Abitur Mathematik für berufliche Gymnasien Analysis, Stochastik Wahlgebiet: Vektorgeometrie. Pflichtteil und Wahlteil. Merkur Verlag Rinteln

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1 Pflichtteil und Wahlteil Ott Rosner Mathematik für berufliche Gmnasien Analsis, Stochastik Wahlgebiet: Vektorgeometrie Abitur 208 Merkur Verlag Rinteln

2 Wirtschaftswissenschaftliche Bücherei für Schule und Prais Begründet von Handelsschul-Direktor Dipl.-Hdl. Friedrich Hutkap Verfasser: Roland Ott Studium der Mathematik an der Universität Tübingen Stefan Rosner Lehrauftrag Mathematik an der Kaufmännischen Schule Schwäbisch Hall Studium der Mathematik an der Universität Mannheim Fast alle in diesem Buch erwähnten Hard- und Softwarebezeichnungen sind eingetragene Warenzeichen. Das Werk und seine Teile sind urheberrechtlich geschützt. Jede Nutzung in anderen als den gesetzlich zugelassenen Fällen bedarf der vorherigen schriftlichen Einwilligung des Verlages. Hinweis zu 52a UrhG: Weder das Werk noch seine Teile dürfen ohne eine solche Einwilligung eingescannt und in ein Netzwerk eingestellt werden. Dies gilt auch für Intranets von Schulen und sonstigen Bildungseinrichtungen. * * * * * Umschlag Hintergrundbild: Beatrice Chatot Fotolia.com Kreis links: Africa Studio Fotolia.com, Kreis rechts: Picture-Factor Fotolia.com 4. Auflage b MERKUR VERLAG RINTELN Gesamtherstellung: MERKUR VERLAG RINTELN Hutkap GmbH & Co. KG, 3735 Rinteln info@merkur-verlag.de lehrer-service@merkur-verlag.de Internet: ISBN

3 4 Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis Ablauf der Abiturprüfung in Mathematik... 5 I Hilfsmittelfreier Teil der Abiturprüfung... 7 Übungsaufgaben...7. Analsis Übungsaufgaben Stochastik Übungsaufgaben Vektorgeometrie Übungsaufgaben Aufgabensätze Pflichtteil... 2 II Teile der Abiturprüfung mit Hilfsmittel...33 Übungsaufgaben Analsis Übungsaufgaben mit Hilfsmittel Anwendungsorientierte Analsis Stochastik Übungsaufgaben mit Hilfsmittel Vektorgeometrie III Musteraufgabensätze zur Abiturprüfung...65 Aufgabensatz Aufgabensatz Aufgabensatz Aufgabensatz Aufgabensatz IV Abiturprüfung V Lösungen... 2 Hilfsmittelfreier Teil der Abiturprüfung Lösungen Übungsaufgaben Lösungen Pflichtteilsätze Teile der Abiturprüfung mit Hilfsmittel Lösungen Übungsaufgaben Lösungen Musteraufgabensätze zum Abitur...85 Lösungen Aufgabensatz...85 Lösungen Aufgabensatz Lösungen Aufgabensatz Lösungen Aufgabensatz Lösungen Aufgabensatz Lösungen Hauptprüfung 206/

4 5 Ablauf der Abiturprüfung in Mathematik Zu Beginn: SchülerIn erhält alle Aufgabenteile ( bis 4), jedoch keine Hilfsmittel Phase : Bearbeitung des hilfsmittelfreien Teils Teil Thema Auswahl Richtzeit Punkte Analsis (50%) Stochastik (25%) Vektorgeometrie oder Matrizen (25%) keine ca. 90 min 30 Nach endgültiger Abgabe von Teil erhält SchülerIn die Hilfsmittel Phase 2: Bearbeitung der Teile mit Hilfsmitteln (Taschenrechner + Merkhilfe) Teil Thema Auswahl Richtzeit Punkte Analsis (ca. 67%) keine 2 Anwendungsorientierte Analsis (ca. 33 %) 3 Stochastik Vektorgeometrie oder 4 Matrizen SchülerIn wählt ca. 90 min 30 eine aus drei Aufgaben SchülerIn wählt eine aus zwei ca. 45 min ca. 5 Aufgaben keine ca. 45 min ca. 5 Hinweise Die Prüfung dauert insgesamt maimal 270 Minuten. Die maimal erreichbare Punktzahl beträgt 90 Punkte. Die Gesamtpunktzahl für die Teile 3 und 4 beträgt 30 Punkte. SchülerIn erhält nur Aufgaben zu dem Wahlgebiet (Vektorgeometrie oder Mathematische Beschreibung von Prozessen durch Matrizen) vorgelegt, welches zuvor im Unterricht behandelt wurde.

5 2 2 Aufgabensätze Pflichtteil Aufgabensatz A Pflichtteil Ohne Hilfsmittel (30 Punkte) Analsis Lösungen Seite 39/40 Punkte. Erläutern Sie anhand einer Skizze, ob das Integral sin()d 3 größer, kleiner oder gleich Null ist..2 Für eine Funktion f gilt: 4 () f'() = 0 für = 2 und 2 = (2) f''( 2) = 3 (3) f''() = 3 (4) f( 2) = 9 3 (5) f() = 6 Welche Aussagen lassen sich daraus für das Schaubild von f treffen?.3 Gegeben ist die Funktion f mit f() = cos(2), R. 4 Geben Sie die Periode von f an. π π 2 Bestimmen Sie eine Lösung der Gleichung cos(2) =..4 Die Abbildungen zeigen Schaubilder von drei Funktionen sowie deren 5 zugehörigen ersten und zweiten Ableitungen. Ordnen Sie jeweils dem Schaubild der Funktion das Schaubild ihrer ersten und zweiten Ableitung zu: A B C D E F G H I

6 22 I Hilfsmittelfreier Teil der Abiturprüfung Aufgabensatz A Stochastik Pflichtteil Punkte 2. Eine Laplace-Münze wird dreimal geworfen. Mit welcher Wahrscheinlich- 2 keit erzielt man zweimal Zahl und einmal Bild? 2.2 Ein Würfel wird 20-mal geworfen. Mit welcher Wahrscheinlich- 2 keit erzielt man zweimal die Augenzahl 3? Geben Sie eine Term an. 2.3 Bei einer Blutspendenaktion werden die Blutgruppen der Spender 2 bestimmt. Ein Ereignis ist: In einer Gruppe von fünf Freunden hat niemand die Blutgruppe Null. Beschreiben Sie das Gegenereignis in Worten. 2.4 Die Zufallsvariable X hat folgende Wahrscheinlichkeitsverteilung: 3 i P(X = i ) 0,2 u w 0,2 Der Erwartungswert von X beträgt 0,2. Berechnen Sie u und w. Vektorgeometrie 3 Gegeben sind die Ebenen E und E 2 mit E : = 2 und E 2 : = 6. Die Punkte A(2 0 0) und B(0 0 3) liegen in beiden Ebenen. 3. Begründen Sie, dass die Ebenen E und E 2 nicht identisch sind. 3.2 Ermitteln Sie die Koordinaten eines von A und B verschiedenen Punktes, 2 der ebenfalls in beiden Ebenen liegt. 3.3 In der Gleichung von E 2 soll genau ein Koeffizient so geändert werden, 2 dass eine Gleichung der Ebene E entsteht. Geben Sie diese Änderung an und begründen Sie Ihre Antwort. 30

7 35 Mathematik Abitur Wahlteil Teil 2: Mit Hilfsmittel Analsis Aufgabe Lösungen Seite 52/53 Punkte. Das Schaubild einer Polnomfunktion 4. Grades geht durch den Punkt 5 3 S(0 2) und hat den Wendepunkt W( 2 ). Die Normale im Punkt 5 P ( 3 4 ) hat die Steigung 5. Stellen Sie ein LGS zur Bestimmung des Funktionsterms auf..2 Gegeben ist die Funktion f durch f () = ; R. Das Schaubild von f heißt K..2. Berechnen Sie die Koordinaten der Wendepunkte von K. 6 Zeigen Sie: Die Tangente an K im 6 5 Schnittpunkt mit der -Achse ist parallel 4 3 K zu der Geraden durch die Wendepunkte Die Gerade mit der Gleichung = + 2 schließt mit K zwei 6 Flächenstücke ein. Berechnen Sie den eakten Inhalt eines der beiden Flächenstücke. Markieren Sie die berechnete Fläche in einer Skizze..3 C ist das Schaubild der Funktion h mit h() = 3sin( 3); R. Wie entsteht das Schaubild C aus dem Schaubild der Funktion k 5 mit k() = sin()? Geben Sie zwei Schnittpunkte mit der -Achse, einen Hoch- und einen Tiefpunkt von C an. 20

8 36 II Teile der Abiturprüfung mit Hilfsmittel Mathematik Abitur Wahlteil Teil 2: Mit Hilfsmittel Analsis Aufgabe 2 Lösungen Seite 53/54 2. Gegeben ist die Funktion g durch g() = 3 e ; R. Punkte 2.. Das Schaubild von g, die beiden Koordinatenachsen und die Gerade 4 mit der Gleichung = 2,5 begrenzen eine Fläche. Berechnen Sie den Inhalt dieser Fläche eakt Die Fläche aus 2.2. rotiert um die -Achse. Dabei entsteht ein Rotations- 6 körper. Der Rotationskörper wird so durchbohrt, dass die Bohrachse mit seiner Smmetrieachse übereinstimmt. Diese Bohrung hat den Durchmesser. Welches Volumen hat der Restkörper? 2.2 Die Abbildung zeigt das Schaubild der Ableitungsfunktion f einer Funktion f mit 2π< < 2π. 2 2π π π 2π 2.2. Begründen Sie anhand der Abbildung, welche der folgenden Aussagen 5 falsch oder wahr sind. f ist monoton steigend. Das Schaubild von f ist smmetrisch zur -Achse. π Das Schaubild von f hat in P( 2 f( π 2 )) dieselbe Steigung wie die erste Winkelhalbierende Geben Sie einen Funktionsterm von f an. 5 Die Schaubilder von f und f schneiden sich auf der -Achse. Bestimmen Sie f(). 20

9 66 III Musteraufgabensätze zur Abiturprüfung III Musteraufgabensätze zur Abiturprüfung Aufgabensatz Lösungen Seite Teil ohne Hilfsmittel Analsis Punkte. Gegeben ist das folgende Schaubild einer Funktion: Untersuchen Sie, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind. Begründen Sie Ihre Entscheidung. a) Der Wert der ersten Ableitung an der Stelle = 0 ist negativ. b) Der Funktionswert an der Stelle = 2 ist positiv. c) Der Wert der ersten Ableitung an der Stelle = 3 ist null. d) Der Wert der zweiten Ableitung an der Stelle = 3 ist positiv..2 Gegeben ist die Funktion f mit f( ) = ; R. 4 Berechnen Sie, an welchen Stellen das zugehörige Schaubild K eine waagerechte Tangente aufweist..3 Die Funktion g hat die Eigenschaften: g(3 ) = 0 und Skizzieren Sie ein mögliches Schaubild von g und begründen Sie Ihre Vorgehensweise. 6 0 g()d = Das Schaubild einer trigonometrischen Funktion ist smmetrisch zur 3 -Achse, verläuft durch den Punkt S(0 3) und hat in T (3 0) einen Tiefpunkt. Geben Sie einen möglichen Funktionsterm an.

10 Aufgabensätze 69 Aufgabensatz Teil 2 mit Hilfsmittel Anwendungsorientierte Analsis Punkte Aufgabe Bei einem chemischen Eperiment wird Wasserstoff hergestellt und in einem Standzlinder aufgefangen. Bei einer ersten Messung ergeben sich die folgenden Daten für die Zuwachsrate des Wasserstoffvolumens: Zeit in min Zuwachsrate in ml min Stellen Sie die Daten in einem Koordinatensstem dar. 5 Wählen und begründen Sie einen geeigneten Funktionstp und bestimmen Sie eine Näherungsfunktion. 2.2 Die momentane Änderungsrate des Wasserstoffvolumens (in ml min ) wird durch die Funktion r beschrieben: r(t ) = 9 e 0,343t; t Zu welchem Zeitpunkt liegt nur noch die halbe momentane 2 Änderungsrate wie zu Beginn vor? Wie viele Minuten dauert es, bis 50 ml Wasserstoff entstanden sind? 3

11 74 III Musteraufgabensätze zur Abiturprüfung Aufgabensatz Teil 4 mit Hilfsmittel Vektorgeometrie Aufgabe Punkte. Gegeben sind die Punkte A(0 4 0), B(0 0 2) und C(4 0 0). 5 Zeigen Sie, dass das Dreieck ABC gleichschenklig ist. Ergänzen Sie das Dreieck ABC durch einen Punkt D zu einer Raute. Berechnen Sie die Innenwinkel der Raute. Zeigen Sie, dass die Raute in der Ebene E: = 4 liegt..2 Gegeben sind die beiden Ebenen 5 E : = und E 2 : = ( 7 7 ) ( + s ) ( + t 3 ) ; s; t R Zeigen Sie, dass die beiden Ebenen parallel zueinander sind. Die Ebene E 3 ist parallel zu E und E 2 und hat von beiden Ebenen denselben Abstand. Bestimmen Sie eine Gleichung der Ebene E 3..3 Ein Würfel besitzt die Eckpunkte O(0 0 0), P(6 0 0), Q(0 6 0) und 5 R(0 0 6). Gegeben ist außerdem die Ebene E: = Stellen Sie den Würfel und die Ebene E in einem Koordinatensstem dar..3.2 Berechnen Sie den Winkel, den die Ebene E mit der 2 -Ebene einschließt. Bestimmen Sie den Abstand von E zur -Achse. 5

12 Hilfsmittelfreier Teil der Abiturprüfung 39.2 Lösungen Pflichtteilsätze Aufgabensatz A Teil : Keine Hilfsmittel zugelassen. Analsis. Skizze: π π 2 sin()d > 0 π π/2 0 π/2 π Die Fläche oberhalb der -Achse ist größer als die Fläche unterhalb der -Achse. Daher ist der Integralwert positiv..2 Bedingungen: () f'() = 0 für = 2 und 2 = waagrechte Tangente in = 2 und 2 = (2) f''( 2) = 3 = 2 ist Maimalstelle (3) f''() = 3 2 = ist Minimalstelle (4) f( 2) = 9 3 (5) f() = 6 Kurvenpunkt H( ) Kurvenpunkt T( 6 ) Aussagen über das Schaubild von f: Das Schaubild besitzt den Hochpunkt H( f() = cos(2), R. ) und den Tiefpunkt T( 6 ). Periode von f: p = 2π 2 = π Lösung der Gleichung cos(2) = : Mit der Substitution 2 = z erhält man die Gleichung cos(z)= Eine Lösung dieser Gleichung ist z = π. Mit 2 = π ergibt sich = π 2..4 Funktion Schaubild von f Schaubild von f Schaubild von f. A E I 2. D C H 3. G B F Hinweis: Etremstellen von f sind Nullstellen von f mit VZW Wendestellen von f sind Etremstellen von f.

13 40 IV Lösungen Aufgabensatz A Stochastik 2. B: Bild, Z: Zahl. Ereignis A: Zweimal Z und einmal B. P(A) = P(BZZ) + P(ZBZ) + P(ZZB) = 3 ( 2 ) 3 = X: Anzahl der Würfe mit AZ = 3 bei n = 20 Würfen P(X = 2) = ( 20 2 ) ( 6 ) 2 ( 5 6 ) Gegenereignis in Worten: In einer Gruppe von fünf Freunden hat mindestens eine Person die Blutgruppe null. 2.4 Wahrscheinlichkeitsverteilung: i P(X = i ) 0,2 u w 0,2 E(X) = 0,2 3 0,2 + ( ) u + 0 w + 5 0,2 = 0,2 für u = 0,2 Ferner gilt: 0,2 + 0,2 + w + 0,2 =. Somit ist w = 0,4. Vektorgeometrie 3. Eine Punktprobe liefern die Begründung. Z. B.: P(0 6,5) liegt auf E aber nicht auf E 2 6 oder ( ) ~ ( ) 2 = 0 Die beiden Ebenen schneiden sich in der 2 -Achse, sind also nicht identisch. 3.2 Gleichung der Geraden g durch A und B: g : 2 = ( 0 0 ) + r ( ) ; r R Z. B. ergibt sich für r = der Punkt C( 4 0 3), der auf beiden Ebenen liegt. 3.3 Der Koeffizient 5 ist in 0,5 zu verändern. Multipliziert man die veränderte Koordinatengleichung für E 2 mit 2, dann ergibt sich die Koordinatengleichung für E.