Lösungsvorschlag zur Klausur zur Analysis III

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1 Prof. Dr. H. Garcke, D. Deper WS 9/ NWF I - Mathematik 8..9 Uiversität Regesburg Lösugsvorschlag zur Klausur zur Aalysis III 6 Pukte pro Aufgabe) Aufgabe i) Bestimme Sie für die Fuktioefolge f :, 4) R, f x) { x für x, für x <, N), eie Fuktio f :, 4) R, so dass f f puktweise fast überall ud zeige Sie mit Hilfe des Satzes über mootoe Kovergez, dass f Lebesgue-itegrierbar ist ud dass 4 lim f dl 4 f dl gilt. ii) Bestimme Sie für die Fuktioefolge g : R R, g x, y) e x +y ) sixy 3 ) ), N), eie Fuktio g : R R, so dass g g puktweise fast überall ud zeige Sie lim R g dl R g dl. Hiweis: Sie dürfe beutze, dass die Fuktio z e z, z R d, itegrierbar ist. Bew. Zu i): Zuächst ist f eie mooto wachsede Fuktioefolge, d.h. f x) f x) f 3 x)... für alle x, ). Außerdem ist für fest f itegrierbar, da f kostat ist auf, ) ud stetig ist auf, 4) mit stetiger Fortsetzug. Für das Itegral bereche wir 4 f x) dx dx + 4 x [ ] dx + x Weiter gilt mit f :, 4) R, fx) x die puktweise Kovergez f f i, 4), da zu jedem x, 4) ei N N existiert mit N < x ud daher da f x) x für alle N. Der Satz über mootoe Kovergez liefert schließlich die Behauptug. zu ii): Wege sixy 3 ) < für fast alle x, y) R gilt zuächst die puktweise Kovergez Außerdem gilt die Abschätzug g puktweise fast überall i R. g e x +y ) e x,y), ud da ach Vorlesug e z itegrierbar ist über R d mit R e d z π d ), habe wir eie kovergete Majorate gefude. Der Kovergezsatz vo Lebesgue liefert schließlich lim g dl d lim g dl d. R d Aufgabe Bereche Sie das Itegral D x xy + y ) dx, y) über R d D {x, y) R x + y 9, x, y }.

2 Hiweis: Verwede Sie Polarkoordiate. Beh.: D x xy + y ) dx, y) π + ). Bew.: Wir führe Polarkoordiate ei Φ :, ), π), Φr, ϑ) ) r cos ϑ r si ϑ Φ ist ei C -Diffeomorphismus auf sei Bild R \N, wobei N {x, ) x }) mit ) cos ϑ r si ϑ det DΦr, ϑ) det r cos ϑ + r si ϑ r. si ϑ r cos ϑ Wir schräke Φ ei ud erhalte Φ :, 3) π, π) D ist ei C -Diffeomorphismus. Mit fx, y) x xy + y erhalte wir schließlich aus der Trasformatiosformel f dx, y) f dx, y) fφr, ϑ)) det DΦr, ϑ) dr, ϑ) D D,3) π,π) r cos ϑ r cos ϑ r si ϑ + r si ϑ ) r dr, ϑ),3) π,π) r 3 cos ϑ si ϑ) dr, ϑ),3) π,π) Fubii 3 r 3 dr π π cos ϑ si ϑ) dϑ [ ] 3 [ ] ) π π 4 r4 si ϑ π π 8 ) 4 + ) π + ).. Aufgabe 3 Für welche a, b R ist die Fuktio u : R R, ux, y) ax + by Realteil eier holomorphe Fuktio f : C C? Gebe Sie für diese a, b alle holomorphe Fuktioe f : C C mit Ref u a. Beh.: Es muss a b sei ud i diesem Fall gilt fz) az + ic für c R beliebig. Bew.: So eie holomorphe Fuktio fz) fx + iy) ux, y) + ivx, y) gibt es geau da, we die Cauchy-Riema-Differetialgleichuge x v ud v x gelte. Hier ist x ax ud by, also muss gelte v Aus der erste Gleichug folger wir ax ud v x by. vx, y) axy + cx)

3 für eie Fuktio cx) ud daraus erhalte wir v x ay + c x) ud somit die Bedigug ay + c x) by. Da dies für alle y R gelte muss isbesodere für y ud y ), folgt c x) ud a b. Wir schließe daraus cx) c für eie Kostate c R. f lautet somit oder ur i komplexe Variable fx + iy) ax ay ) + iaxy + ic ax + iy) + ic fz) az + ic. Aufgabe 4 Bereche Sie die beide Itegrale Beh.: i) i) x + )x dx ud ii) + 4) x +)x +4) dx π 6 ud ii) π +cos t dt π 3. π + cos t dt. Bew.: zu i): Setze Rz) P z) Qz) mit P z) ud Qz) z + )z + 4). Da gilt Qz) z i)z + i)z i)z + i). Da Q somit keie Nullstelle auf der reelle Achse hat ud da der Grad vo Q um vier größer ist als der Grad vo P, existiert das Itegral. Da der Neer Q lauter eifache Nullstelle besitzt, hat R eifache Pole bei z ±i ud z ±i. Wir beötige die Polstelle i der obere Halbebee ud bereche die Residue davo. Res i Rz) P i) Q i) z + i)z i)z + i)) zi i i) 3i 6 i ud Res i Rz) P i) Q i) z i)z + i)z + i)) zi i 3i 4i i. Nu etweder mit der Formel Rx) dx πi Ima> Res a Rz) πires i Rz) + Res i Rz)) πi 6 i + ) i π 6, wobei a die isolierte Sigularitäte vo R bezeichet, oder ausführlicher: Betrachte geschlossee Kurve, die aus der Strecke [ r, r] ud aus dem Halbkreis r um Null mit Radius r > vo r bis r besteht. Nach dem Residuesatz ist da Rz) dz + Rz) dz πires i Rz) + Res i Rz)). r [ r,r] Wege Rz) C z 4 für große z folgt Rz) dz πir Cr 4 r für r

4 ud da die Existez des Itegrals aus der Behauptug scho gesichert ist, gilt Rz) dz Rx) dx. Ma erhält also wie obe lim r [ r,r] zu ii): Zuächst gilt aus Symmetriegrüde: Rx) dx πires i Rz) + Res i Rz)) π 6. π + cos t dt π + cos t dt. Da + cos t > für alle t, sid die folgede Rechuge alle erlaubt. Mit cos t e it + e it) ud t) e it bereche wir π + cos t dt π i i + eit + e it ) dt + z + z ) ) iz dz ) z + z + z z dz z dz } + {{ 4z + } hz) iπi Res a hz). a < Eie Neberechug liefert für die Nullstelle des Neers vo h z + 4z + z ± 3. Wir sehe z 3 B ) ud bereche für das Residuum Res z hz) z + 4) zz Als Ergebis erhalte wir schließlich π dt π + cos t 3 π. 3

5 Name: Frage: jeweils mit Begrüdug beatworte, zusätzliche Blätter sid erlaubt. Pukte pro Frage).) Seie f, g : R R stetig mit f g fast überall i R. Zeige Sie, dass da scho f g folgt. Hiweis: Argumetiere Sie mit Widerspruch. Ageomme es existiert ei x R mit fx ) gx ) Wege der Stetigkeit vo f ud g existiert da ei ε > so dass fx) gx) für alle x I ε : x ε, x + ε). Da aber I ε positives Maß hat, ist dies ei Widerspruch zu f g fast überall i R..) Zeige Sie, dass A : {x, y) [, ] xy } R eie L -Nullmege ist. Wir zerlege A i zwei degeerierte Quader A {x, ) x } ud A {, y) y }. Für Quader Q i R gilt ach Defiitio L Q) Läge Breite, also L A ) L A ). Als Vereiigug der Nullmege A ud A ist da A auch eie Nullmege. 3.) Für eie beliebige Fuktio f : R d R ud messbare Fuktioe f : R d R, N, gelte f f puktweise fast überall für. Ist da i) f messbar ud ii) f itegrierbar? i) f ist messbar als puktweiser Grezwert vo messbare Fuktioe. ii) f muss icht itegrierbar sei. Betrachte zum Beispiel f χ B). Da ist f eie Treppefuktio ud isbesodere messbar mit f, aber ist icht über R d itegrierbar. 4.) Zeige Sie für Ω R d offe, beschräkt mit C -Rad die Formel d L d Ω) Ω x νx) dhd, wobei ν die äußere Eiheitsormale a Ω bezeichet. Wir wede de Satz vo Gauß auf die Idetität fx) x a, für die gilt: divfx) d. Somit d L d Ω) divf dl d fx) νx) dh d x νx) dh d. Ω Ω 5.) Sei f : C C holomorph mit f ) ) für alle N. Bestimme Sie für R > de Wert des Kurveitegrals πi z R fz) z dz. Nach der Cauchyitegralformel ist das gesuchte Itegral gleich f). Da außerdem eie auf gaz C holomorphe Fuktio aalytisch ist auf gaz C, läßt sie sich um jede Pukt i ihre Taylorreihe etwickel. Also gilt mit der Etwicklug um f)! f ) ) ) ud das gesuchte Itegral ist gleich e.!! Ω )!! e 6.) { Für welche um eie Umgebug vo holomorphe Fuktioe hz) ist die Fuktio fz) hz) si z ) für z, selbst wieder holomorph i dieser Umgebug? für z Falls f i eier Umgebug U vo holomorph wäre, so würde eie gege Null kovergeze Folge vo Nullstelle vo f i U liege, ämlich z k kπ für k geüged groß. Nach Idetitätssatz müßte da f sei, was schließlich h impliziert. 7.) Gebe Sie eie biholomorphe Abbildug a, die de Sektor S π {z C z reiϕ, r >, < ϕ < π } auf de Eiheitskreis E {z C z < } abbildet. Hier ist keie Begrüdug ötig. Die gesuchte Abbildug erhalte wir aus der Verküpfug eier biholomorphe Abbildug Φ : S π H, z z i die obere Halbebee ud der Möbiustrasformatio vo H ach E durch w ) w i w+i.