INHALTSVERZEICHNIS XII

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1 Inhaltsverzeichnis I Gruppen 1 1 Halbgruppen, Gruppen und Untergruppen Innere Verknüpfungen und Halbgruppen Beispiele Definition einer Gruppe Abschwächung der Gruppenaxiome Translationen und Kürzungsregeln Definition einer Untergruppe Erzeugung von Untergruppen Untergruppen von Z, Kongruenzen und Restklassen Beispiele Homomorphismen und Normalteiler Definition eines Homomorphismus Beispiele Nebenklassen Ordnung und Index Beispiele Definition eines Normalteilers Homomorphismen und Normalteiler Faktorgruppen Beispiele Isomorphiesätze und Produkte von Gruppen Isomorphiesätze Äußeres direktes Produkt Inneres direktes Produkt Äußeres semidirektes Produkt Inneres semidirektes Produkt Beispiele Zyklische Gruppen Teilbarkeit ganzer Zahlen Produkte zyklischer Gruppen Untergruppen zyklischer Gruppen Die Eulersche ϕ-funktion Primrestklassengruppen... 63

2 X INHALTSVERZEICHNIS 3.13 Der euklidische Algorithmus Beispiele Operationen von Gruppen auf Mengen Definition einer Operation Beispiele und Satz von Cayley Bahnenraum und Standgruppe Die Klassengleichung Zyklenzerlegung einer Permutation Beispiele Symmetriegruppen Regelmäßige n-ecke und die Diedergruppe Endliche Untergruppen von O(2) Symmetrien des Tetraeders Symmetrien von Würfel und Oktaeder Symmetrien von Ikosaeder und Dodekaeder Die Klassengleichung der Ikosaedergruppe Endliche Untergruppen von SO (3) Symmetrien von Fußbällen Struktursätze Summen zyklischer Gruppen Zählung von zyklischen Summanden Primärzerlegung Zerlegung von endlichen abelschen p-gruppen Elementarteiler Beispiele Torsionsuntergruppen Freie abelsche Gruppen Endlich erzeugte abelsche Gruppen Beispiele Satz von Cauchy und p-gruppen Die Sätze von Sylow Beispiele Einfache und auflösbare Gruppen Einfache Gruppen Kommutatorgruppen Beispiele Auflösbare Gruppen Auflösbarkeit von p-gruppen Beispiele II Ringe Grundbegriffe Definition eines Rings Einheiten, Körper, Unterringe Ringhomomorphismen Beispiele

3 INHALTSVERZEICHNIS XI 1.5 Polynomringe Grad eines Polynoms Division mit Rest Nullstellen und Werte von Polynomen Einheitswurzeln in C Polynome in mehreren Veränderlichen Endliche Untergruppen der multiplikativen Gruppe eines Körpers Einbettung einer Halbgruppe in eine Gruppe Quotientenkörper Beispiele Ideale und Restklassenringe Definition von Idealen Ideale und Einheiten Restklassenringe Isomorphiesätze Beispiele Hauptidealringe und noethersche Ringe Euklidische Ringe Beispiele Der Hilbertsche Basissatz Operationen mit Idealen Der Chinesische Restesatz Beispiele Primideale und maximale Ideale Beispiele Existenz maximaler Ideale und das Lemma von Zorn Teilbarkeit in Integritätsringen Teiler und assoziierte Elemente Irreduzible Elemente und Primelemente Teilerketten Primzahlen Faktorielle Ringe Gemeinsame Teiler und Vielfache Polynomringe über faktoriellen Ringen Irreduzibilitätskriterien für Polynome Beispiele Ringe holomorpher Funktionen Quadratische Zahlkörper Quadratische Zahlringe Einheiten in quadratischen Zahlringen Euklidische quadratische Zahlringe Faktorzerlegung in quadratischen Zahlringen Ideale als ideale Zahlen

4 XII INHALTSVERZEICHNIS III Körpererweiterungen Grundbegriffe Charakteristik und Primkörper Grad einer Körpererweiterung Adjunktion von Elementen Algebraische und transzendente Elemente Das Minimalpolynom Beispiele Algebraische Körpererweiterungen Algebraisch abgeschlossene Körper Konstruktion von Körpererweiterungen Symbolische Adjunktion von Nullstellen Fortsetzung von Körperisomorphismen Zerfällungskörper eines Polynoms Beispiele Der algebraische Abschluss Einfache und mehrfache Nullstellen Vielfachheit von Nullstellen und formale Ableitung Separabilität Der Frobenius-Homomorphismus Endliche Körper Beispiele Algebraischer Abschluss eines endlichen Körpers Der Satz vom primitiven Element Beispiele Resultanten Diskriminanten Beispiele Galois-Erweiterungen Symmetrische Polynome Relative Automorphismen und Fixkörper Gruppenordnung und Körpergrad Galois-Erweiterungen Der Hauptsatz der Galois-Theorie Beispiele Der Fundamentalsatz der Algebra Diskriminante und Galois-Gruppe Galois-Theorie endlicher Körper Lösung von Polynomgleichungen Quadratische Gleichungen Kubische Gleichungen Beispiele Gleichungen vierten Grades Beispiele Kreisteilung in Charakteristik Null Kreisteilung in Charakteristik p>

5 INHALTSVERZEICHNIS XIII 5.8 Reine Polynome Zyklische Erweiterungen Lösbarkeit von Polynomgleichungen Die allgemeine Polynomgleichung Gleichungen fünften Grades und das Ikosaeder Darstellung von Einheitswurzeln Beispiele Das Umkehrproblem der Galois-Theorie Geometrische Konstruktionen Konstruktionen mit Zirkel und Lineal Der Körper der konstruierbaren Punkte Struktur des Körpers der konstruierbaren Punkte Unlösbarkeit klassischer Konstruktionsaufgaben Konstruktion von regelmäßigen n-ecken Andere Regeln für Konstruktionsverfahren Anhang 1 Platonische Körper 395 Anhang 2 Begriffe und Axiome 401 Literaturverzeichnis 425 Index 431 Symbolverzeichnis 437