) Zwischenentscheidung: x(, ) Finale Konsuentscheidung: x(, ) x = x(, ) x(, ) + }{{} Einkoenseffekt: x n x(p1, ) x(, ) }{{} Substitutionseffekt: x s Slutsky Identität x = x s + x n

9 Mikroökonoie SoSe 2017, Lars Metzger 9 / 1 Gut 2 p 2 x = x s + x n p 2 x(, ) x(, ) x s x x n x(, ) Gut 1

10 ikroökonoie SoSe 2017, Lars Metzger 10 / 1 Die Vorzeichen des Einkoenseffekts x n 1 = x 1 (, ) x 1 (, ) Gut 1 noral: x 1(,) > 0. Also falls > x n 1 > 0 und falls < x n 1 < 0. Das Vorzeichen von x n 1 ist nicht eindeutig. Wie ist das Vorzeichen von x 1 n = x 1(, ) x 1(, ) p 1 p? 1

11 Mikroökonoie SoSe 2017, Lars Metzger 11 / 1 Das Vorzeichen von x n 1 Wir untersuchen den Zusaenhang von, und,. = x 1 (, ) + p 2 x 2 (, ) = x 1 (, ) + p 2 x 2 (, ) = ( }{{} ) x 1 (, ) Wenn der Preis für Gut 1 sinkt, dann uss das verfügbare Einkoen reduziert werden u die Kaufkraft konstant zu halten (und ugekehrt). < 0 und > 0

12 Mikroökonoie SoSe 2017, Lars Metzger 12 / 1 Das Vorzeichen von x n 1 x n 1 = x 1 (, ) x 1 (, ) Gut 1 noral: x 1(,) > 0 & x 1 (, ) > 0. Also falls < 0 > x n 1 > 0 x n 1 < 0 und falls > 0 < x n 1 < 0 x n 1 < 0 Ist Gut 1 noral, dann ist der Einkoenseffekt und die Preisänderung ier entgegengesetzt.

13 Mikroökonoie SoSe 2017, Lars Metzger 13 / 1 Substitutionseffekt x s 1 = x 1(, ) x 1 (, ) Grafisches Arguent für >, d.h. < 0: Gut 2 p 2 p 2 x(, ) ist zu und verfügbar. Zu und wurde aber x(, ) gewählt. x x 1 (, ) x 1 (, ) Gut 1

14 Mikroökonoie SoSe 2017, Lars Metzger 14 / 1 Das Vorzeichen von x s 1 Falls <, uss also gelten: x s 1 = x 1 (, ) x 1 (, ) 0. Ugekehrt gilt für > : x s 1 = x 1 (, ) x 1 (, ) 0. Es gilt also für = x s 1 0.

15 Mikroökonoie SoSe 2017, Lars Metzger 15 / 1 Das Gesetz der Nachfrage: x 1 0 Wir benutzen die Slutsky Identität: x 1 = x s 1 + x n 1 x 1 = x s 1 + x n 1 Wir wissen: Falls Gut 1 noral: x s 1 0 x n 1 0 x 1 = x 1 s + x 1 n 0 p }{{} 1 p }{{ 1 } 0 0 Wenn Gut 1 noral ist, dann ist es also auch gewöhnlich!

16 Mikroökonoie SoSe 2017, Lars Metzger 16 / 1 Gut 1 noral Gut 1 gewöhnlich Gut 1 inferior Gut 1 Giffen

17 Mikroökonoie SoSe 2017, Lars Metzger 17 / 1 Wir leiten nun den Substitutionseffekt und den Einkoenseffekt für quasilineare Nutzenfunktionen: u(x 1, x 2 ) = v(x 1 ) + x 2 und für Cobb-Douglas Nutzenfunktionen: u(x 1, x 2 ) = x1 c x 2 d her. Die Herleitung für perfekte Substitute: u(x 1, x 2 ) = a x 1 + b x 2 und für perfekte Kopleente: u(x 1, x 2 ) = in{a x 1, b x 2 } findet in der Globalübung statt.

18 Mikroökonoie SoSe 2017, Lars Metzger 18 / 1 Quasilineare Präferenzen: u(x 1, x 2 ) = v(x 1 ) + x 2 Falls eine innere Lösung vorliegt, gilt für die optiale Menge x 1 = x 1 (, p 2, ) die Tangentialbedingung: v(x 1) x 1 x1 =x 1 (,p 2,) = p 2 Falls eine innere Lösung vorliegt, ist der Konsu von Gut 1 unabhängig vo Einkoen! Es gilt also: und entsprechend auch: x 1 (, p 2, ) = x 1 (, p 2, ) x 1 (, p 2, ) = x 1 (, p 2, ) x n 1 = x 1 (, p 2, ) x 1 (, p 2, ) = 0

19 Mikroökonoie SoSe 2017, Lars Metzger 19 / 1 Zwischenresultat (quasilineare Nutzenfunktionen): Falls in der ursprünglichen Konsuentscheidung, (bei und ) der Zwischenentscheidung (bei und ) und der finalen Konsuentscheidung (bei und ) eine innere Lösung vorliegt (also x 1 > 0 und x 2 > 0), dann ist der Einkoenseffekt für Gut 1 = 0 ( x n 1 = 0).

20 Mikroökonoie SoSe 2017, Lars Metzger 20 / 1 Der Substitutionseffekt bei quasilinearen Nutzenfunktionen Benutze die Slutsky Identität: x = x s + x n Wir wissen, dass bei inneren Lösungen gilt: Denach uss gelten: x n 1 = 0 x 1 = x s Die Veränderung der Konsuentscheidung für Gut 1 wird nur durch den Substitutionseffekt erklärt!

21 Mikroökonoie SoSe 2017, Lars Metzger 21 / 1 Gut 2 p 2 x n 1 = 0 p 2 x(, ) x 1 = x1 s x(, ) x(, ) Gut 1

22 ikroökonoie SoSe 2017, Lars Metzger 22 / 1 Quasilineare Präferenzen: u(x 1, x 2 ) = ln(x 1 ) + x 2 Substitutionseffekt x s 1 = x 1(, ) x 1 (, ) Fall > p 2 : x 1 (, ) = p 2 (vgl. Kap 5, Folie 15) Konsu von Gut 1 ist unabhängig vo Einkoen! Wir brauchen nicht zu berechnen. x 1 (, ) = x 1 (, ) = p 2 Also: x1 s = x 1 (, ) x 1 (, ) = p 2 p 1 p 2 = x 1 (p p 1, ) x 1 (, ) = x 1 1 Dies gilt nicht für den Fall p 2 >!

23 Mikroökonoie SoSe 2017, Lars Metzger 23 / 1 Cobb-Douglas-Präferenzen: u(x 1, x 2 ) = x c 1 x d 2 Entscheidung bei und : (Folie 11 Kapitel 5) x 1 (, ) = c c + d Zwischenentscheidung bei und : x 1 (, ) = finale Entscheidung bei und : x 1 (, ) = c c + d c c + d p 1

24 ikroökonoie SoSe 2017, Lars Metzger 24 / 1 Cobb-Douglas-Präferenzen: u(x 1, x 2 ) = x c 1 x d 2 Substitutionseffekt: x s 1 = x 1 (, ) x 1 (, ) = ( c c + d p 1 ) Einkoenseffekt: x n 1 = x 1 (, ) x 1 (, ) = ( ) c c + d p 1 p 1

25 Mikroökonoie SoSe 2017, Lars Metzger 25 / 1 Cobb-Douglas-Präferenzen: u(x 1, x 2 ) = x c 1 x d 2 Benutze = x 1 (, ) + p 2 x 2 (, ) = x 1 (, ) + p 2 x 2 (, ) und Substituiere und in und x s 1 = x n 1 = c c + d c c + d c c + d c c + d

26 Mikroökonoie SoSe 2017, Lars Metzger 26 / 1 Cobb-Douglas-Präferenzen: u(x 1, x 2 ) = x c 1 x d 2... nach einigen Uforungen: Substitutionseffekt: x s 1 = Einkoenseffekt: x n 1 = d c + d x 1(, ) c c + d x 1(, ) 1 1 ( ) ( ) Beide Effekte sind der Preisveränderung entgegengerichtet: x s 1 < 0 & x n 1 < 0!

27 Mikroökonoie SoSe 2017, Lars Metzger 27 / 1 Cobb-Douglas-Präferenzen: u(x 1, x 2 ) = x c 1 x d 2 Ursprüngliche Entscheidung: x 1 (, ) = Zwischenentscheidung: x 1 (, ) = Finale Entscheidung: x 1 (, ) = c c+d c c+d c c+d Konstante Kaufkraft: = + ( ) x 1 (, ) Substitutionseffekt p : xs 1 d 1 = x 1 (, ) c+d 1 Einkoenseffekt p : xn 1 c 1 = x 1 (, ) c+d 1

28 Mikroökonoie SoSe 2017, Lars Metzger 28 / 1 Gut 2 p 2 Cobb-Douglas-Präferenzen: Falls <, sind beide Effekte positiv. p 2 x x(, ) x s x n x(, ) x(, ) 0 0 Gut 1

29 Suary Nachfrageänderungen durch Preisänderungen. Konstante Kaufkraft: = x 1 (, p 2, ) + p 2 x 2 (, p 2, ) Slutsky-Gleichung: x = x s + x n Subsitutionseffekt: Einkoenseffekt: x s 1 = x 1 (, ) x 1 (, ) it x s 1 0 x n 1 = x 1 (, ) x 1 (, ) it x n 1 0 (falls Gut 1 noral) x Gesetz der Nachfrage: 1 = x 1 s + x 1 n 0 Mikroökonoie SoSe 2017, Lars Metzger 29 / 1