Hochschule Düsseldorf University of Applied Sciences. 05. Januar 2017 HSD. Physik. Schwingungen II

Transkript

1 Physik Schwingungen II

2 Ort, Geschwindigkeit, Beschleunigung x(t) = cos! 0 t v(t) =ẋ(t) =! 0 sin! 0 t t a(t) =ẍ(t) =! 2 0 cos! 0 t

3 Energie In einem mechanischen System ist die Gesamtenergie immer gleich der Summe aus potentieller und kinetischer Energie. Im abgeschlossenen System ist die Energie erhalten, d.h. sie ändert sich zeitlich nicht. E = E pot + E min d dt E =0

4 Potentielle Energie E pot E pot = = Z Z F dx kx(t) dx E pot = 1 2 kx2 = 1 2 kx(t)2 x Übungsaufgabe: Gradient, Weihnachtsübung

5 Allgemein: E pot = = Z Z Potentielle Energie F dx kx(t) dx = 1 2 kx(t)2 Konkret: 0 x(t) =A cos! 0 t F Einsetzen: x E pot = 1 2 ka2 cos 2! 0 t

6 Kinetische Energie Allgemein: E kin = 1 2 mv2 Konkret: x(t) =A cos! 0 t v(t) =ẋ(t) =! 0 A sin! 0 t 0 Einsetzen: v E kin = 1 2 m!2 0A 2 sin 2! 0 t x = 1 2 ka2 sin 2! 0 t

7 Gesamtenergie Die Gesamtenergie hängt von der Federkonstante und der Amplitude der Schwingung ab. Die ganze Zeit wird potentielle in kinetische Energie umgewandelt, und dann umgekehrt. Die Gesamtenergie ist aber zeitlich konstant! Anmerkung: eine initiale Phase in der Lösung fällt zwischen der dritten und vierten Zeile heraus. E = E pot + E kin = 1 2 ka2 cos 2! 0 t ka2 sin 2! 0 t = 1 2 ka2 cos 2! 0 t +sin 2! 0 t = 1 2 ka2 E pot = 1 2 ka2 cos 2! 0 t E kin = 1 2 ka2 sin 2! 0 t

8 Gesamtenergie E pot E = 1 2 ka2 E pot = 1 2 kx2 x

9 Zeitliches Verhalten der Energie Schwingung: x(t) =A cos! 0 t Potentielle Energie: E pot = 1 2 ka2 cos 2! 0 t t

10 Zeitliches Verhalten der Energie Schwingung: E = 1 2 ka2 x(t) =A cos! 0 t E Potentielle Energie: E pot = 1 2 ka2 cos 2! 0 t t Kinetische Energie: E kin = 1 2 ka2 sin 2! 0 t

11 Getriebener harmonischer Oszillator Ein schwingfähiges System kann auch von außen angetrieben werden. Dabei wird dem System Energie zugeführt. Im Allgemeinen werden dadurch Reibungsverluste ausgeglichen (z.b. bei Uhren). Elektromagnetische Strahlung trifft auf ein Wassermolekül

12 Getriebener harmonischer Oszillator Antreibende Kraft: F A = F 0 cos! A t Einsetzen in das 2. Newton sche Gesetz: Newton mẍ = Summe aller Kräfte kx + F A ) ẍ + k m x = F 0 m cos! At bzw. ẍ +! 2 0x = F 0 m cos! At

13 Getriebener harmonischer Oszillator Inhomogene lineare Differentialgleichung 2. Grades Im allgemeinen komplizierter zu lösen (Lösungsraum). Hier: bei einer Kosinusförmigen Anregung wird das System auch mit der Anregungsfrequenz schwingen. ẍ +! 2 0x = F 0 m cos! At Harmonischer Oszillator ẍ(t)+! 2 0 x(t) =0 x(t) =A cos! A t Harmonischer Oszillator x(t) =A cos! 0 t

14 Getriebener harmonischer Oszillator Eine Lösung raten: x(t) =A cos! A t Ableitung bilden: ẋ(t) = ẍ(t) =! A sin! A t! 2 A cos! A t Einsetzen in die Differentialgleichung:! 2 AA cos! A t +! 2 0A cos! A = F 0 m cos! At )! 2 0! 2 A A = F 0 m ) A = F 0 m (! 2 0! 2 A )

15 Getriebener harmonischer Oszillator Das System schwingt mit der Anregungsfrequenz, nicht mit der Resonanzfrequenz. Die Amplitude der Schwingung hängt vom Unterschied zwischen Anregungs- und Resonanzfrequenz ab. Lösung: x(t) =A cos! A t Mit der Amplitude: A = F 0 m (! 2 0! 2 A )

16 Getriebener harmonischer Oszillator Die kurve zeigt ein scharfes Maximum bei der Resonanzfrequenz Für kleine Frequenzen geht die Amplitude gegen die statische Auslenkung: A = F 0 m (! 2 0! 2 A ) F 0 m! 2 0 = F 0 k Für große Frequenzen geht die Amplitude gegen Null.

17 Resonanzkatastrophe Tacoma Narrows Bridge

18 Resonanzkatastrophe

19 Dämpfung Keine Schwingung ist wirklich reibungsfrei. Am ehesten noch durch Molekülschwingungen realisiert. Im Allgemeinen sehr schwer zu lösen. Hier: Reibungskraft ist proportional zur Geschwindigkeit. mẍ(t) = kx(t) F R F R = µẋ(t) Das entspricht dem Luftwiderstand bei kleinen Geschwindigkeiten (Pendel).

20 Gedämpfter harmonischer Oszillator mẍ(t) = kx(t) F R F R = µẋ(t) ) ẍ + µ mẋ + k m x =0 ẍ +2 ẋ +! 2 0x =0 mit 2 = µ m

21 Gedämpfter harmonischer Oszillator Eine Lösung raten: Ableitung bilden: Halt! Einsetzen in die Differentialgleichung: Komplexe Zahlen!

22 Komplexe Zahlen Eulersche Formel e i' = cos ' + i sin ' Anders herum: cos ' = ei' + e i' 2 Komplexe Schwingung e i!t = cos!t + i sin!t

23 Gedämpfter harmonischer Oszillator Eine Lösung raten: Ableitung bilden: x(t) =Ae i!t ẋ(t) =i!ae i!t = i!x(t) ẍ(t) =! 2 Ae i!t =! x (t) Einsetzen in die Differentialgleichung: ẍ +2 ẋ +! 2 0x =0

24 Gedämpfter harmonischer Oszillator Differentialgleichung: ẍ +2 ẋ +! 0x 2 =0 Ableitungen einsetzen:! 2 x +2 i!x +! 0x 2 =0 Ausklammern: (! 2 +2 i! +! 0)x 2 =0 x(t) =Ae i!t Quadratische Gleichung für!:! 2 2 i!! 2 0 =0 p-q-formel:! ± = i ± q! 2 0 2

25 Gedämpfter harmonischer Oszillator! ± = i ± q! x(t) =Ae i!t x + (t) =A exp i i + q! t = Ae = Ae t e ip! 2 0 t e i! dt 2 t Verschobene Resonanzfrequenz:! d = q! 2 0 2

26 Gedämpfter harmonischer Oszillator e t x + (t) =Ae t e i! dt

27 Harmonischer Oszillator Differentialgleichung Lösung Zusatz ẍ +! 2 0x =0 x(t) =A cos! 0 t ẍ +! 2 0x = F 0 m cos! At x(t) =A cos! A t A = F 0 m (! 2 0! 2 A ) ẍ +2 ẋ +! 2 0x =0 x(t) =Ae t e i! dt! d = q! 2 0 2