Aktuelle Themen aus der Stochastik Wintersemester 2017/2018 Abschnitt 3: Metrische und polnische Räume

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1 Aktuelle Themen aus der Stochastik Wintersemester 2017/2018 Abschnitt 3: Metrische und polnische Räume Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff TU Bergakademie Freiberg Institut für Stochastik Oktober/November 2017 Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff Aktuelle Themen Stochastik Winter 2017/2018 Version: 15. November

2 3. Metrische und polnische Räume 3.1. Def. Geg. Menge X. Die Abbildung ρ : X X [0, ) heißt Metrik, Distanzfunktion oder Abstand(-funktion) (auf X), falls gilt (i) ρ(x, y) = 0 x = y ; (ii) ρ(x, y) = ρ(y, x), x, y X ; (iii) ρ(x, z) ρ(x, y) + ρ(y, z), x, y, z X (Dreiecksungleichung). (X, ρ) heißt dann metrischer Raum. Wird in Eigenschaft (i) nur die Bedingung ρ(x, x) = 0, x X, gefordert, nennt man ρ eine Halbmetrik (oder Pseudometrik) und (X, ρ) einen halbmetrischen (oder pseudometrischen) Raum. Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff Aktuelle Themen Stochastik Winter 2017/2018 Version: 15. November

3 Beispiele für Metriken 3.2. Bsp. (i) X = R, ρ(x, y) = x y. (ii) X = R n (n N) mit x = (x 1,..., x n ) T, y = (y 1,..., y n ) T : ρ 2 (x, y) = n x k y k 2 k=1 oder allgemeiner für p [1, ) ( n ) 1/p ρ p (x, y) = x k y k p oder k=1 ρ (x, y) = max{ x k y k ; k = 1,..., n}. { 0, x = y ; (iii) X beliebig, ρ(x, y) = 1, x y. Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff Aktuelle Themen Stochastik Winter 2017/2018 Version: 15. November

4 Fortsetzung Beispiele für Metriken (iv) X = C([0, 1]) Menge aller stetigen reellen Funktionen auf [0, 1], ρ(x, y) = max{ x t y t ; t [0, 1]}. (v) X Menge aller Verteilungsfunktionen auf R, ρ(f, G) = sup{ F (x) G(x) ; x R}. (vi) X = C L 2([0, 1]) Menge aller stetigen reellen Funktionen auf [0, 1], 1 ρ(x, y) = 0 x t y t 2 dt. (vii) X = L 0 (Ω, A, P), die Menge aller Äquivalenzklassen von Zufallsgrößen auf einem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, A, P), [ ] ξ η ρ(ξ, η) = E. 1 + ξ η (Diese Metrik erzeugt die stochastische Konvergenz von Zufallsgrößen auf dem Wahrscheinlichkeitsraum.) Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff Aktuelle Themen Stochastik Winter 2017/2018 Version: 15. November

5 Übungsaufgabe 3.3. Übungsaufgabe (Äquivalente Definition) Geg. Menge X, ρ : X X R. ρ ist genau dann eine Metrik auf X, falls gilt (i) ρ(x, y) = 0 x = y ; (iii ) ρ(x, z) ρ(x, y) + ρ(z, y), x, y, z X. (D.h. die Funktionswerte sind nichtnegativ und die Symmetrieeigenschaft (ii) in Def. 3.1 ist erfüllt.) Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff Aktuelle Themen Stochastik Winter 2017/2018 Version: 15. November

6 Metriken aus Metriken 3.4. Beh. Geg. Menge X, ρ : X X [0, ) Metrik auf X. (i) Ist f : [0, ) [0, ) stetig und auf (0, ) zweimal stetig differenzierbar mit f (0) = 0, f (s) > 0 und f (s) < 0, s (0, ), dann ist auch d(x, y) := f (ρ(x, y)) eine Metrik auf X. ρ(x, y) (ii) Insbesondere ist d(x, y) =, x, y X, eine Metrik auf 1 + ρ(x, y) X, sie besitzt die Eigenschaft d(x, y) < 1 für alle x, y X. (iii) Sind a j > 0 sowie ρ j für j = 1,..., N N bzw. j N Metriken auf X, so sind auch N ρ := a j ρ j bzw. ρ := 2 j ρ j 1 + ρ j Metriken auf X. j=1 Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff Aktuelle Themen Stochastik Winter 2017/2018 Version: 15. November j=1

7 Einige Begriffe 3.5. Def. Geg. metrischer Raum (X, ρ), A X, B X. (i) Abstand der Teilmengen A, B : ρ(a, B) := inf{ρ(a, b) : a A, b B}. (ii) Abstand des Punktes x X zur Menge A : ρ(a, x) = ρ(x, A) := inf{ρ(x, a) : a A} = ρ({x}, A). (iii) Durchmesser (Diameter) der Menge A : diam(a) := sup{ρ(a 1, a 2 ) : a 1, a 2 A}. (iv) Der metrische Raum (X, ρ) heißt beschränkt, falls diam(x) <, die Menge A heißt beschränkt, falls diam(a) <. (v) K r (a) := {x X : ρ(a, x) < r} ist die offene Kugel mit Mittelpunkt a X und Radius r > 0. (vi) K r (a) := {x X : ρ(a, x) r} ist die abgeschlossene Kugel mit Mittelpunkt a X und Radius r > 0. Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff Aktuelle Themen Stochastik Winter 2017/2018 Version: 15. November

8 Einige Ungleichungen 3.6. Beh. Geg. metrischer Raum (X, ρ), A X, x, y, z, x 1,..., x n, y 1, y 2 X. (i) Verallgemeinerte Dreiecksungleichung : ρ(x, y) ρ(x, x 1 ) + ρ(x 1, x 2 ) ρ(x n, y). (ii) ρ(x 1, y 1 ) ρ(x 2, y 2 ) ρ(x 1, x 2 ) + ρ(y 1, y 2 ). (iii) ρ(x, z) ρ(y, z) ρ(x, y). (iv) ρ(x, A) ρ(y, A) ρ(x, y). Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff Aktuelle Themen Stochastik Winter 2017/2018 Version: 15. November

9 Konvergenz von Punktfolgen 3.7. Def. und Beh. Geg. metrischer Raum (X, ρ), Punkte x n X, n N, x X. (i) Die Punktfolge (x n ) n N konvergiert gegen den Grenzpunkt x, falls lim ρ(x n, x) = 0, Bez. x n x (n ), lim x n = x. n n Die Punktfolge heißt dann konvergent. (ii) Konvergiert eine Punktfolge gegen einen Grenzpunkt, dann ist dieser eindeutig bestimmt. (iii) Die Punktfolge (x n ) n N heißt Cauchyfolge oder Fundamentalfolge, falls ε > 0 N N n, m N, n, m N : ρ(x n, x m ) < ε. Dies wird auch durch lim ρ(x n, x m ) = 0 ausgedrückt. Jede m,n konvergente Folge ist eine Cauchyfolge. (iv) Der metrische Raum (X, ρ) heißt vollständig, falls jede Cauchyfolge in (X, ρ) gegen einen Grenzpunkt konvergiert. Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff Aktuelle Themen Stochastik Winter 2017/2018 Version: 15. November

10 Charakterisierung metrischer Konvergenz 3.8. Beh. Geg. metrischer Raum (X, ρ), Punkte x X, x n X, y mn X, m, n N. (i) Die Punktfolge (x n ) n N konvergiert genau dann gegen den Grenzpunkt x, falls jede Teilfolge (x nk ) k N (d.h. n k N, n k < n l für k < l, k, l N) gegen den Grenzpunkt x konvergiert. (ii) Eine weitere äquivalente Bedingung zu lim x n = x besteht darin, n dass aus jeder Teilfolge von (x n ) n N eine gegen x konvergente Unterteilfolge ausgewählt werden kann. (iii) Gelten n N lim y mn = x n und lim x n = x, m n dann gibt es eine Folge (m n ) n N von natürlichen Zahlen, so dass auch gilt lim y m n nn = x. Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff Aktuelle Themen Stochastik Winter 2017/2018 Version: 15. November

11 Bemerkungen 3.9. Bem. (i) Die Aussage (ii) in 3.8. zeigt, dass sich im Allgemeinen die fast sichere Konvergenz einer Folge von (Äquivalenzklassen von) Zufallsgrößen nicht durch eine Metrik beschreiben lässt: Eine äquivalente Bedingung zur stochastischen Konvergenz einer Folge von Zufallsgrößen besteht darin, dass sich aus jeder Teilfolge eine fast sicher konvergente Unterteilfolge (mit f.s. übereinstimmenden Grenzwerten) auswählen lässt. Würde die fast sichere Konvergenz durch eine Metrik erzeugt wäre dies auch äquivalent zur fast sicheren Konvergenz der Ausgangsfolge, diese ist aber im Allg. nicht äquivalent zur stochastischen Konvergenz. (ii) Die Bedingung (iii) der vorigen Behauptung kann zum Beispiel in manchen Fällen genutzt werden um zu zeigen, dass eine durch eine Topologie gegebene Konvergenz nicht durch eine Metrik erzeugt werden kann (siehe später). (Die fast sichere Konvergenz kann im Allgemeinen auch nicht durch eine Topologie erzeugt werden.) Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff Aktuelle Themen Stochastik Winter 2017/2018 Version: 15. November

12 Punkteigenschaften bezüglich einer Teilmenge Def. Geg. metrischer Raum (X, ρ), Punkt x X, Teilmenge A X. (i) x ist ein innerer Punkt der Menge A, falls ε > 0 : K ε (x) A. (ii) x ist ein äußerer Punkt zur Menge A, falls x ein innerer Punkt von A c = X \ A ist. (iii) x ist ein Randpunkt von A, falls x weder ein innerer noch äußerer Punkt von A ist, d.h. ε > 0 y, z K ε (x) : y A, z A c. (iv) x ist ein Berührungspunkt von A, falls ε > 0 : K ε (x) A. (v) x ist ein Häufungspunkt von A, falls ε > 0 : y K ε (x) A, y x. Äquivalent dazu ist die Bedingung, dass eine Punktfolge (x n ) n N mit Punkten x n A \ {x}, n N, existiert, die gegen den Grenzpunkt x konvergiert. (vi) x ist ein isolierter Punkt der Menge A, falls ε > 0 : K ε (x) A = {x}. Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff Aktuelle Themen Stochastik Winter 2017/2018 Version: 15. November

13 Offene und abgeschlossene Mengen Def. Geg. metrischer Raum (X, ρ), Teilmenge A X. (i) Die Teilmenge A heißt offen, falls gilt x A : x ist ein innerer Punkt von A. (ii) Die Teilmenge A heißt abgeschlossen, falls gilt x ist ein Häufungspunkt von A x A. Bem. und X sind sowohl offen als auch abgeschlossen. Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff Aktuelle Themen Stochastik Winter 2017/2018 Version: 15. November

14 Zusammenhang offene und abgeschlossene Mengen Beh. Geg. metrischer Raum (X, ρ), Teilmenge A X. (i) A ist offen A c = X \ A ist abgeschlossen. (ii) Für das System der offenen Mengen G gilt: (i) G, X G. (ii) Die Vereinigung eines beliebigen Systems offener Mengen ist eine offene Menge. (iii) Der Durchschnitt eines endlichen Systems von offenen Mengen ist eine offene Menge. (iii) Für das System der abgeschlossenen Mengen F gilt: (i) F, X F. (ii) Der Durchschnitt eines beliebigen Systems abgeschlossener Mengen ist eine abgeschlossene Menge. (iii) Die Vereinigung eines endlichen Systems von abgeschlossenen Mengen ist eine abgeschlossene Menge. (iv) Die Teilmengen von (X, ρ), die gleichzeitig offen und abgeschlossen sind, bilden eine Algebra über X. Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff Aktuelle Themen Stochastik Winter 2017/2018 Version: 15. November

15 Beispiele für offene und abgeschlossene Mengen Beispiele { 0, x = y ; (i) X beliebig, ρ(x, y) = 1, x y ; (diskreter metrischer Raum). Jede Teilmenge von X ist sowohl offen als auch abgeschlossen. (ii) X = R, ρ(x, y) = x y. Offene Teilmengen sind zum Beispiel (a, b), (, b), (a, ) mit < a < b <. Abgeschlossene Teilmengen sind zum Beispiel [a, b], (, b], [a, ) mit < a b <. Die Menge [a, b) mit < a < b < ist weder abgeschlossen noch offen. Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff Aktuelle Themen Stochastik Winter 2017/2018 Version: 15. November

16 Inneres und Äußeres einer Menge Def. Geg. metrischer Raum (X, ρ), Teilmenge A X. (i) Die Menge Å = A = Int(A) aller inneren Punkte der Menge A heißt innerer Kern oder Inneres der Menge A. (ii) Die Menge Ext(A) aller äußeren Punkte der Menge A heißt Äußeres der Menge A Beh. Geg. metrischer Raum (X, ρ), Teilmenge A X. (i) Å ist die größte in A enthaltene offene Menge (die Vereinigung aller offenen Mengen, die in A enthalten sind). (ii) A ist offen A = Å. (iii) Es gelten Ext(A) = Int(X \ A) und Int(A) = Ext(X \ A). Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff Aktuelle Themen Stochastik Winter 2017/2018 Version: 15. November

17 Abschluss einer Menge Def. Geg. metrischer Raum (X, ρ), Teilmenge A X. Die Menge A = A aller Berührungspunkte der Menge A heißt abgeschlossene Hülle oder Abschluss bzw. Abschließung der Menge A Beh. Geg. metrischer Raum (X, ρ), Teilmenge A X. (i) A ist die kleinste A enthaltende abgeschlossene Menge (der Durchschnitt aller abgeschlossenen Mengen, die A enthalten). (ii) A ist abgeschlossen A = A. (iii) A ist abgeschlossen ( x X : ρ(x, A) = 0 x A). (iv) Es gelten Ext(A) = X \ A und Int(A) = X \ (X \ A). Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff Aktuelle Themen Stochastik Winter 2017/2018 Version: 15. November

18 Rand einer Menge Def. Geg. metrischer Raum (X, ρ), Teilmenge A X. Die Menge A = Fr(A) aller Randpunkte der Menge A heißt Rand von A Beh. Geg. metrischer Raum (X, ρ), Teilmenge A X. (i) A ist abgeschlossen. (ii) X = Å A (X \ A) = Int(A) Fr(A) Ext(A). (iii) A = A (X \ A). (iv) A = (X \ A). Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff Aktuelle Themen Stochastik Winter 2017/2018 Version: 15. November

19 Dichtheit Def. Geg. metrischer Raum (X, ρ), Teilmengen A, B X. (i) A heißt dicht in B, falls B A, d.h. jeder Punkt von B ist ein Berührungspunkt von A. (ii) A heißt überall dicht, falls A dicht in X ist, d.h. A = X. (iii) Der metrische Raum (X, ρ) heißt separabel, falls in X eine höchstens abzählbare überall dichte Menge existiert. (iv) A heißt nirgends dicht, wenn A in keiner offenen Kugel dicht ist, d.h. in jeder offenen Kugel in X existiert eine andere offene Kugel, die ganz in X \ A liegt. Äquivalent dazu ist die Eigenschaft, dass der Abschluss von A keinen inneren Punkt enthält. (v) A heißt eine Menge erster Kategorie, falls A als Vereinigung von höchstens abzählbar vielen nirgends dichten Mengen darstellbar ist. Andere Mengen werden als Mengen zweiter Kategorie bezeichnet. Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff Aktuelle Themen Stochastik Winter 2017/2018 Version: 15. November

20 Satz von Baire Satz (von Baire) Ein vollständiger metrischer Raum kann nicht von erster Kategorie sein. Eine äquivalente Aussage ist: Seien (X, ρ) ein vollständiger metrischer Raum und A i, i N, abgeschlossene Teilmengen von X, so dass i N A i ein offene Kugel enthält. Dann gibt es ein i N, so dass A i eine offene Kugel enthält Beh. (Verallgemeinerung der Intervallschachtelung) Geg. vollständiger metrischer Raum (X, ρ), Folge A i = K ri (x i ) abgeschlossener Kugeln mit lim r i = 0 und A i+1 A i, i N. i Dann gibt es genau ein x X mit A i = {x}. i N Beh. Geg. metrischer Raum (X, ρ). Die Mengen erster Kategorie in (X, ρ) bilden ein σ Ideal. Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff Aktuelle Themen Stochastik Winter 2017/2018 Version: 15. November

21 Teilräume Def. Geg. metrischer Raum (X, ρ), Teilmenge Y X. (Y, ρ Y Y ) heißt Teilraum des metrischen Raumes (X, ρ) Beh. Geg. metrischer Raum (X, ρ), Teilraum (Y, ρ Y Y ). (i) A Y offen in Y A 1 offen in X mit A = A 1 Y. (ii) A Y abgeschlossen in Y A 1 A = A 1 Y. (iii) (X, ρ) ist separabel (Y, ρ Y Y ) ist separabel. abgeschlossen in X mit (iv) Ist (Y, ρ Y Y ) vollständig, dann ist Y abgeschlossen in (X, ρ). (v) In einem vollständigen metrischen Raum (X, ρ) ist jede abgeschlossene Menge ein vollständiger Teilraum. Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff Aktuelle Themen Stochastik Winter 2017/2018 Version: 15. November

22 G δ und F σ Mengen Def. Geg. metrischer Raum (X, ρ), Teilmenge A X. (i) A wird eine G δ Menge genannt, falls offene Mengen G n, n N, in (X, ρ) existieren, so dass A = n N G n gilt. Das System aller G δ Mengen wird mit G δ bezeichnet. (ii) A wird eine F σ Menge genannt, falls abgeschlossene Mengen F n, n N, in (X, ρ) existieren, so dass A = n N F n gilt. Das System aller F σ Mengen wird mit F σ bezeichnet. Bem. Es können weitere Klassen gebildet werden: G δσ, G δσδ,... ; F σδ, G σδσ,.... Dabei gelten G δδ = G δ und analoge Beziehungen. Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff Aktuelle Themen Stochastik Winter 2017/2018 Version: 15. November

23 Abgeschlossene und offene Mengen als G δ und F σ Mengen Beh. Geg. metrischer Raum (X, ρ), Teilmenge A X. (i) A abgeschlossen A G δ. (ii) A offen A F σ. Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff Aktuelle Themen Stochastik Winter 2017/2018 Version: 15. November

24 Kompaktheit Def. Geg. metrischer Raum (X, ρ), Teilmenge A X. (i) A heißt kompakt, wenn jede offene Überdeckung von A eine endliche Teilüberdeckung enthält. (ii) A heißt relativ kompakt, wenn A kompakt ist. (iii) A heißt total beschränkt oder präkompakt, wenn für beliebige ε > 0 ein endliches ε Netz für A in X existiert, d.h. n ε > 0 n N, x 1,..., x n X : A K ε (x i ), bzw. a A i {1,..., n} : ρ(a, x i ) < ε. i=1 Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff Aktuelle Themen Stochastik Winter 2017/2018 Version: 15. November

25 Eigenschaften kompakter Teilmengen Beh. Geg. metrischer Raum (X, ρ), Teilmenge A X. (i) A ist kompakt jede Folge (a n ) n N mit Elementen aus A enthält eine Teilfolge, die gegen einen Grenzpunkt in A konvergiert. (ii) A ist relativ kompakt jede Folge (a n ) n N mit Elementen aus A enthält eine Teilfolge, die gegen einen Grenzpunkt in X konvergiert. (iii) A ist kompakt A ist abgeschlossen. (iv) Jede abgeschlossene Teilmenge einer kompakten Menge ist kompakt. (v) Ein kompakter metrischer Raum ist separabel. (vi) Die Vereinigung endlich vieler und der Durchschnitt beliebig vieler kompakter Teilmengen von (X, ρ) ist kompakt. (vii) A ist relativ kompakt A ist total beschränkt und A ist vollständig. Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff Aktuelle Themen Stochastik Winter 2017/2018 Version: 15. November

26 Kompaktheitsbedingungen Satz (Hausdorff) Geg. metrischer Raum (X, ρ), Teilmenge A X. A ist relativ kompakt A ist total beschränkt. Ist X vollständig, ist diese Bedingung auch hinreichend Satz Eine Menge A R n (n N) ist genau dann relativ kompakt, wenn sie beschränkt ist. Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff Aktuelle Themen Stochastik Winter 2017/2018 Version: 15. November

27 Satz von Arzela-Ascoli Satz (Arzela-Ascoli) Eine Menge A stetiger Funktionen auf dem endlichen Intervall [a, b] ist genau dann relativ kompakt im Raum C([a, b]), wenn (i) die Funktionen aus A gleichmäßig beschränkt sind, d.h. K > 0 x A t [a, b] : x t K. (ii) die Funktionen aus A gleichgradig stetig sind, d.h. ε > 0 δ > 0 x A, s, t [a, b] mit s t < δ : x s x t ε. Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff Aktuelle Themen Stochastik Winter 2017/2018 Version: 15. November

28 Stetige und homöomorphe Abbildungen Def. Geg. metrische Räume (X 1, ρ 1 ), (X 2, ρ 2 ), Abbildung f : X 1 X 2. (i) Die Abbildung f heißt stetig, falls das volle Urbild jeder offenen Menge in X 2 eine offene Menge in X 1 ist. (ii) Die Abbildung f heißt Homöomorphismus, falls (a) f eineindeutig (d.h. injektiv) ist; (b) f stetig ist; (c) die Umkehrabbildung f 1 stetig auf dem Bild f (X 1 ) ist. Man sagt auch, dass in diesem Fall X 1 durch f homöomorph in X 2 eingebettet wird. (iii) Die metrischen Räume (X 1, ρ 1 ) und (X 2, ρ 2 ) heißen homöomorph, falls es einen surjektiven Homöomorphismus f : X 1 X 2 gibt. Bem. Häufig wird in der Literatur von einem Homöomorphismus auch gefordert, dass er surjektiv ist. Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff Aktuelle Themen Stochastik Winter 2017/2018 Version: 15. November

29 Eigenschaften von Homöomorphismen Beh. Geg. homöomorphe metrische Räume (X, ρ X ), (Y, ρ Y ) mit Homöomorphismus f : X Y. (i) Eine Punktfolge (x n ) n N in X ist genau dann eine gegen den Grenzpunkt x X konvergierende Folge, wenn die Folge der Bildpunkte (y n := f (x n )) n N eine gegen den Grenzpunkt y = f (x) Y konvergierende Folge ist. (ii) Durch f wird die Menge der offenen Teilmengen von X 1 bijektiv auf die Menge der offenen Teilmengen von X 2 abgebildet. Bem. Oft können homöomorphe metrische Räume identifiziert werden. Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff Aktuelle Themen Stochastik Winter 2017/2018 Version: 15. November

30 Beispiele Bsp. ( (i) X = R, Y = π 2, π ), jeweils mit euklidischer Metrik. Dann ist 2 ( f : R x y := arctan(x) π 2, π ) ein surjektiver 2 ( π Homöomorphismus, aber R ist vollständig und 2, π ) nicht. 2 (ii) Auf der Menge R werden die Metriken ρ 1 (x, y) := x y, x y ρ 2 (x, y) = 1 + x y, ρ 3(x, y) := min{1, x y } und ρ 4 (x, y) := 2 π arctan(x) 2 π arctan(y) betrachtet, dann ist die identische Abbildung f : x x ein surjektiver Homöomorphismus zwischen (R, ρ 1 ) und (R, ρ 2 ) bzw. (R, ρ 3 ), aber nicht zwischen (R, ρ 1 ) und (R, ρ 4 ). Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff Aktuelle Themen Stochastik Winter 2017/2018 Version: 15. November

31 Isometrie Def. Geg. metrische Räume (X 1, ρ 1 ), (X 2, ρ 2 ), Abbildung f : X 1 X 2. (i) Die Abbildung f heißt Isometrie, falls gilt x 1, x 2 X 1 : ρ 2 (f (x 1 ), f (x 2 )) = ρ 1 (x 1, x 2 ). (ii) Die beiden metrischen Räume (X 1, ρ 1 ) und (X 2, ρ 2 ) heißen isometrisch, falls es eine surjektiven Isometrie f : X 1 X 2 gibt. Bem. Eine Isometrie zwischen metrischen Räumen ist immer eine eineindeutige (injektive) Abbildung und ein Homöomorphismus. Zwei isometrische metrische Räume sind auch homöomorph. Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff Aktuelle Themen Stochastik Winter 2017/2018 Version: 15. November

32 Topologische Räume Def. Geg. Menge X, Mengensystem G P(X) mit (i) G, X G ; (ii) γ Γ : G γ G γ Γ G γ G ; (iii) G 1,..., G n G, n N n G k G. k=1 Dann heißt G Topologie auf X und (X, G) heißt topologischer Raum. Die Mengen aus G werden offene Mengen und deren Komplementmengen abgeschlossene Mengen genannt. Der topologische Raum (X, G) heißt Hausdorff-Raum, falls es für beliebige Punkte x 1 x 2 aus X offene Mengen G 1 und G 2 existieren mit x 1 G 1, x 2 G 2, G 1 G 2 =. Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff Aktuelle Themen Stochastik Winter 2017/2018 Version: 15. November

33 Beispiele topologischer Räume Beispiele (i) Geg. Menge X, ρ Metrik auf X, G System der offenen Mengen im metrischen Raum (X, ρ). Dann ist (X, G) ein Hausdorffscher topologischer Raum. (ii) Geg. X = C([0, 1]). Eine Menge G X sei offen, falls für jede Funktion x G ein ε > 0 und endliche viele reelle Zahlen 0 t 1 <... < t n 1 existieren, so dass alle Funktionen y mit y tk x tk < ε, k = 1,..., n, auch in G liegen. Dann ist (X, G) ein Hausdorffscher topologischer Raum und die Konvergenz in diesem Raum ist die punktweise Konvergenz. (iii) Geg. Menge X, G = P(X) Potenzmenge von X. Dann ist (X, G) ein Hausdorffscher topologischer Raum, dieser wird diskreter topologischer Raum genannt bzw. G = P(X) diskrete Topologie. Mit G 1 := {, X} wird (X, G 1 ) zum antidiskreten topologischen Raum. Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff Aktuelle Themen Stochastik Winter 2017/2018 Version: 15. November

34 Metrisierbare topologische Räume Def. Ein topologischer Raum (X, G) heißt metrisierbar, wenn es auf X eine Metrik ρ gibt, so dass die Mengen aus G genau die offenen Mengen des metrischen Raumes (X, ρ) sind. Die Metrik ρ heißt in diesem Fall verträglich mit der Topologie G. Man sagt auch, dass die Topologie G durch die Metrik ρ erzeugt werden kann. Bem. Viele der Begriffe aus der Theorie der metrischen Räume und entsprechende Aussagen (z.b. Teilraum, Inneres einer Menge, Abschluss, Stetigkeit von Abbildungen, homöomorphe Räume, etc.) können (oft wortwörtlich) auf allgemeine Hausdorffsche topologische Räume übertragen werden (aber nicht alle!). Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff Aktuelle Themen Stochastik Winter 2017/2018 Version: 15. November

35 Polnische Räume Def. Ein topologischer Raum (X, G) heißt polnischer Raum, wenn seine Topologie durch eine Metrik ρ erzeugt werden kann, so dass (X, ρ) ein vollständiger separabler metrischer Raum ist. Bem. (i) Die Topologie G kann auch schon durch eine andere Metrik ρ 1 erzeugt worden sein. Dabei braucht der metrische Raum (X, ρ 1 ) nicht unbedingt vollständig sein. (ii) Ein topologischer Raum (X, G) heißt topologisch vollständig, wenn seine Topologie durch eine Metrik ρ erzeugt werden kann, so dass (X, ρ) ein vollständiger metrischer Raum ist. Damit ist ein polnischer Raum ein separabler topologisch vollständiger Raum. Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff Aktuelle Themen Stochastik Winter 2017/2018 Version: 15. November

36 Äquivalente Bedingung, erste Beispiele Beh. Ein topologischer Raum (X, G) ist genau dann ein polnischer Raum, wenn (X, G) homöomorph zu einem vollständigen separablen metrischen Raum ist Beispiele (i) R d (d N) ist mit der durch die euklidische Metrik erzeugte Topologie ein polnischer Raum. (ii) Jeder separable Banach- oder Hilbert-Raum ist mit der durch die Norm erzeugten Topologie ein polnischer Raum. Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff Aktuelle Themen Stochastik Winter 2017/2018 Version: 15. November

37 Produkträume Beh. Das kartesische Produkt von endlich vielen oder abzählbar unendlich vielen polnischen Räumen ist ein polnischer Raum. Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff Aktuelle Themen Stochastik Winter 2017/2018 Version: 15. November

38 Teilräume Beh. Geg. (X, G) polnischer Raum, ( X 1 X, G X 1 ) Teilraum. (i) X 1 ist abgeschlossen (X 1, G X 1 ) ist ein polnischer Raum. (ii) X 1 ist offen (X 1, G X 1 ) ist ein polnischer Raum. (iii) (Aleksandrow [Alexandrov, Alexandroff]) (X 1, G X 1 ) ist ein polnischer Raum X 1 ist eine G δ Menge in (X, G). Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff Aktuelle Themen Stochastik Winter 2017/2018 Version: 15. November

39 Beispiele Beispiele (i) Die Mengen der Folgen von natürlichen Zahlen N N mit der Produkttopologie (in den Faktoren N wird die diskrete Topologie betrachtet, erzeugt z.b. durch die Metrik ρ(n 1, n 2 ) = δ n1 n 2, n 1, n 2 N, ist ein polnischer Raum. (ii) Die Menge der Folgen von Nullen und Einsen {0, 1} N, wieder ausgestattet mit der Produkttopologie und mit der diskreten Topologie der einzelnen Faktoren, ist ein polnischer Raum. Dieser Raum ist homöomorph zur Kantorschen Menge. (iii) Die Menge J der irrationalen Zahlen, aufgefasst als Unterraum von R (ausgestattet mit der euklidischen Metrik) ist ein polnischer Raum. (iv) Die Menge Q der rationalen Zahlen, aufgefasst als Unterraum von R (ausgestattet mit der euklidischen Metrik) ist kein polnischer Raum. Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff Aktuelle Themen Stochastik Winter 2017/2018 Version: 15. November

40 Bemerkung Bem. Die Kantorsche Menge ist abgeschlossen in [0, 1], folglich ein polnischer Raum. Man beachte aber, dass die Kantorsche Menge nirgends dicht in [0, 1] (und damit einer Menge erster Kategorie), aber sie ist nicht nirgends dicht in sich (der Abschluss ist die Menge selber) Bsp. Ein Beispiel für einen nichtmetrisierbaren Raum ist die Menge D(R) = C 0 (R) der unendlich oft differenzierbaren finiten Funktionen auf R, bei denen die Konvergenz wie folgt definiert ist: ϕ n D (n ) ϕ, falls a > 0 : supp ϕ n [ a, a], supp ϕ [ a, a] und für alle k N {0} konvergieren die Ableitungen ϕ (k) n gleichmäßig gegen ϕ (k) auf R (die Ableitung mit der Nummer k = 0 ist die Funktion selber). Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff Aktuelle Themen Stochastik Winter 2017/2018 Version: 15. November