Vorlesung 12a. Zerlegung der Varianz
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- Jobst Hauer
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1 Vorlesung 12a Zerlegung der Varianz 1
2 Im zufälligen Paar (X, Y ) 2
3 Im zufälligen Paar (X, Y ) sei Y reellwertig mit endlicher Varianz.
4 Im zufälligen Paar (X, Y ) sei Y reellwertig mit endlicher Varianz. Die (bedingte) Varianz von Y, gegeben X = x
5 Im zufälligen Paar (X, Y ) sei Y reellwertig mit endlicher Varianz. Die (bedingte) Varianz von Y, gegeben X = x ist definiert als
6 Im zufälligen Paar (X, Y ) sei Y reellwertig mit endlicher Varianz. Die (bedingte) Varianz von Y, gegeben X = x ist definiert als E x [(Y E x [Y ]) 2 ]
7 Im zufälligen Paar (X, Y ) sei Y reellwertig mit endlicher Varianz. Die (bedingte) Varianz von Y, gegeben X = x ist definiert als E x [(Y E x [Y ]) 2 ] (Symbole: Var[Y X = x], Var x [Y ].)
8 Satz: 3
9 Satz: Var[Y ] = E[Var X [Y ]] + Var[E X [Y ]].
10 Satz: Var[Y ] = E[Var X [Y ]] + Var[E X [Y ]]. Beweis:
11 Satz: Var[Y ] = E[Var X [Y ]] + Var[E X [Y ]]. Beweis: E[(Y µ Y ) 2 ] = E[E X [(Y µ Y ) 2 ]
12 Satz: Var[Y ] = E[Var X [Y ]] + Var[E X [Y ]]. Beweis: E[(Y µ Y ) 2 ] = E[E X [(Y µ Y ) 2 ] = E[E X [(Y E X [Y ] + E X [Y ] µ Y ) 2 ]]
13 Satz: Var[Y ] = E[Var X [Y ]] + Var[E X [Y ]]. Beweis: E[(Y µ Y ) 2 ] = E[E X [(Y µ Y ) 2 ] = E[E X [(Y E X [Y ] + E X [Y ] µ Y ) 2 ]] = E[E X [(Y E X [Y ]) 2 ] + E[(E X [Y ] µ Y ) 2 ]
14 Satz: Var[Y ] = E[Var X [Y ]] + Var[E X [Y ]]. Beweis: E[(Y µ Y ) 2 ] = E[E X [(Y µ Y ) 2 ] = E[E X [(Y E X [Y ] + E X [Y ] µ Y ) 2 ]] = E[E X [(Y E X [Y ]) 2 ] + E[(E X [Y ] µ Y ) 2 ] +2E[E X [(Y E X [Y ])(E X [Y ] µ Y )]]
15 Nehmen wir uns die drei Terme gesondert unter die Lupe: 4
16 Nehmen wir uns die drei Terme gesondert unter die Lupe: E[E X [(Y E X [Y ]) 2 ] = E[Var X [Y ]],
17 Nehmen wir uns die drei Terme gesondert unter die Lupe: E[E X [(Y E X [Y ]) 2 ] = E[Var X [Y ]], E[(E X [Y ] µ Y ) 2 ] = Var[E X [Y ]],
18 Nehmen wir uns die drei Terme gesondert unter die Lupe: E[E X [(Y E X [Y ]) 2 ] = E[Var X [Y ]], E[(E X [Y ] µ Y ) 2 ] = Var[E X [Y ]], E[E X [(Y E X [Y ])(E X [Y ] µ Y )]] = 0,
19 Nehmen wir uns die drei Terme gesondert unter die Lupe: E[E X [(Y E X [Y ]) 2 ] = E[Var X [Y ]], E[(E X [Y ] µ Y ) 2 ] = Var[E X [Y ]], E[E X [(Y E X [Y ])(E X [Y ] µ Y )]] = 0, denn E x [(Y E x [Y ])(E x [Y ] µ Y )] = (E x [Y ] µ Y )E x [(Y E x [Y ]] = 0.
20 Beispiel 1. 5
21 Beispiel 1. Y := bisher erreichte Quizpunkt-Zahl
22 Beispiel 1. Y := bisher erreichte Quizpunkt-Zahl (einer/s zufällig ausgewählten Studierenden) E[Y ] = 14.6 =: µ Y, Var Y = 75.2 =: σy 2, σ Y = 8.7
23 Beispiel 1. Y := bisher erreichte Quizpunkt-Zahl (einer/s zufällig ausgewählten Studierenden) E[Y ] = 14.6 =: µ Y, Var Y = 75.2 =: σy 2, σ Y = 8.7 Zerlegung nach der Studienrichtung x:
24 Beispiel 1. Y := bisher erreichte Quizpunkt-Zahl (einer/s zufällig ausgewählten Studierenden) E[Y ] = 14.6 =: µ Y, Var Y = 75.2 =: σy 2, σ Y = 8.7 Zerlegung nach der Studienrichtung x: x Math Inf L3 L2 Andere n x E x [Y ]
25 Beispiel 1: Y := bisher erreichte Quizpunkt-Zahl (einer/s aus unseren n = 223 zufällig ausgewählten Studierenden) 6
26 Beispiel 1: Y := bisher erreichte Quizpunkt-Zahl (einer/s aus unseren n = 223 zufällig ausgewählten Studierenden) Gruppe Inf L2 L3 Math Sonst Quizpunkte
27 Beispiel 1: Y := bisher erreichte Quizpunkt-Zahl (einer/s aus unseren n = 223 zufällig ausgewählten Studierenden) E[Y ] = 14.6 =: µ Y, Var Y = 75.5 =: σy 2, σ Y = 8.7 Zerlegung nach der Studienrichtung x: x Math Inf L3 L2 Andere n x E x [Y ] Var x [Y ]
28 VarY = E[Var X [Y ]] + Var E X [Y ] 8
29 VarY = E[Var X [Y ]] + Var E X [Y ] 1 n 5 x=1 n x j=1 (y xj y.. ) 2
30 VarY = E[Var X [Y ]] + Var E X [Y ] 1 n 5 x=1 n x j=1 (y xj y.. ) 2 = 5 x=1 n x n 1 n x n x j=1 (y xj y x ) x=1 n x n (y x y.. ) 2
31 VarY = E[Var X [Y ]] + Var E X [Y ] 1 n 5 x=1 n x j=1 (y xj y.. ) 2 = 5 x=1 n x n 1 n x n x j=1 (y xj y x ) x=1 n x n (y x y.. ) 2 = Varianz innerhalb + zwischen den Gruppen.
32 VarY = E[Var X [Y ]] + Var E X [Y ] 1 n 5 x=1 n x j=1 (y xj y.. ) 2 = 5 x=1 n x n 1 n x n x j=1 (y xj y x ) x=1 n x n (y x y.. ) 2 = Varianz innerhalb + zwischen den Gruppen =
33 Beispiel 2: 9
34 Beispiel 2: Zufällige Anzahl unabhängiger Summanden:
35 Beispiel 2: Zufällige Anzahl unabhängiger Summanden: Y := N i=1 Z i,
36 Beispiel 2: Zufällige Anzahl unabhängiger Summanden: Y := N i=1 Z i, mit Z 1, Z 2,..., unabhängig und identisch verteilt,
37 Beispiel 2: Zufällige Anzahl unabhängiger Summanden: Y := N i=1 Z i, mit Z 1, Z 2,..., unabhängig und identisch verteilt, und unabhängig von N.
38 Beispiel 2: Zufällige Anzahl unabhängiger Summanden: Y := N i=1 Z i, mit Z 1, Z 2,..., unabhängig und identisch verteilt, und unabhängig von N. EZ 1 =: µ Z, VarZ 1 =: σz 2.
39 Beispiel 2: Zufällige Anzahl unabhängiger Summanden: Y := N i=1 Z i, mit Z 1, Z 2,..., unabhängig und identisch verteilt, und unabhängig von N. EZ 1 =: µ Z, VarZ 1 =: σz 2. Var[Y N = n] = nσz 2, E[Var N[Y ]] = E[N] σz 2
40 Beispiel 2: Zufällige Anzahl unabhängiger Summanden: Y := N i=1 Z i, mit Z 1, Z 2,..., unabhängig und identisch verteilt, und unabhängig von N. EZ 1 =: µ Z, VarZ 1 =: σz 2. Var[Y N = n] = nσz 2, E[Var N[Y ]] = E[N] σz 2 E[Y N = n] = nµ Z, Var[E N [Y ]] = Var[N] µ 2 Z.
41 Beispiel 2: Zufällige Anzahl unabhängiger Summanden: Y := N i=1 Z i, mit Z 1, Z 2,..., unabhängig und identisch verteilt, und unabhängig von N. EZ 1 =: µ Z, VarZ 1 =: σz 2. Var[Y N = n] = nσz 2, E[Var N[Y ]] = E[N] σz 2 E[Y N = n] = nµ Z, Var[E N [Y ]] = Var[N] µ 2 Z. Var Y = E[N] σz 2 + Var[N] µ2 Z
42 Satz. 10
43 Satz. Unter allen Zufallsvariablen der Form h(x) minimiert E X [Y ]
44 Satz. Unter allen Zufallsvariablen der Form h(x) minimiert E X [Y ] den erwarteten quadratischen Abstand E[(Y h(x)) 2 ].
45 Beweis des Satzes: 11
46 Beweis des Satzes: E[(Y h(x)) 2 ] = E[(Y E X [Y ] + E X [Y ] h(x)) 2 ]
47 Beweis des Satzes: E[(Y h(x)) 2 ] = E[(Y E X [Y ] + E X [Y ] h(x)) 2 ] = E[(Y E X [Y ]) 2 ] + E[(E X [Y ] h(x)) 2 ]
48 Beweis des Satzes: E[(Y h(x)) 2 ] = E[(Y E X [Y ] + E X [Y ] h(x)) 2 ] = E[(Y E X [Y ]) 2 ] + E[(E X [Y ] h(x)) 2 ] +2E[(Y E X [Y ])(E X [Y ] h(x))].
49 Beweis des Satzes: E[(Y h(x)) 2 ] = E[(Y E X [Y ] + E X [Y ] h(x)) 2 ] = E[(Y E X [Y ]) 2 ] + E[(E X [Y ] h(x)) 2 ] +2E[(Y E X [Y ])(E X [Y ] h(x))]. Der zweite Summand wird 0 für h(x) = E X [Y ].
50 Beweis des Satzes: E[(Y h(x)) 2 ] = E[(Y E X [Y ] + E X [Y ] h(x)) 2 ] = E[(Y E X [Y ]) 2 ] + E[(E X [Y ] h(x)) 2 ] +2E[(Y E X [Y ])(E X [Y ] h(x))]. Der zweite Summand wird 0 für h(x) = E X [Y ]. Und der dritte Summand ist gleich
51 Beweis des Satzes: E[(Y h(x)) 2 ] = E[(Y E X [Y ] + E X [Y ] h(x)) 2 ] = E[(Y E X [Y ]) 2 ] + E[(E X [Y ] h(x)) 2 ] +2E[(Y E X [Y ])(E X [Y ] h(x))]. Der zweite Summand wird 0 für h(x) = E X [Y ]. Und der dritte Summand ist gleich 2E[E X [(Y E X [Y ])(E X [Y ] h(x))].
52 Beweis des Satzes: E[(Y h(x)) 2 ] = E[(Y E X [Y ] + E X [Y ] h(x)) 2 ] = E[(Y E X [Y ]) 2 ] + E[(E X [Y ] h(x)) 2 ] +2E[(Y E X [Y ])(E X [Y ] h(x))]. Der zweite Summand wird 0 für h(x) = E X [Y ]. Und der dritte Summand ist gleich 2E[E X [(Y E X [Y ])(E X [Y ] h(x))]. Dieser Ausdruck ist aber jedenfalls gleich Null, wegen
53 Beweis des Satzes: E[(Y h(x)) 2 ] = E[(Y E X [Y ] + E X [Y ] h(x)) 2 ] = E[(Y E X [Y ]) 2 ] + E[(E X [Y ] h(x)) 2 ] +2E[(Y E X [Y ])(E X [Y ] h(x))]. Der zweite Summand wird 0 für h(x) = E X [Y ]. Und der dritte Summand ist gleich 2E[E X [(Y E X [Y ])(E X [Y ] h(x))]. Dieser Ausdruck ist aber jedenfalls gleich Null, wegen E x [(Y E x [Y ])(E x [Y ] h(x))]
54 Beweis des Satzes: E[(Y h(x)) 2 ] = E[(Y E X [Y ] + E X [Y ] h(x)) 2 ] = E[(Y E X [Y ]) 2 ] + E[(E X [Y ] h(x)) 2 ] +2E[(Y E X [Y ])(E X [Y ] h(x))]. Der zweite Summand wird 0 für h(x) = E X [Y ]. Und der dritte Summand ist gleich 2E[E X [(Y E X [Y ])(E X [Y ] h(x))]. Dieser Ausdruck ist aber jedenfalls gleich Null, wegen E x [(Y E x [Y ])(E x [Y ] h(x))] = (E x [Y ] h(x))e x [(Y E x [Y ]) = 0.
55 Rekapitulation: 12
56 Rekapitulation: (X, Y ) sei ein zufälliges Paar, mit reellwertigem Y von endlicher Varianz.
57 Rekapitulation: (X, Y ) sei ein zufälliges Paar, mit reellwertigem Y von endlicher Varianz. Frage: Welches h(x) prognostiziert Y am besten
58 Rekapitulation: (X, Y ) sei ein zufälliges Paar, mit reellwertigem Y von endlicher Varianz. Frage: Welches h(x) prognostiziert Y am besten im Sinn des kleinsten quadratischen Mittels?
59 Rekapitulation: (X, Y ) sei ein zufälliges Paar, mit reellwertigem Y von endlicher Varianz. Frage: Welches h(x) prognostiziert Y am besten im Sinn des kleinsten quadratischen Mittels? Antwort: h(x) = E x [Y ].
60 Rekapitulation: (X, Y ) sei ein zufälliges Paar, mit reellwertigem Y von endlicher Varianz. Frage: Welches h(x) prognostiziert Y am besten im Sinn des kleinsten quadratischen Mittels? Antwort: h(x) = E x [Y ]. X muss hierbei nicht reellwertig sein. Im Fall von reellwertigem X hatten wir dieselbe Frage schon früher für spezielle h, nämlich affin lineare, gestellt.
61 Frage: Welches h(x) = ax + b prognostiziert Y am besten 13
62 Frage: Welches h(x) = ax + b prognostiziert Y am besten im Sinn des kleinsten quadratischen Mittels?
63 Frage: Welches h(x) = ax + b prognostiziert Y am besten im Sinn des kleinsten quadratischen Mittels? Dafür war die Antwort:
64 Frage: Welches h(x) = ax + b prognostiziert Y am besten im Sinn des kleinsten quadratischen Mittels? Dafür war die Antwort: h(x) = µ Y + a(x µ X )
65 Frage: Welches h(x) = ax + b prognostiziert Y am besten im Sinn des kleinsten quadratischen Mittels? Dafür war die Antwort: h(x) = µ Y + a(x µ X ) mit a = σ Y σ X κ.
66 Wie rekapitulieren bei der Gelegenheit ein Beispiel aus Vorlesung 9a: 14
67 Wie rekapitulieren bei der Gelegenheit ein Beispiel aus Vorlesung 9a: (x 1, y 1 ),...,(x n, y n ) seien n Punkte im R 2.
68 Wie rekapitulieren bei der Gelegenheit ein Beispiel aus Vorlesung 9a: (x 1, y 1 ),...,(x n, y n ) seien n Punkte im R 2. Die gemeinsame Verteilung von (X, Y ) sei
69 Wie rekapitulieren bei der Gelegenheit ein Beispiel aus Vorlesung 9a: (x 1, y 1 ),...,(x n, y n ) seien n Punkte im R 2. Die gemeinsame Verteilung von (X, Y ) sei ν := 1 n n i=1 δ (xi,y i ).
70 Wie rekapitulieren bei der Gelegenheit ein Beispiel aus Vorlesung 9a: (x 1, y 1 ),...,(x n, y n ) seien n Punkte im R 2. Die gemeinsame Verteilung von (X, Y ) sei ν := 1 n n i=1 δ (xi,y i ). (Dabei ist δ z (B) := 1 für z B, und := 0 für z B.)
71 Wie rekapitulieren bei der Gelegenheit ein Beispiel aus Vorlesung 9a: (x 1, y 1 ),...,(x n, y n ) seien n Punkte im R 2. Die gemeinsame Verteilung von (X, Y ) sei ν := 1 n n i=1 δ (xi,y i ). (Dabei ist δ z (B) := 1 für z B, und := 0 für z B.) Vorstellung: ν gibt jedem Punkt (x i, y i ), i = 1,..., n, das Gewicht 1 n.
72 (X, Y ) hat Verteilung ν = 1 n n i=1 δ (xi,y i ). Dann ist 15
73 (X, Y ) hat Verteilung ν = 1 n n i=1 δ (xi,y i ). Dann ist EX = 1 n xi =: x
74 (X, Y ) hat Verteilung ν = 1 n n i=1 δ (xi,y i ). Dann ist EX = 1 n xi =: x σ 2 X = 1 n (xi x) 2
75 (X, Y ) hat Verteilung ν = 1 n n i=1 δ (xi,y i ). Dann ist EX = 1 n xi =: x σ 2 X = 1 n (xi x) 2 κ = (xi x)(y i ȳ) (xi x) 2 (yi ȳ) 2.
76 E[(Y ax b) 2 ] = 1 n n i=1 (y i ax i b i ) 2 16
77 E[(Y ax b) 2 ] = 1 n n i=1 (y i ax i b i ) 2 wird, wie wir in Vorlesung 9a gezeigt haben, minimiert durch
78 E[(Y ax b) 2 ] = 1 n n i=1 (y i ax i b i ) 2 wird, wie wir in Vorlesung 9a gezeigt haben, minimiert durch a := σ Y σ X κ = (xi x)(y i ȳ) (xi x) 2
79 E[(Y ax b) 2 ] = 1 n n i=1 (y i ax i b i ) 2 wird, wie wir in Vorlesung 9a gezeigt haben, minimiert durch a := σ Y σ X κ = (xi x)(y i ȳ) (xi x) 2 und b so, dass a x + b = ȳ.
80 E[(Y ax b) 2 ] = 1 n n i=1 (y i ax i b i ) 2 wird, wie wir in Vorlesung 9a gezeigt haben, minimiert durch a := σ Y σ X κ = (xi x)(y i ȳ) (xi x) 2 und b so, dass a x + b = ȳ. Diese Gerade y = ax + b heißt die Regressionsgerade zu den Punkten (x i, y i ), i = 1,..., n..
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