Satz des Pythagoras. c 2. a 2. b 2

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1 Stz des Pythgors 01 c b Hypotenusenqudrt = Summe der beiden Kthetenqudrte ² = c² b² = c² b² ² + b² = c² b² = c² ² b= c² ² c² = ² + b² c= ² + b²

2 0 Der Stz des Pythgors und seine rechnerische Anwendung Beispiel: In einem rechtwinkligen Dreieck sind die beiden Ktheten mit = 5,6 cm und b = 9 cm gegeben. Mche eine mßstbgetreue Zeichnung. Berechne die Länge der Hypotenuse. Zeichnung: = 5,6 cm c Rechnung: b = 9 cm c² = ² + b² c² = 5,6² + 9² c² = 31, c² = 11,36 c = 11,36 = 10,6 1 1( : (6 : Ergebnis: Die Länge der Hypotenuse beträgt c = 10,6 cm. Prüfe n der Zeichnung durch Nchmessen.

3 Rechenschem zum hndschriftlichen Wurzelziehen = vom Komm usgehend bildet mn Zweiergruppen 1. Schätzung mn zieht die Wurzel us 60 7 (= 1. Ziffer) Probe mn mcht die Probe 7 = 49 7 = 49 Probe Rest 7 = mn bildt den Rest = Probe Rest mn holt die nächsten zwei Ziffern herunter = Schätzung mn teilt den Rest durch ds doppelte Ergebnis (14) Probe 7 = 49 dbei läßt mn die letzte Ziffer (4) zunächst unberücksichtigt Rest 118(4 : 14(. 8 ( =. Ziffer) mn mcht die Probe unter Hinzunhme der. Ziffer Probe Rest Probe 7 49 = 1184 : = Flls der Rest 0 ist, geht die Aufgbe uf. Ds Verfhren knn uch für mehr ls 4-stellige Zhlen oder für Kommzhlen verwendet werden. Es knn beliebig oft fortgesetzt werden. Immer teilt mn den Rest durch ds doppelte Ergebnis und erhält so eine neue Ziffer. Ob die Wurzel ufgeht oder nicht, zeigt sich dnn im Rechenverluf.

4 04 weitere Beispiel: 8369 = (3 : /9/ (9 : Achtung: Nicht zu hoch schätzen, niemls höher ls = ( : (9 : leichte Übungen: Achtung: Beim Teilen knn uch eine Null uftreten = = = = = = = = Ergebnisse: weitere Übungen: = 97,16 09 = 1, = , 9 = 1, = 199 0, = 0, = 406 0, = 0, = 507 3, 57 1 = 1, = ,81= 0,9

5 05 Qudrt Fläche Seite Digonle Gegeben ist die Fläche eines Qudrtes, gesucht ist die Länge der Seite A= m² =? A = m² = m² = 18 m Gegeben ist die Seite eines Qudrtes, gesucht ist die Länge der Digonle = 5 m d =? d = 5 m d² = 5² + 5² d² = 5+ 5= 50 d = 50 7,07 m = 5 m Gegeben ist die Digonle eines Qudrtes, gesucht ist die Länge der Seite d = 8 m =? ² + ² = 8² ² = 64 : ² = 3 = 3 5,66 m d = 8 m

6 06 Die Qudrtspirle usw Die meisten Wurzeln gehen nicht uf, sie hben unendlich viele Stellen hinter dem Komm. 1= 1 = 1, = 1, = 5 =, =, =, =, = 3 10 = 3,16...

7 Übungen und Husufgben A 1. In einem rechtwinkligen Dreieck sind die beiden Ktheten mit = 10 cm und b = 4 cm gegeben. Berechne die Länge der Hypotenuse.. Gegeben = 9 cm b = 40 cm Gesucht: c =? 3. Gegeben = 1,1 cm b = 6 cm Gesucht: c =? 4. Gegeben = cm b =,1 cm Gesucht: c =? 5. Gegeben = 6 cm b = 9,1 cm Gesucht: c =? 6. Ein rechteckiges Rsenstück ht die Länge 7 m und die Breite 36 m. Wie lng ist der Weg, der digonl über den Rsen führt? 7. Wie lng muss eine Leiter sein, um bis zur Spitze einer 9,9 m hohen Muer zu reichen, wenn sie unten m von der Muer bstehen soll? 8. Ein Stteldch ist 8 m hoch und 1 m breit. Wie lng sind die Dchsprren? 8 m Dchsprren 9. Zustzufgbe: 1 m x 17 m 6 m 9 m

8 Lösungen A c² = ² + b² c= ² + b² c² = c= 676 = 6 cm c² = c= 1681 = 41 cm c² = 1,1+ 36 c= 37,1 = 6,1 cm c² = 4+ 4,41 c= 8, 41 =,9 cm c² = 36+ 8,81 c= 118,81 = 10,9 cm c² = c= 05 = 45 cm c² = , 01 c= 10, 01 = 10,1 cm c² = c= 100 = 10 cm Tbelle ² 1,1 1,1 4,1 4,41,9 8, ,1 37, ,1 8,81 9,9 98, ,1 10,01 10,9 118, großes Dreieck: ² = c² b² = c² b² ² = 17 (6 + 9) = = 89 5 = 64 = 64 = 8 cm kleines Dreieck: x = = = 100 x = 100 = 10 cm

9 Übungen und Husufgben B Berechne im rechtwinkligen Dreieck jeweils die Länge der fehlenden Seite. ² = c² b² = c² b² b² = c² ² b= c² ² c² = ² + b² c= ² + b² c b 1. Gegeben = 15 cm b = 0 cm Gesucht: c =?. Gegeben = 4,5 cm b = 6 cm Gesucht: c =? 3. Gegeben = 9 cm c = 15 cm Gesucht: b =? 4. Gegeben = 48 cm c = 80 cm Gesucht: b =? 5. Gegeben b = 8 cm c = 8,9 cm Gesucht: =? 6. Eine Leiter von 8, m Länge wird so n eine Muer gestellt, dss sie unten 1,8 m bsteht. Wie hoch ist die Muer? Mche zuerst eine Skizze. 7. Ein Omnibus setzt eine Wndergruppe n einem Wldstück b, ds er uf zwei zueinnder rechtwinklig verlufenden Strßen umfhren muss. Der Bus muss zunächst 5,6 km uf der einen und dnn 3,3 km uf der nderen Strße fhren. Die Wnderer wählen den Weg, der digonl durch den Wld geht. Wie viele km ist der Weg des Busses länger ls der der Wndergruppe? Mche zunächst eine Skizze. 8. Wie weit muss mn eine 13 m lnge Leiter vor die Muer eines 1,60 m hohen Giebels stellen, wenn die Leiter bis zur Spitze des Giebels reichen soll? Mche eine Skizze. 9. Bestimme x. 6 cm 1 cm x =?

10 Lösungen B 1. c= ² + b² c = 15² + 0² = c = 65 c= 5 cm c = 4,5² + 6² = 0, c = 56,5 c= 7,5 cm b= c² ² b = 15² 9² b= 1 cm b = 80² 48² b= 64 cm = c² b² = 8,9² 8² = 3,9 cm b= c² ² b = 8, ² 1,8² b= 8 m c= ² + b² c = 5, 6² + 3,3² c = 6,5 km ( Wnderweg) Busweg = 8,9 km Unterschied = 8,9 km 6,5 km =,4 km Tbelle ² 1,8 3,4 3, 10,4 3,3 10,89 3,9 15,1 4,5 0,5 5,6 31, ,5 4,5 7,5 56, , 67,4 8,9 79, ,6 158, = 13² 1, 6² = 3, cm 9. Digonle d = = 30 cm x = 30² 18² = 4 cm

11 Übungen und Husufgben C 1. z y x x = 13 m z = 143 m y =?. Wie groß ist die Seite eines qudrtischen Flächenstückes mit dem Flächeninhlt 539m². A = 539 m² 3. Ein qudrtisches Stück Lnd ht die Größe,5 h (1 h = m²). Wie lng muss ein Zun sein, der dieses Lndstück eingrenzen soll? 4. Ein rechteckiges Rsenstück mit den Seitenlängen 50 m und 30 m wird gerne von unchtsmen Fußgängern digonl ls Abkürzung begngen. Wie viel Meter spren sie? 5. Wie lng muss eine Leiter sein, wenn sie bis zur oberen Knte einer 7m hohen Muer reichen und unten m bstehen soll? 6. Auf ein 10 m breites Hus soll ein 3,75 m hohes Dch gesetzt werden. Wie lng müssen die Dchsprren mindestens sein? Mche eine Skizze. 7. Zum Bu eines Drchens werden zwei Stäbe von e = 40 cm und f = 60 cm e Länge verwendet. Der Stb e teilt den Stb f im Verhältnis 1:. Wie lng muss ein Fden sein, der ds f Drchenkreuz umspnnt? x 8,5 m b c 3 m 4,5 m 8. Bestimme x. 9. Bestimme den Flächeninhlt des schräg liegenden Rechteckes für = 70 cm, b = 45 cm, c = 8 cm.

12 Lösungen C 1. y = z² x² y = 55 m Tbelle ². ² = 539 = 73 m 3 9 3,75 14, ² = 500 4,5 0,5 = 150 m U = 4 = 600 m 5 5 6,5 39,065 7,8 53 7,5 56,5 c= ² + b² 8,5 7,5 4. c= ,31 m Ersprnis 1,69 m 0,5 40, ,8 800 c= ² + b² c 7, 8 m 44, c= 5² + 3,75² = 6, 5 m c1 = 0² + 0² 8, 8 cm , c = 0² + 40² 44,7 cm U = c1+ c 146 cm h= 8,5² 7,5² = 4 m x= 4² + 3² = 5 m 9. x = b² + c² = 53cm A= x= 3710 cm² Weitere interessnte Aufgben: cm 40 m x =? 0,5 m 0,5 m x =? 8 cm Ergebnisse: x = 4,5 m x = 53 cm