Mathematik II. Partielle Integration. f (t)g(t)dt =
|
|
- Stanislaus Koenig
- vor 6 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 Prof. Dr. H. Brenner Osnbrück SS 1 Mthemtik II Vorlesung 33 Wir besprechen nun die wesentlichen Rechenregeln, mit denen mn Stmmfunktionen finden bzw. bestimmte Integrle berechnen knn. Sie beruhen uf Ableitungsregeln. Prtielle Integrtion Stz Es seien f,g :[,b] R stetig differenzierbre Funktionen. Dnn gilt f(t)g (t)dt = fg b f (t)g(t)dt. Beweis. Aufgrund der Produktregel ist fg eine Stmmfunktion von fg +f g. Dher ist f(t)g (t)dt+ f (t)g(t)dt = (fg +f g)(t)dt = fg b. Bei der prtiellen Integrtion sind insbesondere zwei Dinge zu bechten. Erstens liegt die zu integrierende Funktion im Allgemeinen nicht in der Form fg vor, sondern einfch ls Produkt uv (wenn kein Produkt vorliegt, so kommt mn mit dieser Regel sowieso nicht weiter, wobei llerdings die trivile Produktzerlegung 1u mnchml helfen knn). Dnn muss mn einen Fktor integrieren und dn nderen differenzieren. Wenn V eine Stmmfunktion von v ist, so lutet die Formel uv = uv u V. Zweitens führt prtielle Integrtion nur dnn zum Ziel, wenn ds zweite Integrl rechts, lso f (t)g(t)dt, integriert werden knn. Beispiel 33.. Wir bestimmen eine Stmmfunktion des ntürlichen Logrithmus ln mittels prtieller Integrtion, wobei wir ln = 1 ln schreiben und 1 integrieren und den Logrithmus differenzieren. Dmit ist ln d = ( ln ) b 1 d = ( ln ) b Die Stmmfunktion ist lso ln. 1d = ( ln ) b b. 1
2 Beispiel DieStmmfunktionderSinusfunktion sin ist cos.um Stmmfunktionen zu sin n zu finden, verwenden wir prtielle Integrtion, um eine rekursive Beziehung zu kleineren Potenzen zu erhlten. Um dies präzise zu mchen, rbeiten wir mit Intervllgrenzen, und zwr sollen die Stmmfunktionen von usgehen, lso für den Wert besitzen. Für n ist mittels prtieller Integrtion sin n t dt = = = = sin n t sin t dt sin n t (1 cos t)dt sin n t dt sin n t dt sinn 1 t n 1 (sin n t cos t) cos t dt cos t 1 n 1 ( Durch Multipliktion mit n 1 und Umstellen erhält mn n sin n t dt = (n 1) Speziell ergibt sich für n = sin n t dt sin n 1 cos. sin t dt = 1 ( sin cos ). sin n t dt). John Wllis ( ) Korollr Es gilt die Drstellung Beweis. Wir setzen π = 4k 4k 1 = lim m k=1 n = π m k=1 sin n t dt. 4k 4k 1. Dies ist eine fllende Folge, für die ufgrund von Beispiel 33.3 die rekursive Beziehung n = n 1 n n
3 und die Anfngsbedingungen = π und 1 =1 gelten. Ausgeschrieben bedeutet dies für gerdes n und für ungerdes n n = (n 1)(n 3) 3 1 n(n ) 4 π n = (n 1)(n 3) 4. n(n ) 5 3 Mit n = m bzw. n = m+1 schreibt sich dies ls m = (m 1)(m 3) 3 1 π m(m ) 4 bzw. ls m+1 = D die Folge fllend ist und n n+ = n+ n+1 gegen 1. Also ist insbesondere 1 = lim m m m(m ) 4 (m+1)(m 1) 5 3. m+1 (m 1)(m 3) 3 1 m(m ) 4 lim m gilt konvergieren die Quotienten n n+1 = lim m m(m ) 4 (m+1)(m 1) 5 3 (m+1)(m 1) (m 3) = lim m π (m(m ) 4 ). Hier knn mn den Zähler, indem mn zwei ufeinnder folgende Fktoren usmultipliziert, ls m k=1 (4k 1) und den Nenner ls m k=1 4k schreiben. Dher ist m k=1 4k m k=1 (4k 1) = π. π 3 Integrtion der Umkehrfunktion Stz Es sei f :[,b] [c,d] eine bijektive differenzierbre Funktion und es sei F eine Stmmfunktion von f. Dnn ist G(y) = yf 1 (y) F(f 1 (y)) eine Stmmfunktion der Umkehrfunktion f 1. Beweis. Ableiten unter Verwendung von Lemm 7.7 und Stz 7.8 ergibt (yf 1 (y) F(f 1 (y)) = f (y)+y f (f 1 (y)) f(f 1 (y)) f (f 1 (y)) = f 1 (y).
4 4 Diese Aussge besitzt einen einfchen geometrischen Hintergrund. Wenn f :[,b] R + eine streng wchsende Funktion ist (und dher eine Bijektion zwischen [, b] und [f(), f(b)] induziert), so besteht zwischen den beteiligten Flächeninhlten der Zusmmenhng bzw. f(b) f() f(s)ds+ f(b) f() f 1 (t)dt = bf(b) f() f 1 (t)dt = bf(b) f() f(s)ds. Für die Stmmfunktion G von f 1 mit dem Strtpunkt f() gilt dher, wenn F die Stmmfunktion zu f bezeichnet, die Beziehung G(y) = = y f 1 (t)dt f() f(f 1 (y)) f() f 1 (t)dt = f 1 (y)f(f 1 (y)) f() f 1 (y) = yf 1 (y) f() F(f 1 (y))+f() = yf 1 (y) F(f 1 (y)) f()+f(), wobei f() + F() eine Integrtionskonstnte ist. f(s)ds Beispiel Wir berechnen eine Stmmfunktion von rctn unter Verwendung von Stz Eine Stmmfunktion des Tngens ist tn t dt = ln(cos ). Also ist rctn +ln(cos(rctn )) eine Stmmfunktion von rctn. Die Substitutionsregel Stz Sei I ein reelles Intervll und sei f :I R eine stetige Funktion. Es sei g :[,b] I stetig differenzierbr. Dnn gilt f(g(t))g (t)dt = g(b) g() f(s)ds.
5 Beweis. Wegen der Stetigkeit von f und der vorusgesetzten stetigen Differenzierbrkeit von g eistieren beide Integrle. Es sei F eine Stmmfunktion von f, die ufgrund von Korollr 3.5 eistiert. Nch der Kettenregel ht die zusmmengesetzte Funktion t F(g(t)) = (F g)(t) die Ableitung F (g(t))g (t) = f(g(t))g (t). Dher gilt insgesmt g(b) f(g(t))g (t)dt = (F g) b = F(g(b)) F(g()) = F g(b) g() = f(s)ds. Beispiel Typische Beispiele, wo mn sofort erkennen knn, dss mn die Substitutionsregel nwenden knn, sind bspw. g n (t)g (t) g() 5 mit der Stmmfunktion oder mit der Stmmfunktion 1 n+1 gn+1 g g ln g. Häufig liegt ein bestimmtes Integrl nicht in einer Form vor, dss mn die vorstehende Regel direkt nwenden könnte. Häufiger kommt die folgende umgekehrte Vrinte zum Zug. Korollr Es sei eine stetige Funktion und es sei f :[,b] R ϕ :[c,d] [,b], s ϕ(s), eine bijektive, stetig differenzierbre Funktion. Dnn gilt Beweis. Nch Stz 33.7 ist f(t)dt = ϕ 1 (b) ϕ 1 () f(ϕ(s)) ϕ (s)ds ϕ 1 (b) ϕ 1 () f(ϕ(s))ϕ (s)ds = ϕ(ϕ 1 (b)) ϕ(ϕ 1 ()) f(t)dt = f(t)dt.
6 6 Bemerkung Die Substitution wird folgendermßen ngewendet: Es soll ds Integrl f(t)dt usgerechnet werden. Mn muss dnn eine Idee hben, dss durch die Substitution t = ϕ(s) ds Integrl einfcher wird (und zwr unter Berücksichtigung der Ableitung ϕ (t) und unter der Bedingung, dss die Umkehrfunktion ϕ 1 berechenbr ist). Mit c = ϕ 1 () und d = ϕ 1 (b) liegt insgesmt die Sitution [c,d] ϕ f [,b] R vor. In vielen Fällen kommt mn mit gewissen Stndrdsubstitutionen weiter. Bei einer Substitution werden drei Opertionen durchgeführt. (1) Ersetze f(t) durch f(ϕ(s)). () Ersetze dt durch ϕ (s)ds. (3) Ersetze die Integrtionsgrenzen und b durch ϕ 1 () und ϕ 1 (b). Für den zweiten Schritt empfiehlt sich die Merkregel dt = dϕ(s) = ϕ (s)ds, der mn im Rhmen der Theorie der Differentilformen uch eine inhltliche Bedeutung geben knn. Beispiel Die obere Kreislinie des Einheitskreises ist die Punktmenge {(,y) +y = 1, 1 1, y }. Zugegebenem, 1 1,gibtesgenueiny,dsdieseBedingungerfüllt, nämlich y = 1. Dher ist der Flächeninhlt des oberen Einheitskreises gleich der Fläche unter dem Grphen der Funktion 1 über dem Intervll [ 1, 1], lso gleich Mit der Substitution d. = cos t und t = rccos (wobei cos : [,π] [ 1,1] bijektiv ist), erhält mn 1 d = rccos b 1 cos t( sin t)dt = rccos rccos b rccos sin t dt = 1 b (sin t cos t t) rccos.
7 Insbesondere ist 1 ( sin(rccos ) rccos ) = 1 ( 1 rccos ) eine Stmmfunktion zu 1. Dher ist 1 1 d = 1 (sin + sin π +π) = π/. 1 Beispiel WirbestimmeneineStmmfunktionvon 1unterVerwendung der Hyperbelfunktionen sinh t und cosh t, für die die Beziehung cosh t sinh t = 1 gilt. Die Substitution liefert 1d = = cosh t mit d = sinh tdt rccosh b rccosh cosh t 1 sinh t dt = rccosh b rccosh 7 sinh t dt. Eine Stmmfunktion des Sinus hyperbolicus im Qudrt ergibt sich us sinh t = ( 1 (et e t )) = 1 4 (et +e t ). Dher ist sinh t dt = 1 4 (1 eu 1 e u u) = 1 4 sinh u 1 u und somit 1d = 1 4 sinh( rccosh ) 1 rccosh. Beispiel Wir wollen eine Stmmfunktion für die Funktion f() = ( cos sin ) bestimmen. Als Vorüberlegung berechnen wir die Ableitung von Diese ist ( cos sin ) 1. cos sin cos ( cos sin ) = Wir schreiben dher f ls ein Produkt f() = sin ( cos sin ) sin ( cos sin ). sin und wenden druf prtielle Integrtion n, wobei wir den ersten Fktor integrieren und den zweiten Fktor bleiten. Die Ableitung des zweiten Fktors ist ( sin ) = sin cos sin.
8 8 Dher ist f()d = ( cos sin ) 1 sin ( cos sin ) 1 sin cos sin d = ( cos sin ) 1 ( sin )+ 1 sin d = ( cos sin ) 1 ( ) cot. sin
9 Abbildungsverzeichnis Quelle = John Wllis.jpg, Autor = Benutzer Gene.rboit uf Commons, Lizenz = CC-by-s 3. 9
Analysis I. Partielle Integration. f (t)g(t)dt =
Prof. Dr. H. Brenner Osnbrück WS 3/4 Anlysis I Vorlesung 5 Wir besprechen nun die wesentlichen Rechenregeln, mit denen mn Stmmfunktionen finden bzw. bestimmte Integrle berechnen knn. Sie beruhen uf Ableitungsregeln.
MehrProf. Dr. Siegfried Echterhoff.. 1 HAUPTSATZ DER INTEGRAL UND DIFFERENTIALRECHNUNG
Vorlesung SS 29 Anlysis 2 HAUPTSATZ DER INTEGRAL UND DIFFERENTIALRECHNUNG Teil : Fortsetzung des Studiums von Funktionen in einer reellen Vriblen (Integrtion und Tylorreihen). Huptstz der Integrl und Differentilrechnung
MehrÜbung Analysis in einer Variable für LAK, SS 2010
Übung Anlysis in einer Vrible für LAK, SS Christoph B ) Es sei I R ein offenes Intervll, ξ I und f,...,f n : I R seien lle in ξ differenzierbr. Beweisen Sie: Dnn ist uch f f n : I R in ξ differenzierbr
MehrMathematik für Anwender I
Prof. Dr. H. Brenner Osnbrück WS 20/202 Mthemtik für Anwender I Vorlesung 24 Der Mittelwertstz der Integrlrechnung Zu einer Riemnn-integrierbren Funktion f :[,b] R knn mn f(t)dt b ls die Durchschnittshöhe
MehrStammfunktionen, Hauptsätze, unbestimmtes Integral
Stmmfunktionen, Huptsätze, unbestimmtes Integrl Sei I ein Intervll, f beschränkt uf I und R-integrierbr für jedes [, b] I, und I. Dnn heißt die Funktion F mit D(F ) = I und F () = f(t)dt Integrl von f
MehrAnalysis I. Vorlesung 24. Der Mittelwertsatz der Integralrechnung. b a
Prof. Dr. H. Brenner Osnbrück WS 203/204 Anlysis I Vorlesung 24 Der Mittelwertstz der Integrlrechnung Zu einer Riemnn-integrierbren Funktion f: [, b] R knn mn f(t)dt b ls die Durchschnittshöhe der Funktion
MehrKapitel 9 Integralrechnung
Kpitel 9 Integrlrechnung Kpitel 9 Integrlrechnung Mthemtischer Vorkurs TU Dortmund Seite 1 / 18 Kpitel 9 Integrlrechnung Definition 9.1 (Stmmfunktion) Es seien f, F : I R Funktionen. F heißt Stmmfunktion
MehrInfinitesimalrechnung, Mengenlehre und logische Verknüpfungen
Vorlesung 16 Infinitesimlrechnung, Mengenlehre und logische Verknüpfungen 16.1 Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung Wir verknüpfen nun Differentil- mit Integrlrechnung. Definition 16.1.1. Eine
MehrIntegrationsmethoden
Universität Perborn Dezember 8 Institut für Mthemtik C. Kiser Integrtionsmethoen Prtielle Integrtion (Prouktintegrtion) Unbestimmte Integrtion er Prouktregel (u v) () = u ()v() + u()v () liefert (u v)()
MehrUneigentliche Riemann-Integrale
Uneigentliche iemnn-integrle Zweck dieses Abschnitts ist es, die Vorussetzungen zu lockern, die wir n die Funktion f : [, b] bei der Einführung des iemnn-integrls gestellt hben. Diese Vorussetzungen wren:
MehrMathematik II. Vorlesung 41. Satz Es sei f :[a,b] R n, t f(t), eine differenzierbare Kurve. Dann gibt es ein c [a,b] mit
Prof. Dr. H. Brenner Osnbrück SS 1 Mthemtik II Vorlesung 41 Die Mittelwertbschätzung für differenzierbre Kurven Stz 41.1. Es sei f :[,b] R n, t f(t), eine differenzierbre Kurve. Dnn gibt es ein c [,b]
MehrResultat: Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
17 Der Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung Lernziele: Konzept: Stmmfunktion Resultt: Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung Methoden: prtielle Integrtion, Substitutionsregel Kompetenzen:
MehrD-MAVT/D-MATL Analysis I HS 2016 Dr. Andreas Steiger. Lösung - Serie 9
D-MAVT/D-MATL Anlysis I HS 26 Dr. Andres Steiger Lösung - Serie 9. MC-Aufgben (Online-Abgbe). Es sei f die Funktion f() = e + 7. Welche der folgenden Funktionen sind Stmmfunktionen von f? () g() = 2 2
MehrInfinitesimalrechnung
Vorlesung 17 Infinitesimlrechnung 17.1 Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung Wir verknüpfen nun Differentil- mit Integrlrechnung. Definition 17.1.1. Eine differenzierbre Funktion F : I R heißt Stmmfunktion
MehrKapitel 7. Integralrechnung für Funktionen einer Variablen
Kpitel 7. Integrlrechnung für Funktionen einer Vriblen In diesem Kpitel sei stets D R, und I R ein Intervll. 7. Ds unbestimmte Integrl (Stmmfunktion) Es sei f : I R eine Funktion. Eine differenzierbre
MehrIntegrieren. Regeln. Einige Integrale die man auswendig kennen sollte. Partielle Integration
Integrieren Regeln (f() + g())d = f()d + g()d c f()d = c f()d b f()d = f()d b Einige Integrle die mn uswendig kennen sollte s d = s + s+ + C (für s ) d = ln + C cos d = sin + C sin d = cos + C sinh d =
Mehr8.4 Integrationsmethoden
8.4 Integrtionsmethoden 33 8.4 Integrtionsmethoden Die Integrtion von Funktionen erweist sich in prktischen Fällen oftmls schwieriger ls die Differenzition. Während sich ds Differenzieren durch Anwendung
MehrMathematik Rechenfertigkeiten
2 Mthemtik Rechenfertigkeiten Skript Freitg Dominik Tsndy, Mthemtik Institut, Universität Zürich Winterthurerstrsse 9, 857 Zürich Irmgrd Bühler (Überrbeitung: Dominik Tsndy) 9.August 2 Inhltsverzeichnis
MehrIntegration. Kapitel 8: Integration Informationen zur Vorlesung: wengenroth/ J. Wengenroth () 17.
Integrtion Kpitel 8: Integrtion Informtionen zur Vorlesung: http://www.mthemtik.uni-trier.de/ wengenroth/ J. Wengenroth () 17. Juli 2009 1 / 22 8.1 Motivtion Kpitel 8: Integrtion 8.1 Motivtion Ist die
Mehr10 Integrationstechniken
Integrtionstechniken. Wichtige Stmmfunktionen α d = α + α+, d = log e d = e cos d = sin sin d = cos d = rcsin d = rctn + cosh d = sinh sinh d = cosh + d = sinh d = cosh α R, α. Linerität der Integrtion
MehrMathematik Rechenfertigkeiten
26 Mthemtik Rechenfertigkeiten Skript Freitg Dr. Dominik Tsndy, Mthemtik Institut, Universität Zürich Winterthurerstrsse 9, 857 Zürich Skript: Dr. Irmgrd Bühler (Überrbeitung: Dr. Dominik Tsndy) 9. August
MehrZusatzunterlagen zur Vorlesung Analysis II Sommersemester 2014
UNIVERSITÄT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 MATHEMATIK Prof. Dr. Jörg Eschmeier M. Sc. Sebstin Lngendörfer e Integrlrechnung Zustzunterlgen zur Vorlesung Anlysis II Sommersemester 2014 Dieses Bltt enthält
Mehr3 Uneigentliche Integrale
Mthemtik für Ingenieure II, SS 29 Dienstg 9.5 $Id: uneigentlich.te,v.5 29/5/9 6:23:8 hk Ep $ $Id: prmeter.te,v.2 29/5/9 6:8:3 hk Ep $ 3 Uneigentliche Integrle Mn knn die eben nchgerechnete Aussge e d =,
Mehr4.4 Partielle Integration
Mthemtik für Nturwissenschftler I 4.4 4.4 Prtielle Integrtion Zwei Integrtionsregeln kennen wir bereits: Stz 4.. und Stz 4..8. Stz 4.. sgt, dss mit zwei Funktionen uch deren Summe oder Differenz integrierbr
MehrHier ist noch ein Beispiel, bei dem sowohl die Substitutionsregel als auch die partielle Integration zur Anwendung kommt.
64 Kpitel. Integrlrechnung Hier ist noch ein Beispiel, bei dem sowohl die Substitutionsregel ls uch die prtielle Integrtion zur Anwendung kommt..4.6 Beispiel Um eine Stmmfunktion für rctn zu finden, beginnen
Mehr1 Folgen. 1. Februar 2016 ID 03/455. a) Folgende Folge ist gegeben: a n+1 = 7a n 12a n 1, a 0 = 1, a 1 = 0 (1) Charakteristisches Polynom:
Tutorium Ynnick Schrör Lösung zur Bonusklusur vom WS 1/13 Ynnick.Schroer@rub.de 1. Februr 016 ID 03/455 1 Folgen ) Folgende Folge ist gegeben: n+1 7 n 1 n 1, 0 1, 1 0 (1) Chrkteristisches Polynom: q 7q
MehrAnalysis II (lehramtsbezogen): Rechnen mit Integralen
Anlysis II (lehrmtsbezogen): Rechnen mit Integrlen A. Ppke. November Substitution Wir wiederholen kurz die grundlegende Methode der Substitution und wenden sie im Beispiel n. Stz. (Integrtion durch Substitution).
Mehr(21) Berechnen Sie die uneigentlichen Rieman-Integrale. ln t dt = t ln t t. = x 1 x ln x. ln t dt = 1. ) xe. ( x 2 x) x + 1 (x + 1)
Mthemtik für die Physik II, Sommersemester 28 Lösungen zu Serie 5 2) Berechnen Sie die uneigentlichen Riemn-Integrle ln d und d +. Für jedes < < gilt ln t dt = t ln t t = ln und nch I. 2.Lemm 4 und I..Stz
Mehr2.4 Elementare Substitution
.4 Elementre Substitution 7.4 Elementre Substitution Im Übungsteil finden Sie folgende Aufgben zum Trining der in diesem Abschnitt behndelten Themen: Linere Substitution (LSub): Aufgbe 4.5 (S.4) und Aufgbe
MehrMathematik II. Vorlesung 31
Prof. Dr. H. Brenner Osnbrück SS 2010 Mthemtik II Vorlesung 31 In den folgenden Vorlesungen beschäftigen wir uns mit der Integrtionstheorie, d.h. wir wollen den Flächeninhlt derjenigen Fläche, die durch
MehrMC-Serie 12 - Integrationstechniken
Anlysis D-BAUG Dr. Meike Akveld HS 15 MC-Serie 1 - Integrtionstechniken 1. Die Formel f(x) dx = xf(x) xf (x) dx i) ist im Allgemeinen flsch. ii) folgt us der Sustitutionsregel. iii) folgt us dem Huptstz
MehrMathematik 1 für Bauwesen 14. Übungsblatt
Mthemtik für Buwesen Übungsbltt Fchbereich Mthemtik Wintersemester 0/0 Dr Ivn Izmestiev 8/900 Dr Vince Bárány, M Sc Juli Plehnert Gruppenübung Aufgbe G () Berechnen Sie ds Volumen des Rottionskörpers,
MehrDas Bogenintegral einer gestauchten Normalparabel
Ds Bogenintegrl einer gestuchten Normlprbel Jn Günther und Luks Vrnhorst Im Mthemtikleistungskurs der Jhrgngsstufe sind wir uf folgende Aufgbe gestoÿen: Bestimmen Sie eine Stmmfunktion von f(x) + x mit
Mehr11. DER HAUPTSATZ DER DIFFERENTIAL- UND INTEGRALRECHNUNG
91 Dieses Skript ist ein Auszug mit Lücken us Einführung in die mthemtische Behndlung der Nturwissenschften I von Hns Heiner Storrer, Birkhäuser Skripten. Als StudentIn sollten Sie ds Buch uch kufen und
MehrHöhere Mathematik für die Fachrichtung Physik
Krlsruher Institut für Technologie Institut für Anlysis Dr. Christoph Schmoeger Dipl.-Mth. Sebstin Schwrz Höhere Mthemtik für die Fchrichtung Physik Lösungsvorschläge zum. Übungsbltt Aufgbe 6 (Übung) )
Mehr1 Differentialrechnung
1 Differentilrechnung 1.1 Ableitungen und Ableitungsregeln Nützliche Ableitungen 1. ( ) 1 = 1 x x 2 = x 2 2. Trigonometrische Funktionen: ( x) = 1 2 x [sin(x)] = cos(x) [cos(x)] = sin(x) 3. f(x) = e x
Mehr, für x 2, ax wenn x > 3. 2x+a wenn x Integralrechnung
. INTEGRALRECHNUNG 69 Aufgbe 9.3 Bestimme lle Extrem der Funktion f : [,] R, x ( x) +9x. Aufgbe 9.3 Bestimme die Extrem der Funktion f : R\{} R : x x4 5x 4 (x ) 3. Untersuche die Funktion hinsichtlich
MehrFormelsammlung für die Klausur: Mathematik für Chemiker I
Universität-Duisburg-Essen / Cmpus Essen 15. 1. 2004 FB 6 - Mthemtik Prof. Dr. D. Lutz / Dr. G. Wolf Formelsmmlung für die Klusur: Mthemtik für Chemiker I Binomilkoezienten, binomische Formel: n! = 1 2
MehrEinführung in die Integralrechnung
Einführung in die Integrlrechnung Vorbereitung für ds Probestudium n der LMU München 3. bis 7. September von W. Frks und O. Forster Integrle ls Flächeninhlte. Motivtion Flächeninhlte von Rechtecken sind
MehrMathematik LK 12 M1, 1. Kursarbeit Integration Lösung f (x)dx=lim S n. a I. Dann heißt. a, x I. Dann gilt:
Mthemtik LK M,. Kursrbeit Integrtion Lösung..3 Aufgbe :. Erkläre mit Hilfe der Definition des Integrls den Unterschied zwischen dem Integrl einer Funktion und dem Flächeninhlt der Fläche zwischen dem Grphen
MehrLösungsvorschlag zu den Präsenzaufgaben der 13. Übung
FAKULTÄT FÜR MATHEMATIK Prof. Dr. Ptrizio Neff Christin Thiel 07.07.04 Lösungsvorschlg zu den Präsenzufgben der 3. Übung Präsenzufgbe : Wir hben die Determinnte bisher ls Kriterium zur Invertierbrkeit
Mehr3 Uneigentliche Integrale
Mthemtik für Physiker II, SS 27 Mittwoch 7.5 $Id: uneigentlich.te,v.9 27/5/7 :9:4 hk Ep $ $Id: norm.te,v.39 27/5/7 :22:3 hk Ep $ 3 Uneigentliche Integrle In der letzten Sitzung hben wir begonnen uns mit
Mehrkann man das Riemannsche Unter- bzw. Oberintegral auch wie folgt definieren: xk+1 x k
Integrlrechnung Definition 1 (Treppenfunktion, Zerlegung eines Intervlls): Sei [, b] R ein Intervll. Eine Funktion g : [, b] R heißt Treppenfunktion, flls es eine Zerlegung := { =: 0 < 1
Mehr$Id: integral.tex,v /04/28 13:32:32 hk Exp hk $
Mthemtik für Ingenieure II, SS 009 Dienstg 8.4 $Id: integrl.tex,v 1.4 009/04/8 13:3:3 hk Exp hk $ Integrlrechnung.3 Die Integrtionsregeln Mit den bisherigen Beispielen hben wir die meisten Integrle behndelt,
MehrVorkurs Mathematik DIFFERENTIATION
Vorkurs Mthemtik 6 DIFFERENTIATION Beispiel (Ableitung von sin( )). Es seien f() = sin g() = h() =f(g()) = sin. (f () =cos) (g () =) Also ist die Ableitung von h: h () =f (g())g () =cos = cos. Mn nennt
MehrAufgaben zur Vorlesung Analysis II Prof. Dr. Holger Dette SS 2012 Lösungen zu Blatt 6
Aufgben zur Vorlesung Anlysis II Prof. Dr. Holger Dette SS 0 Lösungen zu Bltt 6 Aufgbe. Die Funktion f : [, ) R sei in jedem endlichen Teilintervll von [, ) Riemnnintegrierbr. Für n N sei I n := f() d.
MehrVI. Das Riemann-Stieltjes Integral.
VI. Ds Riemnn-Stieltjes Integrl. Es stellt sich herus, dss der hier entwickelte Integrlbegriff strk von der Ordnungsstruktur von R bhängt. Definition. Sei [, b] ein Intervll in R. Unter einer Prtition
MehrLösungsvorschläge zum 9. Übungsblatt.
Übung zur Anlysis II SS 1 Lösungsvorschläge zum 9. Übungsbltt. Aufgbe 33 () A : {(x, y) R : x [ 1, 1] und y oder x und y [ 1, 1]}. (b) A : {(x, y) R : x < y < 1 + x }. (c) A : {(x, y) R : x < y < 1 + x
MehrSatz 6.5 (Mittelwertsatz der Integralrechnung) Sei f : [a, b] R stetig. Dann gibt es ein ξ [a, b], so dass. b a. f dx = (b a)f(ξ) f dx (b a)m.
Stz 6.5 (Mittelwertstz der Integrlrechnung) Sei f : [, b] R stetig. Dnn gibt es ein ξ [, b], so dss 9:08.06.2015 gilt. f dx = (b )f(ξ) Lemm 6.6 Sei f : [, b] R stetig und m f(x) M für lle x [, b]. Dnn
MehrMathematik für Wirtschaftswissenschaftler im WS 12/13 Lösungen zu den Übungsaufgaben Blatt 8
Mthemtik für Wirtschftswissenschftler im WS /3 Lösunen zu den Übunsufben Bltt 8 Aufbe 3 Berechnen Sie die folenden Interle durch prtielle Intertion. ) c) e d. (Hinweis: Interieren Sie zweiml prtiell).
MehrMathematischer Vorkurs zum Studium der Physik Übungen
Universität Heidelberg Mthemtischer Vorkurs zum Studium der Physik Übungen Aufgben zu Kpitel 7 (us: K. Hefft, Mthemtischer Vorkurs zum Studium der Physik, sowie Ergänzungen) Aufgbe 7.: Differentitionstbelle
MehrSBP Mathe Grundkurs 2. Differentialquotient. Namen und Schreibweisen für Differentialquotienten. Ableitung von f(x) = c.
SBP Mthe Grundkurs 2 # 0 by Clifford Wolf # 0 Antwort Diese Lernkrten sind sorgfältig erstellt worden, erheben ber weder Anspruch uf Richtigkeit noch uf Vollständigkeit. Ds Lernen mit Lernkrten funktioniert
MehrMusterlösung der 1. Klausur zur Vorlesung
Prof. Dr. M. Röger Dipl.-Mth. C. Zwilling Fkultät für Mthemtik TU Dortmund Musterlösung der. Klusur zur Vorlesung Anlysis I (24.02.206) Wintersemester 205/6 Aufgbe. Sei R mit sin() 0. Der Beweis erfolgt
MehrHöhere Mathematik II für die Fachrichtung Informatik. Lösungsvorschläge zum 8. Übungsblatt
KARLSRUHER INSTITUT FÜR TECHNOLOGIE INSTITUT FÜR ANALYSIS Dr. Christoph Schmoeger Heiko Hoffmnn SS Höhere Mthemtik II für die Fchrichtung Informtik Lösungsvorschläge zum 8. Übungsbltt Aufgbe 9 erechnen
MehrCrashkurs - Integration
Crshkurs - Integrtion emerkung. Wir setzen hier elementre Kenntnisse des Differenzierens sowie der Produktregel, Quotientenregel und Kettenregel vorus (diese werden später in der VO noch usführlich erklärt).
MehrMusterlösungen zum 6. Übungsblatt
Musterlösungen zum 6 Üungsltt Anlysis ei Dr Rolf Busm WS 6/7 Aufge 6 (Tois Hessenuer) ) 3 ep()d, setze u = ep(), v = 3 dnn gilt: 3 ep()d = ep() 3 = e (3 ep() ) 3 ep() d = e 3e + 6 ep() = 6e 3e + 6e 6e
Mehrf(ξ k )(x k x k 1 ) k=1
Integrlrechnung Definition des bestimmten Integrls Die Integrtion ist die Umkehropertion zur Differentition. Grundufgbe der Integrlrechnung ist die Bestimmung von Flächen. Will mn beispielsweise den Inhlt
Mehrnennt man eine Zerlegung (Partition, Unterteilung) des Intervalls [a, b]. Die Feinheit der Zerlegung ist dabei
Kpitel 8: Integrtion Erläuterung uf Folie 8.1 Ds bestimmte Integrl Sei f : [, b] R eine beschränkte Funktion uf einem (zunächst) kompkten Intervll [, b]. Definition: 1) Eine Menge der Form Z = { = x 0
MehrIntegralrechnung 29. f(x) dx = F (x) + C
Integrlrechnung 9 5 Integrlrechnung 5. Ds unbestimmte Integrl Wird eine Funktion f bgeleitet, so erhält mn die Ableitungsfunktion f. Nun knn mn sich frgen, ob es einen Weg zurück gibt, d.h. ob mn us der
MehrWirtschaftsmathematik für International Management (BA) und Betriebswirtschaft (BA)
Wirtschftsmthemtik für Interntionl Mngement (BA) und Betriebswirtschft (BA) Wintersemester 2013/14 Stefn Etschberger Hochschule Augsburg Mthemtik: Gliederung 1 Aussgenlogik 2 Linere Algebr 3 Linere
Mehr14.1 Der Hauptsatz der Integralrechnung
Anlysis, Woche 4 Integrlrechnung II A 4. Der Huptstz der Integrlrechnung In der letzten Woche hben wir ngeschut, wie mn ds Integrl definieren knn. Dmit lässt sich zwr ein Flächeninhlt pproximieren, ber
MehrFur das unbestimmte Integral gilt. f(x) dx + b
. Integrtionsregeln.. Linerität. Fur ds unbestimmte Integrl gilt (f(x) bg(x)) = f(x) b g(x),, b R... Prtielle Integrtion. Fur je zwei uf einem Intervll I = (, b) stetig differenzierbre Funktionen u und
MehrKapitel 10. Integration. Josef Leydold Mathematik für VW WS 2015/16 10 Integration 1 / 35
Kpitel 0 Integrtion Josef Leydold Mthemtik für VW WS 205/6 0 Integrtion / 35 Flächeninhlt Berechnen Sie die Inhlte der ngegebenen Flächen! f (x) = Fläche: A = f (x) = +x 2 Approximtion durch Treppenfunktion
MehrZum Satz von Taylor. Klaus-R. Loeffler. 2 Der Satz von Taylor 2
Zum Stz von Tylor Klus-R. Loeffler Inhltsverzeichnis 1 Der verllgemeinerte Stz von Rolle 1 2 Der Stz von Tylor 2 3 Folgerungen, Anwendungen und Gegenbeispiele 4 3.1 Jede gnzrtionle Funktion ist ihr eigenes
MehrDefinition 3.33 (Oberintegral und Unterintegral). Es sei f : [a,b] R eine beschränkte Funktion. Weiter sei
8. Integrierbre Funktionen Definition 3.3 (Treppenfunktionen). Eine Funktion t : [,b] R heißt Treppenfunktion, flls es endlih viele Punkte x < x 1 < < x n mit x = und x n = b gibt, so dss f uf jedem der
MehrBestimmtes (Riemannsches) Integral / Integral als Grenzwert einer Summe : Bedeutung: Fläche unter einer Funktion innerhalb bestimmter Grenzen
III. Integrlrechnung : Bestimmtes (Riemnnsches Integrl / Integrl ls Grenzwert einer Summe : Bedeutung: Fläche unter einer Funktion innerhl estimmter Grenzen yf( y n y n ( Δ Berechnung der Fläche A unter
MehrKapitel 3 Integralrechnung
Kpitel 3 Integrlrechnung Der Ausgngspunkt für die Entwicklung der Integrlrechnung ist ds Problem der Berechnung krummlinig begrenzter Flächen. Bereits in der Antike gelng es Archimedes, den Flächeninhlt
MehrGrundwissen Abitur Analysis
GYMNASIUM MIT SCHÜLERHEIM PEGNITZ mthem-technolog u sprchl Gmnsium WILHELM-VON-HUMBOLDT-STRASSE 7 9257 PEGNITZ FERNRUF 0924/48333 FAX 0924/2564 Grundwissen Abitur Anlsis Ws sind Potenzfunktion mit ntürlichen
MehrKlausurvorbereitungsausfgaben für die Feiertage Analysis II im WS 2013/2014
Institut für Mthemtik Freie Universität Berlin C. Hrtmnn, A. Ppke Wer spricht von Siegen, Überleben ist lles. Riner Mri Rilke Lösung zu Klusurvorbereitungsusfgben für die Feiertge Anlysis II im WS 23/24
MehrKomplexe Integration
Komplexe Integrtion Michel Hrtwig 23. April 2004 Der Unterschied zwischen reeller und komplexer Integrtion Vorbemerkung: Aus Gründen der Anschulichkeit, hbe ich weitgehend uf eine exkte mthemtische Drstellung
MehrDie Versiera der Agnesi
Vermischte Aufgben: Anlysis und Geometrie S.. 1 Die Versier der Agnesi Am 16. Mi 014 zeigte Google ls Erinnerung n den 96. Geburtstg der itlienischen Mthemtikerin Mri Getn Agnesi ein sogennntes Doodle.
Mehr9.3 Der Hauptsatz und Anwendungen
9.3 Der Huptstz und Anwendungen Definition: Seien Funktionen F, f : [, b] R Funktionen mit F (x) = f(x), x b. Dnn heißt F(x) Stmmfunktion von f(x). Bemerkung: Ist F(x) eine Stmmfunktion von f(x), so sind
Mehr$Id: kurven.tex,v /12/03 19:13:57 hk Exp hk $ K ds = F (γ(t)) γ Summation des Vektorfeldes F in Bewegungsrichtung der Kurve γ
Mthemtik für Ingenieure III, WS 9/1 Mittwoch.1 $Id: kurven.tex,v 1. 9/1/3 19:13:57 hk Exp hk $ 3 Kurven 3.3 Kurvenintegrle zweiter Art Wir htten ds vektorielle Kurvenintegrl ls K ds F ((t Summtion des
MehrThema 7 Konvergenzkriterien (uneigentliche Integrale)
Them 7 Konvergenzkriterien (uneigentliche Integrle) In diesem Kpitel betrchten wir unendliche Reihen n= n, wobei ( n ) eine Folge von reellen Zhlen ist. Die Reihe konvergiert gegen s (oder s ist die Summe
MehrMathematik-Tutorium: Handwerkszeug und Kochrezepte für Maschinenbauer
Vektorrechnung Differentilrechnung Integrlrechnung Mthemtik-Tutorium: Hndwerkszeug und Kochrezepte für Mschinenbuer Johnnes Wiedersich 7. Dezember 007 http://www.e13.physik.tu-muenchen.de/wiedersich/ Vektorrechnung
Mehrπ 2 r 2 r 2 sin 2 (t)r cos(t) dt π 2 cos2 (t) cos(t) dt = r 2 π dt = cos(x) sin(x) u v = cos(x) sin(x) + = cos(x) sin(x) + x
Wir substituieren x x(t) r sin(t), t [ π, π ]. Dnn ist x (t) r cos(t), lso r x dx π π r π r r sin (t)r cos(t) dt π cos (t) cos(t) dt r π π cos (t) dt Wir integrieren cos mittels prtieller Integrtion: Sei
MehrDifferenzial- und Integralrechnung III
Differenzil- und Integrlrechnung III Riner Huser April 2012 1 Einleitung 1.1 Polynome und Potenzfunktionen Die Polynome oder Polynomfunktionen lssen sich durch die endliche Anzhl von n+1 Prmetern i R in
MehrIntegralrechnung. www.mathe-total.de. Aufgabe 1
Integrlrechnung Aufgbe Bestimme die Fläche zwischen der Kurve der Funktion f() = und -Achse über dem Intervll I = [; 3] näherungsweise. Bestimme die Obersumme und Teile ds Intervll I in drei gleich große
MehrMathematik Rechenfertigkeiten
27 Mthemtik Rechenfertigkeiten Skript Freitg Dr. Dominik Tsndy, Mthemtik Institut, Universität Zürich Winterthurerstrsse 9, 857 Zürich Skript: Dr. Irmgrd Bühler (Überrbeitung: Dr. Dominik Tsndy) 8. August
MehrKarlsruher Institut für Technologie (KIT) SS 2013 Institut für Analysis Prof. Dr. Tobias Lamm Dr. Patrick Breuning
Krlsruher Institut für Technologie KIT SS 3 Institut für Anlysis 943 Prof Dr Tobis Lmm Dr Ptrick Breuning Höhere Mthemtik II für die Fchrichtung Physik 3 Übungsbltt Aufgbe Sei K ein Kreis im R vom Rdius
MehrMathematik III. Vorlesung 85. Riemannsche Mannigfaltigkeiten
Prof Dr H Brenner Osnbrück WS 2010/2011 Mthemtik III Vorlesung 85 Riemnnsche Mnnigfltigkeiten Georg Friedrich Bernhrd Riemnn (1826-1866) Die Kugeloberfläche einer Kugel mit Rdius r besitzt den Flächeninhlt
Mehr12. STAMMFUNKTIONEN UND DAS UNBESTIMMTE INTEGRAL
98 Dieses Skript ist ein Auszug mit Lücken us Einführung in die mthemtische Behndlung der Nturwissenschften I von Hns Heiner Storrer, Birkhäuser Skripten. Als StudentIn sollten Sie ds Buch uch kufen und
MehrKapitel 1. Das Riemann-Integral. 1.1 *Motivation
Kpitel Ds Riemnn-Integrl. *Motivtion Wir betrchten eine stetige Funktion f : [, b] R, wobei, b R und < b. Frge: Wie groß ist der Flächeninhlt zwischen dem Abschnitt [, b] uf der x-achse und dem Grph von
MehrParameterintegrale. Integrale können auch von Parametern abhängen, denken wir nur an die Gamma-Funktion, die definiert ist für x > 0 durch
Prmeterintegrle Integrle können uc von Prmetern bängen, denken wir nur n die Gmm-Funktion, die definiert ist für x > durc Γ(x) = t x e t dt Hier ist x der Prmeter, von dem der Integrnd und dmit uc ds Integrl
MehrMusterlösung für die Nachklausur zur Analysis II
MATHEMATISCHES INSTITUT WiSe 213/14 DER UNIVERSITÄT MÜNCHEN Musterlösung für die Nchklusur zur Anlysis II Aufgbe 1 Gilt folgende Aussge? Eine im Punkt x R 2 prtiell differenzierbre Funktion f : R 2 R ist
MehrElemente der Analysis II: Zusammenfassung der wichtigsten Definitionen und Ergebnisse
Elemente der Anlysis II: Zusmmenfssung der wichtigsten Definitionen und Ergebnisse J. Wengenroth Dies ist die einzige zugelssene Formelsmmlung, die bei der Klusur benutzt werden drf. Es dürfen Unterstreichungen
MehrHerleitung der Strasse für quadratische Räder
Herleitung der Strsse für qudrtische Räder P = P( P / y P ) sei der Berührungspunkt des Rdes mit der Strsse bzw mit der gesuchten Kurve P = P ( / y ) sei der Mittelpunkt der entsprechenden Qudrtseite des
MehrVII. Folgen und Reihen von Funktionen (Vertauschung von Grenzprozessen)
VII. Folgen und Reihen von Funktionen (Vertuschung von Grenzprozessen) Definition. Sei {f n } eine Folge von Funktionen, die uf einer Menge E definiert sind. Die Folgen der Funktionswerte {f n (x)} seien
MehrKAPITEL 18 UND 19 H. KOCH. Kapitel 18. x>a. x<y
KAPITEL 18 UND 19 H. KOCH 1. VORLESUNG VOM 08.01.2018 Kpitel 18 Definition 1 (Zerlegungen, Treppenfunktionen, Regelfunktionen) Sei < b. 1. Eine Zerlegung τ von [, b] besteht us einer Zhl N N und (N + 1)
Mehr$Id: integral.tex,v /05/15 13:14:04 hk Exp $ $Id: uneigentlich.tex,v /05/15 13:21:33 hk Exp $
Mthemtik für Ingenieure II, SS 9 Freitg 15.5 $Id: integrl.te,v 1.1 9/5/15 13:14:4 hk Ep $ $Id: uneigentlich.te,v 1. 9/5/15 13:1:33 hk Ep $ Integrlrechnung.5 Sonstige Integrtionstechniken Wir kommen nun
Mehrf(t)dt; dabei heißt t die Integrationsvariable und f der Integrand. Schreibweise für den Zahlenwert eines Integrals über [a, b]: b
WS 7/8 Mthemtik: Them 7 Elementre Integrtion Wiederholung von Grundkenntnissen 62 Bestimmtes Integrl (Bestimmtes Riemnn-Integrl) Dies ist die einfchste und gleichzeitig für ökonomische Anwendungen wichtigste
Mehr6.4 Uneigentliche Integrale
6.4 Uneigentliche Integrle 3 Beispiele : d + + d ( + ) t + d t t d t ( t + t + t ) + t + t t ln ( + t) + c + ln ( + + ) + c + t rctn + c 6.4 Uneigentliche Integrle bisher : beschränkte Funktionen uf endlichen
Mehr13-1 Funktionen
3- Funktionen 3 Integrle: Flächeninhlte Seien < reelle Zhlen, sei I = [, ] = { R } ds Intervll der Zhlen zwischen und Wir etrchten eine stetige Funktion f : I R und ds zugehörige Integrl f() d (dies ist
Mehr6.6 Integrationsregeln
50 KAPITEL 6. DAS RIEMANN-INTEGRAL Beispiel 6.5.4 (Differenzierbreit und gleichmäßige Konvergenz) Die Funtionenfolge {f n (x)} n N definiert durch f n (x) = n sin(nx) onvergiert uf jedem Intervll gleichmäßig
Mehr3 Uneigentliche Integrale
Mthemtik für Physiker II, SS 2 Freitg 2.5 $Id: uneigentlich.te,v.7 2/5/2 :49:7 hk Ep $ $Id: norm.te,v.3 2/5/2 2:2:45 hk Ep hk $ 3 Uneigentliche Integrle Am Ende der letzten Sitzung htten wir ds Mjorntenkriterium
MehrUNIVERSITÄT KARLSRUHE Institut für Analysis HDoz. Dr. P. C. Kunstmann Dipl.-Math. M. Uhl. Sommersemester 2009
UNIVERSIÄ KARLSRUHE Institut für Anlysis HDoz. Dr. P. C. Kunstmnn Dipl.-Mth. M. Uhl Sommersemester 9 Höhere Mthemti II für die Fchrichtungen Eletroingenieurwesen, Physi und Geodäsie inlusive Komplexe Anlysis
Mehr12. STAMMFUNKTIONEN UND DAS UNBESTIMMTE INTEGRAL
98 Dieses Skript ist ein Auszug mit Lücken us Einführung in die mthemtische Behndlung der Nturwissenschften I von Hns Heiner Storrer, Birkhäuser Skripten. Als StudentIn sollten Sie ds Buch uch kufen und
MehrExtrakapitel für M3 1. Integration durch Substitution (Umkehrung der Kettenregel)
Etrkpitel für M. Integrtion durch Substitution (Umkehrung der Kettenregel Beispiel : Berechnen Sie ds Integrl I = + d D die Wurzel eine innere Funktion ht, substituieren wir diese und leiten dnn b... z
Mehrf : G R ϕ n 1 (x 1,...,x n 1 ) Das ist zwar die allgemeine Form, aber es ist nützlich sie sich für den R 2 und R 3 explizit anzuschauen.
Trnsformtionsstz von Sebstin üller Integrtion über Normlgebiete Allgemein knn mn im R n ein Normlgebiet wie folgt definieren: G : { R n 1 b, ϕ 1 ( 1 ) ψ 1 ( 1 ), ϕ ( 1, ) 3 ψ ( 1, ),... ϕ n 1 ( 1,...,
Mehr