Herbrand-Universum. Vorlesung Logik Sommersemester 2012 Universität Duisburg-Essen. Herbrand-Universum. Herbrand-Universum

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1 Herbrand-Universum Vorlesung Logik Sommersemester 2012 Universität Duisburg-Essen Barbara König Übungsleitung: Christoph Blume Motivation: Um die Erfüllbarkeit/Unerfüllbarkeit einer prädikatenlogischen Formel zu testen, müsste man ungeheuer viele Strukturen durchprobieren. Wir zeigen im folgenden, dass es reicht nur ganz bestimmte Strukturen, sogenannte Herbrand-Strukturen benannt nach dem Logiker Jacques Herbrand zu testen. Diese können immer noch ein unendlich großes Universum haben und unendlich viele sein, sind aber dennoch wesentlich überschaubarer. Darauf aufbauend kann dann ein automatisches Verfahren entwickelt werden, dass mit Hilfe von Resolution die Unerfüllbarkeit einer prädikatenlogischen Formel überprüft. Herbrand-Universum Barbara König Logik 1 Herbrand-Universum Barbara König Logik 175 Definition (Herbrand-Universum) Das Herbrand-Universum D(F ) einer geschlossenen Formel F in Skolemform ist die Menge aller variablenfreie Terme, die aus den Bestandteilen von F gebildet werden können. Falls in F keine Konstante vorkommt, wählen wir zunächst eine beliebige Konstante, zum Beispiel a, und bilden dann die variablenfreien Terme. D(F ) wird wie folgt induktiv definiert: 1 Alle in F vorkommenden Konstanten sind in D(F ). Falls F keine Konstante enthält, so ist a in D(F ). 2 Für jedes in F vorkommende n-stellige Funktionssymbol f und Terme t 1,..., t n in D(F ) ist der Term f (t 1,..., t n ) in D(F ). Beispiel: Bestimmen Sie die Herbrand-Universen zu folgenden Formeln F 1 = x P(f (x), g(a)) F 2 = x y Q(h(x, y)) F 3 = x P(x) Barbara König Logik 176 Barbara König Logik 177

2 Herbrand-Strukturen Herbrand-Strukturen Definition (Herbrand-Struktur) Sei F eine Aussage in Skolemform. Dann heißt jede zu F passende Struktur A = (U A, I A ) eine Herbrand-Struktur für F, falls folgendes gilt: 1 U A = D(F ), 2 für jedes in F vorkommende n-stellige Funktionssymbol f und t 1, t 2,..., t n D(F ) ist f A (t 1, t 2,..., t n ) = f (t 1, t 2,..., t n ). Idee: Jeder variablenfreie Term t wird durch sich selbst interpretiert, d.h., A(t) = t. (Vermischung von Syntax und Semantik.) Für eine Herbrand-Struktur A vereinfacht sich das Überführungslemma: Lemma (Überführungslemma für Herbrand-Strukturen) Sei A eine Herbrand-Struktur. Dann gilt für jede Formel F, jede Variable x und jeden variablenfreien Term t: A(F [x/t]) = A [x/t] (F ). Barbara König Logik 178 Der fundamentale Satz der Barbara König Logik 179 Der fundamentale Satz der Beispiel zum vorherigen Satz: Gegeben sei die Formel Satz Sei F eine Aussage in Skolemform. F ist genau dann erfüllbar, wenn F ein Herbrand-Modell besitzt. Aufgaben: F = x P(x, f (x)) Bestimmen Sie ein beliebiges Modell A von F. Anschließend definieren Sie ein Herbrand-Modell B von F, dessen Relation P B analog zu P A definiert ist. (So wie im Beweis zum vorherigen Satz beschrieben.) Barbara König Logik 180 Barbara König Logik 181

3 Herbrand-Expansion Herbrand-Expansion Definition (Herbrand-Expansion) Sei F = y 1 y 2... y n F eine Aussage in Skolemform. Dann ist E(F ) die Herbrand-Expansion von F, definiert als E(F ) = {F [y 1 /t 1 ][y 2 /t 2 ]... [y n /t n ] t 1, t 2,..., t n D(F )} Die Formeln in E(F ) entstehen also, indem die Terme in D(F ) in jeder möglichen Weise für die Variablen in F substituiert werden. Bemerkung: Da das Herbrand-Universum D(F ) abzählbar ist, ist auch die Menge E(F ) abzählbar. Wiederholung: Abzählbarkeit Definition (Abzählbarkeit) Eine Menge M heißt abzählbar, wenn es eine surjektive Abbildung f : N 0 M gibt. Das heißt es gibt eine (nicht notwendigerweise konstruktive) Aufzählung f (0), f (1), f (2),... aller Elemente von M, in der jedes Element von M mindestens einmal vorkommt. Bemerkungen: Beispiele für abzählbare Mengen sind N 0, Q (die Menge der rationalen Zahlen bzw. Brüche) und die Menge aller Terme, die aus einer endlichen Menge von Funktionssymbolen gebildet werden. (Daher: ein Herbrand-Universum D(F ) ist immer abzählbar.) Die Menge R der reellen Zahlen ist nicht abzählbar. Barbara König Logik 182 Barbara König Logik 183 Herbrand-Expansion Herbrand-Expansion Beispiel: Bestimme die Herbrand-Expansion der Formel x y zp(x, f (y), g(z, x)). Idee: Behandle die Formeln in der Herbrand-Expansion wie aussagenlogische Formeln. D.h., betrachte jedes auftauchende Prädikat P(t 1,..., t n ) wie eine atomare Formel A. Beispiel: Sei beispielsweise E(F ) = {F 1, F 2,... }. F 1 = (P(f (a), f (b)) Q(g(a, b)) P(a, b) ) P(f (a), f (b)). }{{}}{{}}{{}}{{} A B C A Dies entspricht (A B C) A. Eine Formel in der Herbrand-Expansion ist erfüllbar, genau dann, wenn sie im aussagenlogischen Sinne erfüllbar ist. Barbara König Logik 184 Barbara König Logik 185

4 Satz von Gödel-Herbrand-Skolem Satz von Gödel-Herbrand-Skolem Satz (Gödel-Herbrand-Skolem) Für jede Aussage F in Skolemform gilt: F ist erfüllbar genau dann, wenn die Formelmenge E(F ) (im aussagenlogischen Sinn) erfüllbar ist. Beweis: Es genügt zu zeigen, dass F ein Herbrand-Modell besitzt genau dann, wenn E(F ) erfüllbar ist. Die Formel F habe die Form y 1 y 2... y n F. Es gilt: A ist ein Herbrand-Modell für F gdw. für alle t 1, t 2,..., t n D(F ) gilt: A [y1 /t 1 ][y 2 /t 2 ]...[y n /t n ](F ) = 1 gdw. für alle t 1, t 2,..., t n D(F ) gilt: A(F [y 1 /t 1 ][y 2 /t 2 ]... [y n /t n ]) = 1 gdw. für alle G E(F ) gilt A(G) = 1 gdw. A ist ein Modell für E(F ) Satz von Herbrand Barbara König Logik 186 Barbara König Logik 187 Algorithmus von Gilmore Satz (Herbrand) Eine Aussage F in Skolemform ist unerfüllbar genau dann, wenn es eine endliche Teilmenge von E(F ) gibt, die (im aussagenlogischen Sinn) unerfüllbar ist. Beweis: Ummittelbare Folge des Satzes von Gödel-Herbrand-Skolem und des Endlichkeitssatzes. Endlichkeitssatz Sei F eine prädikatenlogische Aussage in Skolemform und sei {F 1, F 2, F 3,... } eine Aufzählung von E(F ). Algorithmus von Gilmore Eingabe: F n := 0; repeat n := n + 1; until (F 1 F 2... F n ) ist unerfüllbar; Gib unerfüllbar aus und stoppe. Barbara König Logik 188 Barbara König Logik 189

5 Algorithmus von Gilmore Algorithmus von Gilmore Bemerkungen zum Algorithmus von Gilmore: Man wählt eine beliebige unendliche Aufzählung F 1, F 2, F 3,... aller Formeln in E(F ). Dabei muss nur darauf geachtet werden, dass jede Formel irgendwann in dieser Aufzählung vorkommt. Das ist möglich, da E(F ) abzählbar ist. Es dürfen Formeln mehrfach vorkommen. Das ist insbesondere immer dann so, wenn E(F ) endlich ist. Wenn alle Formeln in einer endlichen Menge E(F ) abgearbeitet sind, dann kann der Algorithmus auch stoppen und erfüllbar ausgeben. Beispiel: Zeigen Sie mit Hilfe des Algorithmus von Gilmore, dass folgende Formeln F = x y ( P(f (f (x))) P(f (y))) G = x (P(f (x)) P(x)) unerfüllbar sind. Barbara König Logik 190 Algorithmus von Gilmore Aus dem Satz von Herbrand folgt: Falls die Formel F unerfüllbar ist, so stoppt der Algorithmus von Gilmore nach endlicher Zeit und gibt unerfüllbar aus. Falls der Algorithmus von Gilmore unerfüllbar ausgibt, so ist F tatsächlich unerfüllbar. Wenn F jedoch erfüllbar ist, so gibt es keine Garantie dafür, dass der Algorithmus jemals terminiert. Es kann auch gezeigt werden, dass es tatsächlich keinen Algorithmus gibt, der das Unerfüllbarkeitsproblem der löst und immer mit der korrekten Antwort (unerfüllbar bzw. erfüllbar) terminiert. Barbara König Logik 192 Barbara König Logik 191 Algorithmus von Gilmore Semi-Entscheidbarkeit (informell) Sei M X eine Menge (auch Sprache oder Problem genannt). Die Menge M heißt semi-entscheidbar, wenn es einen Algorithmus A gibt, der ein Element x X als Eingabe nimmt und genau dann, wenn x M gilt, terminiert und x ist in M enthalten zurückgibt. Der Algorithmus A muss jedoch nicht terminieren, wenn x M gilt. Falls A auch in diesem Fall terminiert und x ist nicht in M enthalten zurückgibt, so heißt M entscheidbar. Bemerkung: die Begriffe Entscheidbarkeit und Semi-Entscheidbarkeit werden detailliert in der Vorlesung Berechenbarkeit und Komplexität besprochen. Barbara König Logik 193

6 Semi-Entscheidbarkeitssätze Semi-Entscheidbarkeitssätze Satz (Semi-Entscheidbarkeit) Folgende Probleme sind semi-entscheidbar, jedoch nicht entscheidbar: (a) Das Unerfüllbarkeitsproblem für prädikatenlogische Formeln. (b) Das Gültigkeitsproblem für prädikatenlogische Formeln. (c) Das Folgerungsproblem für prädikatenlogische Formeln. (d) Das Äquivalenzproblem für prädikatenlogische Formeln. Beweis: (a) Das Problem ist nicht entscheidbar (ohne Beweis). Der Algorithmus von Gilmore kann es jedoch semi-entscheiden. (b) F gültig gdw. F unerfüllbar. (c) F = G gdw. F G gültig. (d) F G gdw. F G gültig. Barbara König Logik 194 Resolution in der Barbara König Logik 195 Wiederholung: Resolution in der Resolutionsschritt: Der Algorithmus von Gilmore funktioniert zwar, ist in der Praxis aber unbrauchbar, weil er zuviele Formeln erzeugt und nicht zielgerichtet arbeitet. Daher ist unser Programm der nächsten Stunden: Wie sieht Resolution in der aus? Barbara König Logik 196 {L 1,..., L n, A} {L 1,..., L m, A} {L 1,..., L n, L 1,..., L m} Mini-Beispiel: { A, B} {A} {B} { B} Eine Klauselmenge ist unerfüllbar genau dann, wenn die leere Klausel abgeleitet werden kann. Barbara König Logik 197

7 Anpassung des Algorithmus von Gilmore Algorithmus von Gilmore: Sei F eine prädikatenlogische Aussage in Skolemform und sei {F 1, F 2, F 3,..., } eine Aufzählung von E(F ). Eingabe: F n := 0; repeat n := n + 1; until (F 1 F 2... F n ) ist unerfüllbar; (dies kann mit Mitteln der, beispielsweise Wahrheitstafeln, getestet werden) Gib unerfüllbar aus und stoppe. Mittel der wir verwenden Resolution für den Unerfüllbarkeitstest Barbara König Logik 198 Grundresolutionsalgorithmus Sei F 1, F 2,... weiterhin die Aufzählung der Herbrand-Expansion. Grundresolutionsalgorithmus Eingabe: eine Aussage F in Skolemform i := 0; M := ; repeat i := i + 1; M := M F i ; M := Res (M) until M Gib unerfüllbar aus und stoppe. Warum der Name Grundresolution? Im Gegensatz zu späteren Verfahren werden Terme ohne Variable (= Grundterme) substituiert, um die Formeln der Herbrand-Expansion zu erhalten. Barbara König Logik 200 Definition von Res(M) (Wiederholung) Definition Sei M eine Klauselmenge. Dann ist Res(M) definiert als Res(M) = M {R R ist Resolvent zweier Klauseln in M}. Außerdem setzen wir: und schließlich sei Res 0 (M) = M Grundresolutionssatz Res n+1 (M) = Res(Res n (M)) für n 0 Res (M) = n 0 Res n (M). Barbara König Logik 199 Aus dem Grundresolutionsalgorithmus ergibt sich folgender Satz: Grundresolutionssatz Eine Aussage in Skolemform F = y 1... y k F mit der Matrix F in KNF ist unerfüllbar genau dann, wenn es eine Folge von Klauseln K 1,..., K n gibt mit der Eigenschaft: K n ist die leere Klausel Für i = 1,..., n gilt: entweder ist K i eine Grundinstanz einer Klausel K F, d.h. K i = K[y 1 /t 1 ]... [y k /t k ] mit t i D(F ) oder K i ist (aussagenlogischer) Resolvent zweier Klauseln K a, K b mit a < i und b < i Weglassen von Klauseln und Resolutionsschritten, die nicht zur Herleitung der leeren Klausel beitragen. Barbara König Logik 201

8 Grundresolutionsalgorithmus Grundresolutionssatz Beispiel: Zeigen Sie mit Hilfe von Grundresolution, dass folgende Formel in Klauselform unerfüllbar ist. {{P(f (x)), Q(x)}, { P(f (g(y)))}, { Q(g(a))}} Bei der Grundresolution kann man unnötigerweise in Sackgassen laufen. Beispiel: {P(f (x)), Q(x)} { P(f (g(y)))} { Q(g(a))} [y/f (a)] [x/g(f (a))] {Q(g(f (a)))}? Besser wäre gewesen, die Variable x durch g(a) anstatt durch g(f (a)) zu ersetzen. Aber woher kann man das vorher wissen? Grundresolutionssatz Barbara König Logik 202 Idee: Variablen nur noch so weit wie nötig durch Terme ersetzen. Statt Grundtermen Terme mit Variablen verwenden. {P(f (x)), Q(x)} { P(f (g(y)))} { Q(g(a))} [] [x/g(y)] {Q(g(y))} [] [y/a] Barbara König Logik 203 Wiederholung: Substitutionen Eine Substitution sub ist eine Abbildung von Variablen auf Terme. F sub: Anwendung der Substitution sub auf die Formel F t sub: Anwendung der Substitution sub auf den Term t Eine Substitution kann auch als Folge von Ersetzungen beschrieben werden: [x/f (z)] [y/g(a, z)] [z/h(w)] entspricht folgender entflochtener Substitution: [x/f (h(w)), y/g(a, h(w)), z/h(w)]. Ersetzungen werden von links nach rechts durchgeführt! Verknüpfung von Substitutionen: sub 1 sub 2 (zuerst wird sub 1 angewandt, anschließend sub 2 ). Barbara König Logik 204 Barbara König Logik 205

9 Vertauschen von Substitutionen Unifikator/Allgemeinster Unifikator Vertauschen von Substitutionen Regel für das Vertauschen von Substitutionen: [x/t]sub = sub[x/t sub], falls x in sub nicht vorkommt, d.h. weder ersetzt noch eingesetzt wird. Beispiele: [x/f (y)] [y/g(z)] = [y/g(z)][x/f (g(z))] }{{} sub aber: [x/f (y)] [x/g(z)] [x/g(z)][x/f (y)] }{{} sub Barbara König Logik 206 Unifikator/Allgemeinster Unifikator Definition (Unifikation) Gegeben sei eine Menge L = {L 1,..., L k } von Literalen. Eine Substitution sub heißt Unifikator von L, falls L 1 sub = L 2 sub = = L k sub Das ist gleichbedeutend mit Lsub = 1, wobei Lsub = {L 1 sub,..., L k sub}. Ein Unifikator sub von L heißt allgemeinster Unifikator von L, falls für jeden Unifikator sub von L gilt, dass es eine Substitution s gibt mit sub = sub s. Barbara König Logik 207 Unifikator/Allgemeinster Unifikator Beispiele: Bestimmen Sie die allgemeinsten Unifikatoren folgender Mengen (falls sie existieren): {P(x), P(f (y))} {P(x), Q(y)} {Q(x, f (x)), Q(y, g(y))} {P(x), P(f (x))} {Q(x, f (y)), Q(g(z), f (x))} {Q(x, f (y)), Q(g(y), f (x))} {Q(x, f (y)), Q(f (y), z), Q(z, f (x))} Bemerkungen: Eine Menge von Literalen kann mehrere allgemeinste Unifikatoren haben. Beispielsweise sind sowohl [y/f (x)] als auch [x/z][y/f (z)] allgemeinste Unifikatoren von {P(f (x)), P(y)}. Alle allgemeinsten Unifikatoren kann man jedoch durch einfache Variablenumbenennung ineinander umformen. Eine Menge L von (mehr als zwei) Literalen kann unter Umständen nicht unifizierbar sein, auch wenn alle Paare von Literalen unifizierbar sind. Beispiel: {Q(x, f (y)), Q(f (y), z), Q(z, f (x))} Barbara König Logik 208 Barbara König Logik 209

10 Unifikationsalgorithmus Unifikationsalgorithmus Unifikationsalgorithmus Eingabe: eine Literalmenge L sub := []; (leere Substitution) while Lsub > 1 do Suche die erste Position, an der sich zwei Literale L 1, L 2 aus Lsub unterscheiden if keines der beiden Zeichen ist eine Variable then stoppe mit nicht unifizierbar else Sei x die Variable und t der Term im anderen Literal (möglicherweise auch eine Variable) if x kommt in t vor then stoppe mit nicht unifizierbar else sub := sub [x/t] Ausgabe: sub Barbara König Logik 210 Korrektheit des Unifikationsalgorithmus Beispiel: Wende den Unifikationsalgorithmus auf folgende Literalmenge an L = { P(f (z, g(a, y)), h(z)), P(f (f (u, v), w), h(f (a, b)))} Bemerkung: hier sind a, b Konstanten und y, z, u, v, w Variablen Barbara König Logik 211 Prädikatenlogische Resolution Satz (Korrektheit des Unifikationsalgorithmus) Der Unifikationsalgorithmus terminiert immer und gibt bei Eingabe einer nicht-unifizierbaren Literalmenge nicht unifizierbar aus. Wenn eine Menge L von Literalen unifizierbar ist, dann findet der Unifikationsalgorithmus immer den allgemeinsten Unifikator von L. Das bedeutet unter anderem auch, dass jede unifizierbare Menge von Literalen einen allgemeinsten Unifikator hat (Unifikationssatz von Robinson). Definition (Prädikatenlogischer Resolvent) Eine Klausel R heißt prädikatenlogischer Resolvent zweier Klauseln K 1, K 2, wenn folgendes gilt: Es gibt Substitutionen s 1, s 2, die Variablenumbenennungen sind, so dass K 1 s 1 und K 2 s 2 keine gemeinsamen Variablen enthalten. Es gibt Literale L 1,..., L m aus K 1 s 1 und Literale L 1,..., L n aus K 2 s 2, so dass L = {L 1,..., L n, L 1,..., L n} unifizierbar ist. Sei sub der allgemeinste Unifikator von L. (L bezeichnet das negierte Literal L.) Es gilt R = ((K 1 s 1 {L 1,..., L m }) (K 2 s 2 {L 1,..., L n}))sub. Barbara König Logik 212 Barbara König Logik 213

11 Prädikatenlogische Resolution Aufgabe Schreibweise: Zu resolvierende Literale unterstreichen und Substitutionen angeben Beispiel: {P(x), P(f (y)), Q(x, y)} { P(f (g(x)))} s 1 = [] sub = [x/f (g(z)), y/g(z)] s 2 =[x/z] {Q(f (g(z)), g(z))} Sind diese Klauseln resolvierbar? Wieviele mögliche Resolventen gibt es? K 1 K 2 Möglichkeiten {P(x), Q(x, y)} {Q(g(x)), R(f (x))} {P(x), P(f (x))} { P(f (x))} { Q(f (x))} { P(y), Q(y, z)} Hinweis: Es gibt noch zwei weitere Möglichkeiten, einen prädikatenlogischen Resolutionsschritt mit diesen Klauseln auszuführen. Barbara König Logik 214 Prädikatenlogische Resolution Barbara König Logik 215 Korrektheit und Vollständigkeit Beispiel: Leiten Sie aus folgender Klauselmenge die leere Klausel her (diesmal mit prädikatenlogischer Resolution anstatt Grundresolution). {{P(f (x)), Q(x)}, { P(f (g(y)))}, { Q(g(a))}} Zwei Fragen: Wenn man mit prädikatenlogischer Resolution aus einer Formel F die leere Klausel ableiten kann, ist F dann unerfüllbar? (Korrektheit) Kann man für eine unerfüllbare Formel F immer durch prädikatenlogische Resolution die leere Klausel herleiten? (Vollständigkeit) Obiges ist zwar bereits für die Grundresolution bekannt, aber noch nicht für die prädikatenlogische Resolution. Barbara König Logik 216 Barbara König Logik 217

12 Lifting-Lemma Beispiel zum Lifting-Lemma Lifting-Lemma Seien K 1, K 2 zwei prädikatenlogische Klauseln und seien K 1, K 2 zwei Grundinstanzen hiervon, die aussagenlogisch resolvierbar sind und den Resolventen R ergeben. Dann gibt es einen prädikatenlogischen Resolventen R von K 1, K 2, so dass R eine Grundinstanz von R ist. K 1 K 1 R R : Resolution : Substitution K 2 K 2 {P(f (x)), Q(x)} { P(f (g(y)))} [x/g(a)] [y/a] {P(f (g(a))), Q(g(a))} {Q(g(y))} { P(f (g(a)))} [y/a] {Q(g(a))} Barbara König Logik 218 Barbara König Logik 219 Resolutionssatz Resolutionssatz Resolutionssatz der Sei F eine Aussage in Skolemform mit einer Matrix F in KNF. Dann gilt: F ist unerfüllbar genau dann, wenn Res (F ). (Dabei bezeichnet Res die Bildung aller möglichen prädikatenlogischen Resolventen.) Für den Beweis des Resolutionssatzes benötigen wir noch den Begriff des Allabschlusses... Für eine Formel H mit freien Variablen x 1,..., x n bezeichnen wir mit H = x 1 x 2... x n H ihren Allabschluss. Sei F eine Aussage in Skolemform und sei F deren Matrix in KNF, so gilt: F F Beispiel: F = P(x, y) Q(y, x) K F K F x y(p(x, y) Q(y, x)) x yp(x, y) x y( Q(y, x)) Barbara König Logik 220 Barbara König Logik 221

13 Verfeinerung der Resolution (Ausblick) Beispiele Probleme bei der prädikatenlogischen Resolution: Zu viele Wahlmöglichkeiten Immer noch zu viele Sackgassen Kombinatorische Explosion des Suchraums Lösungsansätze: Strategien und Heuristiken: Verbieten bestimmter Resolutionsschritte, Suchraum wird dadurch eingeschränkt Ist die Klauselmenge {{P(f (x))}, { P(f (x)), Q(f (x), x)}, { Q(f (a), f (f (a)))}, { P(x), Q(x, f (x))}} unerfüllbar? Vorsicht: Die Vollständigkeit darf dadurch nicht verloren gehen! Barbara König Logik 222 Barbara König Logik 223 Beispiele Beispiele Wir betrachten folgende Klauselmenge (Beispiel aus dem Schöning): F = {{ P(x), Q(x), R(x, f (x))}, { P(x), Q(x), S(f (x))}, {T (a)}, {P(a)}, { R(a, x), T (x)}, { T (x), Q(x)}, { T (x), S(x)}} und zeigen ihre Unerfüllbarkeit mit Hilfe des Resolutionstheorembeweisers otter (siehe auch die Vorstellung von otter im Kapitel ). Wir betrachten folgende prädikatenlogische Formel: F = x(p(x) P(f (x))) Ist diese Formel gültig, erfüllbar oder unerfüllbar? Was passiert, wenn Sie als Eingabe für einen Resolutionstheorembeweiser (wie beispielsweise otter) verwendet wird? Diese Formel ist erfüllbar: otter leitet immer neue Klauseln ab und terminiert nicht. Barbara König Logik 224 Barbara König Logik 225

14 Beispiele Beispiele Das Affe-Banane-Problem (Teil 1) (A1) Ein Tier, das Arme hat und nahe bei einem Ding ist, kann das Ding erreichen. (A2) Ein Tier auf einem hohen Gegenstand, der unter den Bananen steht, ist nahe bei den Bananen. (A3) Wenn ein Tier in einem Raum einen Gegenstand zu einem Ding schiebt, die beide im Raum sind, dann ist das Ding nahe am Boden oder der Gegenstand ist unter dem Ding. (A4) Wenn ein Tier einen Gegenstand ersteigt, ist es auf dem Gegenstand. (A5) Der Affe ist ein Tier, das Arme hat. Das Affe-Banane-Problem (Teil 2) (A6) Der Stuhl ist ein hoher Gegenstand. (A7) Die Bananen sind ein Ding. (A8) Der Affe, die Bananen und der Stuhl sind im Raum. (A9) Der Affe kann den Stuhl unter die Bananen schieben. (A10) Die Bananen sind nicht nahe am Boden. (A11) Der Affe kann den Stuhl ersteigen. (S?) Kann der Affe die Bananen erreichen? Barbara König Logik 226 Barbara König Logik 227 Beispiele Anwendungen Schema für die Lösung solcher Probleme: Seien A 1,..., A n die Axiome oder Voraussetzungen und S die Schlussfolgerung. Um zu zeigen, dass A 1 A n S gültig ist, zeigen wir, dass Anwendungen der prädikatenlogischen Resolution Theorembeweiser: Beweis von Sätzen aus der Mathematik Verifikation: Beweis der Korrektheit von Programmen Schlussfolgerung in Expertensystemen Planungssysteme Logik-Programmierung (PROLOG) siehe nächstes Kapitel unerfüllbar ist. A 1 A n S Bemerkung: Neben Resolution gibt es noch weitere Methoden, die Unerfüllbarkeit prädikatenlogischer Formeln zu zeigen, beispielsweise mit Hilfe von Tableau-Beweisen. Barbara König Logik 228 Barbara König Logik 229